Captulo 3Principio de transmisibilidad de una fuerza:

Este establece que una fuerza puede ser desplazada a lo largo de su lnea de accin, sin que los efectos de esta en el sistema estudiado se alteren. Este principio se fundamenta por ahora en hechos experimentales y no puede ser derivado de los principios estudiados anteriormente que son: la primera ley de newton y la ley de la suma de los vectores, es decir la ley del paralelogramo. Por consiguiente todas las conclusiones encontradas en los captulos siguientes tienen su fundamento en estas tres leyes.Momento de una fuerza con respecto a un puntoSe define el vector momento de una fuerza como el producto vectorial entre el vector posicin del punto de aplicacin de la fuerza y ella misma. Es decir:

Teorema de varignonEste establece una relacin entre la suma de los momentos individuales de las fuerzas de un sistema aplicadas todas a un mismo punto es equivalente al momento de la resultante de estas con respecto a este punto y resulta muy til como se ver ms adelante.+ + = Momento de una fuerza con respecto a un ejeSe define el momento de una fuerza F con respecto a un eje dado OA a la proyeccin del vector momento de F con respecto a un punto cualquiera del eje OA ( Lo cual nos da la absoluta libertad de elegir este punto de la manera ms conveniente posible) y por tanto llamando al versor de la lnea OA:

Luego de las deducciones matemticas adecuadas se concluye una propiedad muy til:

Donde:R es el vector perpendicular al eje dado OA que va del eje hasta el punto de aplicacin de F.F es la proyeccin de la fuerza F, en un plano que sea perpendicular al eje OA, que contenga al punto de aplicacin de F.

Momento de inercia:El momento de inercia rectangular de un rea A con respecto a los ejes x o y de un sistema de coordenadas, se definen como:

El momento polar de inercia, con respecto a un punto O se define como:

Donde r es la distancia al punto o, luego se tiene que:

Radios de giro:Para definir el radio de giro de un rea, se considera dicha rea, en su totalidad concentrada en una tira delgada, cuyas distancias de cualquier elemento diferencial de rea a la referencia en cuestin sea constante y de tal naturaleza que los momentos de inercia rectangulares y polares no se alteren luego de esta proposicin, la distancia constante citada, k se define como radio de giro, con respecto a los ejes x o y, o con respecto a un punto o.Entonces considerando toda esa rea concentrada a una distancia constante llamada radio de giro, tenemos:

Y finalmente:

Teorema de los ejes paralelos o teorema de SteinerEste teorema es til para hallar momentos de inercia de reas con respecto a un eje que no pasa por el centroide de estas, considerando un eje centroidal, paralelo al primero, de modo a simplificar clculos:El teorema es el siguiente:

Y expresa que el momento de inercia de un rea de valor A, con respecto a un eje aa, es igual a la suma del momento de inercia con respecto a un eje centroidal oo paralelo al primer eje aa, mas el producto del cuadrado de la distancia entre ambos ejes y el valor total del rea en cuestin.Es til considerar que el momento con respecto a cualquier eje, es igual al momento de inercia con respecto a un eje centroidal, paralelo al primero, y (por ms de que sea ilgico pensar que un punto puede tener rea finita) toda el rea del objeto concentrada en un punto a una distancia d del eje considerado, Sumarle este valor al momento centroidal. Adems reemplazando:

Se tiene:

Una forma alternativa de este teorema y una relacin entre radios de giro generales y centroidales.De manera similar se deduce la relacin entre momentos de inercia y radios de giro polares:

y

Producto de inercia:El producto de inercia de un rea, con respecto a los ejes e se define segn la integral:

Donde e son las coordenadas de cada elemento diferencial de rea evaluada en todo su dominio, a diferencia de los momentos de inercia, el producto de inercia puede tomar valores positivos negativos o cero.Cuando uno o ambos ejes ( e ) son de simetra, se tiene la particularidad de que este producto es cero.De manera anloga al teorema de los ejes paralelos para el momento de inercia de reas se puede llegar a otro que relaciona el producto de inercia con respecto a dos ejes perpendiculares cuales quiera, y un eje centroidal paralelo al primero:

Donde es el momento cualquiera el momento de inercia centroidal y el producto de las coordenadas del centroide y el rea.Ejes principales y momentos principales de inerciaAl considerar un rea especfica en la cual est definido un origen de coordenadas, y otro sistema de ejes de coordenadas x y perpendiculares, de origen comn al primero. Se pueden establecer transformaciones de rotacin de ejes entre ambas coordenadas, con el objetivo de encontrar una relacin, entre los momentos de inercia y el producto de inercia con respecto al nuevo sistema de referencias, y los momentos y producto de inercia originales, esto se hace reemplazando adecuadamente las relaciones de transformacin:

En:

Tras las operaciones se llega a la ecuacin:

Resaltando que ambos miembros de la ecuacin son iguales al momento polar de inercia . Por lo tanto, para hacer mas completa y til esta relacin:

Adems se llega tambin a:

Y forzando que:

La ecuacin queda finalmente como:

Tomando como abscisa y como ordenada la ecuacin representa una circunferencia, con centro sobre el punto . Considerando esta circunferencia, y su interseccin con el eje notamos dos puntos cruciales en donde fcilmente se deduce que representan los valores mximo y mnimo para . Estos son los llamados momentos principales de inercia, y los ejes asociados a estos, ejes principales de inercia.Si se desea conocer los valores de los ngulos para cuando los ejes son ejes principales, estos se calculan a travs de la frmula:

Mtodo del trabajo virtualEl trabajo virtual, es un mtodo que presenta una ventaja amplia para resolver problemas referentes a sistemas de cuerpos rgidos interconectados, puesto que, como se ver ms adelante, nos presenta relaciones directas entre las fuerzas externas que actan sobre el sistema, sin la necesidad de calcular previamente reacciones entre los miembros internos. El principio del trabajo virtual es muy simple, para entenderlo empecemos considerando un sistema de fuerzas externas que actan sobre una partcula, esta partcula al sufrir un desplazamiento infinitesimal denotado por , se puede afirmar de manera concluyente que estas realizarn un trabajo, el trabajo total realizado en la partcula viene dado por la suma de todos los trabajos individuales de las fuerzas, es decir:

O de otra forma:

Donde es la resultante de todas las fuerzas, ahora bien, sabemos que el sistema esta en equilibrio, y por lo tanto y finalmente concluimos que el trabajo virtual tambin debe ser igual a cero es decir:

Para un sistema en equilibrio.Trabajo realizado por las fuerzas internas en un cuerpo rgido:Consideremos dos partculas de un cuerpo rgido, ahora bien al considerar las fuerzas que mantienen unidas las partculas, podemos concluir fcilmente que estas tendrn igual magnitud direccin (sta, en la direccin de la lnea que une ambas partculas ) y sentido contrario, y su desplazamiento tendr la misma proyeccin sobre la lnea que une las ya mencionadas partculas, porque de otro modo la distancia que las separa no se mantendra constante, llegando a un absurdo puesto que, ya habamos mencionado que el cuerpo es rgido. Entonces tenemos dos fuerzas de igual magnitud y signo contrario, con la misma componente de desplazamiento sobre la direccin de la fuerza, podemos entonces concluir que el trabajo realizado por ambas se anula completamente. Y as tambin para cada fuerza interna del cuerpo rgido, y por tanto el trabajo realizado por cualquier fuerza interna, es as como se concluye que el trabajo realizado por cualquier fuerza interna de un cuerpo rgido es nula.Ahora ya podemos extender el principio de trabajo virtual a cuerpos rgidos: consideremos que el cuerpo est en equilibrio, entonces podemos decir que todas sus partculas tambin lo estn y por ende el trabajo virtual sobre todas ellas ser nulo:

Pero considerando lo anterior, el trabajo de todas las fuerzas internas ser tambin cero y nos encontramos con la siguiente situacin:

es entonces como tambin el trabajo realizado por las fuerzas externas al cuerpo sern nulas, ampliando as el concepto a cuerpos rgidos. De manera anloga se concluye que para sistemas de cuerpos rgidos interconectados, las fuerzas que mantienen unidas las partes del sistema tampoco realizan trabajo de modo que tambin el trabajo virtual realizado por fuerzas externas de un sistema formado por estos debe ser nulo.Para concluir esta seccin, afirmamos que principio del trabajo virtual puede enunciarse de la siguiente manera:La suma de los trabajos virtuales realizados por las fuerzas externas de un sistema en equilibrio es siempre ceroFuerzas externas de un sistema que no realizan trabajo: Hasta aqu se entiende que la suma del trabajo virtual de las fuerzas externas de un sistema en equilibrio es siempre nulo, sin embargo una de las ventajas que presenta el trabajo virtual consiste en que no todas las fuerzas externas de un sistema, realizan trabajo virtual, muchas de estas son cero. Empecemos por el trabajo realizado por fuerzas que son perpendiculares a la direccin del desplazamiento, por definicin de trabajo, sabemos perfectamente que este trabajo es nulo, como el trabajo de la reaccin de una superficie plana cuando el desplazamiento virtual tiene direccin paralela a este plano, tambin el trabajo realizado por fuerzas cuyo punto de aplicacin es fijo, como lo suele ser el trabajo de las reacciones en los apoyos de segundo gnero, como este punto no se mueve, su desplazamiento virtual es nulo y por ende el trabajo tambin.Es necesario tener en cuenta estas consideraciones a la hora de plantear las ecuaciones de trabajo virtual.Super precisa de trabajo virtual:El principio del trabajo virtual, nos permite escribir una ecuacin en donde cada termino debe estar multiplicado por un desplazamiento o por un giro infinitesimal, es decir nos deja una ecuacin de la siguiente forma:

En donde no todos los y van a ser los mismos, es en donde

Criterios de equilibrio para un sistema.El criterio es muy simple:El sistema est en equilibrio, entonces la primera derivada de la energa potencial del sistema es nula.Y de manera ms especfica: La energa potencial del sistema es mxima, el equilibrio es inestable. La energa potencial del sistema es mnima, el equilibrio es estable. La energa potencial del sistema es constante, el equilibrio es indiferente.Es as como se puede aplicar fcilmente este criterio para hallar requisitos para que el sistema se encuentre en equilibrio, solo basta en dejar a la energa potencial en funcin a un nico parmetro . Hallar la primera derivada, y encontrar los puntos crticos correspondientes a cada situacin.

fuerzas en vigas y en cablesFuerzas internas en elementos:

Existen dos elementos estructurales que son de especial inters en la ingeniera, que son utilizados para soportar cargas ya sean concentradas o distribuidas, estas son las vigas y los cables. Al considerar vigas, es importante entender que existen fuerzas internas que mantienen unidas las partes de la misma, y por lo tanto el estudio de estas fuerzas es de vital importancia ya que estas son las que determinan el tipo de elemento que ser necesario para que