TRIGONOMETRÍA

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SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR I. SISTEMA SEXAGESIMAL

( ° ) : Grado sexagesimales ( ‘ ) : Minuto sexagesimales ( ‘’ ) : Segundo sexagesimales

1° = �∡���� ��� �∡1������ = 360°

1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° =3600’’

II. SISTEMA CENTESIMAL

( g ) : Grado centesimales ( m ) : Minuto centesimales ( s ) : Segundo centesimales

1� = �∡���� ��� �∡1������ = 400�

1g = 100m 1m = 100s 1g =10 000s

III. SISTEMA RADIAL

( rad ) : Radián

1��� = �∡���� ! �∡1������ = 2#���

CONVERSIÓN DE SISTEMAS I Para convertir medidas angulares de un sistema a otro se multiplica por los siguientes factores de conversión.

9° 180° 200g 27’ 81’’ 27’ 162’

10g #��� #��� 20

m 250° 5000

s 5

m

CONVERSIÓN DE SISTEMAS II Sea ∡AOB, un ángulo cualquiera S = # de grados sexagesimales de la C = # de grados centesimales de la R = # de radianes de la

Se cumple: NOTACIONES IMPORTANTES Para un ángulo cualquiera se cumple:

# de grados sexagesimales = S

# de minutos sexagesimales = 60S # de segundos sexagesimales = 3600S

# de grados centesimales = C

# de minutos centesimales = 100C # de segundos centesimales = 10000C

LONGITUD DE ARCO L: Longitud del arco AB R: Longitud del radio

θ: # de radianes de la �∡$%& LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (LC)

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A: Área del sector circular AOB R: Longitud del radio

θ: # de radianes de la �∡$%&

B

O S° = Cg = R rad

A

1 rad

r

r r o

'( = 2#) R LC O

' = * ∙ )θ rad

R

R L o

B

A

o θ rad

R

B

A

o

R

$ = ) 2 ∙ *

,180 = .200 = )#

,90 = .101 ,1801 = )#

.2000 = )#

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OTRAS FORMULAS ÁREA DEL CÍRCULO (AC) ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (AT) A: Área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor h = R - r

ÁNGULO BARRIDO POR UNA RUEDA *2: Ángulo barrido por la rueda 34: Espacio recorrido R : Longitud del radio de la rueda NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA (#6) APLICACIONES EN ENGRANAJES Y POLEAS

I. DOS ENGRANAJES DE CONTACTO

II. DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE

III. DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA

789: = ;<=8=>?@A8B=>CD@>=89AB< =

<E

;>B: = .����F$�G�H�I��JKLF��I�M� =

NH

O<P: = .����F%L��M�F.����F$�G�H�I�� =

�N

;=P: = .����F$�G�H�I��.����F%L��M�F =

N�

78E: = JKLF��I�M�.����F$�G�H�I�� =

HN

;BE: = JKLF��I�M�.����F%L��M�F =

H�

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

$ = ' 2* $ = ' ∙ )2

$ = Q� + NS2 ∙ ℎ

h

o

h

a

R-r

r

R-r

r

b

$( = # ∙ ) R

O

*2 = 34)

R

R R

R R

Eje

#U = 3(2#) #U = *22#

r R

*V = *W R r

Eje

H = � + N

r R

Correa

3V = 3W

X + Y = 90° H > [�; N]

3V = 3W

a

b c

α

β

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS: CO- RAZONES 789: = ;>BQ^_ ` :S = ;>Ba ;>B: = 789Q^_ ` :S = ,�IY O<P: = ;=PQ^_ ` :S = .�bY ;=P: = O<PQ^_ ` :S = c�bY 78E: = ;BEQ^_ ` :S = .MHY ;BE: = 78EQ^_ ` :S = ,�HY

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

789: ∙ ;BE: � d

789: �d

;BE:

.MHX �1

,�IX

;>B: ∙ 78E: � d

.FMX �1

,�HX

,�HX �1

.FMX

O<P: ∙ ;=P: � d

c�bX �1

.�bX

.�bX �1

c�bX

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

R.T. 30° 60° 45° 37° 53° 16° 74°

Sen 1

2

√3

2

√2

2

3

5

4

5

7

25

24

25

Cos √3

2

1

2

√2

2

4

5

3

5

24

25

7

25

Tag √3

3 √3 1

3

4

4

3

7

24

24

7

Ctg √3 √3

3 1

4

3

3

4

24

7

7

24

Sec 2√3

3 2 √2

5

4

5

3

25

24

25

7

Csc 2 2√3

3 √2

5

3

5

4

25

7

25

24

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

I. DATOS : HIPOTENUSA Y θθθθ

II. DATOS : CATETO OPUESTO Y θθθθ

III. DATOS : CATETO ADYACENTE Y θθθθ

ÁNGULOS VERTICALES

ÁNGULO DE ELEVACIÓN ÁNGULO DE DEPRESIÓN

ÁNGULOS HORIZONTALES ROSA NAÚTICA RUMBO

N55°E : Del Norte 55° al Este S20°O : Del Sur 20° al Oeste

X R Y � 90°

H

θ

H Cosθ θ

H H Senθ

a

θ

a Cscθ θ

a a Cscθ

a θ

a Tagθ a Secθ

a θ

20°

S20°O

N

55° N55°E

S

E O

1

4�45°

4� 11°15′

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

789: � ?ij89<j<

k<jD>l8E=>i �

m

i

;>B: � $NMHKM�

)��KFn�H�F� �

o

�

O<P: � %���I���

$NMHKM� �

G

o

;=P: � $NMHKM�

)��KFn�H�F� �

o

G

78E: � )��KFn�H�F�

$NMHKM� �

�

o

;BE: � )��KFn�H�F�

%���I��� �

�

G

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES

R.T. 0°

0 rad

90°

π/2 rad 180°

Π rad 270°

3π/2 rad

Sen O 1 O −1

Cos 1 O `1 O

Tag O N O N

Ctg N O N O

Sec 1 N `1 N

Csc N 1 N `1

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MENORES

QUE 360°

• PRIMERA FORMA:

• SEGUNDA FORMA: II. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MAYORES

QUE 360°

Si: X > 360° → X = 360I + Y III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

NEGATIVOS 789Q`:S = `789: ;>BQ`:S = ;>B: O<PQ`:S = `O<P: ;=PQ`:S = `;=P: 78EQ`:S = 78E: ;BEQ`:S = `;BE:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES RECÍPROCAS 789: ∙ ;BE: = d ;>B: ∙ 78E: = 1 O<P: ∙ ;=P: = 1

IDENTIDADES POR COCIENTE

O<P: = 789:;>B:

;=P: = .FMX,�IX

IDENTIDADES PITAGÓRICAS 789q:+ ;>Bq: = d 78Eq: = d + O<Pq: ;BEq: = d + ;=Pq:

Signo ± depende de la R.T. original

Signo ± depende de la R.T. original

� = ro + G

` +

r

y Qo; GS

x

+ ` Qo; GS `` Qo; GS

+ + Qo; GS

r r

r

) s180° ± X360° ` Xu = ±). cQXS

). cQXS = ). cQ360° ∙ I + YS = ). cQYS

). c s 90° + X270° ± Xu = ±.% ` ). cQXS

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IDENTIDADES AUXILIARES

789w:R ;>Bw: � d − q789q: ∙ ;>Bq:

789x:+ ;>Bx: = d ` y789q: ∙ ;>Bq:

Q789: + ;>B: + dSQ789: + ;>B: + dS = q789:;>B:

Qd ± 789: ± ;>B:Sq = qQd ± 789:SQd ± ;>B:S rd ± q789: ∙ ;>B: = |789: ± ;>B:|

d + 789:;>B: = ;>B:d ` 789:

d + ;>B:789: = 789:d ` ;>B:

O<P: + ;=P: = 78E: ∙ ;BE:

78Eq:+ ;BEq: = 78Eq: ∙ ;BEq:

PROPIEDAD:

Si {789: +|;>B: = ;, se cumple que:

789: = $.

;>B: =&.

7DmBó~>BD:{q + |q = ;q

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

789Q: ± aS = 789: ∙ ;>Ba ± ;>B: ∙ 789a

;>BQ: ± aS = ;>B: ∙ ;>Ba ∓ 789: ∙ 789a

O<PQ: ± aS = O<P: ± O<Pad ∓ O<P: ∙ O<Pa

IDENTIDADES AUXILIARES

789Q: + aS ∙ 789Q: ` aS = 789q:` 789qa

;>BQ: + aS ∙ ;>BQ: ` aS = ;>Bq:` 789qa

O<P: ± O<Pa = 789Q: ± aS;>B: ∙ ;>Ba

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

789q: = q789:;>B:

;>Bq: =

.FM X ` ,�I X

2.FM X ` 1

1 ` 2,�I X

O<Pq: = 2c�bX1 ` c�b X

IDENTIDADES AUXILIARES rd ± 789q: = |789:± ;>B:| ;=P: + O<P: = q;BEq�

;=P: ` O<P: = q;=Pq�

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE

789y: = y789: ` w789y:

;>By: = w;>By:` y;>B:

O<Py: = yO<P: ` O<Py:d ` yO<Pq:

PARA DEGRADAR: w789y: = 789y: ` y789:

w;>By: = y;>B: + ;>By:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

789s:qu = ±�d ` ;>B:q

;>B s:qu = ±�d+ ;>B:q

O<P s:qu = ±�d ` ;>B:d + ;>B: