I- CONCEITOS INICIAIS

MATEMTICA ( GEOMETRIA ANALTICA I ( PROF. JOS LUS

I- CONCEITOS INICIAIS

1- Distncia entre dois pontos na reta

d(A,B) =

Ex: Dados os pontos A e B de coordenadas 2 e 8 respectivamente, calcular a distncia entre A e B.

d(A,B) =

d(A,B) =

d(A, B) = 6

2- Sistema cartesiano ortogonal

Se P pertence ao eixo das abscissas, suas coordenadas so (a, 0).

Se P pertence ao eixo das ordenadas, suas coordenadas so (0, a).

Se P pertence bissetriz do 1 e 3 quadrantes, suas coordenadas so iguais.

Se P pertence bissetriz do 2 e 4 quadrantes, suas coordenadas so simtricas.

3- Distncia entre dois pontos no plano

d(A,B) =

Exerccios

E1) Dada a reta real da figura, calcule:

a) d(A, B)

b) d(A, C)

c) d(B, C)

d) d(C, A)

E2) Sabendo que a distncia entre os pontos A e B igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.

E3) Se na reta real, os pontos A, B e C tm coordenadas 2, ( 8 e ( 3, respectivamente, calcule o comprimento do segmento:

a) AB

b) BC

c) CB

d) CA

E4) A distncia entre dois pontos M e N de abscissas 3 e k, respectivamente, igual a 10. Calcule os possveis valores de k.

E5) Calcule, em cada caso, a distncia entre os dois pontos dados:

a)(1, 3) e (9, 9)

b)((3, 1) e (5, (14)

c)(( 4, ( 2) e (0, 7)

E6) Calcule o comprimento do segmento AB, sendo A e B

E7) Dados os pontos A (2, 3) e B (4, 1), calcule d(A, B).

E8) Calcule a distncia do ponto M ((12, 9) origem.

E9) Determine as coordenadas de um ponto A que pertence bissetriz dos quadrantes mpares, sabendo que o ponto est a igual distncia dos pontos B (7, 2) e C ((2, 1).

E10) A distncia do ponto P (a, 1) ao ponto A(0, 2) igual a 3. Calcule o nmero a.

E11) Calcule o nmero real a de forma que a distncia do ponto P (2a, 3) ao ponto Q (1, 0) seja igual a 3.

E12) Calcule o permetro do tringulo ABC, sabendo que A(1, 3), B (7, 3) e C (7, 11).

E13) Prove que o tringulo cujos vrtices so os pontos.A (0, 5), B (3, (2) e C ((3, (2) issceles e calcule o seu permetro.

E14) Usando o teorema de Pitgoras, verifique se o tringulo de vrtices A ((1, (3), B (6, 1) e C (2, (5) retngulo.

E15) O tringulo ABC retngulo ( reto) e o vrtice A um ponto do eixo das abscissas. Determine as coordenadas do ponto A, sabendo que B(2, 4) e C(5, 0).

4- Ponto mdio de um segmento

M

Exerccios

E1) Obtenha, em cada caso, as coordenadas do ponto mdio do segmento AB.

a) A(1, 7) e B(11, 3)

b) A((2, 5) e B((4, (1)

c) A(0, 3) e B(0, 3)

E2) Sabe-se que M (a, b) o ponto mdio do segmento AB. Se A(11, (7) e B((9,0), calcule as coordenadas do ponto M.

E3) Uma das extremidades de um segmento o ponto cujas coordenadas so ((2, (2). O ponto mdio desse segmento tem coordenadas (3, (2). Determine as coordenadas x e y da outra extremidade do segmento.

E4) (Mau-SP) Determine as coordenadas dos vrtices de um tringulo, sabendo que os pontos mdios dos lados do tringulo so M((2, 1), N(5, 2) e P(2,(3).

II- ESTUDO DA RETA

1- Condio de alinhamento de trs pontos

( D =

Exerccios

E1) Verifique se os pontos A, B e C esto alinhados quando:

a)A (0, 2), B ((3, 1) e C (4, 5)

b)A ((2, 6), B (4, 8) e C (1, 7)

e)A ((1, 3), B (2, 4) e C ((4, 10)

E2) Determine m para que os pontos A (0, (3), B ((2m, 11) e C ((1, l0m) estejam em linha reta.

