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MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
155
CAPITULO 1: La Integral Indefinida
Ejercicios Propuestos 1.1
1. 2
32
84
3 2
xx x C
2. 7
3 5927 9
5 7
xx x x C
3. 7 5 3
2 2 22 4 2
7 5 3x x x C
4. Cxx
41
47
74 4
5. 1 3tan 2ln cosxe x x C
6. 3
cos 2lnx x Cx
7. 2ln ln sec tanxe x x x C
8. 3 29
27 27ln3 2
x xx x C
9. 13 7 1
3 3 33 3
613 7
x x x C
10. 100 20
2 4ln 2 ln 4
x x C
11. Cxx
5ln5
2
2ln2
5
12. Cxx
44
1ln
Ejercicios Propuestos 1.2
1.
C
x
23
2515
2
2.
Cxx
3
12
5
12 23
25
3. Cxc
42tg
2
1
4. Cxx 2coscos2ln2
1
5. Cxxx 1ln22
6. Cxx 21ln
7. Cx arctg2
8. Cx 2
arctg
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
156
9. Cx
x
1
1ln
4
1 2
10. Cxx
2
32
311
3
1
11. Cxx 21arcsen
12. Cxx ln1ln23
2
13. Cx lnlnln
14. Caxaa
x arcsen22
15. Cba
xbxa
22
2222 cossen
16. Cg 43
cot3
4
17. Cxx
22
31ln
3
2
18.
Cxx
xx
23
23ln
2ln3ln2
1
19. Cx 2112
20. Cxx 3844
1 2
Ejercicios Propuestos 1.3
1. Ce
ex x
x 93
33
2.
Ceex xx
42
1 22
3. Cxx
x 3sin9
2
3
3cos12
4.
Cxx
x
9
13sin
3
13cos
5. Cxxe x
1224
22
6. Cxxe x
9824
22
7. Cxx
xxx 2
ln2
2
8. Cxxx
3
8ln
3
4ln
3
2 223
9. Cxx
3
2ln
3
22
3
10. Cxxxx 2221lnarctg1arctg
11. Cgxxxx cotcsclncsc
12. Cex x 12
13. Cxxxx 22 11ln
14. Cxxx 21arcsin
15. Cxxx 21ln2
1arctan
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
157
16. Cxxx arctg1
17. Cxxx
lncoslnsen2
18. Cxxx sen2cos2
19. Cxxx
lncoslnsen2
20. Cgxxgxxxx cotcsclncotcsctglncos2
1
2
1
Ejercicios Propuestos 1.4
1. Cxxx 4sin8
3
2
32
2.
Cxx
9
3cos
3
3cos 3
3. Cxxxx
2sen
6
14sen
8
32sen2
2
5
8
1 3
4. Cxx 211
23
sen11
2sen
3
2
5. Cxx 8sen16
12sen
4
1
6. Cx x 3
cos2
3cos
2
1
7. Cxx
12125cos
2
15cos
10
1
8. Cxxx 5sen20
17sen
28
1sen
2
1
9. Cxx 2cos20
12cos
16
1 108
10. Cxxxx 6sen24
14sen
16
12sen
8
1
4
1
11. Cxx seclnsec4
1 4
12. Cxcxcxc
x tg3
tg
5
tg 35
13. Cxx 55tg2
1
14. Cxx
23
25
sec3
2sec
5
2
15. Cxc 2tg2
16. Cxxcxxxc 2csc2tgcscln2tgcsc2
17. Cxx 3tg3
1tg3
18. Cxcxxx tgcscln2
2tgsecln
2
2
19. Cxxx csctgsecln
20. Cxcxxcx tgcscln2
1tgcsc
2
1
Ejercicios Propuestos 1.5
1. Cxx
3
4sen
4
1
3arcsen
8
81
2. Cx
x
2
21
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
158
3. Cx
x
x
arcsin
1 2
4. Cxx
3
2sen
4
9
3arcsen
2
9
5. Cx
x
39ln
3
1 2
6. Cx
xar
3
92sen
4
13cos
9
1 2
7. Cx
x
x
x
322 11
8. Cxxxx
2
2
2ln
2
2 22
9. Cxx
2sen2
2arcsen8
10. C
xx
x
1342
2
2
11. Ce
ex
x
11
ln2
12. Cxx
1
3
2tg
3
2tgln
2
13. Cxx
3
sensen9ln
2
1 24
14. Cxxxx 22 1ln1arctg
15. Ce
x
x x
arctg
212
1
16. Cxxx
arccossen3
sen 33
17. Cx
xx
5
2lnarcsen2lnln415 2
18. C
x
x
4
2
12
1
19. Cxxx
2ln1arctg
2
1 242
20. Cxxx
xx
2316ln6
54
74ln37
2
3 48
4
44
Ejercicios Propuestos 1.6
1. Cx
x
3
1ln
4
1
2. Cxxx 1ln3
82ln
4
5ln
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
159
3.
Cx
xxx
361
63ln
61
52ln
305
1272ln
305
37
4. Cxx
x
23ln
2
5.
