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Resolução de Questões das Listas de Cálculo de Uma Variável: 2007-2 Monitor: Farley de Freitas Alves Orientadora: Marlene Dieguez Fernandez
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Exercícios resolvidos:
Cálculo I -A- Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I Cálculo Aplicado I
Lista Questão Lista Questão 1 20 1 201 36 1 361 40 1 401 43 1 432 3 2 33 1 3 14 6 4 64 24 4 245 8 5 88 3 8 39 13 9 139 14 9 1412 10 12 1013 7 13 716 6 16 618 21 17 30
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Lista 1
Questão 20) x5²xx5²x −<− Como ℜ∈∀= x²x²x
0x5²xx5²x
x5²xx5²x
<+−−
−<−
Onde:
( )( )
⎩⎨⎧
<−>
=
⎩⎨⎧
<<−−≥≤−
=−
0xsex50xsex5
x5
5x0sex5²xxou0xsex5²x
x5²x 5
Para simplificar o lado esquerdo da inequação nos intervalos adequados, montaremos o quadro a seguir:
x<0 x=0 0<x<5 x=5 x>5 A= x5²x − x5²x − 0 )x5²x( −− 0 x5²x −
B= ²x− -x² 0 -x² -25 -x² C= x5 -5x 0 5x 25 5x
A+B+C 0 0 -2x²+10x 0 0 - Se : 0x ≤
falso 00 →< - Se 0<x<5:
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5xou0x0x5²x
0x5²x
0x10²x2
≥≤→>−
<+−
<+−
Porém, ] ] [ [( ) ] [=+∞∞− IU 5,0,50, Ø. Logo, o intervalo encontrado não é solução do problema. - Se x=5:
falso00 →< - Se x>5
falso00 →< Portanto, não existe tal que ℜ∈x x5²xx5²x −=− , ou seja, a solução é o conjunto vazio.
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Lista 1
Questão 36)
] ] [U +∞∞−=⇒≥−
∈∀≥−=
,20,domf0x2²x
domfx0)x(f,)2x(x)x(f
[
Fazendo y=f(x)
x2²xy −=
Com o objetivo de escrever a equação acima como ( ) ( )
1²b
²yy²a
²xx cc =−
±−
, usaremos o
seguinte recurso para completar quadrados: 11x2²x²y −+−= Assim, a igualdade continua sendo verdadeira e podemos escrever a equação da seguinte forma: 1)²1x(²y −−= hipérbole de centro (1,0) 1²y)²1x( =−− Portanto, o gráfico desta hipérbole seria:
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Mas, de acordo com a restrição feita no início da questão, . Logo, o gráfico será: 0y ≥
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Lista 1
Questão 40)
⎩⎨⎧
>−<≤≤−−+
=5xou5xse4
5x5se²x254)x(g
Como g(x)=4 se x<-5 ou x>5, começaremos esboçando a parte do gráfico com . [ ]5,5x −∈
Fazendo ²x25)x(h −= , teremos que )x(h4)x(g += se [ ]5,5x −∈ . Portanto, para esboçar o gráfico de g(x) para todo [ 5,5x − ]∈ , basta transladar o gráfico de h(x) em 4 unidades na vertical para cima. Esboçando o gráfico de h(x):
[ ]{ }
)x(domhx0y,²x25y
5,5x,x)x(domh,²x25)x(h
∈∀≥−=
−∈=−=
Elevando ambos os membros ao quadrado:
²5²y²x
²x25²y
=+
−=
( )( )
⎩⎨⎧
<−>
=
⎩⎨⎧
<<−−≥≤−
=−
0xsex50xsex5
x5
5x0sex5²x5xou0xsex5²x
x5²x
Como , o gráfico de h(x) será a semi-circunferência: 0y ≥
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Transladando o gráfico de h(x) em 4 unidades na vertical para cima e adicionando o pedaço do gráfico nos intervalos x<-5 e x>5 teremos o gráfico de g(x).