E3) (UCMG) Determine t, sabendo que os pontos A(, t), B(, 0) e c ((1, 6) so colineares.

E4) Os pontos A ((1, 2), B (3, 1) e C (a, b) so colineares. Calcule a e b de modo que o ponto C esteja localizado sobre o eixo das abscissas.

E5) Seja P o ponto de interseco da reta r com o eixo das ordenadas. Sendo r a reta determinada pelos pontos A ((1, (2) e B (4, 2), calcule as coordenadas do ponto P.

E6) Determine x de modo que os pontos A (1, 3), B (x, 1) e C (3, 5) sejam os vrtices de um tringulo.

2- Coeficiente angular

Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o nmero real m que expressa a tangente trigonomtrica de sua inclinao (..

m = tg (Pode ocorrer:

tg ( > 0 ( m > 0

tg ( < 0 ( m < 0

( = 90 ( tg ( no definida

tg ( = 0 ( m = 0

3- Clculo do coeficiente angular

3.1- O ngulo ( conhecido (m = tg ()

Se ( = 45, ento: m = tg 45= 1.

Se ( = 60, ento: m = tg 60 =

3.2- As coordenadas de dois pontos distintos da reta so conhecidas.

m = tg ( =

m =

3.3- A equao geral da reta conhecida

ax + bx + c = 0

m = ( coeficiente angular

n = ( coeficiente linear

Exerccios

E1) Determine o coeficiente angular das retas que passam pelos pontos A e B.

a) A((1, 4) e B(3, 2)

b) A(4, 3) e B((2, 3)

c) A(2, 5) e B((2, (1)

d) A(4, (1) e B (4, 4)

E2) Calcule a declividade da reta que passa pelos pontos P1 (1, 20) e P2 (7, 8).

E3) Quando a quantidade x de artigos que uma companhia vende aumenta de 200 para 300, o custo de produo y diminui de R$ 100,00 para R$ 80,00. Determine a variao mdia de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos.

4- Equao da reta

4.1- Equao de uma reta que passa por um ponto P(x, y) e cujo coeficiente angular m.

4.2- Equao reduzida da reta

4.3- Equao segmentria da reta

4.4- Equao geral da reta

Toda reta possui uma equao da forma ax + by + c = 0, onde a e b no so ambos nulos, que chamada equao da reta.

Exerccios

E1) Determine a equao da reta que passa pelo

ponto A (2, (3) e tem coeficiente angular .

E2) Uma reta r passa pelo ponto P (2, 4) e tem coeficiente angular m = (3. Determine a equao da reta r.

E3) Determine k, sabendo que a inclinao da reta que passa pelos pontos A (k, 3) e B ((1, (4) de 45.

E4) Determine a equao da reta que passa pelo ponto P (4, 1) e tem uma inclinao de 45.

E5) Dado o ponto A((2, 3), calcule as coordenadas do ponto B (3k, k +1) de modo que o coeficiente angular da reta AB seja m = (.

E6) Ache a equao da reta r em cada caso:

E7) Escreva a equao reduzida da reta que tem coeficiente angular m = 2 e que cruza o eixo y no ponto (0, (3).

E8) A equao reduzida de uma reta y = 4x ( 1.

Calcule:

a)o ponto da reta de abscissa 2;

b)o ponto de interseco da reta com o eixo 0x;

c)o ponto de interseco da reta com o eixo 0y.

E9) Dada a reta que tem como equao 3x + 4y =7, determine o coeficiente angular da reta.

E10) Uma reta passa pelo ponto P ((2, (4) e tem coeficiente angular m = (. Determine o coeficiente linear da reta.

E11) Ache a equao segmentria da reta r, indicada na figura:

E12) Escreva a equao segmentria da reta que passa pelos pontos A(3, 0) e B(0, 2).

E13) Uma reta r passa pelos pontos A(3, 0) e B(0, (4). Escreva a equao da reta r na forma segmentria.

E14) 1Determine a equao geral da reta que passa pelos pontos:

a) ((1, (2) e (5, 2)

b) (2, (1) e ((3, 2)

c) e

E15) Dados os pontos A (2, 3) e B (8,5), determine a equao da reta que passa pelos pontos A e B.

E16) Determine a equao da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e pelo ponto Q, simtrico de P em relao origem.

E17) Verifique se o ponto A (2, 2) pertence reta de equao 2x + 3y ( 10 = 0.

E18) A reta de equao 3kx + (k ( 3)y (4 = 0 passa pelo ponto P (2, 1). Calcule o valor de k, escreva a equao da reta e determine o seu coeficiente angular.

E19) Determine a equao geral da reta r, em cada caso:

E20) Os pontos A ((1, m) e B (n, 2) pertencem reta 2x ( 3y = 4. Calcule a distncia entre A e B.

E21) Consideremos a reta que passa pelos pontos A(1, 4) e B(2, 1). Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta.

E22) O ponto A(a, a + 3) pertence reta de equao 5x ( y ( 5 = 0. Determine as coordenadas do ponto A..

E23) Os pontos A(2, 0), B(0, 4) e C(4, 2) so os vrtices de um tringulo ABC. Determine as equaes das retas suportes dos lados desse tringulo.

E24) So dados os pontos A((l, (3),B(5, 7),C(2,(4) e D(0, 2). O ponto M1 o ponto mdio do segmento AB e o ponto M2 o ponto mdio do segmento CD. Determine a equao da reta que passa por M1 eM2.

5- Equaes paramtricas

So equaes equivalentes equao geral da reta, da forma x = f(t) e y = g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parmetro t.

Ex:

Para obtermos a equao geral da reta a partir das duas paramtricas, basta eliminarmos t das duas equaes.

t = x 2

Substituindo esse valor na outra equao, teremos:

y = ((x ( 2) + 1

y = ( x + 3

x + y 3 = 0

ExercciosE1) Determine a equao geral das retas definidas por:

a)

b)

E2) Seja a reta definida por .

a) Determine os pontos de interseco com os eixos coordenados.

b) Ache o ponto da reta cuja abscissa .

6- Posies relativas de duas retas - Paralelismo

Duas retas, r e s, no-verticais, so paralelas se, e somente se, tm coeficientes angulares iguais.

Se r (( s

ento:

mr = ms

Obs: Se as retas forem concorrentes, teremos: mr ( ms.

Exerccios

E1) Qual a posio da reta r, de equao 6x + 4y (3 =0, em relao reta s, de equao 9x + 6y ( 1 = 0?

E2) As retas r e s, de equaes e 2x ( y + 5 = 0, respectivamente, so paralelas ou concorrentes?

E3) Dados os pontos A(2, 3) e B((1, (4), determine a equao de uma reta r paralela a uma reta determinada pelos pontos A e B, e que passa pelo ponto C((1, 2).

E4) Na figura, ABCD um quadrado. Determine a equao da reta suporte do lado BC.

7- Interseco de retas

y r s

P(x, y)

x

A soluo do sistema formado pelas equaes de duas retas, r e s, o ponto P(x, y), comum a elas e interseco das retas.

Exerccios

E1) Determine as coordenadas do ponto P (a, b), interseco das retas r e s em cada caso:

a) r: 2x + y ( 1 = 0 e s: 3x + 2y (4 = 0

b)r: x + 2y ( 3 = 0 e s: x ( 2y + 7 = 0

c)r: 2x + 3y ( 8 = 0 e s: 2x ( 4y + 13 = 0

E2) Sejam as retas cujas equaes so x + y (5 = 0, 2x + y ( 7 = 0 e x ( 3y +7 = 0, respectivamente. Prove que as retas so concorrentes num mesmo ponto.

E3) Uma reta r determinada pelos pontos A(2, 0) e B(0, 4), e uma reta s determinada pelos pontos C((4, 0) e D(0, 2). Seja P(a, b) o ponto de interseco das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto P.

E4) Determine os pontos de interseco da reta de equao x + 2y ( 4 = 0 com os eixos.

E5) Determine a equao da reta que passa pela origem dos eixos coordenados e pela interseco das retas 2x + y ( 6 = 0 e x (3y + 11 = 0.

E6) Seja A(a, b) o ponto de encontro da reta r, de equao 2x ( 3y + 1 = 0, com a bissetriz dos quadrantes mpares. Determine A.

E7) Quais so as coordenadas dos vrtices de um tringulo, sabendo que as retas suportes dos lados desse tringulo tm equaes x + 2y ( 1 = 0, x ( 2y ( 7 = 0 e y ( 5 = 0, respectivamente?

E8) Determine a equao da reta s que passa pela interseco das retas m e n, de equaes x ( y + 2 = 0 e 3x ( y + 6 = 0, respectivamente, e paralela reta r, de equao y =.

E9) O ponto M o ponto de interseco das diagonais AC e BD de um quadriltero ABCD. Sendo A(0, 0), B(3, 0), C(4, 2) e D(0, 5) os vrtices do quadriltero, determine as coordenadas do ponto M.

8- Retas perpendiculares

Duas retas r e s so perpendiculares se, e somente se, mr = ( .

Exerccios

E1) Estude a posio relativa dos pares de retas.

a) 3x 2y + 1 = 0 e 4x + 6y 1 = 0

b) y + x 7 = 0 e 2x 2y 1 = 0

c) 2x y 6 = 0 e 4x + 2y 5 = 0

E2) As retas de equaes x + 2y a = 0 e 4x + ay 7 = 0 so perpendiculares. Determine a.

E3) Determine o valor de k para que as retas r e s, de equaes kx + y + 2 = 0 e 3x + (k + 1)y 7 = 0, respectivamente, sejam perpendiculares.

E4) Determine a equao da reta que passa pelo ponto A((3, 2) e perpendicular reta de equao 3x + 4y = 4.

E5) Dada a reta de equao y + 5 =0, determine a equao da reta perpendicular reta dada e que passa pelo ponto ((2, (7).

E6) Seja a reta r de equao y = . Determine a equao reduzida da reta perpendicular a r e com a mesma ordenada na origem.

E7) Escreva a equao reduzida da reta que passa pelo ponto (5, 0) e perpendicular reta de equao

E8) A equao de uma reta r dada por: = 0

Determine a equao da reta que passa pelo ponto (4, 7) e perpendicular a r.

E9) So dados os pontos A ((1, 1) e B (9, 3). A mediatriz do segmento AB encontra o eixo dos y no ponto P. Determine as coordenadas de P.

E10) Os pontos A(2, 1), B((2, (4) e C(0, 2) so os vrtices de um tringulo ABC. Determine a equao da reta suporte da altura relativa ao lado AB do tringulo.

E11) Os pontos A(0, 2), B((4, 4) e C(2, 6) so os vrtices de um tringulo ABC. Determine as coordenadas do ortocentro do tringulo.

E12) Chama-se circuncentro o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um tringulo. Se um tringulo ABC tem como vrtices os pontos A(5, 2), B(1, (3) e C((3, 4), determine as coordenadas do circuncentro.

E13) Seja 6x ( 13y + 2 = 0 a equao da reta suporte da diagonal AC de um quadrado ABCD. Sendo D(1,5), determine a equao da reta suporte da diagonal BD desse quadrado.

E14) Determine o ponto N, simtrico de M (2, 4) em relao reta r, de equao x ( y ( 6 = 0.

E15) Calcule o simtrico do ponto ((1, 1) em relao reta de equao y = 2x.

E16) O ponto A simtrico do ponto B (1, 7) em relao reta r, de equao x ( y ( 5 = 0. Determine as coordenadas do ponto A.

E17) Os pontos A(5, ( 1) e B(3, 7) so equidistantes de uma reta r que contm o ponto P ((2, 3). Determine as possveis equaes dessa reta r.

9- ngulo entre duas retas

Entre duas retas r e s concorrentes e no-perpendiculares, formam-se ngulos, dentre os quais determinaremos a medida (.

Dependendo da posio das duas retas no plano, o ngulo ( pode ser agudo ou obtuso. Logo:

tg( =

Essa relao nos fornece o ngulo agudo ( entre r e s, pois tg ( ( 0. O ngulo obtuso ( ser o suplemento de (.

