Conceptos Básicos de Mecánicas Leyes de NewtonSistema de UnidadesVectores y Escalares

TrigonometríaLey del seno y Ley del Coseno

Resumen de la Clase AnteriorUnidad - Sistema de Fuerzas - Parte I

REGLAS Y NORMAS DE LA ASIGNATURARegla N. 1: “Ser Puntual”, si llega tarde toque la puerta y ofrezca disculpas por el retraso y por interrumpir la clase y luego pida permiso para entrar.

Regla N. 2: “Tener buena conducta”, normas del buen hablante y buen oyente y un comportamiento ético de alto nivel.Regla N. 3: “Asistencia a Clases”, cumpliendo con las normas y código de ética de la Universidad Fermín Toro un alumno que presente 4 faltas injustificadas pierde la asignatura, “recuerde llevar justificativo y no faltar a clases”

Regla N. 4: “No se regalan puntos”, Recuerde que la calificación es una escala para medir su desempeño y aprendizaje durante la asignatura no un obsequio o una recompensa.

Unidad ISistema de Fuerzas - Parte II

Objetivos y Contenido de la ClaseObjetivos

“Identificar los elementos de una fuerza mediante la solución de ejercicios prácticos”

Contenido• Concepto y Características de las Fuerzas sus componentes en dos y

tres dimensiones• Ejercicios prácticos de sistema de fuerzas en 2 dimensiones y

Momento Torsor producido por una Fuerza

“Me lo contaron y lo olvidé; lo vi y lo entendí; lo hice y lo aprendí”

Confucio

Concepto de Fuerzas y Sus Componentes¿Qué es Fuerza?

“Es una magnitud vectorial que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas”.

¿Cuales son los Componente de una Fuerza?

“En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus dos componentes perpendiculares entre sí. A continuación se mostrara una imagen donde la

fuerza F se ha descompuesto en una componente Fx a lo largo del eje x y una componente Fy a lo largo del eje y. El paralelogramo trazado para obtener las dos

componentes es un rectángulo, y las fuerzas Fx y Fy y se llaman componentes rectangulares

Adición o Suma de VectoresPor definición los vectores se suman de acuerdo a la ley del Paralelogramo. Así, la suma de

dos vectores P y Q se obtiene uniendo los dos vectores al mismo punto A y construyendo un paralelogramo que tenga por lados a P y a Q

Puesto que el paralelogramo construido con los vectores P y Q no depende del orden en que P y Q se seleccionen, se concluye que la adición de dos vectores es conmutativa, y se

escribe:

Adición o Suma de VectoresMétodo del Triángulo: Puesto que el lado del paralelogramo opuesto a Q es igual a Q en magnitud y dirección, se podría dibujar sólo la mitad del paralelogramo. De esta manera, la suma de los dos vectores puede encontrarse colocando P y Q de punta a cola y uniendo la

cola de P con la punta de Q

Adición o Suma de VectoresAhora se considerará la suma de tres o más vectores. La suma de tres vectores P, Q y S se obtendrá por definición, sumando primero los vectores P y Q y agregando el vector S al

vector P + Q. De manera que: P + Q + S = (P+Q) + S

Resta o Sustracción de VectoresLa resta de un vector se define como la adición del vector negativo correspondiente. De

manera que el vector P + Q que representa la diferencia de los vectores P y Q se obtiene agregándole a P el vector negativo -Q y se escribe:

P - Q = P + (-Q)

Descomposición de una Fuerza en sus Componentes

Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la misma manera, una sola fuerza F que

actúa sobre una partícula puede reemplazarse por dos o más fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se les llama componentes de la fuerza original F, y al proceso de sustituirlas en lugar de F se le llama descomposición de la fuerza F en sus componentes y

pueden evidenciarse 2 casos de especial interés.

Caso 1: Una de las dos componentes, P, se conoce. La segunda componente, Q, se obtiene aplicando la

regla del triángulo y uniendo la punta de P a la punta de F; la magnitud, la dirección y el sentido de Q se determinan gráficamente o por trigonometría.

Descomposición de una Fuerza en sus Componentes

Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la misma manera, una sola fuerza F que

actúa sobre una partícula puede reemplazarse por dos o más fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se les llama componentes de la fuerza original F, y al proceso de sustituirlas en lugar de F se le llama descomposición de la fuerza F en sus componentes y

pueden evidenciarse 2 casos de especial interés.

Caso 2: Se conoce la línea de acción de cada una de las componentes. La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la ley del paralelogramo y trazando

líneas, por la punta de F, paralelas a las líneas de acción dadas. De esta forma se obtienen dos componentes bien definidas P y Q, que pueden determinarse

gráficamente o por trigonometría aplicando la ley de los senos.

Componentes Rectangulares de una Fuerza

Resolución Ejercicios Prácticos

Ejemplo 1: Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese su resultante.