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Lista 1
Questão 43)
1x
3x4²x)x(f
−
+−=
Achando as raízes do numerador e analisando os sinais desta função:
⎩⎨⎧
==
⇒±−
=
±−=
=∆−=∆−=∆
=+−
1x3x
224x
1.244x
41216
1.3.41603x4²x
Esboço do gráfico de para analisar seus sinais: 3x4²x +−
03x4²x3xou1x ≥+−⇒≥≤
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03x4²x3x1 <+−⇒<<
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x<1 x=1 1<x<3 x=3 x>3
A= 3x4²x +− 3x4²x +− 0 ( )3x4²x +−− 0 3x4²x +−
B=(x-1) x-1 0 x-1 2 x-1
BA x-3 ∃ -(x-3) 0 (x-3)
Logo, o gráfico será:
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Lista 2
Questão 3)
e ⎩⎨⎧
≥<−
=0x²,x0x,x
)x(f⎩⎨⎧
≥
<=
0x,x
0x),x1(g(x)
a) ))x(g(f)x)(fog( =
* Se x<0
x1g(x) =
Portanto )x1(f))x(g(f = Mas, como x<0, 0x
1 < . Assim, usaremos -x f(x) =
Então:
x1)x)(fog()x1(f −
==
* Se 0x ≥
x)x(g = Portanto:
)x(f))x(g(f =
Porém 0x0x ≥∀≥ Assim, usaremos: ²xf(x) = Logo, x)²x()x(f == Portanto:
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⎩⎨⎧
≥<−
=0xsex0xsex1
)x)(fog(
b) ))x(f(g)x)(gof( =
* Se 0x ≥
²)x(g))x(f(g²x)x(f=
=
Como , usaremos 0x0²x ≥∀≥ x)x(g = Portanto:
x²x²)x(g ==
Como xx,0x =≥ Logo, , x)x)(gof( = 0xse ≥ * Se x<0
)x(g))x(f(gx)x(f
−=−=
Como x<0, -x>0. Usaremos, então, g(x)= x . Portanto: x)x(g −=− Logo:
⎩⎨⎧
≥<−
=0xsex0xsex)x)(gof(
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Lista 3
Questão 1) Comentário inicial: Dizer que x tende a pela esquerda( ) não significa fisicamente ou visualmente pela esquerda, mas por números menores que
0x −→ 0xx
0x . Dizer que x tende a pela direita( ) não significa fisicamente ou visualmente pela direita, mas por números maiores que
0x +→ 0xx
0x . Feito este comentário podemos iniciar a questão: g(x).h(x)f(x) = )x(hlim).x(glim)x(flim
1x1x1x +++ →→→=
Observando no gráfico: )2.(3)x(flim
1x−=
+→
6)x(flim
1x−=
+→
Calculando agora: )x(hlim).x(glim)x(flim
1x1x1x −−− →→→=
Observando nos gráficos de g(x) e h(x): 4.1)x(flim
1x=
−→
4)x(flim
1x=
−→
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))x(g(h)x(f)x)(hog()x(f
==
Calculando ))x(g(hlim
1x +→
Quando , a função , pois tende a 3 por valores maiores que 3. +→1x +→ 3)x(g Então, podemos dizer que: ))x(g(hlim))x(g(hlim
3)x(g1x ++ →→=
Para saber quanto vale este limite, devemos olhar no gráfico qual o limite da função h quando a variável a qual h está sendo aplicada tende para . Logo: +3 0)x(hlim))x(g(hlim
3x3)x(g==
++ →→
Portanto:
0)x)(hog(lim1x
=+→
Calculando ))x(g(hlim
1x −→
Quando , pois tende a 1 por valores maiores que 1. +− →→ 1)x(g,1x Logo, 2)x(hlim))x(g(hlim))x(g(hlim
1x1)x(g1x−===
++− →→→
Portanto:
2)x)(hog(lim1x
−=−→
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Lista 4
Questão 6)
5)1²()10)...(2)(1(lim
++++
∞→ xxxx
x
O numerador possui 10 fatores e todos eles possuem o termo x. Quando efetuarmos o produto, o termo de maior grau será . 10x O denominador terá o termo de maior grau, após efetuar a potenciação, . 10x Colocando em evidência no numerador e no denominador teremos: 10x
)1()1(lim
)1()1(lim 10
10
ba
bxax
xx ++
=++
∞→∞→
Onde a e b representam uma soma de n termos nos quais todos apresentam uma constante dividida por alguma potência inteira positiva de x. Quando ∞→x , a e b tendem para zero. Portanto,
1)1()1(lim =
++
∞→ ba
x
Logo,
1)1²(
)10)...(2)(1(lim 5 =+
+++∞→ x
xxxx
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Lista 4
Questão 24)
)x6tan()x4tan()x2tan(
)x5(sen)x3(sen)x(senlim0x→
Preparando a função para usarmos o limite trigonométrico fundamental 1x
senxlim0x
=→
e
lembrando que podemos usar uma mudança de variável para fazer 1)x(g
))x(g(senlim0xx
=→
, onde
. 0)x(glim0xx
=→
)x6tan()x4tan()x2tan(
x5.x3.xx5.x3.x
)x5(sen)x3(sen)x(senlimx5.x3.xx5.x3.x
)x6tan()x4tan()x2tan()x5(sen)x3(sen)x(senlim
0x0x →→=
Usando a propriedade de limite que diz que o limite de um produto é igual ao produtos dos limites temos:
=→→→→ )x6tan()x4tan()x2tan(
x5.x3.xlim.x5
)x5(senlim.x3
)x3(senlim.x
)x(senlim0x0x0x0x
x5.x3.xx5.x3.x
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)x6cos()x4cos()x2cos(11lim.
