respuesta forzada a una seÑal compleja

3.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-1]

RESPUESTA FORZADA A UNA SEÑAL COMPLEJA

• Señal exponencial compleja → ( ) stx t e s j= → = σ+ ω

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t st s sty t h x t d h e d e h e d H s e∞ ∞ ∞

−τ − τ

−∞ −∞ −∞

= τ − τ τ = τ τ= τ τ =∫ ∫ ∫

• H(s) → función de transferencia del sistema LIT → evaluar RF

( ) ( ) stH s h t e dt∞

−

−∞

≡ ∫

• Respuesta permanente senoidal → ( )s j H j= ω → ω → TFTC

TRANSFORMADA BILATERAL

• Sistemas no causales → existen para todo valor de t

{ }( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt s RC∞

−

−∞

= ≡ → ∈∫L

• Variable de Laplace → s = σ + j ω

• Región de convergencia → valores que garantizan existencia de F(s)

• Transformada inversa → integral de inversión

{ }1

1

1( ) ( ) ( )j

st

j

f t F s F s e dsσ + ∞

−

σ − ∞

= ≡ ∫L

• Notación simbólica → f(t) ↔ F(s)

TRANSFORMADA UNILATERAL

• Sistemas causales → solo existen para t ≥ 0

0

( ) ( ) stF s f t e dt s RC+

∞−≡ → ∈∫

límite inferior → 0+ → posible discontinuidad de f(t) en t = 0

• Discontinuidad en t=t0 → integral inversión → 0 00

( ) ( )( )

2

f t f tf t

− ++=

3.2EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


TRANSFORMADA DE SEÑALES ELEMENTALES

• Señal impulso unitario → x(t) = δ(t)

( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1,stX s t e dt t dt t s∞ ∞

−

−∞ −∞

= δ = δ = δ ↔ ∀∫ ∫

• Señal escalón unitario → x(t) = u(t)

0

0

1 1 1( ) ( ) ( ) , { } 0st st stX s u t e dt e dt e u t s

s s s+

∞ ∞∞− − −

−∞

= = = − = ↔ >∫ ∫ Re

• Señal rampa unitaria → x(t) = r(t) = tu(t)

2 2 20 0

1 1( ) ( ) ( 1) ( ) , { } 0

stst st e

X s tu t e dt te dt st r t ss s s+

∞∞ ∞ −− −

−∞

= = = − − = ↔ >∫ ∫ Re

• Señal exponencial causal → ( ) ( )atx t e u t−= → a complejo o real

( )

0

1 1( ) ( ) , { } 0at st s a t atX s e u t e dt e dt e s a

s a s a+

∞ ∞− − − + −

−∞

= = = ↔ + >+ +∫ ∫ Re

• Señal senoidal causal → x(t) = sen(ω0 t) u(t)

0 0

0 002 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1( ) ( ) ( )

2 2

1 1 1 1( ) ( ) , { } 0

2 2

j t j t atx t e u t e u t ej j s a

X s sen t sj s j j s j s s

ω − ω −= − → ↔+

ω ω= − = ω ↔ >

− ω + ω +ω +ωRe

SEÑALES CAUSALES, ANTICAUSALES Y NO CAUSALES

• Señales causales → TUL ≡ TBL

• RC → establece diferencia entre causalidad

• Señal no causal = señal causal + señal anticausal

EJEMPLO 3.1: Transformada de Laplace de señal causal, anticausal y no causal. RC



REGIÓN DE CONVERGENCIA

• Factor de convergencia de la TL: te−σ

( ) ( ) t j tX s x t e e dt∞

−σ − ω

−∞

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫

• Función de orden exponencial α → ( ) t

tx t e M−α

→∞<

• Condiciones suficientes para existencia de la TLU

0 < t < T → x(t) absolutamente integrable 0

( )T

x t dt→ <∞∫

t > T → x(t) → orden exponencial α → ( ) tx t e M−α <

Integral de TL converge absoluta y uniformemente → Re{s}>α

• Diferencia en TL de señales causales y anticausales:

- cambio de signo → ( ) ( )A CX s X s= − ← ejemplo 3.1

- RC identifica tipo de causalidad → describe completamente la TL

• Forma general de la RC:

σ1

j ω

σ

Causal

σ1

j ω

σ

Anticausal

σ2

j ω

σ

No causal

σ1

t1

x(t)

t

T



TABLA DE PARES DE TRANSFORMADAS Tabla 3.1 – Pares de transformadas fundamentales

No. ( ), 0x t t > ( )X s RC T1 ( )tδ 1 ∀s

T2 ( )u t 1s

{ } 0s >Re

T3 t 2

1s

{ } 0s >Re

T4 nt 1

!n

ns + { } 0s >Re

T5 ate− 1

s a+ { }s a> −Re

T6 0( )sen tω 02 2

0sω+ω

{ } 0s >Re

T7 0( )cos tω 2 20

ss +ω

{ } 0s >Re

T8 0( )ate sen t− ω 02 2

0( )s aω

+ +ω { }s a> −Re

T9 0( )ate cos t− ω 2 20( )

s as a

++ +ω

{ }s a> −Re

MATEMÁTICA SIMBÓLICA DE MATLAB PARA TL

• Señales causales

• Declarar variables simbólicas → syms t s

• Funciones especiales internas

- señal escalón unitario u(t) → ut = sym('Heaviside(t)')

- señal impulso unitario δ(t) → dt = sym('Dirac(t)')

• Evaluar transformada de Laplace → Xs = laplace(xt)

• Simplificar y mejorar presentación simplify(Xs), simple(Xs), factor(Xs), pretty(Xs)



EJEMPLO 3.2: TL usando matemática simbólica. Verificar T2, T5, T6 y T9.

EDU» ut=sym('Heaviside(t)'); EDU» Us=laplace(ut) Us = 1/s

EDU» syms a t wo EDU» x1t=exp(-a*t); EDU» X1s=laplace(x1t) X1s = 1/(s+a) EDU» pretty(X1s) 1 ----- s + a

EDU» x2t=sin(wo*t); EDU» X2s=laplace(x2t) X2s = wo/(s^2+wo^2)

EDU» pretty(X2s) wo -------- 2 2 s + wo

EDU» x3t=exp(-a*t)*cos(wo*t); EDU» X3s=laplace(x3t) X3s = (s+a)/((s+a)^2+wo^2)

EDU» pretty(X3s)

s + a -------------- 2 2 (s + a) + wo

Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.2.1 a 5.2.3 y 5.3.1

Resolver problemas 5.1 y 5.2

3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL


PROPÓSITO → facilitar evaluación de X(s) → señales complejas

P1: Linealidad

a. Producto por una constante ( ) ( ) ( ) ( )y t K x t Y s K X s RCy RCx= → = → =

b. Combinación lineal

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t a x t a x t Y s a X s a X s RCy RCx RCx= + → = + → = ∩

P2: Desplazamiento real → 0 0( ) ( ) ( )y t x t t u t t= − −

00 0 0 0

0 00

0,( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ),st t t

Y s x t t u t t e dt x t t u t tx t t t t+

∞− <⎧

= − − → − − = ⎨ − >⎩∫

0

0 0 0( ) ( ) , , 0st

t

Y s x t t e dt t t dt d t t+

∞−= − → − = τ = τ = → τ =∫

0 0 0( )

0 0

( ) ( ) ( ) ( )s t st stY s x e dt e x e dt e X s∞ ∞

− +τ − −τ −= τ = τ =∫ ∫

00 0( ) ( ) ( )stx t t u t t e X s RCy RCx−− − ↔ → =

Cuatro situaciones diferentes → ( ) ( )x t sen t= ω

t0

t0

1

sen(ωt) u(t)

t

(a) −1

1

sen[ω(t− t0)] u(t)

t

(b) −1

1

sen(ωt) u(t− t0)

t

(c) −1

t0

1

sen[ω(t− t0)] u(t− t0)

t

(d) −1



a. 2 2( ) ( ) ( ) ( )y t sen t u t Y ssω

= ω → =+ω

→ T6

b. 0 0 0( ) [( ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )y t sen t t u t sen t cos t cos t sen t u t= ω − = ω ω − ω ω

