resumen electricos 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL

CALLAO

Anlisis de Redes Elctricas 1

Esc. Prof.: INGENIERIA ELCTRICA

UNAC-FIEE

CDIGO 2010B

ANLISIS FASORIAL


CALLAO


Caracterstica de las senoides

Considere la siguiente tensin variable senoidalmente:

tSenVtv max

Variable

Independiente

Es la Amplitud de la Onda

Senoidal.

el argumento de la funcin.

Caractersticas de las senoides

Frecuencia Angular o Frecuencia en radianes.- Corresponde a [rad/seg].

Ciclo: Segmento o porcin de la onda que se repite.

Periodo (T): El tiempo que dura un ciclo, se mide en segundos.

Frecuencia (f) : Es el nmero de ciclos (oscilaciones) que una onda

senoidal efecta en un tiempo dado, se mide en Hertz [Hz] (ciclos

por segundo).

De all se obtiene que:

y sabiendo que:

podemos obtener la relacin comn entre la frecuencia y la

frecuencia en radianes.

Tf

1

2T

f 2


CALLAO


Adelanto

)(tv

t

v

)()( max tCosVtv

)()(' max vtCosVtv

La onda en rojo [v], ADELANTA a la onda en azul [v] en v grados.

Retraso

)(tv

t

v

)()( tCosVtv mx

)()(' vmx tCosVtv

La onda en rojo [v] ATRASA a la onda en azul en v grados.


CALLAO


Retraso y Adelanto

Cuando se desea comparar 2 funciones

senoidales, antes se debe tener en cuenta lo

siguiente:

Escribir ambas como funciones de SENO o de COSENO.

Expresarse con amplitudes positivas.

Tener cada una la misma frecuencia.

Angulo de Fase

Nos indica el desplazamiento de la onda con respecto al origen.

Es decir, cun adelantada o retrasada est la onda respecto al origen.

tSenVtv m

v(t)

t0

2

2

3 2

mV

mV

tSenVtv m


CALLAO


Conversin de Senos y Cosenos

El seno y el coseno son en esencia una misma

funcin, pero con una diferencia de fase de 90.

)90()( tCostSen

)90()( tSentCos

)180()( tSentSen

)180()( tCostCos

ngulo de fase entre Voltaje y Corriente

Es importante comparar los ngulos de fase de la respuesta de

VOLTATE y de CORRIENTE.

A este ngulo resultante lo definimos as:

vi[phi] , y es la fase del voltaje con respecto a la corriente.

Tambin lo podemos hallar

mediante:

R

LTan

1

[phi], definido en

trminos de: la

frecuencia, la

inductancia, y la

resistencia.

zvi O podemos

decir

Esta nomenclatura se refiere

al ngulo de fase de la corriente,

voltaje e impedancia.


CALLAO


ngulo de fase entre Voltaje y Corriente

Recordando

que: iv Observamos lo siguiente,

0

i

v

i

v

(+)

El Voltaje

adelanta a la

Corriente

Fase positiva

0

v

i

v

i

(-)

El Voltaje atrasa a

la Corriente

Fase negativa

Impedancia

La impedancia es la oposicin combinada, que presentan

ciertos dispositivos elctricos pasivos al paso de la corriente

tanto continua como alterna.

R

LTantCos

LR

Vti mx

1

222)(De la respuesta de

corriente:

Podemos formar el siguiente

tringulo:

L

R

Ziv

Donde:

][222 LRZ impedancia

][R resistencia

][L Reactancia inductiva

R

LTan

1


CALLAO


v

j VeVV v maxmax_

i

j IeII i maxmax_

)()( maxmax

_

ii SenjICosII )()( maxmax_

vv SenjVCosVV

imaginario

real

Representacin polar y rectangular de los fasores de corriente y voltaje

)(max iCosI

)(max iSenjI

i

_

I

imaginario

real )(max vCosV

)(max vSenjV

v

_

V

Entonces para representar la impedancia podemos decir que:

LjR

eVeI

v

i

jj

maxmax

j

jj

eZ

eVeI

v

i

_

maxmax

)(

_

maxmax

vi jj e

Z

VeI

Tambin lo podemos expresar con coordenadas rectangulares:

LjReZZ j __

SenZjCosZZ___

R Lj

imaginario

real )(

_

CosZR

)(_

SenZjLj

_

Z


CALLAO


Dominio de la Frecuencia

Representacin Compacta

Dominio del Tiempo

Voltaje

Corriente

Reactancia Inductiva

Resistencia

Impedancia

vj

mxeVV vmxVV

)()( vmx tCosVtv

ij

mxeII imxII )()( imx tCosIti

90jLeHLj

V

I

R

Representaciones en el dominio del

Tiempo y en el dominio de la Frecuencia

La respuesta en dominio de la frecuencia del voltaje y la corriente,

contienen los datos necesarios para poder representarla en el

tiempo, es decir: amplitud y ngulo de fase.

90L HLLZ

Re j0 0R R

Z

jeZ

LjRZ

0Z

Fasor Son vectores en rotacin en el plano complejo

Representan seales senoidales:

tensiones y corrientes

son nmeros complejos

el mdulo es igual a la amplitud de la seal

el ngulo es igual al desfasaje de la seal

La equivalencia se mantiene en la suma por lo tanto son aplicables la leyes de Kirchoff.

Un Fasor es una cantidad fsica ficticia, pero la parte real representa un valor instantneo.


CALLAO


Importante: El Voltaje y la Corriente son cantidades fasoriales. V I

La Impedancia NO ES UN FASOR. nicamente es un nmero

complejo, pero no un fasor.

Z

Z

real

imag

Impedancia (solo se ubican

en 1ro. y 4to. cuadrante). Voltaje o Corriente (giran en

todo el plano complejo).

V

V

V

V

imag

real

Transformacin Fasorial EL proceso ,mediante el cual cambiamos i(t) a I recibe el

nombre de transformacin fasorial, del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

)(Re)( itjmxeIti

)()( imx tCosIti

ij

mxeII

imxI I

Recuerde que ninguno de los circuitos que estamos considerando responder a una frecuencia que no sea la de la fuente de excitacin por lo que siempre se conoce el valor de w.


CALLAO


Transformar elementos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia

Voltaje

Corriente

dt

diLtv )( IjwLV

idtCtv

1)( IV

wCj

1

+ - R

v

+ -

L

v

+ -

C

v

+ -

R

+ -

)()( vmx tCosVtv

)()( imx tCosIti

vmxVV

imxII

IRV

+ - V

V

V)()( tRitv

1. Si la impedancia tiene solo parte real

2. Solo parte Imaginaria

3. Parte real e Imaginaria

02202 jZa

90330 jZb

Resistencia

Pura

87.36534 jZC


CALLAO


RED DE CORRIENTE ALTERNA

iv vVV max

Una corriente o un voltaje sinusoidal determinado se caracterizan por slo dos

parmetros: amplitud y ngulo de fase. La representacin compleja del voltaje

o la corriente se caracteriza tambin por ambos parmetros. Ej.:

, en forma fasorial o fasor sera: )(max)( vtCosVtv

ZZ

iII max

Potencia y Energa

)()()( titvtp

)()()( maxmax itCosItCosVtp v

)()(2

1)( maxmax iviv wtwtCoswttCosIVtp

)(

2

1)2(

2

1)( maxmaxmaxmax CosIVtCosIVtp iv

Ptptp )()(

Para establecer la potencia en el dominio de la frecuencia debemos primero definirla en el dominio del tiempo:

Variable Constante; es el trmino que eleva la onda sinusoidal

)()2(2

)(maxmax

iviv CostCosIV

tp


CALLAO


T

Tp Tp

Imax

Vmax

/2

3/2

2

I(t) (=45)

V(t)

TpT 2

PRMP

P(t)(=45)

/4

i

T: perodo para la onda de voltaje y corriente.

Tp: perodo de la onda de potencia promedio, que es la mitad del perodo de la onda de voltaje y corriente.

Pprm: Potencia promedio

wt

Los valores negativos de la potencia se deben a que una de las dos ondas (voltaje o corriente) es negativa en ese intervalo, en los intervalos en los que tienen el mismo signo (el voltaje y la corriente) la potencia siempre es positiva.

Si cos()=1 la onda fuese slo positiva (Red puramente resistiva).

Si el ngulo de impedancia es cercano a 90 el desplazamiento es mnimo.

Si el ngulo de impedancia es cercano a 0 el desplazamiento es mximo.