)x6(sen)x4(sen)x2(senx5.x3.xlim
)x6cos()x4cos()x2cos(11
)x6(sen)x4(sen)x2(senx5.x3.xlim
)x6cos()x6(sen
)x4cos()x4(sen
)x2cos()x2(sen
x5.x3.xlim
)x6tan()x4tan()x2tan(lim
)x6tan()x4tan()x2tan(lim.1.1.1
0x0x
0x0x
0x0x
→→
→→
→→
=
==
===
1
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Pois, quando . ⎪⎩
⎪⎨
⎧
→→→
→1)x6cos(1)x4cos(1)x2cos(
,0x
Preparando novamente para usar o limite trigonométrico fundamental 1x
senxlim0x
=→
:
.165
4815
6.4.25.3.1
)6.4.2³(x)5.3.1³(xlim
x6.x4.x2x5.x3.xlim.
x6.x4.x2)x6(sen)x4(sen)x2(sen
1lim
x6.x4.x2x6.x4.x2).x6(sen)x4(sen)x2(sen
x5.x3.xlim
0x
0x0x0x
===
==
→
→→→
1
Logo,
165
)x6cos()x4cos()x2cos()x5(sen)x3(en)x(senlim
0x=
→
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Lista 5
Questão 8)
00
8x26xlim 3
3
2x→
++−
−→ (indeterminado)
Lembrando que ²)bab²a)(ba(³b³a +−+=+ , podemos fazer 3 6xa −= e . Assim
podemos usar o produto notável para obter
2b =³2)³6x(3 +− e “sumir” com a raiz cúbica. Fazendo
isso:
²)26x.2)³6x((1
)8x(2xlim
²)26x.2)³6x((1
)8³x(86xlim
²)26x.2)³6x((1
)8³x(³2)³6x(lim
²)26x.2)³6x((²)26x.2)³6x((
8x26xlim
332x332x
33
3
2x33
33
3
3
2x
=
→
+−−−++
=+−−−+
+−
=+−−−+
+−=
+−−−+−−−
++−
−→−→
−→−
Podemos observar que x³ e 8 são cubos perfeitos. Então, como temos uma soma de dois cubos, podemos usar o mesmo produto notável para fatorar )8³x( + em )4x2²x)(2x( +−+ . Note
que, fazendo isto, apareceu um fator no denominador, que pode ser cancelado com o que está no numerador. Desta forma estaremos cancelando do numerador e do denominador fatores que os anulam e assim, provavelmente, desfazendo a indeterminação.
)2x( +
Portanto:
⇒=++++
=+−−−−−−+−−−
=
=+−−−+−+
+=
+−−−++
−→−→
121
121
)444(1
)444(1
)462.2)²62((1
)²)2()2(2)²2((1
²)26x.2)³6x((1
)4x2²x)(2x(2xlim
²)26x.2)³6x((1
)8x(2xlim
33
332x332x
1441
8x26xlim 3
3
2x=
++−
⇒−→
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Lista 8
Questão 3) V Volume do cilindro Pela fórmula de aproximação linear temos: x).x(ff 0 ∆′=∆ Para o problema da questão: h).h(VV 0 ∆′=∆ Considerando o módulo de ambos os membros
h.)(hVV 0 ∆′=∆ ( I ) O volume do cilindro é dado por: h².r.V π= , mas h = r Portanto, ³h.V π= Derivando em relação a h: ²h..3)h(V π=′ Substituindo na expressão ( I ): )h(V′
h%.31h
h301,0h
²h..3³h..01,0h
³h..01,0h².h..3
V.01,0h.)(hV
V.01,0V
0
≤∆
≤∆
≤∆
≤∆
≤∆′
≤∆
ππ
ππ
Logo, o erro máximo em h é h%.31
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Lista 9
Questão 13) volume de água no reservatório →V altura de água no reservatório →h →r raio da base do cilindro formado pela água no reservatório
Temos que 3
h².r.V π= e que s
³m1.0dtdV
= .