0 00 02 2 2 2 2 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

s cos t s sen tY s cos t sen t

s s sω ω ω − ω

= ω − ω =+ω +ω +ω

c. 0

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st

t

y t sen t u t t Y s sen t e dt∞

−= ω − → = ω∫

0 0

0

( ) ( )( ) ( )1 1

( )2 2

s j t s j ts j t s j t

t

e eY s e e dt

j j s j s j

∞ − + ω − − ω− + ω − − ω ⎡ ⎤

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ − ω + ω⎣ ⎦∫

0 0 02 2

( ) ( )( ) st cos t s sen t

Y s es

− ω ω + ω⎡ ⎤= ⎢ ⎥+ω⎣ ⎦

d. 00 0 2 2( ) [ ( )] ( ) ( ) sty t sen t t u t t Y s e

s− ω⎡ ⎤= ω − − → = ⎢ ⎥+ω⎣ ⎦

← demostrado

P3: Desplazamiento complejo → ( ) ( )aty t e x t−=

( )

0 0

( ) ( ) ( ) ( )at st s a tY s e x t e dt x t e dt X s a+ +

∞ ∞− − − += = = +∫ ∫

( ) ( )ate x t X s a RCy RCx a− ↔ + → = −

EJEMPLO 3.3: Propiedades de linealidad y desplazamiento complejo para evaluar TL.

Verificación usando matemática simbólica de MATLAB

EDU» syms s t EDU» ut=sym('Heaviside(t)'); y1t=2*ut; EDU» Y1s=laplace(y1t) Y1s = 2/s

EDU» y2t=t*exp(-t); EDU» Y2s=laplace(y2t) Y2s = 1/(1+s)^2

EDU» Ys=Y1s+Y2s Ys = 2/s+1/(1+s)^2



EDU» Ys=simplify(Ys) Ys = (2+5*s+2*s^2)/s/(1+s)^2

EDU» Ys=factor(Ys); pretty(Ys) (s + 2) (2 s + 1) ----------------- 2 s (1 + s)

EJEMPLO 3.4: Propiedad de desplazamiento real. Caso especial

EJEMPLO 3.5: Propiedad de desplazamiento real. Transformada de un pulso senoidal.

Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.5.1 a 5.5.3 (Soliman)

Resolver ejemplo 3.4 usando matemática simbólica.

P4: Escalamiento en el dominio-t → ( ) ( )y t x at=

( / )

0 0

1 1( ) ( ) / ( ) ( ) ( / )st s aY s x at e dt t a Y s x e d X s a

a a+ +

∞ ∞− − τ= → = τ → = τ τ =∫ ∫

1( ) ( / )x at X s a RCy RCx a

a↔ → = ×

P5: Multiplicación por t → ( ) ( )y t t x t=

[ ]0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )st st std dX s x t e dt x t e dt tx t e dt

ds ds s+ + +

∞ ∞ ∞− − −∂ ⎡ ⎤= = = −⎣ ⎦∂∫ ∫ ∫

( ) ( )d

t x t X s RCy RCxds

↔ − → = → derivada en dominio-s

P6: Derivada en dominio-t

a. Primera derivada → ( )( ) '( )

dx ty t x t

dt= =



0

( ) '( ) stY s x t e dt+

∞−= ∫ → integrando por partes →

'( )

stu e

dv x t dt

−⎧ =⎨

=⎩

0

0

( )( ) ( ) ( )

( )

stst stdu s e dt

X s x t e s x t e dtv x t +

+

∞−∞− −⎧ = −

→ = +⎨=⎩

∫

0

( ) ( ) (0 ) ( ) ( ) (0 )st

t

existencia TL

Y s lim x t e x sX s sX s x− + +

→∞

=

= − + = −

( )( ) (0 )

dx tsX s x RCy RCx

dt+↔ − → ∈

b. Segunda derivada en dominio-t → 2

22

( )( ) (0 ) '(0 )

d x ts X s sx x

dt+ +↔ − −

c. Derivada de orden-N → ( 1)

1

( )( ) (0 )

N NN N k k

Nk

d x ts X s s x

dt− − +

=

↔ −∑

Aplicación → solución de ED

EJEMPLO 3.6: Respuesta impulso utilizando TL. Ejemplo 2.9.

