resumen final cálculo ii kancyper

8/18/2019 Resumen Final Cálculo II Kancyper

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Tomas Kancyper Resumen Cálculo II

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Primitivas o antiderivadas

o

Definición de antiderivada: una función es una primitiva o antiderivada de una función si y sólo si , para todo ∈ La operación de determinar una primitiva o antiderivada de una función se denomina

integración y se denota:

Llamamos a ∫ integral indefinida de y se lee “integral de de diferencial de”

o Resultado(c/demo): la integración y la diferenciación son operaciones inversas

o

Reglas básicas de integración:

1.

Regla de la constante

2.

Regla de la potencia

+ 1 , ≠ 1 3. Regla del múltiplo constante

4. Regla de la suma o diferencia

[ ± ] ± o Integración de funciones trigonométricas:

sen cos cos sen sec tg sec tg sec cosec cotg coseccotg cosec

o

Integrales que dan por resultado funciones trigonométricas inversas:

1√1 arc sen arc cos 11 arc tg arc cotg 1√ 1 arc sec|| arc cosec||


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lim‖∆‖→

= ∆

Suma finita de números

o

Definición: se define la suma de términos , , , … , como

= ⋯

Observación: el límite inferior no debe comenzar necesariamente en 1, pero tiene que sermenor o igual al límite superior

o

Propiedades:

=

=

±

=

= ±

=

o

Resultados:

= .

=

12 Integrales definidas

o

Suma de Riemann: sea una función definida en un intervalo cerrado [, ]. Sea ∆ unapartición arbitraria en sub intervalos determinado por los puntos < < 0,∃ > 0 Tal que para toda partición ∆ y cualquiera sea la elección de en el intervalo[− , ]. Si ‖∆‖ > 0 entonces:

. ∆

= < o Teorema continuidad implica integrabilidad: si es una función continua en el intervalo

cerrado [, ] entonces es integrable en [, ]. Es decir, si es continua entoncesexiste


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o

Teorema la integral definida como área de una región: sea una función continua en elintervalo cerrado [, ] y tal que ≥ 0 para todo ∈ [, ] entonces el área de laregión del plano delimitada superiormente por la gráfica, inferiormente por el eje ylateralmente por las rectas y se calcula:

Definiciones:

Si es integrable en entonces ∫ 0 Si es integrable en [, ] entonces ∫ ∫

o

Propiedades integrales definidas:1.

Si es integrable en los intervalos cerrados determinado por , y entonces

Esta relación vale cualquiera sea el orden entre , y 2.

Si y son funciones integrables en [, ] y es una constante . [ ± ]

±

3.

Si es integrable en [, ] y además ≥ 0 para todo ∈ [, ] entonces ≥ 0

4. Si y son funciones integrables en [, ] y ≤ para todo ∈ [, ] entonces

≤

o Teorema del valor medio del cálculo integral(c/demo): si es una función continua en elintervalo cerrado [, ], entonces existe un número ∈ [, ] tal que:

. o

Definición de valor medio o promedio: si es una función continua en el intervalo [, ] entonces el valor medio de la función en [, ], denotado se calcula de la siguientemanera:

∫

o

Teorema fundamental del cálculo(c/demo): si es una función continua en un intervaloabierto que contiene a , entonces para todo perteneciente a :


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o

Generalización del teorema fundamental: si es una función continua y es derivable

().′ o Teorema regla de Barrow(c/demo): si es una función continua en un intervalo cerrado

[, ] y

es una función tal que para todo

perteneciente a

[, ]

( es primitiva de ) entonces: o

Teorema método de sustitución(c/demo): si y son funciones tales que ∘ y ′ soncontinuas en un intervalo y es primitiva de entonces:

(). () Observación: al aplicar el método de sustitución algunas integrales requieren un cambio de

variable

o

Teorema método de sustitución para integrales definidas: sean

y

funciones tales que

∘ y ′ son continuas en un intervalo [, ] entonces: (). () () o Teorema área entre dos curvas: si y son dos funciones continuas en el intervalo cerrado[, ], y ≤ para todo ∈ [, ] entonces el área de la región delimitada por la

gráfica de , la gráfica de , la recta y es: [ ]

o

Volumen y área de sólidos de revolución:

1. Método de los discos (perpendicular al eje de giro): sea

una función continua en

el intervalo [, ], con ≥ 0 para todo ∈ [, ], y sea la región del planolimitada por la gráfica de ecuación , el eje de rotación y las rectas deecuación y . Al hacer girar alrededor de un eje de rotación deecuación , donde para todo ∈ [, ], ≤ se genera un cuerpo sólido(de revolución) cuyo volumen se calcula:

[ ] 2. Método de las arandelas (perpendicular al eje de giro): sean y dos funciones

continuas en el intervalo [, ], con ≥ ≥ 0 para todo ∈ [, ] y sea la región del plano limitada por las gráficas de ecuación , y lasrectas de ecuación y . Al hacer girar alrededor de un eje de rotaciónde ecuación , donde para todo ∈ [, ], ≤ ≤ se genera uncuerpo sólido (de revolución) cuyo volumen se calcula:

[ ] [ ]}


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3.

Método de las capas (paralelo al eje de giro): sea una función continua en elintervalo [, ], con ≥ 0 para todo ∈ [, ] y sea la región del planolimitada por la gráfica de ecuación , al eje y a las rectas de ecuación y . Al hacer girar alrededor del eje , se genera un cuerpo sólido (derevolución) cuyo volumen

se calcula:

2 . Área de una superficie de revolución: sea una función tal que ′ sea continua en

el intervalo [, ]. Al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje derevolución (ya sea el o el ) se genera una superficie que se llama superficie derevolución cuya área está dada por:

2 1 [ ′] Donde es la distancia entre la gráfica de y el eje de revolución

o Teorema integración de funciones pares e impares(c/demo): sea

una función continua en

el intervalo cerrado [,] 1.

Si es par entonces: − 2

2. Si es impar entonces: − 0

Función logaritmo natural

o

Sea : ln

0, ∞

∞,∞

ln1 0 ln 1 ln 2 lim→ ln ∞ lim→ ln ∞

o

Resultado(c/demo): [ln||] 1 , ≠ 0 o Teorema derivada del logaritmo natural(c/demo):

[ln ] 1 , > 0 o Definición de logaritmo natural: la función logaritmo natural denotada por ln se define:

ln 1

, > 0


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o

Teorema propiedades de la función logaritmo natural(c/demo excepto ④)1. El dominio de la función logaritmo natural es 0,∞ y su rango son los reales2.

La función logaritmo natural es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio

3.

La gráfica de la función logaritmo natural es cóncava hacia abajo en todo su

dominio

4. lim→ ln ∞ y lim→ ln ∞

o Propiedades del logaritmo natural: sean y números reales > 0 y sea real1.

ln. ln ln 2. ln ln 3.

ln ⁄ ln ln o

Base del logaritmo natural: como la función ln es continua, creciente e inyectiva, y su rango

son todos los reales entonces existe un único tal que ln 1. Llamaremos al número base de los logaritmos naturales. La continuidad y el rango nos aseguran la existencia de .La inyectividad nos asegura su unicidad

o Teorema: la base del logaritmo natural es el número

. Es un número irracional

ln 1 1 ≅ 2,7 o

Observaciones referidas al signo de logaritmos naturales(justificar con gráficas):

1. Si > 1 entonces ln > 0 2. Si 0 < < 1 entonces ln < 0 3.

Si 1 entonces ln 0 o Integración:

1 ln|| o

Integrales importantes:

tg sencos ln|| ln|cos|

sec sec sec tg sec tg sec sec tgsec tg ln|| ln|sec tg |

o

Definición logaritmo en base : sea un número real positivo ≠ 1 y sea un númeroreal positivo se define: : log 1ln . l n

Llamaremos a función logarítmica en base , 0,∞

cos sen sen Sustitución

sec tg sec sec tg Sustitución


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o

Teorema derivada de la función logaritmo(c/demo): la derivada de la función logaritmo en

base es: [log ] 1ln . 1 , > 0 o

Gráfica de

: log

1.

Caso 1 > 1: 0, ∞ ∞,∞ lim→ ∞ lim→ ∞

Creciente en todo su dominio

Cóncava hacia abajo en todo su dominio

2. Caso 20 < < 1 0, ∞

∞,∞

lim→ ∞

lim→ ∞

Decreciente en todo su dominio

Cóncava hacia arriba en todo su dominio

Teorema método de integración por partes(c/demo): sean y funciones tales que ′ y ′ son

continuas en un intervalo abierto entonces:

Teorema método de integración por partes para integrales definidas: sean y funciones talesque ′ y ′ son continuas en [, ] entonces:

[ ]


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Función exponencial: como la función logaritmo es inyectiva, admite función inversa

o

Definición: la función inversa de la función logaritmo natural ln es la funciónexponencial natural que se denota −: −

− ∞,∞

−

0, ∞

⇔ ln

∘ − ln , ∀ ∈ − por definición de función inversa

− ∘ , ∀ ∈ por definición de función inversao Propiedades: sean y números reales cualesquiera, entonces:

1. 1

2. . +

3. : − 4.

. o

Propiedades de la función exponencial natural: como la función : es la inversade la función logaritmo natural, hereda las siguientes propiedades:

1.

El dominio de la función exponencial natural es el conjunto ∞,∞ y el rango0, ∞ 2.

La función es continua, creciente e inyectiva

3.

La gráfica de la función es cóncava hacia arriba

4. lim→− 0 y lim→ ∞


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o

Teorema derivada de la función exponencial natural(c/demo): [] [] .

Ejemplos importantes: [] exponencial [] 0 constante

[] − potencialo Definición función exponencial en base : sea un número real positivo ≠ 1 y sea un

número real cualquiera, se define la función exponencial en base : : ( )

La gráfica de la función exponencial en base

se obtiene por reflexión respecto de la

primera bisectriz, de la gráfica de la función logaritmo en base de . Gráfica de : :1.

Caso 1 > 1: ∞,∞

0, ∞

es creciente, continua, inyectiva y cóncava hacia arriba2.

Caso 10 < < 1: ∞,∞

0, ∞

es decreciente, continua, inyectiva y cóncava hacia arriba

o

Teorema derivada de la función exponencial en base (c/demo): sea un número realdistinto del 1, y sea una función derivable respecto de , entonces: [] ln [] ln o

Teorema reglas de integración para funciones exponenciales:

ln


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Funciones hiperbólicas

o

Definición:

1.

La función seno hiperbólico, denotada por senh, se define:

senh −

2

2.

La función coseno hiperbólico, denotada cosh, se define:

cosh −2 3.

La función tangente hiperbólica, denotada tgh, se define:

tgh senh cosh − −

4.

La función cotangente hiperbólica, denotada cotgh, se define:

cotgh cosh senh − − , ≠ 0

5.

La función cosecante hiperbólica, denotada por cosech, se define:

cosech 1senh 2 − , ≠ 0 6.

La función secante hiperbólica, denotada sech, se define:

sech 1cosh 2 −

o Identidades(c/demo):

1. cosh senh 1

2. sech tgh 1

3.

cotgh 1 cosech


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o

Teorema derivada de las funciones hiperbólicas(c/demo):

1.

[senh] cosh 2.

[cosh] senh

3.

[tgh] sech

4. [cosech] cosechcotgh

5.

[sech] sech tgh

6.

[cotgh] cosech

o Integrales de funciones periódicas:

cosh senh senh cosh

sech

tgh

cosech cotgh cosech sech tgh sech cosech cotgh

o

Las funciones hiperbólicas no son periódicas: son inyectivas senh, tgh, cotgh y cosech porlo tanto admiten función inversa. No son inyectivas cosh y sech

o Definición:

1.