Devemos derivar a função V em t para que possamos achar dtdh , que é a velocidade com a qual
o nível da água sobe no reservatório. Porém, o volume é função do raio e da altura e, para
conseguirmos achar dtdh , precisamos achar uma relação entre r e h.
Esta relação pode ser obtida na seguinte forma:
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
L
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Portanto:
3r.2r
15h.10r
15h
10r
=⇒=⇒=
Substituindo r na função V:
³h.274Vh
9²h.4
3Vh.)²3h2.(
3V πππ
=⇒=⇒=
Derivando os dois membros da equação acima em t:
dtdh
9²h.4
dtdV π
=
Substituindo os valores de dtdV e h dados no enunciado:
dtdh².5.
941.0 π
=
ogo:
sm
.1009.0
dtdh
π=
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Lista 9
Questão 14)
x → distância entre o ponto da praia que dista 3km do farol e o ponto em que o raio “toca” na praia
Lembrando que em toda fórmula trigonométrica o ângulo é medido em radianos, podemos fazer:
minrad16
minrad2.8rpm8 ππ ==
Por tanto, a velocidade angular )dtd( θ é minrad16π .
O problema que saber a velocidade do raio de luz ao longo da praia, ou seja, )dtdx( . Para isso, precisamos de uma relação entre x e uma outra grandeza sobre a qual tenhamos dados. Esta outra grandeza é θ e a relação é:
3xtan =θ
Derivando ambos os membros em t:
)I(dtd.²sec.3
dtdx
dtdx
31
dtd.²sec θθθθ =⇒=
Quando º45,º45 == θα . Logo, 2sec =θ . Substituindo θsec e dtdθ em (I):
dtdx16)².2.(3 =π
Portanto,
minkm96
dtdx π=
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Lista 12
Questão 10)
)xexp()x(f
e)x(fx
xx
=
=
Aplicando ln aos dois membros: ))xln(exp())x(fln( x= Como ln e exp são funções inversas, . Portanto: xx x))xln(exp( = xx))x(fln( = Para que não tenhamos uma função de x elevada a outra na hora de derivar, vamos aplicar, novamente, ln aos dois membros e usar a propriedade . aln.baln b =
x.lnx))ln(ln(f(x)lnx))ln(ln(f(x) x
==
Derivando os dois membros e x:
)xln1).(x(f)).x(fln()x(f
xln1)x(f)x(f
1))x(fln(
1
x1.x1).x(ln)x(f
)x(f1
))x(fln(1
+=′
+=′
+=′
Substituindo f(x) pelo que tínhamos inicialmente : )e)x(f(xx=
)xln1.(e).e(lx)x(fxx xx +=′
Lembrando que ln e exp são funções inversas:
)1.(lne.x)x(fxxx +=′
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Lista 13
Questão 7) x
x)xarctan)2((lim π
+∞→
Quando
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→
→→
∞→∞+1)xarctan)2((
1xarctan)2(2xarctan
xxπ
ππ
Portanto, há uma indeterminação. Para resolver este problema, vamos aplicar exp(ln) à função, lembrando que ln e exp são funções inversas e, por isso, exp(ln(f(x))=f(x).
L)xarctan)2ln((.xlim
)xarctan)2ln((.x
x
)xarctan)2ln((
x
x
x
ee
elimelim)xarctan)2((lim
x
x
==
===
+∞→
+∞→+∞→+∞→
π
πππ
0.)xarctan).2ln((.xlimL
x∞→=
+∞→π
Passando o inverso de x para o denominador, a expressão continua a mesma e torna-se possível usar a Regra de L’Hôpital, pois estaremos no caso 00 .
xarctan).²x11(1lim
xarctan).²x11²(x²xlim
xarctan²).x1(²xlim
²x1
²)x1()2(
xarctan).2(1
lim)xarctan).2ln((.xlimL
xx
xx
.L.R
x
+−
=+
−=
=+
−=
−+
⎯⎯→⎯=
+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→
πππ
Quando ⎩⎨⎧
→→
+∞→0²x1
)2(xarctanx
π.