P7: Integral definida → 0

( ) ( )t

y t x d+

= τ τ∫

6

( )'( ) ( ), (0) 0 ( ) ( ) ( )

P a

X sy t x t y sY s X s Y s

s= = → = → =

0

1( ) ( ) { } 0

t

x d X s RCy RCx ss+

τ τ ↔ → = ∩ >∫ Re

P8: Convolución → y(t) = h(t) ∗ x(t)

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )st stY s h x t d e dt h x t e dt d+ + + +

∞ ∞ ∞ ∞− −

τ

⎡ ⎤⎡ ⎤= τ − τ τ = τ − τ τ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

( )

0 0 0 0

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s

X s

t Y s h x e d d h e d x e d+ + + +

∞ ∞ ∞ ∞− λ+τ − τ − λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

λ = − τ → = τ λ λ τ = τ τ λ λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫



( ) ( ) ( ) ( )h t x t H s X s ROCy ROCh ROCx∗ ↔ ⋅ → = ∩

Nota: Pueden existir resultados diferentes en la ROC de convolución.

P9: Teorema del valor inicial → 0

(0 ) ( )t

x lim x t+

+

→=

P6a → 0

'( ) ( ) (0 )stx t e dt sX s x+

∞− += −∫ → evaluando para s → ∞

0

0

'( ) ( ) (0 ) ( ) (0 )st

s s slim x t e dt lim sX s x lim sX s x

+

∞− + +

→∞ →∞ →∞

=

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦∫

0

(0 ) ( ) ( )st

x lim x t lim sX s+

+

→∞→= =

Condición: que exista el límite

P10: Teorema del valor final → ( ) ( )t

x lim x t→∞

∞ =

P6a → 0

'( ) ( ) (0 )stx t e dt sX s x+

∞− += −∫ → evaluando para s → 0

0

0 0 0

'( ) '( ) '( ) ( ) (0 )t

st

s t tLI lim x t e dt x t dt lim x t dt lim x t x

+ + +

∞ ∞− +

→ →∞ →∞→ = = = −∫ ∫ ∫

0

( ) (0 )s

LD lim sX s x +

→→ −

0

( ) ( ) ( )t s

x lim x t lim sX s→∞ →

∞ = =

Condición → que exista el límite y s X(s) sea analítica

s X(s) analítica → Re{raíces denominador sX(s)} < 0

EJEMPLO 3.7: Teorema del valor inicial y final. Concepto de función analítica.

• Función especial de MATLAB → evaluar x(0) y x(∞) a partir de X(s) [x0,xinf]=viyvf(nXs,dXs)



TRANSFORMADA DE SEÑALES PERIÓDICAS 1 2 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )px t x t x t x t x t x t T u t T x t T u t T= + + + = + − − + − − +

21 1

1( ) ( )[1 ] ( ) ( )

1sT sT

p p sTX s X s e e X s X se

− −−= + + + → =

−

EJEMPLO 3.8: TL de señal periódica. Onda senoidal rectificada de media onda.

TABLA DE PROPIEDADES Y TEOREMAS

Tabla 3.2 – Propiedades de la transformada de Laplace No. ( )y t ( )Y s RCy

P1 1 1 2 2( ) ( )a x t a x t+ 1 1 2 2( ) ( )a X s a X s+ 1 2RCx RCx∩

P2 0 0( ) ( )x t t u t t− − 0 ( )ste X s− RCx

P3 ( )ate x t− ( )X s a+ RCx − a

P4 ( )x at 1( / )X s a

a RCx × a

P5 ( )t x t ( )d

X sds

− RCx

P6a ( )dx tdt

( ) (0 )sX s x +− ∈ RCx

P6b 2

2

( )d x tdt

2 ( ) (0 ) '(0 )s X s sx x+ +− − ∈ RCx

P7 0

( )t

x d+

τ τ∫ 1( )X s

s { } 0RCx s∩ >Re

P8 ( ) ( )h t x t∗ ( ) ( )H s X s⋅ RCh ∩ RCx

P9 0

(0 ) ( )t

x lim x t+

+

→= ( )

slim sX s→∞

P10 ( ) ( )t

x lim x t→∞

∞ = 0

( )slim sX s→

sX(s) analítica

Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.5.1 a 5.5.7, 5.5.9, 5.5.15, 5.5.16

Resolver problemas 5.4 y 5.10

3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE


MÉTODOS PARA OBTENER LA TRANSFORMADA INVERSA

• Función racional compleja → ( )( )

( )N s polinomio orden m

Y sD s polinomio orden n

−= →

−

- fracción impropia → m ≥ n

- fracción propia → m < n

- fracción impropia → dividir → 0

( ) ( )m n

ki p kY s Y s C s

−

= +∑

• Polos y ceros de fraccional racional

- ceros de Y(s) → valores de s para Y(s)=0 → raíces de N(s) = 0

- polos de Y(s) → valores de s para Y(s)=∞ → raíces de D(s) = 0

• Métodos:

1. Tablas de pares de transformadas y propiedades

2. Fracciones parciales → polos reales o complejos simples

3. Sustitución → polos reales múltiples y polos complejos conjugados

EJEMPLO 3.9: Tabla de pares de transformadas para evaluar TIL. Fracción causal impropia

• Método de fracciones parciales → FP propia y normalizada

1

1 1 01

1 1 0

( )( ) 1,

( )

m mm m

nn nn

N s b s b s b s bX s a m n

D s s a s a s a

−−

−−

+ + + += = → = <

+ + + +

Caso 1: Polos reales simples → teorema de expansión de Heaviside

n

n

n psk

psk

psk

pspspssN

sDsN

sX−

++−

+−

=−−−

==2

2

1

1

21 )())(()(

)()(

)(

1

2 1 11 1 1 1

2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )n

n s p

N s k s p k s p N ss p k s p k

D s s p s p D s =

− −− = + + + → − =

− −

( )i ik residuo del polo p de X s→ ips

ii sDsN

psk=

−=)()(

)(



Expresión alterna:

[ ][ ]

/ ( ) ( )( ) ( ) 0( ) 0 / ( )i i

iii is p s p

d ds s p N ss p N sk lim k lim

D s d ds D s→ →

−−= = → =

Factor típico → 1 21 2

5

1( )i np t p t p t p t

i i ni

T

k k e x t k e k e k es p

↔ ⋅ → = ⋅ + ⋅ + + ⋅−

¿solución estable? → 0ip exponencial decreciente< →

EJEMPLO 3.10: Método de FP. Caso 1: polos reales simples (diferentes)

EDU» syms s t EDU» yt=3/4-(1/3)*exp(-t)-(5/12)*exp(-4*t) EDU» Ys=factor(laplace(yt))

Ys = (2*s+3)/s/(1+s)/(s+4)

Caso 2: Polos complejos conjugados simples: *o op j p j= α + ω → = α − ω

*

11

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( *) ( ) *o

o o o o

X s

N s N s k kX s X s

D s s p s p D s s p s p= = = + +

− − − −

Forma típica → 2 2( )( ) ( )s j s j s−α − ω −α + ω = −α +ω → T8 o T9

caso 1 → 1 1 1

( ) ( ) ( )( *) ( ) ( *) ( ) 2 ( )

o

o o

o o o o os p

N s N p N pk C jD

s p D s p p D p j D p=

= = = = +− − ω

- solución expandida: ( ) ( )o oX s x t↔

( )* * ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2o op t p t j t j t tox t ke k e C jD e C jD e e C cos t D sen tα+ ω α− ω α= + = + + − = ⋅ ω − ⋅ ω

- solución agrupada → ( )2 2 ( )C cos t D sen t Asen t⋅ ω − ⋅ ω = ω + θ

( )'( )

i

i

s p

N sk

D s =

=



Problema: construir solución → ( ) ( )tox t Ae sen tα= ω + θ → calcular A y θ

1

( / 2) ( )( / 2) 2 ( ) 2 2

oC A sen N p A A

k C jD sen j cosD A cos j D po

= ⋅ θ ⎫→ = = + = θ− θ⎬= − ⋅ θ ω⎭

( )1

( )2

( ) 2 2oN p A A

j sen j cos A cos jsen AD po

⎛ ⎞= θ− θ = θ+ θ = θ⎜ ⎟ω ⎝ ⎠

- ¿solución estable? → { } 0op oscilación amortiguadaα < →=Re

EJEMPLO 3.11: Método de FP. Casos 1 y 2: polos reales y polos complejos conjugados.