La función seno hiperbólico inverso, denotado senh-1, se define:

senh− si y sólo si senh− senh− ∞,∞ senh− ∞, ∞ 2.

Para el caso particular del coseno hiperbólico inverso, se debe restringir su dominio

tal que cosh para ≥ 0 ya que con su dominio original, no es inyectiva.La función seno hiperbólico inverso, denotado cosh-1, se define: cosh− si y sólo si cosh− cosh− [1,∞ cosh− [0,∞

3.

La función tangente hiperbólica inversa, denotado tgh-1, se define:

tgh− si y sólo si tgh− tgh− 1,1 tgh− ∞,∞ 4.

La función cotangente hiperbólica inversa, denotado cotgh-1, se define: cotgh− si y sólo si cotgh− cotgh− ∞, 1 ∪ 1,∞ cotgh− ∞, 0 ∪ 0,∞


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o

Observaciones

Las funciones parabólicas inversas también se pueden escribir:

senh-1: arsenh (área seno hiperbólico)

cosh-1: arcosh (área coseno hiperbólico)

tgh-1: artgh (área tangente hiperbólico)

cotgh-1: arcotgh (área cotangente hiperbólico)

Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se pueden obtener por reflexión

respecto de la primera bisectriz de las gráficas de las funciones parabólicas

o Teorema(c/demo excepto ③ y ④)

1.

senh− arsenh ln √ 1 2.

cosh− arcosh ln √ 1 3.

tgh− artgh ln +− 4.

senh−

arsenh

ln+

−

o

Teorema derivada de las funciones hiperbólicas inversas(c/demo):

[senh− ] √ +

[cosh− ] √ − , > 1

[tgh− ] − , || < 1

[cotgh− ] − , || > 1

o

Integrales que dan por resultado funciones parabólicas inversas:

1

√ 1 senh−

1√ 1 cosh− 11 { tgh

− || < 1cotgh− || > 1


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Integrales impropias:

o

Con intervalo de integración no acotado:

Si es una función continua en le intervalo [,∞ entonces:

lim

→

Si es una función continua en el intervalo ∞,] entonces: − lim→−

Si es una función continua en el intervalo ∞,∞ entonces: −

−

lim→−

lim→

Donde es un número real cualquiera. En cada caso si el límite existe se dice que la integralimpropia es convergente, caso contrario (si el límite no existe) se dice que la integral

impropia diverge. En el tercer caso si al menos uno de los límites diverge, la integral diverge

o

Cuando la función tiene una discontinuidad infinita:

Si es una función continua en el intervalo [, y presenta una discontinuidadinfinita en entonces: lim→

Si es una función continua en el intervalo ,] y presenta una discontinuidadinfinita en entonces: lim→

Si

es una función continua en el intervalo

[ , ∪ ,] y presenta una

discontinuidad infinita en entonces:

lim→

lim→

En cada caso si el límite existe se dice que la integral impropia es convergente, caso

contrario (si el límite no existe) se dice que la integral impropia diverge. En el tercer

caso si al menos uno de los límites diverge, la integral diverge

o

Resultado(c/demo): la integral impropia

, > 0

Diverge si 0 < ≤ 1 y converge si 1 < o Criterio de comparación para integrales impropias: si y son dos funciones continuas enel intervalo [,∞ y además 0 ≤ ≤ para todo ∈ [,∞ entonces:

Si ∫ es convergente entonces ∫ también es convergente

Si ∫ es divergente entonces ∫ también es divergente


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Integración numérica:

o

Regla de los trapecios: sea continua en [, ]. La regla de los trapecios para aproximar∫ esta dada por:

≈

2 [ 2 2 ⋯ 2− ]

o Regla de Simpson (sólo si es par): sea continua en [, ]. La regla de Simpson paraaproximar ∫ esta dada por:

≈ 3 [ 4 2 ⋯ 4− ]

