Résolution d’une équation du 2ème degréax² + bx + c = 0

I – Rappel : résolution d’une équation du 1er degré

• Résoudre 3x - 1 =15• ……………………………………………………………………..• ……………………………………………………………………..• ……………………………………………………………………..• …………………………………………………………………….• ……………………………………………………………………..

II –résolution d’une équation du 2ème degré : ax² + bx + c = 0(méthode graphique)

• 3 équations à résoudre :• A l’aide des graphiques ci-contre, résoudre

les équations suivantes :

• 1) x² - 4x + 3 = 0(points d’intersection de y=x²-4x+3 et de y=0)• 2) x² - 2x + 1 = 0(points d’intersection de y=……………. et de y=0)

• 3) x² - x + 2 = 0(points d’intersection de y=……….. et de y=0)

Equations : Nombre de solutions

Solutions :

1) x² - 4x + 3 = 0

2) x² - 2x + 1 = 0

3) x² - x + 2 = 0

II –résolution d’une équation du 2ème degré : ax² + bx + c = 0(méthode par calcul)

Equations : a b c = b² - 4ac Signe de Solution(s)

x² - 4x + 3 = 0

x² - 2x + 1 = 0

x² - x + 2 = 0

Suivre le protocole suivant :1) Détermination de a, b et c2) Calcul de = b² - 4ac3) 3 cas se présentent :

Si > 0 alors 2 solutions : …………………. et ………………………………..

Si = 0 alors 1 solution : …………………..

Si < 0 alors 0 solution

2ème degré - exercices

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

Exercice 1 : Soit la fonction f(x) = x² +x – 61) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous

2) A partir du tableau de valeur, en déduire pour quelles valeurs de x, avons-nous f(x) = 0

f(x) = 0 pour x = ……. ou pour x = …………

3) Résoudre par calcul (on dit résoudre algébriquement) l’équation x² +x – 6 = 0

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

Exercice 2 : Soit la fonction f(x) = x² + 2x – 41) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous

2) A partir du tableau de valeur, pouvez-vous déterminer les valeurs de x telles que f(x) = 0 ?

3) Que proposez-vous pour déterminer ces valeurs.

4) Résoudre par calcul (on dit résoudre algébriquement) l’équation x² + 2x – 4 = 0

Exercice 2 : Soit la fonction f(x) = x² + 2x – 41) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x) 11 4 -1 -4 -5 -4 -1 4 11 20 31

1ère solution : Pour x compris entre -4 et -3, nous avons f(x) = 0

2ème solution : Pour x compris entre 1 et 2, nous avons f(x) = 0

x -4 -3.9 -3.8 -3.7 -3.6 -3.5 -3.4 -3.3 -3.2 -3.1 -3

f(x) 4 3.41 2.84 2.29 1.76 1.25 0.76 0.29 -0.16 -0.59 -1

1ère solution : Pour x compris entre -3,3 et -3,2 , nous avons f(x) = 0

x -3.3 -3.29 -3.28 -3.27 -3.26 -3.25 -3.24 -3.23 -3.22 -3.21 -3.2

f(x) 0.29 0.2441 0.1984 0.1529 0.1076 0.0625 0.0176 -0.0271 -0.0716 -0.1159 -0.16

1ère solution : Pour x compris entre -3,24 et -3,23, nous avons f(x) = 0

Exercice 2 : Soit la fonction f(x) = x² + 2x – 41) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x) 11 4 -1 -4 -5 -4 -1 4 11 20 31

1ère solution : Pour x compris entre -4 et -3, nous avons f(x) = 0

2ème solution : Pour x compris entre 1 et 2, nous avons f(x) = 0

2ème solution : Pour x compris entre 1,2 et 1,3 , nous avons f(x) = 0

2ème solution : Pour x compris entre 1,23 et 1,24, nous avons f(x) = 0

x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

f(x) -1 -0.59 -0.16 0.29 0.76 1.25 1.76 2.29 2.84 3.41 4

x 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30

f(x) -0.16 -0.1159 -0.0716 -0.0271 0.0176 0.0625 0.1076 0.1529 0.1984 0.2441 0.29

Exercice 2 : Soit la fonction f(x) = x² + 2x – 41) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x) 11 4 -1 -4 -5 -4 -1 4 11 20 31

1ère solution : x1 = -3,23 2ème solution : x2 = 1,23

f(x) = 0Soit x² + 2x – 4 = 0 pour

4) Résoudre par calcul (on dit résoudre algébriquement) l’équation x² + 2x – 4 = 0

Etape 1 : identifier a, b et ca = 1 b = 2 c = -4

Etape 2 : Calculer = b² - 4acD = 2² -4x1x(-4) = 20 > 0 donc 2 solutions

Etape 3 : Les solutions

236.112

202

22

a

bx...236,3

12

202

21

a

bx

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

Exercice 3 : Soit la fonction f(x) = x² -5x +11) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous

2) A partir du tableau de valeur, pouvez-vous déterminer les valeurs de x telles que f(x) = 0 ?

3) Que proposez-vous pour déterminer ces valeurs.

4) Résoudre par calcul l’équation x² - 5x + 1 = 0

Exercice 4 : la courbe représentative de la fonction f(x) = -0,5x² +50x – 450 est représentée ci-dessous.En utilisant le graphique, déterminer les éventuelles solutions (0, 1 ou 2 solutions pour) :f(x) = 0 x1 = ………… x2 = …………………f(x) = 600 x1 = ………… x2 = …………………f(x) = 800 x1 = ………… x2 = …………………f(x) = 1000 x1 = ………… x2 = …………………

Pour a), b), c) et d) Retrouver les solutions de la question précédente par le calculpour a), il faut déterminer les solutions x telles que :-0,5x² +50x – 450 = 0 pour b), il faut déterminer les solutions x telles que :-0,5x² +50x – 450 = 600 pour c), il faut déterminer les solutions x telles que :-0,5x² +50x – 450 = ………. pour d), il faut déterminer les solutions x telles que :-0,5x² +50x – 450 = ……….

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Exercice 5 : Soit la fonction f(x) = x² -2x -4

1)On considère l’équation : x²-2x-4 = 0a)la résoudre graphiquementb)la résoudre par le calcul. On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs arrondies au centième des solutions.c)En utilisant le graphique, donner le nombre de solutions de chacune des équations suivantes :f(x)=-3 ; f(x) = -5 ; f(x) = -62)Retrouver par le calcul les résultats de la question précédente.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3 4