ObS:

Se uma das retas for vertical, teremos:

tg ( =

Exerccios

E1) Determine o ngulo agudo formado pelas retas:

a) 6x ( 2y + 5 = 0 e 4x + 2y ( 1 = 0

b) x ( y + 1 = 0 e 3x + 2 = 0

c) x 3y 1 = 0 e x 2 = 0

E2) A reta r, cujo coeficiente angular m1 = , faz um ngulo de 30 com a reta s, cujo coeficiente angular m2. Calcule m2.

E3) Seja uma reta r que passa pelo ponto A (1, 1) e faz um ngulo de 450 com a reta s, de equao x ( 2y + 2 = 0. Determine a equao da reta r

E4) Seja ( o ngulo agudo formado pelas retas de equaes x ( 3y ( 7 = 0 e x ( l3y ( 9 = 0. Calcule cotg (.

E5) Determine a equao da reta r do grfico a seguir.

E6) Ache a tangente do ngulo agudo formado pelas retas de equaes x ( 2 = 0 e y ( 4x = 0.

10- Distncia entre ponto e reta

P(xP, yP)

r: ax + by + c = 0

d(P, r)

d(P, r) =

Exerccios

E1) Calcule a distncia do ponto P reta r em cada caso:

a)P(5,7) e r: 4x ( 3y + 2 = 0

b)P(1, (2) e r: y = (x + 1

c) P ((1, 4) e r: x + y = 0

d) P(2, 6) e r:2x + 1 = 0

E2) Qual a distncia entre a origem e a reta r, que passa pelos pontos A (1, 1) e B ((1, 3)?

E3) Determine as equaes das retas paralelas reta r, de equao 4x + 3y (5 = 0, e distantes 4 unidades da reta r.

E4) A distncia entre o ponto P (0, k) e a reta r, de equao 4x + 3y ( 2 = 0, igual a 2 unidades. Determine o valor de k.

E5) Calcule a distncia entre as seguintes retas paralelas:

a) 12x ( 9y + 27 = 0 e 12x ( 9y ( 18 = 0

b) y = e y =

E6) Os pontos A(2, 1), B((2, (4) e C(0, 2) so os vrtices de um tringulo ABC. Determine a medida da altura relativa ao lado BC do tringulo.

E7) Seja A o ponto de interseco da reta r, de equao x + y (2 = 0, com o eixo das abscissas. Determine a distncia do ponto A reta s, de equao 3x ( 4y + 10 = 0.

11- Bissetrizes de duas retas

Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) um ponto qualquer de uma das bissetrizes, P ( Q, ento P eqidista de r e s, isto :

d(P, r) = d(P, s)

=

Exerccios

E1) Ache a equao das bissetrizes das retas:

a) 3x 4y 7 = 0 e 5x + 12y + 7 = 0

b) 2x + y + 3 = 0 e x + 2y 1 = 0

E2) Determine as equaes das bissetrizes dos ngulos que formam as retas 4x 3y = 0 e 5x + 12y 4 = 0.

12- Clculo da rea de um tringulo

A rea de um tringulo de vrtices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC,, yC) dada por:

A = , onde D =

Exerccios

E1) Determine a rea do tringulo cujos vrtices so os pontos:

a) A((3, 3), B((1, 1) e C(4, 0)

b) A((1, ), B(4, (3) e C(0, (6)

E2) Os pontos A(2, (4), B(a, 1) e C(4, 2) so os vrtices do tringulo ABC. Calcule o valor de a, para que esse tringulo tenha 2 unidades de rea.

E3) A reta r da figura a seguir tem equao x + 2y ( 4 = 0.

Determine a rea do tringulo AOB.

E4) A reta r, de equao x + 2y (8 = 0, intercepta o eixo x no ponto A e intercepta a bissetriz dos quadrantes pares no ponto B. Calcule a rea do tringulo OAB, sendo O a origem.

E5) Seja o quadriltero cujos vrtices so os pontos A(4, 0), B(6, 2), C(2, 4) e D(0, 2). Calcule a rea desse quadriltero.

E6) As retas suportes dos lados de um tringulo so as retas de equaes x + 2y ( 1 = 0, x ( 2y (7 = 0 e y ( 5 = 0. Calcule a rea desse tringulo.

y y1 = m(x x1)

y = mx + n

EMBED Equation.3

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