Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el comportamiento de ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0) habrá un valor extremo, a continuación se muestran algunos ejemplos:

- A partir de la siguiente función encuentre:a)Los puntos críticos.b)Valores máximos y mínimos.c)La gráfica de la función.

f(x)= 4x2 + 5x - 3

a) PUNTOS CRÍTICOS:- obtener la derivada de la función:8x + 5- igualar con cero (0).f'(x)= 8x + 5 = 0x = -5/8

b)MÁXIMOS Y MÍNIMOS:

- El punto crítico lo podemos obtener igualando con cero (0) la función derivada y despejando "x".- El valor de antes y después lo podemos obtener con un número menor (antes) que el punto crítico y un número mayor (después) que el punto crítico.- La primera derivada la podemos obtener sustituyendo el valor de antes y después en la primera derivada.- El comportamiento lo podemos deducir de la siguiente manera: Si el número de la primera derivada es positivo "sube", si el número es negativo "baja".- El resultado lo deducimos de la siguiente manera: Si primero "baja y luego sube" su resultado es Mínimo. Si el comportamiento es "Sube y luego baja" el resultado Máximo.

c)GRÁFICA:La gráfica la podemos obtener sustituyendo en la función original el

punto crítico y asi obteniendo los puntos del mínimo absoluto de la gráfica.

El criterio de la segunda derivada proporciona la concavidad de una curva de la siguiente manera.

a) Puntos críticos.b) Valores máximos y mínimos.c) Punto de inflexión.d) La gráfica de la función.

f(x) = 3x^2 + 5x - 2

a) Puntos críticos:f'(x)6x + 5 = 0x = -5/6x = -0.83

= -0.83

- Para obtener el punto crítico se debe de despejar la "x" en la primera derivada.- Para obtener la segunda derivada se debe de sacar la segunda derivada y despejar la "x" si es el caso.- La concavidad se puede deducir dependiendo del resultado de la segunda derivada. Si es positivo la concavidad estará feliz. Si es negativo la concavidad estará triste.- El resultado también depende de la segunda derivada, si aumenta dependiendo del punto crítico, es mínimo, si disminuye dependiendo del punto crítico entonces será máximo.

c) PUNTO DE INFLEXIÓN:- Igualar la segunda derivada con cero (0). (en este caso no hay punto de inflexión)

d) GRÁFICA:- Sustituyes en la función original el punto crítico.(hay casos en que son dos puntos críticos)- Sustituyes en la función original el punto de inflexión.- Gráficas.

Trazo de curvas

La teoría estudiada hasta ahora sobre máximos y mínimos de una función, será aplicada tanto en la resolución de problemas como en el trazo de la gráfica de una curva. Para este último aspecto nos hace falta estudiar las asíntotas de una curva, tema que veremos a continuación para pasar luego al trazo de curvas y por último a la resolución de problemas. 

Asíntotas 

Dada una curva con ecuación   es necesario estudiar la variación de la función cuando la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de la curva tiende al infinito.

Definición

Cuando el punto   de una curva se desplaza a lo largo de ella, de tal forma que su distancia   al origen tienda a infinito, puede suceder que la distancia de P a una recta fija, tienda a cero. Esta recta recibe el nombre deasíntota de la curva.

Gráficamente:

Asíntota horizontal: 

Sea la función con ecuación   

Si   ó  , entonces la recta con ecuación   es una asíntota horizontal de la gráfica de f. 

Ejemplo:

1. Sea   la ecuación de una curva. 

Como:   

entonces la recta con ecuación   es una asíntota horizontal de la curva.

2.  

entonces la recta con ecuación   es una asíntota horizontal de la curva.

Gráficamente se tiene:

Asíntota vertical: 

La recta con ecuación   es una asíntota vertical de la gráfica de una función con ecuación  , si se cumple alguna de las siguientes condiciones.

i.  iii. 

ii.  iv. 

Si la recta con ecuación   es una asíntota vertical de la gráfica de una función f, entonces f es discontinua en "a". 

Ejemplo: 

Sea   la ecuación de una curva.

Observe que el dominio es el conjunto:   

Como   y   

entonces la recta con ecuación   es una asíntota vertical de la gráfica de la curva. 

Gráficamente:

Note que la recta con ecuación  , (eje x), es asíntota horizontal de la curva. 

Asíntota oblicua 

Si los límites:   y   

existen, entonces la recta con ecuación   es una asíntota oblicua. (La justificación aparece al final del capítulo)

Ejemplo: 

La curva con ecuación   posee asíntota oblicua pues:

a.

, 

de donde 

b.

, 

de donde 

Así la ecuación de la asíntota es   

La representación gráfica es la siguiente:

Note que la recta con ecuación  , (eje y), es asíntota vertical de la curva.