restrizioni lineari nel mrlm:...
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Restrizioni lineari nel MRLM: esempi
Eduardo Rossi2
2Universita di Pavia (Italy)
Maggio 2013
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 1 / 22
Funzione di produzione Cobb-Douglas
Esempio
GDP Messicano:
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
1956 1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974
GD
P
GDP Messicano
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 2 / 22
Funzione di produzione Cobb-Douglas
Funzione di produzione economia messicana
Modello teorico: La funzione di produzione Cobb-Douglas perl’economia messicana nel periodo 1955-74.
Funzione di produzione Cobb-Douglas:
Y = AKαLβ
Y output
K capitale
L lavoro
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 3 / 22
Funzione di produzione Cobb-Douglas
Modello di regressione lineare
Prendiamo i logaritmi:
lnYt = β1 + β2 lnLt + β3 lnKt + εt t = 1, . . . , 20
Campione: 1955–1974 (T = 20)Variabile dipendente: lnYt
Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value
const −1,6524 0,6062 −2,7259 0,0144lnLt 0,3397 0,1857 1,8295 0,0849lnKt 0,8460 0,0933 9,0625 0,0000
Media var. dipendente 12,22605 SQM var. dipendente 0,381497Somma quadr. residui 0,013604 E.S. della regressione 0,028289R2 0,995080 R2 corretto 0,994501F (2, 17) 1719,231 P-value(F ) 2,41e–20
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 4 / 22
Funzione di produzione Cobb-Douglas
Rendimenti costanti di scala
Nel periodo 1955-72 l’economia messicana e stata caratterizzata darendimenti costanti di scala?
α+ β = 1
Nel modello di regressione lineare questa ipotesi corrisponde a
β2 + β3 = 1
Regressione ristretta imponendo β2 = 1− β3
lnYt = β1 + (1− β3) lnLt + β3 lnKt + εt
lnYt − lnLt = β1 + β3(lnKt − lnLt) + εt
ln[YL
]t
= β1 + β3 ln[KL
]t+ εt t = 1, . . . , 20
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 5 / 22
Funzione di produzione Cobb-Douglas
Test di restrizioni lineari
Variabile dipendente: ln[YL
]t
Coefficiente Errore Std. rapporto t p-valueconst −0, 495 0,122 −4, 061 0,001
ln[KL
]t
1, 015 0,036 28, 106 0,000
Media var. dipendente 2,923680 SQM var. dipendente 0,198200Somma quadr. residui 0,016629 E.S. della regressione 0,030395R2 0,977721 R2 corretto 0,976483F (1, 18) 789,9271 P-value(F ) 2,53e–16
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 6 / 22
Funzione di produzione Cobb-Douglas
Test di restrizioni lineari
Test F:
F =u′u− u′u
u′u
n− k − 1
q=
0, 016629− 0, 013604
0, 013604
20− 3
1= 3, 78
Il p-value e pari a 0.06861. Accettiamo l’ipotesi di rendimenti costantidi scala.
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 7 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Variabili
It investimento realeit tasso d’interesse nominale∆ log pt tasso d’inflazioneYt prodotto realet trend
Dati: 1950.1− 2000.4 204 osservazioni.
log It = β1 + β2it + β3∆ log pt + β4 log Yt + β5t+ εt t = 1, . . . , N
il modello dice che gli investitori sono sensibili al tasso d’interessenominale, it, al tasso d’inflazione, ∆ log pt, all’output reale (log Yt), ead altri fattori che hanno un trend crescente.
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 8 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Stime OLS con 203 osservazioni 1950 : 2− 2000 : 4Variabile Dipendente: log It
Variabile Stima Std. Error t p-valueconst -9.1284 1.3650 -6.6876 0.0000it -0.0086 0.0032 -2.6906 0.0077∆ log pt 1.32248 0.9348 1.4147 0.1587log Yt 1.93016 0.1833 10.5316 0.0000t -0.0057 0.0015 -3.8030 0.0002
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 9 / 22
Modello di investimento
Modello investimentto
Media campionaria della y 6,30947Deviazione standard della y 0,599625SSR 1,47057Standard error dei residui (s) 0,0861806R2 0,979752R2 0,979343F (4.198) 2395,23Statistica Durbin-Watson 0,213960
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 10 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
t(198, .025) = 1,972
Variabile Stima Intervallo di confidenza 95%
const -9,12843 (-11,8202;-6,4367)it -0,00859785 (-0,0149;-0,0022963)log Yt 1,93016 (1,5687; 2,2916)∆ log pt 1,32248 (-0,5200;3,1659)t -0,00565889 (-0,008593;-0,002725)
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 11 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
5
5.5
6
6.5
7
7.5
1950 1960 1970 1980 1990 2000
log_
I
log(I)_t
Actual and Fitted
FittedActual
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Modello di investimento
Modello investimento
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Res
idua
l
Residuals
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 13 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4
ld_c
pi_u
log_Y
Ellisse di confidenza al 95% e intervalli marginali al 95%
1,93, 1,32
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 14 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Se gli investitori rispondono solo a variazioni dei tassi d’interesse reali,nell’equazione
log It = β1 + β2it + β3∆ log pt + β4 log Yt + β5t+ εt t = 1, . . . , n
cio implica cheβ2 + β3 = 0.
