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Matemática - Funciones
Publicación enviada por Alejandro Carreiras
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Resumen: Funciones. Aplicaciones de las funciones reales. Consecuencias de la definición de logaritmo. Funciones Trigonométricas.
Índice1. Introducción2. Funciones3. Aplicaciones de las funciones reales4. Consecuencias de la definición de logaritmo5. Funciones Trigonométricas6. Conclusiones7. Bibliografía
1. Introducción
En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana.
Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:Función TrigonométricaFunción CuadráticaFunción Afín (Lineal)Función LogarítmicaFunción ExponencialFunción Polinómica
El principal objetivo de esta monografía es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios. El método de investigación es la consulta bibliográfica y el análisis de la misma.
2. Funciones
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet(1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representaun número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y estánasociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla ocorrespondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es unafunción (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan
librementevalores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyosvalores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valorespermitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y losvalores que toma Y constituye su recorrido".
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cadaelemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que seescribe y=f (x). En símbolos, f: A BEs decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función,debe cumplir dos condiciones, a saber:Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento deldominio puede tener más de una imagen.El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algúnelemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
Observaciones:En una función f: AB todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.Un elemento y E B puede:No ser imagen de ningún elemento x E ASer imagen de un elemento x E ASer imagen de varios elementos x E A.La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
Formas de expresión de una funciónMediante el uso de tablas:
X
Y
-1
0
½
1
2
1
0
¼
1
4
Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real devariable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejescartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A
3. Aplicaciones de las funciones reales
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el serhumano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricasen correspondencia con otra, debido a que se está usando
subconjuntos delos números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad pararesolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, deestadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía,de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo enpesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemosescribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como elprecio y la cantidad de producto como "y".
Función AfínSe puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso dela oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de estafunción y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relacionesfundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si unconsumidor desea adquirir cualquier producto, este depende delprecio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifiquela cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos acomprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley mássimple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad delartículo y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para elentendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimentopsicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamadospendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráficaes una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa porel origen de coordenadas (0,0).
Función CuadráticaEl estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemáticasino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: latrayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un ríoal caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobrela cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respectoal tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidadinicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha
tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función LogarítmicaLa geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmicales permite determinar la brillantez y la magnitud.En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles deun sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log(I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidadde área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oídohumano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz altatiene un ruido de fondo de 65 decibeles.El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N dacomo resultado a.Logb a = N si bN = aNotación logarítmicaNotación exponencial
4. Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 12. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo esigual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o
cero.5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,0<N<1, es negativo si la base b del logaritmo es b>1.6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,0<N<1, es positivo si la base b del logaritmo es b<1.7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.
Propiedades de los logaritmoLogaritmo de un productoEl logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.logb(X · Y)= logb X + logb Y
Logaritmo de un cocienteEl logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
Logaritmo de una potenciaEl logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.loga Xn = n loga X
Logaritmo de una raízEl logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.
Función ExponencialSe aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos sonde tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple laley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae.En ,]H+[la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log es la concentración de iones de una sustancia expresada en]H+[donde moles por litro. El PH del agua destilada es7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.
Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t,donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.
El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0
ekt, donde N0 es la población inicial, tes el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.
En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».
Propiedades de la función exponencial y = ax1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 12a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Ecuaciones ExponencialesLas ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:
x = yÛ1. ax = ay
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
5. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que
dependen de lamagnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano decoordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincidecon el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por elorigen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadasx e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) enque se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o yserá cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen essiempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra enel eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no estádefinida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esosángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está enel eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos que varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes
situaciones problemáticas en otras ciencias.En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.
En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material.En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.
Funciones PolinómicasExpresión matemática formada por una suma de productos de números reales (o más generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la que la mayor potencia de la variable se la llama grado del polinomio.Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable real, en la que la x es una variable numérica de la función; así, por ej.,P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna al valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera (interpretando las x como variables numéricas) se pueden generalizar las operaciones definidas en los números reales a operaciones de polinomios, que quedan entonces definidas como:
Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn
+bxn = (a + b)xn; así, por ej., (3x2 + 4x + 2)+ (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3x2 + 9x + 1.
Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos por el número.Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y se suman.Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un polinomio por todos los del otro [teniendo en cuenta que (axn) .(bxm) = abxn+m], y se suman los resultantesDivisión de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es unpolinomio).P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de algunas operaciones sobre un retículo distributivo complementado.P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de A– xl, donde / es la matriz identidad. Es de gran importancia dado que está asociado a todas las matrices semejantes y es útil para reducirlas a su forma canónica.
P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a partir de un cierto lugar todos los términos son nulos. Sus términos se numeran comenzando por el índice 0, existiendo por tanto un desfase de una unidad entre el índice que caracteriza un término y su orden.P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del conjunto de las variables, por lo que un polinomios de estas características constituye una función homogénea cuyo grado de homogeneidad coincide con el grado mencionado.P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que no puede descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientes ak.P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí.
6. Conclusiones
Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química.El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar alo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la practica.
7. Bibliografía
Enciclopedia Microsoft Encarta 1999Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.arAnálisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.Enciclopedia Clarín, Tomo 20
ResumenTeniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas, comenzamos a interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra función. Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función trigonométrica, cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica.Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras ciencias y además aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida diaria.Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que incorporamos gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática era inútil.Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada situación.