Sucesiones

o

Definición: una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los naturales. En

general vamos a usar la notación de subíndice para denotar los elementos de una sucesión

o Gráfica: como una sucesión es una función de dominio natural, su gráfica esta representada

por puntos aislados

o

Notación: la sucesión de término general se denota } Observación: } ≠ ya que el primero representa la sucesión y el segundo representael n-ésimo término general

o Límite de una sucesión: sea la sucesión } diremos que el límite de la sucesión es , o quela sucesión converge, si y sólo si: lim→ Si este límite no existe, entonces diremos que la sucesión diverge. Cuando crece sin cota, natural, se hace arbitrariamente próximo a , tan próximo como se quiera

o

Definición rigurosa de límite de una sucesión: El límite cuando tiende a infinito de es si y sólo si para todo

> 0, existe

∈ ℕ tal que para todo

∈ ℕ si

> se verifica que

| | < es decir < < . En símbolos:lim→ ⇔ ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: ∀ ∈ ℕ > | | < o Teorema: sea una función en una variable real tal que lim→ (existe) y sea la

sucesión } tal que , para todo ∈ ℕ entonces lim→ . Un teoremasimilar al anterior se puede formular en el caso que lim→ no exista

o

Límite fundamental de las sucesiones (c/demo):

lim→1 1 o Definiciones:

Sucesión creciente: una sucesión } es creciente si y sólo si ≤ + para todo ∈ ℕ

Sucesión decreciente: una sucesión } es decreciente si y sólo si ≥ + paratodo ∈ ℕ

Sucesión monótona: una sucesión } es monótona si y sólo si } es siemprecreciente o siempre decreciente


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Sucesión acotada superiormente: una sucesión } está acotada superiormente si

y sólo si existe un número tal que ≤ para todo ∈ ℕ

Sucesión acotada inferiormente: una sucesión } está acotada inferiormente si ysólo si existe un número tal que ≥ para todo ∈ ℕ

Sucesión acotada: una sucesión

} es acotada si y sólo si existe un número

tal

que || ≤ para todo ∈ ℕ

Observaciones:

1.

El elemento de una sucesión } creciente es una cota inferior2.

El elemento de una sucesión } decreciente es una cota superior3.

Si una sucesión } es acotada entonces tiene cota inferior y superioro

Criterios de monotonía:

Criterio de la diferencia(se puede aplicar a toda sucesión):

1.

Si + ≥ 0 entonces la sucesión } es creciente2.

Si + ≤ 0 entonces la sucesión } es decreciente

Criterio del cociente(sólo si

} es una sucesión tal que

> 0 ∀ ∈ ℕ)

1.

Si + ⁄ ≥ 1 entonces la sucesión } es creciente2.

Si+ ⁄ ≤ 1 entonces la sucesión } es decreciente

o Teorema sucesiones monótonas y acotadas:

Si una sucesión } es creciente y acotada superiormente entonces } es

convergente

Si una sucesión } es decreciente y acotada inferiormente entonces } esconvergente

o Teorema: toda sucesión convergente es acotada, es decir:

} es convergente

⇒ } es acotada

Contrarecíproco: si una sucesión no está acotada entonces la sucesión no es convergenteo Definición factorial: sea ∈ ℕ, el factorial de denotado por ! de la siguiente manera! 1.2.3.4…. Es decir es el producto de los primeros naturales. 1! ! 1

Series numéricas

o Definición de serie: sea } una sucesión y sea ⋯ entonces lasucesión } es una sucesión de sumas parciales denominada serie y se denota:

= ⋯ ⋯

Los números , , , … , , … se llaman términos de la serieo

Definición de convergencia y divergencia: para la sucesión }, la n-ésima suma parcial es ⋯ Si la sucesión de sumas parciales } converge, es decir lim→ entonces

diremos que la serie ∑ = converge. Llamaremos a suma de la serie y seescribe ∑ =

Si la sucesión de sumas parciales } diverge diremos que la serie ∑ = diverge


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o

Serie telescópica:

1 1

= 1

o Definición serie geométrica: una serie de la forma:

. −= . . ⋯ . − ⋯ , ≠ 0 Se llama serie geométrica de razón

o

Teorema convergencia de la serie geométrica(c/demo): sea la serie geométrica∑ . −= , ≠ 0 de razón Si 0 1, analizo la integral impropia desde


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o

Definición serie p: una serie de la forma:

1

= 11 12 13 ⋯ 1 ⋯ , > 0

Se llama serie p. Hay un caso particular, el de la serie armónica:

1= 11 12 13 ⋯ 1 ⋯ o Teorema convergencia de la serie p(c/demo): sea la serie p ∑ = , > 0

Converge si > 1

Diverge si 0 < ≤ 1 o

Criterios para series de términos positivos:

Criterio de comparación directa: sean ∑ = y ∑ = dos series de términospositivos tales que 0 0 entonces las series ∑ = y ∑ = ambasconvergen o ambas divergen

2.

Si lim→ ⁄ 0 y la serie ∑ = es convergente entonces la serie∑ = es convergente3.

Si lim→ ⁄ ∞ y la serie ∑ = es divergente entonces la serie

∑ =

es divergente

Series alternadas: entre las series de términos positivos y negativos figuran las series alternadascuyos términos son positivos y negativos (o negativos y positivos) alternadamente

o Definición: una serie de la forma:

1

= ⋯ 1 ⋯

O

1+

= ⋯ 1+ ⋯

Con

> 0 para todo

se llama serie alternada

o

Teorema criterio de las series alternadas (criterio de Leibniz): si 0 < + ≤ para todo y lim→ 0 entonces la serie alternada ∑ 1= (o ∑ 1+= ) esconvergente


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o

Teorema resto de una serie alternada: sea la serie alternada ∑ 1= (o ∑ 1+= ). Si la serie alternada es convergente y + < para todo , el valorabsoluto del resto (), resultante de aproximar la suma de la serie alternada por , n-ésima suma parcial de la serie es menor o igual que + (“primer término despreciado”).En símbolos:

|| | | 1= 1= < +

Series de términos cualesquiera:

o

Definición serie absolutamente convergente: si la serie ∑ ||= converge entonces laserie ∑ = es absolutamente convergente

o Definición serie condicionalmente convergente: si la serie ∑ = es convergente y la serie∑ ||= es divergente entonces la serie ∑ = es condicionalmente convergenteo Teorema: toda serie absolutamente convergente es convergente, es decir, si la serie∑ = es absolutamente convergente entonces la serie ∑ = es convergente. El

recíproco de este teorema es falso. Contraejemplo: serie armónica alternadao Criterios para series de términos cualesquiera:

Criterio del cociente: sea ∑ = una serie de términos no nulos1.

Si lim→+ ⁄ < 1 entonces la serie ∑ = es absolutamenteconvergente

2.

Si lim→+ ⁄ > 1 o lim→+ ⁄ ∞ entonces la serie∑ = es divergente3. Si lim→+ ⁄ 1 entonces el criterio no decide

Criterio de la raíz: sea ∑ = una serie de términos no nulos1.

Si lim→ || < 1 entonces la serie ∑ = es absolutamenteconvergente2.

Si lim→ || > 1 o lim→ || ∞ entonces la serie ∑ = es divergente

3. Si lim→ || 1 entonces el criterio no decide

Series de potencias:

o

Definición: si es una variable, una serie de la forma

= ⋯ ⋯

Se llama serie de potencias. Más en general, toda serie de la forma

= ⋯ ⋯

Se llama serie de potencias centrada en , donde es una constante


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o

Teorema convergencia de una serie de potencias: sea ∑ = una serie depotencias centrada en , entonces una y sólo una de las tres afirmaciones siguientes secumple:

La serie converge sólo cuando , su centro

Existe un número real

positivo tal que la serie de potencias es absolutamente

convergente para todos los valores de tales que | | >

La serie es absolutamente convergente para todos los valores de El número se denomina radio de convergencia de la serie de potencias. Si la serieconverge sólo en , el radio de convergencia es 0, y si converge en toda la recta realentonces ∞

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