Solución agrupada y solución expandida.

Caso 3. Polos reales múltiples → polo po se repite k-veces

1 2 112 1

1

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k

k k ko o o o o

X s k términoso

N s N s A A A AX s X s

D s s p D s s p s p s p s p−

−

−

= = = + + + + +− − − − −

1 21 2 1 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )k k k k

o o o k o k o

N ss p A s p A s p A s p A s p X s

D s− −

−− = − + − + + − + + −

1

( ) ( )( )

( ) ( )o o

kk o

s p s p

N s N sA s p

D s D s= =

= − =

2 31 2 1

1 '1 1

( )( ) ( 1)( ) ( 2)( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

k k ko o o k

k ko o

d N ss p A k s p A k s p A

ds D s

k s p X s s p X s

− −−

−

⎡ ⎤− = − − + − − + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦+ − + −

11

( ) ( )( )

( ) ( )o o

kk o

s p s p

d N s d N sA s p

ds D s ds D s−= =

= −

1

1 ( )( )

os p

N sA

D s=

θ =ω



Generalizando:

Factor típico en xo(t) → T4 → 1

( ) ( 1)!ok p tk k

ko

A At e

s p k−↔

− −

EJEMPLO 3.12: Método de FP con polos reales simples y múltiples.

• Método de sustitución: polos reales múltiples y complejos conjugados

- evaluar X(s) para (m−1) valores numéricos de is p≠ .

- resolver (m−1) ecuaciones lineales simultáneas.

EJEMPLO 3.13: Método de sustitución. Polos reales múltiples y complejos conjugados.

• Dos casos poco comunes:

- X(s) no es fracción propia → efectuar la división

- X(s) incluye factor de la forma 0ste− → atraso t0 en x(t) → P2

EJEMPLO 3.14: Transformada inversa de casos poco comunes. Tarea.

TRANSFORMADA INVERSA USANDO MATLAB

• Función para descomposición en FP → [R,p,C] = residue(nYs,dYs)

num,den → orden descendente de potencias positivas de s

R → arreglo con los residuos de cada polo

p → arreglo con los polos de X(s)

C → arreglo que solo existe cuando X(s) no es propia → m ≥ n

1

1 ( )1, 2, ,

( )! ( )o

k i

i r is p

d N sA i k

k i ds D s

−

−=

= =−

…



Interpretación de resultados:

)()()(

)()( 2

1

2

2

1

1 sCps

R

ps

R

psR

psR

sDsN

sXj

j

j

j ++−

+−

++−

+−

== +

knm

kk sCsC ∑

−

==

0)( ← polinomio en s

• Función para reconstruir X(s) → [nYs,denYs] = residue(R,p,C)

EJEMPLO 3.15: FP usando MATLAB. Ejemplo 3.10.

EDU» nYs=[2 3]; dYs=[1 5 4 0]; EDU» format rat EDU» [R,p,C]=residue(nYs,dYs), format

R = -5/12 p = -4 C = [] -1/3 -1 3/4 0

• Función de matemática simbólica para FP → YsFP = diff(int(Ys))

• Función de matemática simbólica para TIL → xt = ilaplace(Xs)

EJEMPLO 3.16: FP y TIL usando matemática simbólica de MATLAB. Ejemplo 3.10.

EDU» syms t s EDU» Ys=(2*s+3)/(s^3+5*s^2+4*s) EDU» YsFP=diff(int(Ys)); pretty(YsFP)

1 1 3/4 1/s - 5/12 ----- - 1/3 ----- s + 4 s + 1 EDU» yt=ilaplace(Ys)

yt = 3/4-5/12*exp(-4*t)-1/3*exp(-t) Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.6.1 a 5.6.4

Estudiar apéndice D y sus ejemplos

Resolver problema 5.11

3.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES


PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER LA ED

• Modelo fundamental de un sistema LIT → relación E ⇔ S

)()()()()(

011

1

1 txtyadt

tdya

dttyd

adt

tydn

n

nn

n=++++ −

−

−

• Solución de ED → evaluar respuesta dinámica del sistema

• Procedimiento general:

1. Normalizar la ED → an=1

2. Transformar ED al dominio-s → P6 → ecuación algebraica

3. Resolver la ecuación algebraica → Y(s)

4. Obtener la TIL de Y(s) → y(t) → tablas, FP o sustitución

EJEMPLO 3.17: Solución completa y componentes de una ED usando T.L. Ejemplo 2.4.