Cx
xx
2arctg
432
1ln
2
12
6. Cxx arctan1ln2
7. C
xx
xxx
x
2
1ln
3
72ln
2
3
2
1
2
2
8.
Cxx
x
215
13
3
2ln
12
11
9. Cxxxxx 1arctg2arctg221ln2
3 22
10. Cxxxx
9ln77ln183
23
11. Cxx 1ln21arctg2 2
12. Cxx 1arctg2ln2
13. Cxx
x
4ln4
4
8
2
2
2
3
14. Cxx
x
2
2
2
2
2arctg2
2ln
15. Cxxx arctg1ln1ln2
1 2
16. Cx
xxx
x
12
12ln
8
11ln
2
1ln
4
2
17. 16. Cx
x
3cos
3cosln
5
1
18. Cx
x
1tg
2tgln
19. Cxxx cos1ln2
1cos1ln
6
1cos2ln
3
1
20. Ceexxx
66 arctan61ln3
Ejercicios Propuestos 1.7
1.
C
x
5
1tan2arctan
5
1 2
2. 22
tan21ln5
2tan2ln
5
1 xx
3. 22
tan2ln5
11tan2ln
5
2 xx
4. Cxx tan2arctan2
2tanarctan2
5. Cxx 2
2
2tan
4
1tanln
2
1
6. Cx 2
2tan1ln
7. Cxx 22
tanarctan1tanln
8. Cxxx 22
2
2tanarctan
2
1tan1ln
4
31tanln
2
1
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
160
CAPITULO 2: La Integral Definida
Ejercicios Propuestos 2.1
1. 13
3 2.
5
12 3.
1
4.
3 3
2 3
sen
5. 23ln 2
2 6.
5 7ln 2
2 4 7.
121ln 2
3 8. ln 2
9. 3 22 1 47
9 2 18e e 10. e 11.
3 2
24
12. 31 37ln2 13. 9 3 5
ln 2 ln3 ln54 8 8
14. 1
12
e
15. 2ln2 1 16. 09.219
Ejercicios Propuestos 2.2
1.
1. 0 2. 14
3 3.
28
3 4. 5 5.
29
2
6. 85
3 7.
9
2 8.
115
3 9.
13
2 10.
41
2
11. 45 12. 2 13. 0 ; es impar 14. 0 ; es impar
2. 6
3. 10
4. a) F b) V c) V d) F e) V f) F g) V h) V
5. a) xsenx
xsenxxx
ln1
lncos
c)
xx
x
tgxxxtgxtgxxxxxx 23323 315 secln5ln1sec2sec6sec321
c)
xxe
xxtgxx
x
e
e
x
x
secln2
lnsecsec
32
3ln13
d)
1
4cos3
1
2
10
33
4 53
3
x
xxx
senxx
senxx
e)
1ln1lncos
121ln1
cos
seccos31
22
223
33
23239
xsenx
xxx
tgxsenxsentgxsenx
xtgxxtgxsenxtgxsenx
f)
6. a) 3
1 b) 1sen c) 1 d)
2
0
102 51
4.
51
x
x
x
t
dt
Misceláneos
1. a) V b) F c) F d) V e) V
f) F g) V h) V i) F j) V k) V l) F m) n) F o) V p) F q) V r) F s) F t) V
u) F v) V w) V x) V y) z)
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
161
2. a) 6
1 b)
5
52
6
1 c)
152
d) 233 arctgarctg
e) 3
1 f) 6 g) 3
29 h) 4ln4
i) 75
516
j) 2041
21
25 lnln
4
3 k) 334 l)
277
3. Es cóncava hacia arriba para 2x y 4x
4. 7
CAPITULO 3: Aplicaciones de la Integral
Ejercicios Propuestos 3.1
1) 6
21 2) 3
22 3) 3
16 4) 2
9 5) 3
32
6) 8 7) 6
125 8) 3
8 9) 22 10) 75
919
11) 4
131 12) 6
71
Ejercicios Propuestos 3.2
1). 4
2a 2) 3
3
8 3)
4
2729 4) 33 5)
62
38
6) 28 7) 2
32718 8) 1
2
9) 339
Ejercicios Propuestos 3.3
1). a) 6
5 b) 4arctan1738 2 c)
3
11
2) a)
12
72ln22 b)
30
12ln2
3) 3
500 4)
32
875 5)
5
128 6) 13
7) a) 48
625 b)
4
125
Ejercicios Propuestos 3.4
1) 12ln2 2) 16 3) a 4)
3
133
Ejercicios Propuestos 3.5
1). 4
5A 4P
2) a) 6a b) 68
MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos
162
Ejercicios Propuestos 3.6
1). a) Div ergente b) 2
c)
2
1 d) Div ergente
e) Divergente f) Div ergente
2) 2
1 3) 6 4)
3
4
5) a) 3 b) divergente
6) Div erge para 1p , converge a p1
1 si 1p
CAPITULO 4: Sucesiones y Series
Ejercicios Propuestos 4.1
1). a) converge a 2
3 b) Div erge c) no converge d) conv erge a
3e
e) converge a 0 f) converge a 0 g) conv erge a e
2) a) Creciente b) Decreciente c) decreciente
d) no monótona e) Creciente para 2n