Portanto,
L221
xarctan).²x11(1lim
x=
−=
−=
+−
+∞→ ππ
ππ2x
x
L e)xarctan)2((lime−
+∞→==
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Lista 16
Questão 6)
O cone inscrito à esfera pode ser obtido girando a figura ao lado em torno do diâmetro vertical da circunferência.
r raio da circunferência → a apótema do triângulo inscrito à circunferência d raio r →
R raio da base do cone → h altura do cone →
Pelo Teorema de Pitágoras: Pela figura:
²R²ra
²R²r²a²r²R²a
−=
−==+
²R²rrh
arh
−+=
+=
O volume do cone é dado por:
3
h².r.V π=
Substituindo h pela expressão encontrada teremos V em função, apenas, de r. Fazendo assim:
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)²R²r²R²rR(
3)R(V
)²R²rr².(R3
)R(V
−+=
−+=
π
π
Derivando os dois membros em R:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−+=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+−+=′
²R²r³R²R²rR2rR2
3)R(V
²R²r.2)R2.(1².R)R2.(²R²rR.r.2
3)R(V
π
π
Calculando o MMC e igualando os denominadores:
( )²R3²r2²R²rr2²R²r3
R.)R(V
²R²r³R3²Rr2²R²rrR2
3)R(V
²R²r³R³R2²Rr2²R²rrR2
3)R(V
²R²r³R²)R²r(R2²R²rrR2
3)R(V
−+−−
=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+−
=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−+−
=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−+−
=′
π
π
π
π
Raízes do numerador:
ou 0R = 0²R3²r2²R²rr2 =−+− Achando as raízes da segunda equação:
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( )
( )
²r4r4²R²r12R9²R²r
²r2²²r2²R3²R²r
r2²r2²R3²R²r
²r2²R3²R²rr2
44 +−=−
−=−
−=−
−=−
( )
0²)r8²R9²(R
0²R²r8R9
r4²R²r12R9²R²r4r4
r4²R²r12R9²R²r²r4
4
444
44
=−
=−
+−=−
+−=−
Como R tem que ser diferente de zero para que o cone exista:
32r2R
9²r8R
9²r8²R
²r8²R9
0²r8²R9
=
=
=
=
=−
Analisando : )R(V′
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0R
rR0²R²r3
>
<∀>−π
Logo, basta analisar o sinal de ( )²R3²r2²R²rr2 −+− . Chamando esta expressão de A e analisando seu sinal:
Se 3
2r2R0 << , A>0
Se 32r2R > , A<0
Portanto, o volume máximo ocorre para 3
2r2R = .
Calculando o volume máximo:
( )
3r4
9²r8.
3V
3rr
9²r8.
3V
9²rr
9²r8.
3V
)9²r8(²rr9
²r8.3
V
h².R3
V
π
π
π
π
π
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−+=
=
81³r..32V π
=
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Lista 18 (Cálculo I-A)
Lista 17 (Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I e Cálculo Aplicado I) Questão 21) (Cálculo I-A) Questão 30) (Cálculo Dif. e Int. Aplicado I e Cálculo Aplicado I) Sabe-se que f´( ) é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto . 0x )y,x( 00
Então, de acordo com o enunciado, temos os seguintes dados ( )1,2),( 00 =yx :
⎩⎨⎧
=′=
3)2(1)2(
ff
Foi dado também: 66)( −=′′ xxfComo :
dxxfxf ∫ ′′=′ )()(Temos que:
1
1
6²3)(
62
²6)(
66)(
Cxxxf
Cxxxf
dxxxf
+−=′
+−=′
−=′ ∫
De acordo com o enunciado , então: 3)2( =′f
3C
3C1212
3C2.64.3)2(f
1
1
1
=
=+−
=+−=′
Logo: 36²3)( +−=′ xxxf
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Para determinar f(x) sabemos que:
2
2
Cx3²x3³x)x(f
Cx32
²x63
³x3)x(f
dx)3x6²x3()x(f
dx)x(f)x(f
++−=
++−=
+−=
′=
∫
∫
Porém, . Então: 1)2(f =
1C
1C6128
1C2.3²2.3³2)2(f
2
2
2
−=
=++−
=++−=
Logo:
1x3²x3³x)x(f −+−=