Vmax

/2

3/2 2

I(t) (=45)

V(t) PRMP

P(t)(=45)

/4

w

t

P negativa P negativa P negativa


CALLAO


CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO

R V V(t) = Vmax COS wt

+ -

i (t) +

-

I (t) = i max COS wt

p(t)

wt v(t)

i(t)

maxmax2

1IVPprom

Tp Tp

T

2

2cos1cos2

wtwt

wtIVP tR 2cos12

maxmax)(

wtIVIVP tR 2cos2

1

2

1maxmaxmaxmax)(

)()()( titvP tR

)cos)(cos( maxmax)( wtIwtVP tR

wtIVP tR2

maxmax)( cos

CIRCUITO PURAMENTE INDUCTIVO

= [ V max COS wt] [I max COS (wt 90)]

= [ V max COS wt] [ I max SEN wt]

= V max I max COS wt SEN wt

P L(t) = V(L) i (t)

SEN 2wt = 2 COS wt SEN wt

P L(t) = V max I max SEN 2wt

v(t)

p(t)

wt

i(t)

T

Tp Tp


CALLAO


CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO P c(t) = V (t) i (t)

= [ Vmax COS wt ] [ I max COS (WT + 90)]

= [ V max COS wt ] [I max ( -SEN WT)]

P c(t) =- V max I max COS wt SEN wt

P c(t) = -1/2 V max I max SEN 2wt

v(t)

i(t)

p(t)

wt

T

Tp Tp

T

prom dttpT

P0

)(1

)(11

)(1

0 0

TPT

PdtT

dttpT

PT T

prom

0

])[(Immax2

1wattaxCosVPPprom

Potencia Promedio En un circuito CA la potencia est variando con el tiempo,

por ello trabajamos con el promedio. (No se habla de valor promedio para voltaje y corriente debido a que sus valores positivos y negativos son simtricos)

Matemticamente Pprom es el rea bajo la curva:

promP

promP

promP


CALLAO


Valores eficaces de corriente y voltaje

T

prom dttpT

P0

)(1

0iv

)()()( titvtp

)()( tRitv

)()(* 2 tRitp

R

tvtp

)()(*

2

vV max

iax Im

R

A partir de la potencia promedio encontraremos ahora los valores de corriente y voltaje eficaces:

TT

prom dttiT

RdttRi

TP

0

2

0

2 )()(1

eff

T

prom RIdttiT

RP 2

0

2 )(1

T

eff dttiT

I0

2 )(1

eff

T

prom VR

dttvTR

P 2

0

2 1)(11

T

eff dttvT

V0

2 )(1

Al sustituir p(t) en la frmula para la potencia promedio tenemos la corriente y el voltaje eficaces:

Potencia que entregara una

fuente de corriente DC

Potencia que entregara una

fuente de voltaje DC


CALLAO


R tVtv cos)( max

Vdc

effDC II

R

El valor eficaz de cualquier corriente (o voltaje) peridica resulta igual al valor de la corriente directa que, al fluir a travs de un resistor de R ohms, entrega la misma potencia promedio (activa) al resistor que la corriente peridica.

En otras palabras: la corriente eficaz es aquella corriente constante que entrega la misma potencia a un resistor que la que entregara una corriente peridica.

T

prom dttiT

RP0

2 )(1

effprom RIP2

)()( max itCosIti

Definicin de valor eficaz de corriente(o voltaje)

)()( max itCosIti Si

T

iRMS dttCosIT

I0

2max

2 )(1

T

iRMS dttCosT

II

0

2max2

)(

Como

Por lo tanto: max21

IIRMS

2

max2 T

T

IIRMS R:roat

M:mean

S:square

dttCosdttCosT

i

T

i 00

2 )22(12

1)(

2))22(cos(

2

1)1(

2

1)(

000

2 TwtdtdttCosT

i

TT

i 0

T

eff dttiT

I0

2 )(1


CALLAO


Y si tenemos: )(max)( vtCosVtv

T

vRMS dttCosVT

V0

22 )(max1

T

vRMS dttCosT

VV

0

22

)(max

dtvtCosdttCosTT

v 00

2 )22(12

1)( Donde:

2

max2 T

T

VVRMS

max2

1VVRMS Entonces

2))22(cos(

2

1)1(

2

1)(

000

2 TwtdtdttCosT

v

TT

v 0

El valor slo

es para seales

sinusoidales

2

1

T

eff dttvT

V0

2 )(1

En resumen tenemos:

2

maxVV RMS

)()( 2 tRitp R

tvtp

)()(

2

T

prom dttRiT

P0

2 )(1

T

prom dttiT

RP0

2 )(1

2

maxIIRMS

RIP RMSprom2

T

eff dttiT

I0

2 )(1

RIP effprom2

T

iRMS dttCosIT

I0

2max

2 )(1

R

VP

RMS

prom

2

T

prom dttvTR

P0

2 )(11

effprom VR

P 21

T

prom dttR

v

TP

0

2

)(1

T

eff dttvT

V0

2 )(1

T

vRMS dttCosVT

V0

22 )(max1


CALLAO


A partir de conocer las corrientes y voltajes rms, siempre se trabajar con esos valores, por lo tanto debemos redefinir nuestros fasores conocidos.

0maxVV

02

max V

V

R

maxII

2

maxII

jXl

cosRMSRMSIVP

CosIVP effeff

CosIVP

RIP RMS2 R

VP

RMS2

Potencia

Activa.

0 RMSVV

RMSII

Factor de Potencia Anteriormente ya definimos la potencia como : CosIVP

cos Factor de Potencia. De donde: El factor de potencia (FP) es un valor entre cero y uno que determina

cuanto de la potencia entregada por una fuente (potencia aparente) es

consumida en un resistor (potencia activa)

CosIVP

Factor de Potencia.

Potencia Aparente = S

[VA]

[KVA]

[MVA] 10 FP

Circuito inductivo puro Circuito resistivo puro.

0maxVV

02

max V

V

R

maxII

2

maxII

jXl

ZLjX

R


CALLAO


Potencia Activa La potencia activa es la potencia asociada nicamente con resistores (resistencias)

Sabiendo que potencia activa es:

Tenemos:

V

RV XV

cosIVP

cosVIP

cosVVR

IVP R

IVP RR

Imag

Real

I

*El factor de potencia no puede ser mayor a la unidad. *No puede haber factor de potencia negativo.

RMSVV 0120

RMSAI 302

][377cos2120)( Vttv

][30377cos22)( Atti

30

30i

RMSVV 0120

RMSAI 302

Z

LjX

R

30

)30cos()2)(120(P

240VA

Factor de Potencia

0.866

En adelanto

negativo

En retraso

positivo

Lo que nos dice el FP de .866 es que de

la potencia posible entregada por la

fuente slo 207.84 es potencia activa, lo

restante es POTENCIA REACTIVA. WattsP 84.207


CALLAO


Potencia Reactiva

CosIVP

senIVjIVeIV j cos

jeCos Re jeIVP Re

jeIVP Re iv

)(Re ivjeIVP

senIVjIVP cosReS

P Q Potencia Reactiva.

[VAR]

[KVAR]

[MVAR]

jsene j cos

De la identidad de Euler

Potencia Compleja.

Potencia Reactiva La potencia reactiva es la potencia asociada nicamente con reactancias

Sabiendo que potencia reactiva es:

Tenemos:

V

RV XV

senIVQ

senVIQ

senVVX

IVQ X

Imag

Real

I

XVIQ


CALLAO


Otras frmulas para potencia compleja

)( ivjeIVS

jeIVS

iv jj eeIVS

iv jj eIeVS

vVV

iII

iII *

ZIV

*

IZIS

ZIS2

*IVS

ZIV

Z

VI

*

Z

VVS

*

*

Z

VVS

*

IVS

*

IVS *

2

Z

VS

SISTEMAS TRIFASICOS


CALLAO



CALLAO


CONEXIN DELTA

'aaV

a

'a

'bbV

b

'b

'ccV

c

'c

abVcaV

bcV

a

'a

'b b

c

'ca

b

c

Fuente 3 en Tringulo o Delta

abV

bcV

caV

a

b

c


CALLAO


Fuente 3 en Estrella de 4 hilos

anVEn secuencia positiva:

bnV

cnV

caV abV

bcV

120

120

0

Lncn

Lnbn

Lnan

VV

VV

VV

bnanab VVV

cnbnbc VVV

ancnca VVV

o

anab VV 30o

bnbc VV 30o

cnca VV 30

0 cabcab VVV

Diagrama Fasorial

Secuencia positiva:

Abcabcabcabc abV

anV

bnV

caVcnV

LLV21

o

anab VV 30

adelanta 30

a

LLV LnV

abV

bcV

bnV

cnV

anV

o

aban VV 30

LnV atrasa 30 a LLV


CALLAO


abV

bcV

caV

0 cabcab VVV

Como es balanceado:

a

b

c

Secuencia negativa

La secuencia negativa est

relacionada con el sentido de

rotacin.