COMPONENTES DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED USANDO TL

• Respuesta natural y respuesta forzada → y(t) = yRN(t) + yRF(t)

- respuesta natural → solo c.i. → x(t) = 0

- respuesta forzada → solo x(t) c.i.= 0

• Respuesta transitoria y respuesta permanente → y(t)=yRT(t)+yRP(t)

- respuesta transitoria → polos del sistema en Y(s)

- respuesta permanente → polos de la entrada en Y(s)

EJEMPLO 3.18: Componentes de la solución de una ED de orden-2. Ejemplo 3.17.

SISTEMA LIT

x(t) y(t)

3.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES


SOLUCIÓN DE UNA ED USANDO MATLAB

• Solución simbólica → función dsolve()

- símbolos para indicar derivadas → Dy, D2y, D3y, ...

- una sola cadena con las condiciones iniciales → y(0), Dy(0), ...

EJEMPLO 3.19: Solución de una ED de orden-2 usando matemática simbólica. Ejemplo 3.16.

Solución completa y(t):

EDU» y=dsolve('2*D2y+6*Dy+4*y=10,y(0)=-1, Dy(0)=2')

y = 5/2+3/2*exp(-2*t)-5*exp(-t)

Respuesta natural yRN(t):

EDU» yRN=dsolve('2*D2y+6*Dy+4*y=0,y(0)=-1, Dy(0)=2')

yRN = -exp(-2*t)

Respuesta forzada yRF(t):

EDU» yRF=dsolve('2*D2y+6*Dy+4*y=10,y(0)=0, Dy(0)=0')

yRF = 5/2+5/2*exp(-2*t)-5*exp(-t)

Sugerencias: Estudiar ejemplo 5.8.1

Resolver problema 5.20

Resolver problema 5.20 usando matemática simbólica

3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


RESPUESTA IMPULSO

• Modelo del sistema LIT en el dominio-t → reposo → RF

( ) ( ) ( )y t h t x t= ∗

• Resolver ED para c.i.=0 → x(t)=δ(t) → X(s)=1

EJEMPLO 3.20: Respuesta impulso usando TL. Ejemplo 2.10.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

• Modelo del sistema LIT en el dominio-s

• Fundamento: P8 → tabla 3.2 → ( ) ( ) ( ) ( )h t x t H s X s∗ ↔ ⋅

( ) ( ) ( )Y s H s X s= ⋅

• Definición de función de transferencia: H(s)

( )( ) ( ) ( )

( ) reposo

Y sH s H s h t

X s≡ → ↔

EJEMPLO 3.21: FT a partir de la ED. Respuesta forzada escalón. Ejemplo 2.9.

SISTEMA LIT (reposo)

δ(t) h(t) h(t)

x(t) y(t)

h(t) x(t) y(t)

H(s) X(s) Y(s)

Relación entre la TL de la salida y la TL de la entrada, asumiendo

que el sistema se encuentra en reposo ( c.i.=0 ).

La FT es la transformada de Laplace de la respuesta impulso.



• Propiedades de la FT:

P1. La FT es la transformada de Laplace de la respuesta impulso

P2. Es posible reconstruir la ED a partir de la FT

)()()()()()(

)()(

)( sXsNsYsDsDsN

sXsY

sH ⋅=⋅→==

P3. Componentes del sistema → modelados por una FT → bloques

EJEMPLO 3.22: ED a partir de la función de transferencia. Descomposición directa.