Pasos para la resolución del Ejercicio: Método Gráfico

Paso 1: Establecer la escala en la cual se trabajaraPaso 2: Con unas escuadras, transportador proceda a realizar los vectores a

través del método del paralelogramo o del triángulo Paso 3: Mida su vector resultante con la regla y a través de una regla de 3

sencilla obtenga la magnitud del vector resultante

Pasos para la resolución del EjercicioPaso 1:Realizamos una adición de vectores a través del método del triángulo, de tal manera que la cola de nuestro vector Q la uniremos con la punta del vector P, dándonos como resultado el vector de la fuerza resultante R

A través de un resolución trigonométrica formaremos un triángulo rectángulo, y descompondremos el vector Q ya que su componente en “y” Qy nos dará uno de los catetos y la suma del vector P mas la componente del vector Q en “x” Qx nos dará el cateto restante

Paso 2:

Pasos para la resolución del Ejercicio

Pasos para la resolución del Ejercicio

CD= (60) sen 25 CD = 25,36 N

BD = (60) cos 25 BD = 54,38 N

Paso 3:Descompondremos el vector Q en sus 2 componentes Qx y QyQy = CD Qx = BD

AD = P + Qx = P + BD AD = 40 + 54,38 AD = 94,38 N

Pasos para la resolución del EjercicioPaso 4:Tomaremos el punto A como referencia y procederemos a aplicar una función trigonométrica para obtener el ángulo A

Tang A = Cat O/ Cat A Tang A = 25,36/ 94,38 Tang A = 0.2687 A = Arctang (0.2687) A = 15.04

= 20 + A = 20 + 15,04= 35,04

Pasos para la resolución del EjercicioPaso 5:Aplicaremos el teorema de Pitagoras para obtener la magnitud del vector R

Resultado:

Paso 1: Identificar cuáles de las fuerzas son aplicadas y cuál es la resultante. En muchas ocasiones es útil escribir la ecuación vectorial que muestra la forma en que las fuerzas están relacionadas entre sí.

Por ejemplo: R = P+Q

Resolución de Problemas en Forma IndependienteLa solución de un problema propuesto debe basarse en los siguientes pasos

Paso 2: Dibujar un paralelogramo con las fuerzas aplicadas como dos lados adyacentes y la resultante como la diagonal que parte del origen de los dos vectores. Se puede usar la regla del

triángulo, alternativamente, con las fuerzas aplicadas dibujadas con la unión de la parte terminal de uno de los vectores a la parte inicial del otro y dibujando la fuerza resultante extendiéndose desde

la parte inicial del primer vector hasta la parte terminal del segundo vector

Paso 3: Con el uso de uno de los triángulos del paralelogramo, o el triángulo construido de acuerdo con la regla del triángulo, se deben señalar todas las dimensiones ya sean lados o ángulos y

determinar las dimensiones desconocidas ya sea en forma gráfica o por trigonometría. Si se usa trigonometría, debe recordarse que la ley de los cosenos se debe aplicar primero si dos lados y el ángulo que éstos forman son conocidos y la ley de los senos debe aplicarse primero si uno de los

lados y todos los ángulos son conocidos.

Resolución de Problemas en Forma IndependienteLa solución de un problema propuesto debe basarse en los siguientes pasos

Vectores UnitariosEn este punto se introducirán dos vectores de magnitud unitaria dirigidos a lo largo de los ejes positivos x y y. A estos vectores se les llama vectores unitarios y se representan por i y

j, respectivamente. Al recordar la definición del producto de un escalar y un vector, se observa que las componentes rectangulares Fx y Fy de una fuerza F pueden obtenerse con la multiplicación de sus respectivos vectores unitarios i y j por escalares apropiados y

Se escribe:

Adición de Fuerzas Sumando sus Componentes X y YCuando se van a sumar tres o más fuerzas, no puede obtenerse una solución trigonométrica

práctica del polígono de fuerzas que define a la fuerza resultante. En este caso puede obtenerse una solución analítica del problema si se descompone cada fuerza en sus elementos rectangulares.

Considere, por ejemplo, las tres fuerzas P, Q y S que actúan sobre una partícula A (figura 2.25a). Su resultante R está definida por la relación:

Si se descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares, se escribe:

Entonces:

Adición de Fuerzas Sumando sus Componentes X y YCuando se van a sumar tres o más fuerzas, no puede obtenerse una solución trigonométrica

práctica del polígono de fuerzas que define a la fuerza resultante. En este caso puede obtenerse una solución analítica del problema si se descompone cada fuerza en sus elementos rectangulares.

Considere, por ejemplo, las tres fuerzas P, Q y S que actúan sobre una partícula A (figura 2.25a). Su resultante R está definida por la relación:

en Resumen:

Resolución Ejercicios Prácticos

Ejemplo 1: Cuatro fuerzas actual sobre un perno A como se muestra en la figura. determine la resultante de las fuerzas sobre el perno

Paso 1: Descomponer todas las fuerzas en sus componentes X y Y para obtener sus vectores unitarios i y j

Fuerza Magnitud N Competente x, N

Componente y, N

F1 150 129,9 75

F2 80 -27,4 75,2

F3 110 0 -110

F4 100 96,6 -25,9

F 199,1 14,3

Paso 2: Obtener las fuerzas resultantes en Rx y Ry

= 4,1

199,6 N

Paso 1: Cuando esta involucradas 3 o mas fuerzas la determinación de su resultante R se lleva a cabo de manera más sencilla descomponiendo primero cada una de las fuerzas en sus componentes

rectangulares.

Resolución de Problemas en Forma Independiente

La solución de un problema propuesto debe basarse en los siguientes pasos

Paso 2: Las componentes Rx y Ry y de la resultante se pueden obtener con la suma algebraica de las componentes correspondientes de las fuerzas dadas. De manera alternativa, se pueden determinar la magnitud y la dirección de la resultante resolviendo para R y para el ángulo que R forma con el eje

x, el triángulo rectángulo de lados Rx y Ry

Momento de una Fuerza con Respecto a un PuntoEn mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto

dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento)

por el vector fuerza, en ese orden. También se denomina momento dinámico o sencillamente momento. Ocasionalmente recibe el nombre de torque a partir del término

inglés (torque), derivado a su vez del latín torquere (retorcer).

Momento de una Fuerza con Respecto a un PuntoEl momento de una fuerza F con respecto a un punto O se definió como el producto vectorial

Donde r es el vector de posición trazado desde O

hasta el punto de aplicación A de la fuerza F. Si se representa con un ángulo entre las líneas de acción de r y F, se encontró que la magnitud del momento

de F con respecto a O podía expresarse como

Donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la linea de acción en F

Mo = FxdPara definir el sentido de Mo se logra por medio de la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha

y manténgala de manera que sus dedos estén doblados en el mismo sentido de la rotación que F le

impartiría al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de la línea de acción de MoO; su dedo pulgar indicará el sentido del momento MoO

Momento de una Fuerza con Respecto a un PuntoEl momento de una fuerza F con respecto a un punto O se definió como el producto vectorial

Resolución Ejercicios Prácticos

Ejemplo 1:Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de una palanca que está unida a una flecha en el punto O. Determine: a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O; b) la

fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; c) la fuerza mínima aplicada en A que origina

el mismo momento con respecto a O; d) qué tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar el

mismo momento con respecto a O

Resolución Ejercicios Prácticosa) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O

La distancia perpendicular desde O hasta la linea de la

fuerza de 100 lb es:

d = (24 Pulg) x Cos(60) = 12 Pulg

La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O es igual a :

Mo = Fxd = (100lb)x(12Pulg) = 1200 lbxPulg

Resolución Ejercicios Prácticosb) la fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo

momento con respecto a O

En este caso se tiene que:

d = (24 Pulg) x sen(60) = 20,8 Pulg

Como el momento con respecto a O debe ser igual a 1200 lbxPulg entonces :

Mo = Fxd => 1200 lbxPulg = F x 20,8 Pulg

=> F = 57,7 lb

Resolución Ejercicios Prácticosc) la fuerza mínima aplicada en A que origina el mismo

momento con respecto a O

Como Mo = Fxd, el mínimo valor de F se obtiene cuando d es máximo. Se selecciona la fuerza perpendicular OA y se obtiene que

d = 24 Pulg

Mo = Fxd => 1200 lbxPulg = F x 24 Pulg

=> F = 50 lb

Resolución Ejercicios Prácticosd) qué tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de

240 lb para originar el mismo momento con respecto a O

En este caso Mo = Fxd proporciona la siguiente relación:

Mo = Fxd => 1200 lbxPulg = 240 Lb x d

=> d = 5 Pulg

OB cos(60) = d=> d = 10 Pulg

Para obtener la distancia OB procedemos a:

Referencias BibliográficasBeer, Johnston, Mazurek, Eisenberg. (2009).Mecanica Vectorial para Ingenieros. Novena Edición. Editorial McGrawHill Interamericana.

¿Que aprendimos hoy? • Que es Fuerza y cuales son sus componentes

• Adición y descomposición de una Fuerza

• Aprendimos a resolver un ejercicio practico para determinar la fuerza resultante en un sistema de fuerzas en 2 Dimensiones, a través de

procesos gráficos y analíticos

• Aprendimos a resolver un ejercicio practico para calcular el Momento torsor (Torque) producido por una fuerza

Recomendaciones Generales:• Ser Puntual• Traer todos los instrumentos para presentar la prueba: Lapiz,

Borrador, Colores, Sacapuntas, juego geométricos etc.• Estudiar los temas impartidos en la Unidad I• Recordar aplicar la metodología enseñada• Recordar revisar la pagina web donde esta todo el material de la

unidad

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aprendí”

Confucio