resolver triÁngulos usando leyes de seno y coseno
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Curso: Funciones y Modelos. UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS G.FG.11.5.1 Esta presentación utiliza las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos oblicuángulos (no rectángulos).TRANSCRIPT
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RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS USANDO
LAS LEYES DE SENO Y COSENO
UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS
G.FG.11.5.1J. Pomales Marzo 2010
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Introducción• No todos los triángulos
poseen un ángulo recto (90º)
• Aquellos triángulos que no poseen un ángulo recto se les llama:
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
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EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS• Your subtopic goes here
Ninguno de ellos posee ángulos rectos
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¿Qué es resolver triángulos?
• Calcular la medida de todos sus lados y ángulos.
• Anteriormente utilizamos SOHCAHTOA cuando eran triángulos rectángulos.
• Ahora utilizaremos la ley de senos y cosenos para resolver cualquier tipo de triángulos.
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LEY DE LOS SENOS
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¿Qué establece la ley de los senos?• En cualquier triángulo la
relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
• Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemosángulo-lado-ángulo (ALA)
ángulo-ángulo-lado (AAL)
lado-lado-ángulo (LLA)
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¿Qué establece la ley de los senos?• En cualquier triángulo la
relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
c
Csen
b
Bsen
a
Asen
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
Esta ley se puede utilizar de esta forma y ofrece el mismo resultado final
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• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:
54
126180
)7254(180
A
A
AEstrategia de solución
Primero buscamos el tercer ángulo (el que falta)
Luego los otros lados utilizando la ley de los senos.
Cuidado: No siempre el ángulo que falta será igual a uno de los que aparezca en el triángulo
Ejemplo 1 para ALA
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• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:
x
xsen
sen
senxsensen
x
sen
Csen
c
Asen
a
63.17
)54(
)72(15
)54()72(157254
15
=54º
Ejemplo 1 para ALA
Estrategia de solución
Ahora calculamos los otros lados utilizando la ley de los senos.
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• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:
y
ysen
sen
senysensen
y
sen
Bsen
b
Asen
a
15
)54 (
)54 (15
)54 ()54 (1554 54
15
=54ºx ≈
17.63 m
Ejemplo 1 para ALA
Estrategia de solución
Ahora calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.
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• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:
Una vez tengas todas las medidas de los lados y ángulos el problema terminó.
Para el caso AAL se puede trabajar de forma similar a ALA.
=54ºx ≈
17.63 m
y = 15 m
Ejemplo 1 para ALA
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• Resuelve el triángulo de la derecha:
24
47
)123 (23
47
)123 (23
) (47)123 (23
123
47
23
1 sensen
sensen
sensen
sensen
sen
a
sen
b
Estrategia de solución
Primero buscamos el ángulo β con la ley de senos
Segundo, buscamos el tercer ángulo que falta.
Finalmente, calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.
Ejemplo 2 para LLA
47 cm23 cm
c
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• Resuelve el triángulo de la derecha:
ccm
csen
sen
sencsensen
c
sen
sen
c
sen
a
31123
)33 (47
)123 ()33 (4733 123
47
Estrategia de solución
Segundo, buscamos el tercer ángulo que falta.
Ejemplo 2 para LLA
47 cm23 cm
33
147180
)12324(180
180
Por último, buscamos el lado que falta por la ley de senos.
c
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Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?
125
m
Estrategia de solución:
Como nos dan la medida de un lado
deberíamos conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de senos
y encontrar d.
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Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?
125
m
1.14
9.165180
)3.1246.41(180
)(180
C
C
C
BAC
Ahora usamos la ley de senos para
encontrar d
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Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?
125
m
d
dsen
sen
sendsensen
d
sen
Asen
a
Csen
c
66.3401.14
)6.41(125
)1.14()6.41(1256.411.14
125
El largo del lago es aproximadamente 340.66 m.
14.1º
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LEY DE LOS
COSENOS
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¿Qué establece la ley de los cosenos?• Cuando no se tiene entre
los datos un par de elementos opuestos la ley de senos no es suficiente.
• Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos
lado-ángulo-lado (LAL)
lado-lado-lado (LLL)
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¿Qué establece la ley de los cosenos?
Cabbac
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
Estas tres ecuaciones plantean en esencia lo mismo.
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Estrategia para resolver casos LAL con ley de cosenos
Paso Encuentre Método
1 El lado opuesto al ángulo dado
Ley de cosenos
2 Segundo ángulo (Encuentre el ángulo opuesto al más corto de los dos lados dados; siempre será agudo)
Ley de senos
3 Tercer ángulo 180 menos la suma de los otros 2 ángulos
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• Resuelve el triángulo de la derecha
Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para despejar b.
Ejemplo 4 para LAL
cmb
b
Baccab
Baccab
96.5
4.32cos)45.6)(3.10(2)45.6()3.10(
cos2
cos2
22
22
222
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• Resuelve el triángulo de la derecha
Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar .Puesto que el lado c es más corto que el lado a, debe ser agudo.
Ejemplo 4 para LAL
44.35
96.5
)4.32(45.6
)(
)()(
1
sensen
b
sencsen
sencsenb
sen
b
sen
c
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• Resuelve el triángulo de la derecha
Paso 3: Calcular el tercer ángulo
Ejemplo 4 para LAL
16.112
)44.354.32(180
)(180
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Estrategia para resolver casos LLL con ley de cosenosPaso Encuentre Método
1 El ángulo opuesto al lado más largo (hay que tener cuidado si el ángulo es obtuso)
Ley de cosenos
2 De los ángulos restantes, cuál será agudo (¿Por qué?)
Ley de senos
3 Tercer ángulo 180 menos la suma de los otros 2 ángulos
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• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para encontrar el ángulo , que está opuesto al lado más largo.
Ejemplo 5 para LLL
49.100
)8.17)(3.27(2
)8.17()3.27()2.35(cos
cos2
cos2
cos2
2221
222
222
222
ab
bac
abbac
abbac
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• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar el ángulo α o β.Calculemos α.
Ejemplo 5 para LLL
69.49
2.35
)49100(3.27
)(
)()(
1
.sen sen
c
senasen
senasencsen
c
sen
a
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• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 3: Calcular el tercer ángulo, β.
Ejemplo 5 para LLL
82.29
)69.4949.100(180
)(180
![Page 28: RESOLVER TRIÁNGULOS USANDO LEYES DE SENO Y COSENO](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012305/5571f3e549795947648ebb63/html5/thumbnails/28.jpg)
EJERCICIO
S DE
PRÁCTICA
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Resuelva cada triángulo1) α = 73º β = 28º c = 42 pies
2) α = 122º = 18º b = 12 km
3) β = 112º = 19º c = 23 yds
4) α = 52º = 47º a = 13 cm
5) Dos faros, A y B (con 10 millas de separación), se colocan en una costa para vigilar barcos ilegales que traspasen el límite de 3 millas. Si el faro A reporta un barco S en el ángulo BAS = 37º y el faro B reporta el mismo barco en el ángulo ABS = 20º. ¿A qué distancia está el barco del faro A? ¿A qué distancia está de la costa? (Suponga que la costa está a lo largo de la línea que une a los faros.)
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Resuelva cada triángulo
6) α = 72.1º b = 5.32 yds c = 5.03 yds
7) = 120º a = 5.73 mm b = 10.2 mm
8) β = 104.5º a = 17.2 pulg c = 11.7 pulg
9) α = 57.2º = 112º c = 24.8 m
10) β = 38.4º a = 11.5 pulg b = 14 pulg
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Referencia• PRECÁLCULO,
FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
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