ALGEBRA LINEARBaseado no livro Algebra Linear e Aplicacoes1

1 Transformacoes Lineares

Definicao 1.0.1 (Transformacoes Lineares) Sejam U e V espacos vetoriais sobre R. Uma

aplicacao T : U → V e chamada transformacao linear se, e somente se,

• T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2);∀u1, u2 ∈ U e

• T (αu) = αT (u), ∀u ∈ R e ∀u ∈ U .

1.1 Propriedades

1. T (0) = 0

2. T (−u) = −T (u),∀u ∈ U

3. T (u1 − u2) = T (u1)− T (u2),∀u1, u2 ∈ U

4. Se W e um sub-espaco de U , entao a imagem de W por T e um sub-espaco de V .

5. Sendo T : U → V linear entao

T

(n∑i=1

aiui

)=

n∑i=1

aiT (ui)

1.2 Injetividade e Sobrejetividade

Definicao 1.2.1 (Injetividade) Uma aplicacao T : U → V e injetora se, e somente se,

∀u1, u2 ∈ U, u1 6= u2 =⇒ T (u1) 6= T (u2)

ou, equivalementemente, a contra-positiva

∀u1, u2 ∈ U, T (u1) = T (u2) =⇒ u1 = u2.

Definicao 1.2.2 (Sobrejetividade) Uma aplicacao T : U → V e sobrejetora se, e somente

se, Im(T ) = V , i.e.,

∀v ∈ V, ∃u ∈ U tal que T (u) = v.

Definicao 1.2.3 (Bijetividade) Uma aplicacao T : U → V e bijetora se, e somente se, T e

injetora e sobrejetora.

1CALLIOLI, C. DOMINGUES, H. COSTA, R. Algebra Linear e Aplicacoes. 6 ed. rev. Sao Paulo:

Atual, 1990. ISBN 978-85-7056-297-5.

1

1.3 Nucleo e Imagem

Definicao 1.3.1 (Nucleo) Sejam U e V espacos vetoriais sobre R e T : U → V uma trans-

formacao linear. Indica-se por Ker(T ) e denomina-se nucleo de T o seguinte subconjunto de

U :

Ker(T ) = {u ∈ U |T (u) = 0}

Definicao 1.3.2 (Imagem) Sejam U e V espacos vetoriais sobre R e T : U → V uma trans-

formacao linear. Indica-se por Im(T ) e denomina-se imagem de F o seguinte subconjunto de

U :

Im(T ) = {v ∈ V |v = T (u) para algum v ∈ V } = {T (u)|u ∈ U},

i.e., o conjunto dos vetores de V que sao imagem dos vetores de U .

Proposicao Seja T : U → V uma transformacao linear. Entao:

• Ker(T ) e um sub-espaco vetorial de U ;

• A transformacao linear T e injetora se, e somente se, Ker(T ) = 0.

Teorema 1.3.1 (do Nucleo e da Imagem) Seja U e V espacos vetoriais de dimensao finita

sobre R. Dada uma transformacao linear T : U → V , entao

dim U = dim ker(T ) + dim Im(T )

Corolario – Sejam U e V espacos vetoriais sobre R com a mesma dimensao finita n e supo-

nhamos T : U → V uma transformacao linear. Entao sao equivalentes as seguintes afirmacoes:

• T e sobrejetora.

• T e bijetora.

• T e injetora.

• T transforma uma base de U em uma base de V (i.e., se B e uma base de U , entao T (B)

e uma base de V ).

1.4 Isomorfismos e Automorfismos

Definicao 1.4.1 (Isomorfismo) Entende-se por isomorfismo do espaco vetorial U no espaco

vetorial V uma transformacao linear T : U → V que seja bijetora.

Definicao 1.4.2 (Automorfismo) Um isomorfismo T : U → U e um automorfismo de U .

Proposicao – Se T e um isomorfismo de U em V , entao T−1 : V → U tambem e um isomorfismo

(de V em U). Em outras palaras, sempre que existe um isomorfismo T : U → V existe um

isomorfismo T−1 : V → U (isomorfismo inverso de T ). Neste caso, dizemos que U e V sao

espacos vetoriais isomorfos.

Teorema 1.4.1 Dois espacos vetoriais U e V de dimensao finita sao isomorfos se, e somente

se,

dim U = dim V.

2

2 Matriz de uma Transformacao Linear

2.1 Operacoes com Transformacoes Lineares

Sejam U e V espacos vetoriais de R. Indicaremos por L(U, V ) o conjunto das transformacoes

lineares de U e V . Se U = V , o conjunto dos operadores lineares de U sera denotado por L(U).

Definicao 2.1.1 (Soma) Dados F,G ∈ L(U, V ), definimos soma F +G de F com G:

F +G : U → V e (F +G)(u) = F (u) +G(u),∀u ∈ U.

Propriedades

1. Associativa: F + (G+H) = (F +G) +H,∀F,G,H ∈ L(U, V );

2. Comutativa: F +G = G+ F, ∀F,G ∈ L(U, V );

3. Existe elemento neutro: a transformacao linear nula 0 : U → V e tal que F +0 = F, ∀F ∈L(U, V );

4. Elemento oposto: ∀F ∈ L(U, V ),∃(−F ) ∈ L(U, V )|F + (−F ) = 0.

Definicao 2.1.2 (Multiplicacao) Dados F ∈ L(U, V ) e α ∈ R, definimos produto αF :

αF : U → V e (αF )(u) = αF (u), ∀u ∈ U.

Propriedades

Seja F ∈ L(U, V ) e α, β ∈ R.

1. (αβ)F = α(βF );

2. (α + β)F = αF + βF ;

3. α(F +G) = αF + αG;

4. 1F = F .

Definicao 2.1.3 (Composicao) Sejam U, V e W espacos vetoriais sobre R. Se F : U → V

e G : V → W sao transformacoes lineares, define-se a aplicacao composta de F e G:

(G ◦ F ) : U → W e (G ◦ F )(u) = G((F (u)),∀u ∈ U.

Propriedades

1. Associativa: (H ◦G) ◦ F = H ◦ (G ◦ F ),∀H,G, F ∈ L(U);

2. Operador identico e elemento neutro da composicao: I ◦ F = F ◦ I = F, ∀F ∈ L(U);

3. Distribuitiva: H◦(F+G) = H◦F+H◦G e (F+G)◦H = F ◦H+G◦H,∀F,G,H ∈ L(U).

3

2.2 Matriz de um Transformacao Linear

Sejam U e V espacos vetoriais de dimensao n e m, respectivamente, sobre R. Consideremos

uma transformacao linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1, ..., un} de U e C = {v1, ..., vm}de V , entao cada um dos vetores F (u1), ..., F (un) esta em V e consequentemente e combinacao

linear da base C: F (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·+ αm1vm

F (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·+ αm2vm...

F (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·+ αmnvm

onde αij e unico.

Definicao 2.2.1 A matriz m× n sobre Rα11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

......

. . ....

αm1 αm2 · · · αmn

que se obtem das consideracoes anteriores e chamada matriz de F em relacao as bases B e C.

Sera denontada por (F )B,C.

Consequencia da definicao – Se a aplicacao linear for o operador identidade, a matriz

(F )B,C = (I)B,C sera a matriz de mudanca da base C para a base B.

2.3 Matriz de um Transformacao Composta

Seja U , V e W espacos vetoriais sobre R de dimensoes m, n e p, que admitem bases B =

{u1, ..., un}, C = {v1, ..., vm} e D = {w1, ..., wp} respectivamente. Supondo F ∈ L(U, V ),

G ∈ L(V,W ) e que (F )B,C = (αij) e (G)C,D = (βki), entao

γkj =m∑i=1

βkiαij, onde γkj e o termo geral de (G ◦ F )B,D.

Logo,

(G ◦ F )B,D = (G)C,D · (F )B,C .

Consequencia da definicao da matriz de um transformacao composta – Sejam U e V

espacos vetoriais sobre R de dimensao m. Se B e C sao bases de U e V , respectivamente, e

F : U → V e um isomorfismo, (F )B,C e inversıvel e sua inversa e dada por

((F )B,C)−1 = (F−1)C,B.

Proposicao – Seja U um espaco vetorial de dimensao n sobre R. Dadas as bases B =

{u1, ..., un} e C = {v1, ..., vn} de U e dado T ∈ L(U) e valida a formula

(T )C = M−1 · (T )B ·M,

onde M e a matriz de mudanca da base B para a base C (M = (I)C,B).

4

3 Determinantes

3.1 Permutacoes

Definicao 3.1.1 (Permutacao) Seja n ≥ 1 um numero natural e Nn = {1, ..., n}. Toda

aplicacao bijetora σ : Nn → Nn chama-se permutacao do conjunto Nn.

Notacao – uma permutacao σ de Nn e denotada por

σ =

(1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n)

).

Definicao 3.1.2 Consideremos uma permutacao

σ =

(1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n)

)de Nn. Seja r o numero de pares ordenados (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ n tais que σ(i) > σ(j).

Chama-se sinal da permutacao σ o numero inteiro representado por sgn (σ), que e

sgn (σ) =

{1, se r e par

−1, se r e ımpar

Observacao – O valor de r e igual ao numero de trocas que sao necessarias para que a per-

mutacao fique na forma crescente. Se tivermos a permutacao (2 3 1) precisamos fazer as

sequintes trocas: (1 3 2) e (1 2 3). Ou seja, r = 2 e portanto sgn = +1.

Exemplo 3.1 Seja σ =

(1 2 3

3 1 2

). Os pares (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ 3 e σ(i) > σ(j) sao (1, 2)

e (1, 3); logo r = 2 e sgn (σ) = 1.

3.2 Determinantes

Definicao 3.2.1 Seja A = (aij) uma matriz real de ordem n, chama-se determinante da matriz

A de ordem n o numero real

det(A) =∑σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n).

Exemplo 3.2 Seja A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∈ M3(R). As permutacoes do conjunto {1, 2, 3} e

respectivos sinais sao (1 2 3

1 2 3

)(+1)

(1 2 3

1 3 2

)(−1)(

1 2 3

2 3 1

)(+1)

(1 2 3

3 2 1

)(−1)(

1 2 3

3 1 2

)(+1)

(1 2 3

2 1 3

)(−1)

Logo, det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a13a22a31 − a12a21a33.

Observacao: O numero de parcelas e sempre igual ao numero de permutacoes possıvel (n!).

5

3.3 Propriedades dos Determinantes

Seja A = (aij) uma matriz de ordem n. A i-esima linha da matriz e Ai =(ai1 ai2 · · · ain

).

Entao a matriz A pode ser representada pela sequencia de vetores-linha

A =

A1

A2

...

An

.

1. A funcao determinante e linear em cada uma das variaveis A1, A2, ..., An, isto e:

(a) det(A1, A2, ..., Ai+A′i, ..., An) = det(A1, A2, ..., Ai, ..., An)+det(A1, A2, ..., A′i, ..., An);

(b) det(A1, A2, ..., λAi, ..., An) = λ det(A1, A2, ..., Ai, ..., An)

para todo 1 ≤ i ≤ n e para todo λ ∈ R.

Exemplo 3.3

det

x+ 1 y − 1 z − 3

1 0 2

2 2 1

= det

x y z

1 0 2

2 2 1

+ det

1 1 3

1 0 2

2 2 1

det

3λ 2λ λ

1 0 2

2 2 1

= λ det

3 2 1

1 0 2

2 2 1

2. Se A = (A1, A2, ..., An) e uma matriz de ordem n e se Aj = Ak, com j < k entao

det(A) = 0.

3. Dada uma matriz A de ordem n suponhamos que B e a matriz obtida da seguinte maneira:

B = (A1, ..., Aj, ..., Ai, ..., An),

sendo que

A = (A1, ..., Ai, ..., Aj, ..., An).

Entao det(B) = − det(A).

4. Seja A = (A1, ..., An). Entao vale sempre a igualdade:

det(A) = det(A1, ..., An) = det(A1, ..., Ai +n∑

k=1,k 6=i

αkAk, ..., An),∀ak ∈ R.

5. det(A) = det(At), para toda matriz A de ordem n.

6

4 Espacos com Produto Interno

Definicao 4.0.1 (Produto Interno) Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre R.

Entende-se por produto interno sobre V uma aplicacao que transforma cada par ordenado

(u, v) ∈ V × V em um numero real (que sera denotado por 〈u, v〉) obedecendo as seguintes

condicoes:

• 〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉 , ∀u, v, w ∈ V ;

• 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 ,∀α ∈ Re∀u, v ∈ V ;

• 〈u, v〉 = 〈v, u〉 ,∀u, v ∈ V ; e

• 〈u, u〉 e um numero real maior que zero para todo vetor u 6= 0.

Definicao 4.0.2 Um espaco vetorial real com produto interno ou espaco euclidiano e um espaco

vetorial sobre R munido de um produto interno.

4.1 Propriedades

1. 〈0, u〉 = 〈u, 0〉 = 0,∀u ∈ V .

2. 〈u, αv〉 = α 〈u, v〉 ,∀α ∈ R,∀u, v ∈ V .

3. 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 ,∀u, v, w ∈ V .

4. Dado um numero inteiro m ≥ 1,⟨m∑i=1

αiui, v

⟩=

m∑i=1

αi 〈ui, v〉 .

5.⟨u,∑n

j=1 αjvj

⟩=∑m

i=1 αi 〈ui, v〉 (n ≥ 1).

6.⟨∑m

i=1 αiui,∑n

j=1 βjvj

⟩=∑m

i=1

∑nj=1 αiβj 〈ui, vj〉.

4.2 Norma e Distancia

Definicao 4.2.1 (Norma) Seja V um espaco vetorial euclidiano com o produto interno (u, v)→〈u, v〉. Dado um vetor u ∈ V indica-se por ‖u‖ e chama-se norma de u o numero real positivo

dado por

‖u‖ =√〈u, u〉.

Proposicao

• ‖αu‖ = |α| ‖u‖ ,∀α ∈ R, ∀u ∈ V .

• ‖u‖ ≥ 0,∀u ∈ V e ‖u‖ = 0⇐⇒ u = 0.

Proposicao (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) – Se V e um espaco vetorial euclidiano, entao

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ ,∀u, v ∈ V.

Corolario (Desigualdade triangular) – Num espaco euclidiano vale a seguinte desigualdade:

‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ,∀u, v ∈ V.

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4.2.1 Metrica

Seja V um espaco vetorial euclidiano. Consideremos a aplicacao d : V ×V → R, assim definida:

d(u, v) = ‖u− v‖ ,∀u, v ∈ V.

Valem as seguintes proprieades:

1. d(u, v) ≥ 0,∀u, v ∈ V e d(u, v) = 0⇐⇒ u = v.

2. d(u, v) = d(v, u),∀u, v,∈ V .

3. d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v),∀u, v, w ∈ V .

Pelo fato de valerem as tres propriedades acima, damos a aplicacao d : V × V → R o nome de

metrica sobre V , induzida pela norma. O numero d(u, v) e chamado distancia de u a v.

4.2.2 Angulo entre dois vetores

Da desigualdade de Caughy-Schawarz segue que

−‖u‖ ‖v‖ ≤ 〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖ ⇒ −1 ≤ 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖

≤ 1.

Logo, existe um unico θ ∈ R, tal que 0 ≤ θ ≤ π e

cos θ =〈u, v〉‖u‖ ‖v‖

.

4.3 Ortogonalidade

Definicao 4.3.1 Seja V um espaco euclidiano. Dizemos que dois vetores u, v ∈ V sao orto-

gonais se, e somente se, 〈u, v〉 = 0. Um conjunto S = {u1, ..., ur} ⊂ V se diz ortonormal se, e

somente se

• ‖ui‖ = 1 (i = 1, 2, ..., r) e

• dois vetores quaisquer de S, distintos entre si, sao ortogonais.

Proposicao – Seja S = {g1, ..., gr} um subconjunto ortonormal do espaco euclidiano V . Entao,

∀u ∈ V , o vetor v = u−〈u, g1〉 g1−· · ·−〈u, gr〉 gr e ortogonal a todo vetor do sub-espaco vetorial

gerado pelos vetores de S.

Teorema 4.3.1 (Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt) Todo espaco veto-

rial euclidiano de dimensao finita ( 6= 0) admite uma base ortonormal.

Exemplo 4.1 Sendo B = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 1, 2)} uma base de R3, utiliza-

remos o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base.

E claro que g1 = u1‖u1‖ = u1 = (1, 0, 0). Por outro lado, v2 = u2 − 〈u2, g1〉 g1 = (0, 1, 1) −

0(1, 0, 0) = (0, 1, 1). Logo,

g2 =v2‖v2‖

=(0, 1, 1√

2=

(0,

√2

2,

√2

2

).

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Finalmente,

v3 = u3 − 〈u3, g1〉 g1 − 〈u3, g2〉 g2 = (0, 1, 2)− 0g1 −3√

2

2

(0,

√2

2,

√2

2

)=

(0,−1

2,1

2

).

Daı

g3 =v3‖v3‖

=0,−1

2, 12√

14

+ 14

=

(0,−√

2

2,

√2

2

).

Logo, {(1, 0, 0),

(0,

√2

2,

√2

2

),

(0,−√

2

2,

√2

2

)}e uma base ortonormal do R3,construıda a partir da base B.

Definicao 4.3.2 (Complemento Ortogonal) Seja V um espaco vetorial euclidiano. Dado

um subespaco vetorial U de V , indiquemos por U⊥ o seguinte subconjunto de V

U⊥ = {v ∈ V | 〈u, v〉 = 0, ∀u ∈ U.