Debido a que no es fcil

cambiar el sentido de rotacin,

la manera ms sencilla de

conseguirla es cambiar la

secuencia de rotacin

cbacbacbacba - - -

o

LnLL VV 30

atrasa 30 a LLV LnV

anV

abV

bnV

bcV

30

cnV

30

caV

30

120

120

Abcabcabcabc

o

LLLn VV 30

adelanta 30

a

LnV LLV


CALLAO


Cos 30 = (1/2 VLL) / VLn 1/2 VLL = Cos 30 VLn 1/2 VLL = 3/2 VLn VLL = 3 VLn Secuencia Positiva: Secuencia Negativa: VLL adelanta 30 a VLn VLL atrasa 30 a VLn VLL = VLn + 30 VLL = VLn 30 VLn atrasa 30 a VLL VLn adelanta 30 a VLL VLn = VLL 30 VLn = VLL + 30

De acuerdo con la relacin

: VLL = 3 VLn

1/2

VLL

VLn

Ln

LL

V

VCos 2

1

LL

LL

V

V

31

21

2

3Cos

2

31Cos

30

Sec(-)

Por lo tanto comprobamos

que: VLn adelanta 30 a VLL


CALLAO


Tambin se puede demostrar de la siguiente manera:

)120cos(222

LnLnLnLnLL VVVVV

Por Ley de Coseno

)5.0(2222

LnLnLL VVV

22

2 LnLnLL VVV

2

3 LnLL VV

LnLL VV 3

30

60

LLV

LnV

Carga Trifsica en Tringulo

Z

VI abab

Z

VI bcbc

Z

VI caca

bI

cI

abI

abV

bcI bcV

caI

caV

Z ZZ

aI


CALLAO


Por ejemplo:

Sea:

][220

][3010

VV

Z

ab

][30223010

0220A

Z

VI abab

][150223010

120220A

Z

VI bcbc

][90223010

120220A

Z

VI caca

caI

abI

30

bcI

150

En secuencia positiva:

atrasa 30 a =

En secuencia negativa:

adelanta 30 a

=

fL II 3

LI 30fI

LI 30fI

60322caaba III

1801.38abbcb III

601.38bccac III

Corrientes de lnea

6030 aaba III

18030 bbcb III

6030 ccac III


CALLAO


6030 aaba III

18030 bbcb III

6030 ccac III

caI

abI

30

bcI

150

AI

BI

CI

AI

BI

CI

AI

BI

CI

Como es balanceado

0 CBA III


CALLAO


CARGA 3 DESBALANCEADA

aI

bI

cI

abI

abV

bcI bcV

caI

caV

ABZ BCZ CAZ

aI

AB

abab

Z

VI

BC

bcbc

Z

VI

CA

caca

Z

VI

Por ejemplo:

Sea

][120220

][120220

][0220

VV

VV

VV

ca

bc

ab

][010

][9010

][3010

CA

BC

AB

Z

Z

Z

][30223010

0220A

Z

VI

AB

abAB

][210229010

120220A

Z

VI

BC

bcBC

][12022010

120220A

Z

VI

CA

caCA

][4549.42120223022 AIII CAABA

][15044302215022 AIII ABBCB

][4538.111502212022 AIII BCCAC


CALLAO


BI

Diagrama Fasorial

abI

30

bcI150

caI

120

AI

45

CI

45

CARGA 3 ESTRELLA BALANCEADA

4 Hilos (3 fases ms neutro)

3 Hilos (3 fases sin neutro)

a b c n AI

BI

CI

AI

anV

bnV

cnV

YZ

YZYZ

o

0

0

no

on

VV

V

no

Y

anA

Z

VI

Y

bnB

Z

VI

Y

cnC

Z

VI


CALLAO


CARGA 3 ESTRELLA DESBALANCEADA

4 Hilos (3 fases ms neutro)

0IIn

0

0

on

CBA

V

III

3 Hilos (3 fases sin neutro)


4 HILOS

A

anA

Z

VI

B

bnB

Z

VI

C

cnC

Z

VI

a b c n AI

BI

CI

AI

anV

bnV

cnVo

AZ

CZBZ

0

0

no

on

VV

V

no


CALLAO


Supongamos:

10

10

10

jZ

jZ

Z

C

B

A

vanV 30120303

208

][0208 vVab

vbnV 150120

vcnV 90120

Sec

AZ

VI

A

anA 3012

010

30120

AZ

VI

B

bnB 24012

9010

150120

NCBA IIII

18012120123012

1212012120cos12301230cos12 senjsenj

12866.01266866.012 jj4.46.7 j

AIN 15078.8


CALLAO


30

AI

120

BI

180

CI

NI

150

Diagrama Fasorial:

BI

AI

CI

NI150

NCBA IIII


3 HILOS

no VV

0onV

0nV

0 CBA IIIa b c n AI

BI

CI

AI

aoV

boV

coVo

AZ

CZBZ

no coV

anV

bnV

cnV

onV

0nI


CALLAO


A

aoA

Z

VI

B

boB

Z

VI

C

coC

Z

VI

onanaoonaoan VVVVVV

onbnboonbobn VVVVVV

oncncooncocn VVVVVV

0 CBA III

0C

co

B

bo

A

ao

Z

V

Z

V

Z

V

0

C

oncn

B

onbn

A

onan

Z

VV

Z

VV

Z

VV

0C

on

C

cn

B

on

B

bn

A

on

A

an

Z

V

Z

V

Z

V

Z

V

Z

V

Z

V

ConBonAonCcnBbnAan YVYVYVYVYVYV

CcnBbnAanonCBA YVYVYVVYYY )(

CBA

CcnBbnAanon

YYY

YVYVYVV

CBA

C

cn

B

bn

A

an

on

ZZZ

ZV

ZV

ZV

V111

111


CALLAO


Potencia Trifsica

Pan(t) = Van(t) ia(t) = 2 |VLn| |IL| cos (t + v) cos (t + i)

= 2 |VLn| |IL| [ cos (2 t + v + i) + cos (v - i)]; = v - i

Pbn(t) = Vbn(t) ib(t) = 2 |VLn| |IL| cos (t + v 120) cos (t + i 120)

= 2 |VLn| |IL| [ cos (2 t + v + i + 120) + cos (v - i)]; = v - i

Pcn(t) = Vcn(t) ic(t) = 2 |VLn| |IL| cos (t + v + 120) cos (t + i + 120)

= 2 |VLn| |IL| [ cos (2 t + v + i + 240) + cos (v - i)]; = v - i

P3 = Pan(t) + Pbn(t) + Pcn(t)

= |VLn| |IL| [ cos + cos ( + 120) + cos ( 120) + 3

cos ]

P3 = 3 |VLn| |IL| cos Potencia 3 Instantnea


CALLAO


Potencia Trifsica Compleja

S3 = P3 + j Q3 [VA]

| S3 | = Potencia Aparente

P3 = 3 |VLn| |IL| cos ; = VLn - IL

Q3 = 3 |VLn| |IL| sen

P3

Q3

IMAG

REAL

Balancead

o

Potencia Compleja

Caso estrella

Potencia Con carga en delta:

3

L

F

II

3

LL

Ln

VV

sen|IF|VLL3Q3

cos|IF|VLL33

cos3

ILVLL33

cos |IL| |VLn| 3 P3

P

P

Activa

Reactiva

FLL IV


CALLAO


Formulas para los dos Casos:

Estrella

cos |I| 33 P3 L

LL

Ln

V

V

Delta

cos |V| 33 P3 LLL

F

I

I

Por lo tanto:

cos |I| |V| 3 P3 LLL

FLL IV LLn IV

sen |I| |V| 3 Q3 LLL

..LLL |I| |V| 3 3S AV

Si fueran desbalanceados

anS

jQan

Pan

3S

jQbn

Pbn

cnSjQcn

Pcn

an

bn

cn

3P

3jQ

bnS

resumen electricos 2

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