Dobbiamo verificareH0 : β2 + β3 = 0
H1 : β2 + β3 6= 0
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 15 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
H0 : Rβ = [0, 1, 1, 0, 0]
β1...β5
= 0
Con errori omoschedastici:
F =(Rβ − r)′[R(X′X)−1R′]−1(Rβ − rc)
s2
=(β2 + β3)[R(X′X)−1R′]−1(β2 + β3)
s2
V ar(Rβ − r)|X) = s2[R(X′X)−1R′]
SE(β2 + β3) =
(
V ar(Rβ|X)
)1/2
SE(β2 + β3) =
(
V ar[β2|X] +
V ar[β3|X] + 2
Cov[β2, β2|X]
)1/2
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 16 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Con errori omoschedastici e gaussiani:
F =(β2 + β3)2(
Var[β2|X] +
Var[β3|X] + 2
Cov[β2, β2|X]
) ∼ F(1,198)
t = F 1/2 =(β2 + β3)√
Var[β2|X] +
Var[β3|X] + 2
Cov[β2, β2|X]
∼ t(198)
with
Cov[β2, β2|X] = −3.718× 10−6
SE(β2, β3) = (0, 003192 + 0, 002342 + 2× (−3, 718× 10−6))1/2
= 0, 002866
t =(−0, 00860 + 0, 00331)
0, 002866= −1, 845
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 17 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Stime ristrette
Variabile Stima Std. Error t p-value
const −7, 90275 1, 19931 −6, 589 < 0, 00001 ***it −0, 00442654 0, 00227018 −1, 950 0, 05260 *∆ log pt 0, 00442654 0, 00227018 1, 950 0, 05260 *log Yt 1, 76406 0, 160561 10, 987 < 0, 00001 ***t −0, 00440260 0, 00133078 −3, 308 0, 00111 ***
1 Standard error dei residui s = 0, 0866985.
2 u′u = (0, 0866985)2 × (203− 4),
3 F = 3, 39913, p-value = 0, 066725, F (1, 198).
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 18 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Riparametrizzazione del modello in modo tale che la statistica tprodotta dal software sia usata per verificare un’ipotesi congiunta.Aggiungiamo e sottraiamo β2∆ log pt
log It = β1 + β2(it −∆ log pt) + (β2 + β3)∆ log pt + β4 log Yt + β5t+ εt
log It = δ1+δ2(it−∆ log pt)+δ3∆ log pt+δ4 log Yt+δ5t+εt t = 1, . . . , n
in questa regressioneH0 : δ3 = 0
corrisponde alla nulla nel modello precedente
β2 + β3 = 0
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 19 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Variabile Stime Std.error t p-value
const -9,12885 1,36496 -6,688 < 0, 00001 ***log Yt 1,93021 0,18327 10,532 < 0, 00001 ***∆ log pt -2,11721 1,14795 -1,844 0,06663 *t -0,00565924 0,001488 -3,803 0,00019 ***it −∆ log pt -0,00860129 0,0031954 -2,692 0,00772 ***
t(δ3) = −1, 844
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 20 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Infine, consideriamo le ipotesi congiunte:
β2 + β3 = 0
β4 = 1
β5 = 0
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 21 / 22
Modello di investimento
Modello investimento
Variabile Stime Std.error t p-value
const -2,01646 0,0107646 -187,32 < 0, 00001 ***it 0,00689615 0,00339908 2,029 0,04379 **∆ log pt -0,00689615 0,00339908 -2,029 0,04379 **log Yt 1 0t 0 0
F (3, 198) = 109, 841, con p-value = 6, 59341e− 042.
Rossi Restrizioni lineari: esempi Econometria - 2013 22 / 22