• Limitaciones del modelo de FT:

1. Sistemas en reposo → respuesta forzada

2. Sistemas con una entrada y una salida → SISO

3. Sistemas lineales

ANÁLISIS DE CIRCUITOS USANDO FT

• FT → circuito en reposo → c.i.=0 → respuesta forzada

• Componentes del circuito RLC en el dominio-s → diagrama transformado

- fuentes de voltaje → v(t)

- fuente de corriente → i(t)

- resistencia → R → ohms

( ) ( ) ( ) ( )v t R i t V s R I s= ⋅ ↔ = ⋅

+

i(t) v(t)

−

+

I(s) V(s)

−

↔

v(t)

i(t) +

−

+

V(s)

I(s)

−

↔

v(t)

R i(t)

+ − V(s)

R I(s)

+ −



- inductancia → L → henrios

1 (0 )( ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( )

di iv t L V s L sI s i I s V s

dt sL s

++⎡ ⎤= ⋅ ↔ = − → = +⎣ ⎦

- capacitancia → C → faradios

1 (0 )( ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( )

dv vi t C I s sCV s Cv V s I s

dt sC s

++= ↔ = − → = +

- anulando fuentes de c.i. → respuesta forzada

EJEMPLO 3.23: Respuesta de un circuito RLC usando Laplace.

EJEMPLO 3.24: FT de un circuito T (cuadripolo). Modelo para respuesta forzada.

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL

• Sistema de control de lazo cerrado → realimentación (feedback)

−

+ R(s) M(s) Y(s) E(s) Gc(s) Gp(s)

H(s)

v(t)

L i(t)

+ −

v(t)

C i(t)

+ −

V(s)

sL

I(s)

+ − i(0+)/s

+ −

V(s)

1/ sC I(s)

−+

(0 ) /v s+

+ −

V(s)

I(s) Cv(0+)

1/ sC

V(s)

sL I(s)

+ −−

Li(0+)

+



• Componentes del sistema de control → representados por su FT

- proceso o planta: Gp(s)

- controlador: Gc(s)

- bloque de realimentación: H(s) → transmisor-medidor

• Señales del sistema de control

- variable controlada: y(t) → propósito del sistema de control

- señal de referencia: r(t) → valor deseado de la v.c. → set point

- señal de error: e(t) → exactitud del sistema de control

- señal de control: m(t) → acción de control

• Función de transferencia de lazo cerrado (FTLC) → T(s)

- definición → ( )( )

( )Y s

T sR s

≡

- expresión de T(s) → [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s E s G s R s H s Y s= ⋅ = ⋅ − ⋅

Agrupando términos de Y(s)

[ ] ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )G s

G s H s Y s G s R s T sG s H s

+ ⋅ = ⋅ → =+

EJEMPLO 3.25: FT de lazo cerrado unitario de sistema de control. Respuesta escalón.

ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD EN EL DOMINIO-s

• En el dominio-t → ( )h t dt∞

−∞

< ∞∫

• Estabilidad en el dominio-s → caso de polos simples

- sistema causal → polos de H(s) en el SPI → { } 0kp <Re

1 1

( ) ( ) ( ) , { } ( { })k

n np t k

k kk k k

Ch t C e u t H s s max p

s p= =

= ↔ = >−∑ ∑ Re Re



- sistema anticausal → polos de H(s) en el SPD → { } 0kp >Re

1 1

( ) ( ) ( ) , { } ( { })k

n np t k

k kk k k

Ch t C e u t H s s min p

s p= =

= − ↔ = − <−∑ ∑ Re Re

- sistema no causal → componente causal y componente anticausal

• Estabilidad y RC

- RC no puede incluir polos

- RC debe incluir el eje-jω

- polo en el extremo de la RC

Nota: Se obtiene el mismo resultado para polos múltiples.

EJEMPLO 3.26: Identificar causalidad y evaluar causalidad a partir de FT y RC.

Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.8.2 a 5.8.4.

Resolver problema 5.22 a 5.29

j ω

σ

Causal-estable

j ω

σ

Anticausal-estable

Un sistema causal estable tiene todos sus polos en el semi-plano izquierdo. Un sistema anticausal estable tiene todos sus polos en el semi-plano derecho.

Para que un sistema sea estable la RC debe incluir el eje-jω

respuesta forzada a una seÑal compleja

Documents