Exemplo 4.2 Achar uma base do sub-espaco V ⊥, onde V e subespaco de R4 gerado por

(1, 0, 1, 1) e (1, 1, 2, 0). Ortonormalize esta base.

v = (x, y, z, t) ∈ R4 pertece a V ⊥ se e somente se{〈v, (1, 0, 1, 1)〉 = x+ z + t = 0

〈v, (1, 1, 2, 0)〉 = x+ y + 2z = 0

A solucao do sistema e V ⊥ = {(−z − t,−z + t, z, t |z, t ∈ R}.

4.4 Operadores Auto-Adjuntos

Definicao 4.4.1 Seja V um espaco vetorial euclidiano. Um operador A ∈ L(V ) se diz auto-

adjunto se

〈A(u), v〉 = 〈u,A(v)〉 , ∀u, v ∈ V.

Proposicao – Seja V um espaco euclidiano de dimensao finita. Entao, um operador A ∈ L(V )

e auto-adjunto se, e somente se, a matriz de A em relacao a uma base ortonormal de V e

simetrica (i.e. A = AT ).

5 Diagonalizacao de Operadores Lineares e Forma de

Jordan

5.1 Valores e Vetores proprios

Definicao 5.1.1 Seja V um espaco vetorial (sobre R ou C) e seja T : V → V um operador

linear. Um vetor u ∈ V , u 6= 0, e um vetor proprio (autovetor) de T se existe um escalar λ (de

R ou C, respectivamente) tal que T (u) = λu. Neste caso λ e um valor proprio associado a u.

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Definicao 5.1.2 O sub-espaco

V (λ) = {u ∈ V |T (u) = λu} = ker(T − λI)

e chamado de sub-espaco proprio de λ e sera indicado por V (λ).

Definicao 5.1.3 Dada uma matriz A = (aij) de ordem n (real ou complexa), chama-se po-

linomio caracterıstico de A o seguinte polinomio de grau n:

Pt(A) = det

a11 − t a12 · · · a1na21 a22 − t · · · a2n...

.... . .

...

an1 an2 − t · · · ann − t

= det(A− tIn).

Proposicao – Matrizes semelhantes tem o mesmo polinomio caracterıstico.

Definicao 5.1.4 Seja V um espaco vetorial de dimensao n e T : V → V um operador linear.

Chama-se polinomio caracterıstico de T o polinomio caracterıstico da matriz de T em relacao

a qualquer base de V . Notacao: pT (t).

Proposicao – Seja T um operador linear de um espaco vetorial sobre K(KS = R ou K = C)

de dimensao n. Entao os valores proprios de T sao as raızes de pT (t) em K.

Exemplo 5.1 Seja T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (y, x).

A matriz de T na base canonica e (0 1

1 0

)Logo,

pT (x) = det

(−x 1

1 −x

)= x2 − 1

cujas raızes sao 1 e −1.

Uma vez conhecidos os valores proprios de um operador T , podemos achar seus vetores proprios.

Os autovetores sao os vetores nao nulos de ker(T − λI).

Para λ = 1 temos (T − I)(x, y) = T (x, y)− I(x, y) = 0 ⇒ T (x, y) = I(x, y) ⇒ (y, x) = (x, y).

Portanto, x = y e os autovetores associados ao autovalor λ = 1 tem a forma (x, x) = x(1, 1),

∀x ∈ R∗. Analogamente, para λ = −1 teremos x(1,−1).

5.2 Diagonalizacao de Operadores

Definicao 5.2.1 Seja V um espaco vetorial de dimensao finita. Um operador T : V → V se

diz diagonalizavel se existe uma base de V formada por vetores proprios de T .

Se B = {e1, ..., en} for uma base formada de vetores proprios de T entao

(T )B =

λ1

λ2. . .

λn

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onde λ1, ..., λn sao os valores proprios de T . Daı

pT (x) = det

λ1 − x

λ2 − x. . .

λn − x

= (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λn − x)

e assim pT (x) se decompoe em fatores lineares.

Teorema 5.2.1 Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre K (K = R ou K = C).

Um operador linear T ∈ L(V ) e diagonalizavel se, e somente se,

• o polinomio caracterıstico de T tem todas as suas raızes em K;

• a multiplicidade algebrica de cada valor proprio λi de T e igual a dimensao de V (λi).

5.3 Diagonalizacao de Operadores Auto-adjuntos (ou de matrizes

simetricas reais)

Como visto na definicao 4.4.1, um operador linear A de um espaco vetorial euclidiano V tal

que

〈A(u), v〉 = 〈u,A(v)〉 , ∀u, v ∈ V.

Teorema 5.3.1 Um operador linear A de um espaco euclidiano V , de dimensao finita n ≥ 1,

e auto-adjunto se, somente se, existe uma base ortonormal de V formada de vetores proprios

de A.

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