Retrobem el món de la geometria Geometria elemental I

"

Grup Zero Barcelona

Institut de Ciències de l'Educació Universitat Autònoma de Barcelona

Retrobem el món de la geometria Geometria elemental I

Grup Zero Barcelona

Institut de Ciències de l'Educació Universitat Autònoma de Barcelona

GRUP ZERO DE BARCELONA

Pro j ecte ''L ' ens enyament de l e s �a tem�t ique s al B . U . P . "

Formen part del Grup Ze ro de Barce lona :

Carme Azc&ra te, Do lors Benach, Marta Ber ini, Dan iel Bo sch, Martí

Cas adeva l l, Ester Ca sel las, Mª Jo sé Castel ló, Mon tserrat Coma s,

Rubi Corberó, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafane ll,

Cristina Fabregat, Pilar F iguera s, Vicens Font, El ena Gomis, Jau

me Jorba, Carles L ladó, Antoni Montes, Paca Moreno, Manuel Udina

Tex t Expe rimenta l .

Aque s t treba l l ha e s tat pa troc inat per l ' I . C . E . de la Unive r s i ­

ta t Au tònoma de Barce lona .

Edita : Instituta de C i enc ias de la Educ ac i6n de la Univers idad Autónoma de Barcelona

Impr ime : Termogravat . Venta lló, 6 Barcelona Dep6s ito Lega l : B -20 . 8 8 6 /19 8 3 I . S . E . N . : 8 4 - 7 �8 8 - 0 71-8 Mayo, 1 9 8 3

I N D E X

Pròl eg • • l • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Presentac ió • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l • • • • • • • •

5

7

A . Introducc ió h i stòr ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

B. Per íode j ònic : Teorema de Tal e s ...................... 15

1 • - Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 7

2 . - Homotèc ia............................................ 30

3.- S emblança de f igu res .................. ............

4.- Amp l ia c i ó i reducc i ó de f igure s

42

57

C . Període de la Magna Grèc ia : P i tàgores............... 6 7

1.- Teorema de P i tàgores ......... .................. 69

2. - Teoremes de l ' a l tur a i del ca tet . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3. - Suma del s ang l e s d ' un triangle . .. .. . . . .. . .. . .. .. 88

4.- Secc ió àuria........................................ 93

D . Època de l s s o f i s te s : Hipòcra tes de Qu ios ........... 107

1 . - Llocs geomètric s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2 . - Algunes qüe s tions sobre l a c i rcumf erènc ia .... 111

3. - Punt s notabl e s en un triangle.................... 123

4 .- Ang l e s en l a c i rcumfe rènc ia . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. 136

5. - Arc capaç · · · · · · · · · · · · · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.- Algunes qüe st ions sobre pol ígons insc r its

i c i rcumscrits • • • • • • • • • • • • • • • • • l • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

E . Les Esco les d ' Atenes ..................................

Apèndix • " • • • • l • • • • • • • • • • • • • • l • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

169

179

182

P R Ò L E G

Per fami l iaritz ar-vo s amb el s conceptes geomètrics u s serà de

gran util i tat l ' observac i6 del m6n qu e u s envolta . Es tem rode­

j ats d ' una gran quant i ta t d ' é s sers que ens suggere ixen formes i

volums , del s qua l s l ' home n ' ha ab s tret e l s cossos geomètric s i les

f igures tant de l ' e spa i c orn del pla .

La geometria é s una branca de l e s matemàtique s d ' or igen mol t

remot , j a que e s pot d i r que l ' home primit iu, e n intentar repre­

sentar el medi on vivia , reflec tia en forma de f igures e squernàt!

que s la rea l i tat que ob servava . Aquest material intenta s i tuar en

el seu context h i s tòric e l s d i f erents conc eptes que es van anar

desenvolupant . Aix í aga farem c om a referènc ia l e s di ferents e ta­

pes que e s succe ïren en el desenvolupament de la Geometria greg�

tenint en compte e l s di st ints focu s de cultura que es van anar

formant de s del segle VII aC f ins el I I I aC . Això no vol pa s dir

que totes l e s noc ions tractades a cada apartat fo s s in realment

l e s que sorgi ren en el pe ríode c orre sponent , s in6 que s ' han apl�

gat en cadascun d ' el l s l e s qüe stions re lac ionades amb l e s princ!

pa l s aportac ions del s matemàtics mé s repre sentatius de cada pe­

r íode . Cal ten i r en compte que ha e s tat l ' e s forç de la human i ta t

durant mol t s d e s e g l e s e l que h a permè s e struc turar l a geometria

c orn una de les pa rts mé s a tract ives de les matemàtique s el emen­

tal s .

5

P R E S E N T A C I O

Consc ients del paper de segon ordre a s s ignat a la Geometria ,

durant e l s ú l t ims anys , en e l s currículums e scola rs , cosa que ha

comportat greus mancanc es en la formac ió ma temàtica dels esco­

lars , pre sentem aquest material que esperem que serve ixi d ' aj uda a l s

adolescents p e r endin sar- se e n l ' apa s s ionant món d e la geometria .

En pr imer l loc volem a s s enya lar qu e aque s t l l ibret , que c on�

t i tueix la pr imera part de l terna " Geometria Elemental " , é s l l eu­

gerament diferent de l s a l tres elaborats f ins ara pel Grup Z ero .

La seva util itzac ió dependrà de la formac ió inic ial dels alumnes

i del grup-c l a s s e corre sponent . En tot cas , conj untament amb la

2ª part del terna , que inc l ourà corn a terne s bàsic s àrees i volums ,

pol íedres regulars i e s tud i mètric de l e s còn ique s , es not ut i l it

zar durant els tre s cursos de l ' actual B . U . P .

Cada apartat té una gradac ió de dif icultats en l e s qüe st ions

trac tade s , però la dif icul tat dels d i f erents apartats és mol t di

versa . Cal ten ir pre sent aquest fet en fer la se lec c ió de les

pa rts que e s vulguin ut i l i tzar a cada curs .

Volem remarcar també , que ha e s ta t pen sat pe rquè es vagi tr�

bal lant , pr inc ipalment , c orn a materia l complementari a d ' a l tres

ternes , ja que c re iem que la geometria é s sovint un suport conc ret

nec es sari per a desenvolupar la intu!c ió a l ' hora d ' abordar nou s

conceptes mé s ab strac te s . Per a l tra banda , e s t imem que la geome­

tria e l ementa l és una e ina impresc indib le per abordar l ' e s tudi de

moltes branques de les c iènc ies de la natura lesa i de les c ièn­

c ies natural s , i que és la base teòrica de gran part de l ' expre�

sió artís tica .

Con s iderem mol t important que des del primer exerc ic i e l s

alumnes fac in amb tota cura e l s esqueme s i e l s grà f ics , j a que un

bon dibuix e l s fac i l i tarà la comprens ió de força c onceptes i la

7

resoluc ió de moltes de l e s qüe s t ions plante j ades .

L ' alumne e s trobarà amb un segu i t de prop ietats que haurà de

j us t i f i car , i cal que arrib i a dis t ingir entre les comprovac ions

d ' aque stes propietats en casos part iculars i la demostrac ió gen�

ral . Es també c onvenient que e s tudi ï deta l ladament l e s demos tra­

c ions que vag in sort int perquè per la seva s impl icita t seran un

bon entrenament per poder abordar-ne d ' a l tre s mé s compl icade s ,

que e s trobarà en terne s ben diverso s .

Ja que aquest ma terial va dest inat pr inc ipa lment a alumnes

de B . U . P . , hem supo sat c onegudes algune s noc ions bà s ique s de ge�

metria , el cone ixement de les qua l s és impresc indib le per a po­

der util itzar-lo . Es per a ixò , gue per tal de fac i l itar la tasca de l

profe s sor , hem aplegat en un apèndix a lgunes d ' aque stes qüe stion s .

8

A. I N T R O D U C C I Ó H I S T Ò R I C A

La geome tria nasqué , e n la l lunyana civi l i t zació neo líti ca ,

d ' activi tats pràct ique s i de problemes de la vida quotidiana . '

Així l ' home prim itiu va arribar a les formes geomètriques a

través de l ' ob s e rvació de la naturalesa , i pos ter iormen t a les no

ci ons de longi tud , àrea i vo lum pe r les ne ce s s i tats de les acti

vi tats de la vida diària .

Sobre aque s te s qüe s tions , e l s avi grec Eudem de Rode s va es

criure:

" La geometria fou des coberta pels egipcis com a resultat de

les mesure s de l lurs te rres , mesures que eren ne ce s s àr ies donat

que les inundac i ons de l Nil e sborraven cons tan tmen t els límits

e ntre les te rres ve ï nes . Aque s ta ciència , com mo ltes a l tre s , ha

sorg i t de les ne ces s i ta ts pràc tique s del s homes "

Remarquem que Geome tria , en gre c , s i gnif i ca me sura de terres .

Però natura lmen t la mesura de te rres no fou l ' únic prob lema que

va portar a la geometria . A partir de ls tex tos fragmen tats que

s ' han cons ervat é s pos s ib le fer-se una idea d ' alguns dels probl�

mes de l s antics egipc is i babi lonis i de l lurs mè todes per a re

s o ldre ' ls .

Un dels tex tos egipc i s més anti cs é s e l " Papyrus Ahmes "

( 1 5 5 0 a . C ) també conegu t amb el nom de " Papyru s Rh ind" pe rquè e l

va des cobrir a l ' hivern del 1 8 5 8 ; u n j ove antiquari e s cocè s de

nom A . Henry Rh ind .

E l papir Rh i nd és un manual d ' ins trucc ions per a s ecretaris

( func ionar i s re ial s ) , escrit per un tal Ahmes , que conté una col

le cci6 de prob leme s sobre cà lcul de capaci tats , d ' àrees , etc . Tam

bé h i apare ix e l va lor 3 ' 1 6 0 5 com a valor exper imen tal del nom­

bre íï.

9

Ara bé, la g eometri a pe r a l s e g ip c i s i babi loni s i a ltres p�

b le s anti cs ori enta l s , corn e l s ind i s i e l s x inesos , cons i stia en

un conjunt de r e g l e s i cone ixements empír i cs obtinguts per via

exper imenta l, però p e l que s ab em fins ara no era una c i ènc i a e s­

tructurada .

N o fou fi ns e l s e g l e VII a . C, quan la geometri a va pa s s ar

d ' Egipte a Grè c ia, que va des envol upar-s e i començà a e s tru ctu­

rar-se gradua l ment en una c i èn c i a deductiva .

�s b e n cone gut que expos i c ions s i s temàtiques de geometr i a

apare i xen a G r è c i a j a e n e l s . V a. C, però no s ' han cons ervat pe�

què tote s foren s upe rade s peJs "El e ments " d ' Eu c l i de s (s egle III

a . C) . En aques ta ob ra l a geometr ia e s p r e s entà com a un s i stema

tan ben e structurat que e l s s eus fonaments no varen s ofr i r c ap a_!

ter a c i 6 s ubstanc i a l fins més de 2000 anys després .

Entre e l s s eg l e s VII i III a . C apare ixen e l s grans matemà­

ti c s g r e c s , de s de Ta l e s i P itàgor e s , a Eu c l i d e s , Arquimedes i

Apol ·loni, per l a qua l cos a aque sta etapa s ' anomena "edat d ' or de

l es matemàtiqu e s gregue s" .

De s p rés d ' Apol·loni, e l p r i mer ma temàti c i mportant fou Diof ant

d'Alexandr ia, que v i squé en e l s e g l e III d . C. La i mportànc i a de

1a seva ob ra "Ar i trnèti c a" no es va fer evident fins a l a c reac ió de

l a p r i me ra e s cola franc e s a de l s seg les XV i XVI, és a dir 1 . 200

anys després .

Le s etapes e n què d iv i d i rem "l ' e dat d ' or" s eran :

- Pe riode jòni c : s eg l e s VII-VI a . C a l e s colòni es jònique s de M i

let, Efes i Cos . E l matemàti c més important

d ' aque st pe ríode fou Ta le s .

- Pe ríode de la Magna G r è c i a : (nom que pre ngué la Ità l i a Meridio

na l on va produ ir-se b à s i cament l a colonitzac ió

grega) . Aques t període comença e l 49 4 a.C, amb

l a c a i guda de Mi l et s ota e l domini pe rsa; e l s

focus d e cultura e s tra s l l aden a S i cí l i a i a l

1 1

sud d' Ità lia. E l matemàtic més important fou

Pitàgore s.

- Període de l s sofiste s: què divu lgaren e l s coneixements cientí

fics.

Com a científic cal ei tar a Hipòcrate s de Quios ,

qui va e s criure e l primer tra ctat de geometria

com un conjunt de prob l emes i teor emes deduïts

.de manera lògica a partir d' a l guns principis.

� Le s escole s d' Atene s : fundades en e l s eg l e IV aC. per P l ató i

Aris tòtil.

En l'Acadèmia de P l ató hi de sta ca Eudox de Cni

dos , i en e l Liceu d ' Aristòtil s' hi formà Eu­

dem de Rode s , autor d ' una primera his tòria de

l a geometria.

- Període alexandrí: Alexandre e l Magne fundà A l e xandria l ' any

332 aC. , i cap a l' any 300 s' hi tras l l adà l' a�

tivitat científica grega. Hi destacaren Eucli

des , Arquimedes i Apol ·loni.

Pitàgor e s , Euc l id e s i Arauimedes

1 2

..... c.:i

En aquesta pàg ina , h i trobareu un mapa de l ' entorn de l a Mar Med i terràn ia , on h i són a s s enya­lade s les c iutat s gregue s e smentade s ; i a la pàgina següent un e squema que i l . lustra e l s d i fe rent s per íode s de l ' edat d ' or amb e l s fets h i stòrics que l i succeïren , le s e scoles que s ' h i formaren i e l t ipus d e c iènc ia que s ' h i desenvo lupà .

c1 o'

'\)q .[) )J- ��--� ' ,. ' � � - ··ç--7 6\ .2 9� "n• � • • _1 /8 1 M I LET

2 EFES 3 cos 4 SA M O S 5 C R OTO N E 6 QUIOS 7 R O D ES 8 C N I DO

. 9 AT E N ES 10 A LEXAN DR I A 11 S I R AC U S A

l-' ,¡::. E DAT D'OR DE LES MATEM. GREGUES MATEMATICS ESCOLES FETS HISTORICS TIPUS DE

CIENCIA

Període jònic: s. VII-VIa.C l Tales (630-546) Asia Menor: Milet, Efes, I Atenes 594: constitució de ! Experimental

Període de la Magna Grècia s. VI-V a.C.

Període dels sofistes. s. V a.C.

Període de les Escoles d'Atenes. s. IV a.C.

Període alexandrí. s. III a.C.

l

Cos. Soló.

Pitàgores (569-500!Magna Grècia: Siracusa l509: implantació de la demo­Crotone. cràcia atenesa (Clístenes).

Hipòcra.tes de Quios(470-400)

Eudem de Rodas .. Budox de Cnidos

Quios. 490-448: guerres mèdiques !Racional HEGEMONIA D'ATENES

443-429: govern de Pericles

Atenes: Acadèmia de Pl� , 431-404: g uerres del Pelop� tó(387ac-529dc nès entre Atenes Liceu d 'Aristò­til ( 335ac -250ac

s. IV:

i Esparta. HEGEMONIA D'ESPARTA

Guerra Tebas-Es­parta. HEGEMONIA DE TEBAS

Eucljdes (330-275)1 Egipte grec: Museu Arquimedes (287- d'Alexandria.

338: Filip de Macedònia !Deductiva venç els grecs.

212) l,pol·loni ( 26 2-200)

336: Alexandre el Gran crea l'Imperi Hel·l� nístic.

323: Alexandre el Gran

s.III:

mor a Babilònia. Gue rres successòries. Esplendor dels re_sr nes hel·lenístics: Ptolomeus a Egipte.

B. P E R Í O D E J Ò N I C

Cons titueix la primera e tapa de l ' e dat d ' or de l e s matemàti

que s gregu es i s ' anomena així pe r have r-se de senvolupat a l e s co

lònie s jònique s de Mile t , Efe s i Cos .

Aque s ta e tapa de la cièn cia grega ve c a ra c te ritzada per l a

inve s tiga ció d e l a natura l e s a a par tir de l e s ob s e rvacion s de l s

proc e s s os natur a l s i de l a uti lització de tècnique s de treba l l ,

é s a dir , la Cièn cia e s tà encara en una fas e "expe rimental" . Din s

d ' aque s t proc é s d'inve s tig ació hom pot dis tingir una prime ra

e tapa d ' ob servació i una se gona d 'in terpre tació de les ob s e rva­

cion s o e tapa de raonament .

El principa l repre sentant d ' aqu es t pe ríode fou Ta l e s de Mi­

l e t (630 a . C-5 46 a . C) , segurame n t e l primer filòsof i ma temàtic

gre c de qui e s con s e rva e l nom .

Ta l e s era d ' orige n fenici i re sidia a Mil e t , la ciu tat gre­

ga mé s pròspera del litor a l d ' Asia Menor . Procedia d ' una família

en tronc ada en el comerç i per aque s t motiu va fer fr eqüents via!

ges a Egip te, la qua l cos a influí en la s eva orien tació cap a l ' e�

tudi d els fenòmen s naturals i també cap a l ' e s tudi de la Geome­

tria .

En tornar a Mile t va fundar l ' e s cola jònica , que e s conve rtí

en un de l s centre s principa l s de l a ciència grega.

Ta l e s va rebutja r l e s exp licacions mítique s s obre l ' origen

del món , i va afirmar que l ' aigua era el principi de tote s l e s

cos e s o l ' Gnica causa na tura l e n la forma ció de l ' unive r s .

Pos teriorment Heràclit (5 44 a . C-483 a . C) donà com a prin cipi

còsmic e l foc. Tot fl uïa d ' e l l en un proc é s cí c lic :

15

l a

/e l

mar

� l a

foc

� l' aigua

/ terra

N o s' ha cons erva t cap de l s es crits de Ta l e s , i é s difícil s e

parar les l legendes que envo l ten l a s eva figura d e l a rea lita t.

Men tre per una banda e l pre senten com a un comerciant mol t

hàbi l que va fer una gran fortuna aprofitan t l' es cas setat d' oli ,

per a l tra ban da , P l at6 e l prese nta corn un s avi dis tret que cau

din s d' un forat tot mirant les e s tre l le s .

Tampoc e s pot afirmar amb se gure tat que fos l' autor de l Te�

rema que porta e l s eu nom , però se li ha a trib uït perquè s e gons

semb l a en feu ús en múl tip le s situacions , com , per exemp le , per

me s urar a l ture s d ' e dificis o per c a l cular la dis tància d' un vai

xe l l a la cos ta .

Hom re coneix a Ta le s e l mèrit de pre sen tar re s u l tats ante­

riors sota una forma mé s genera l i simple , mitjançan t e l raona­

men t i l a lògica , pos an t així le s b a s e s de l que seria e l perfec-

Gravat reinaxentista , repre sentant Ta le s.

16

te edifici de la Geome tria grega. Ara bé , bona part de l a cele­

britat entre els seus contemporanis fou de guda a la predicció de

l ' e c lipsi de sol de l ' any 5 8 5 a.C. Fou doncs també un gran astr� nom , i les generacions posteriors e l consideraren un de ls se t sa

vis de Grècia.

Trac tarem en aquest apartat e l Teorema de Tales , l ' homotècia

i l a semblança dè figures.

1.- T E O R E M A D E T A L E S

Abans d ' enunciar aquest teorema , e l visualitzarem sobre al­

gunes figures.

Fixeu-vos que aquesta figura del Partenó (temple de l ' Acròpo­

lis d ' Atenes construït en temps de Peri c les) ens perme t traçar

1 7

due s recte s secan t s OA i OA' t a l l ade s per una família de re c tes

para l ·le le s : la columnata l a tera l .

Noteu que en re a litat e l s segmen ts AB , B C , C D , i e l s A' B' ,

B' C',Ç' D ' , . . . són l e s separacion s entre l e s columne s , per tant són

igua l s , pe rò que en apar èixe r a la fotog rafia , vis tos en per spe_g_

tiva , són diferent s .

B . l

Preneu l e s mesures ne ce s s àrie s s obre la figura per a compr�

var que podeu e s c riure le s proporcions

O A A B

O A' A' B'

B C = =

B ' C'

B . 2

Comproveu s obre l a figur a que també e s compleix l a igu a l tat

O A O B O C = = = • • •

A A' B B ' C C '

re l a ció que ens perme t de comparar s egmen ts s obre due s recte s

concurren ts , i a lhora s egments sobre l e s re c te s que l e s ta l len

para l ·le lamen t .

B . 3

Extraieu de le s fotografie s següen ts un e s quema anàleg a l de

l a primera figura i comproveu que també es comp leixen re l acions

com les de l s exe r cicis B.l i B . 2 .

N OTA . - Re cordeu que per con s truir una família de rectes para l­

le les c a l fer se rvir e l reg le i l ' e s caire .

B . 4

18

Cerqueu fotografie s d ' edificis o d ' e lemen ts arquite c tòni c s

(ros s a s se s , c laus tre s , s òcol s , mos aic s , et c . ) , de les qua l s p�

gueu extreure e squemes semb l ants a l s de ls exer cicis anterior s

i comproveu que e s comp leixen re l acions anà logues a le s de l s

exe r cicis B . l i B . 2 .

E l templ e d'Ameno f i s III a Luxor

E l temple de Te seu d'Atene s

1 9

La igualtat del problema B . l . tradueix en forma simbòlica el

teorema de Tales , l' enunciat del qual és:

TEOREMA DE TALES

Els segments determinats per rectes pararleles sobre dues

rectes secants són proporcionals.

Els grecs se servien d' aquest teorema per a realitzar càl­

culs fraccionaris mitjançant mesures geomètriques que no podien

realitzar servint-se dels nombres. El teorema de Tales va perm�

tre de dividir qualsevol segment en el nombre de parts que hom

volia mitjançant el nombre corresponent de re ctes pararleles eE

tre sí. Llavors aquests criteris servien per a establir les plaE

tes dels temples , calcular la distància entre les columnes , llur

diàmetre , llur alçària.

Així tals criteris van convertir-se en cànons de bellesa i

harmonia. Però també serviren per a determinar millor les dis­

tàncies envers les costes aspres i rocoses de les illes gregues ,

per tal d' evitar esculls perillosos durant la navegació pel Me­

diterrani Oriental.

Us proposem a continuació alguns exercicis d' aplicació del

teorema de Tales.

20

EXERC IC I S D 'APLICACIO

B.5

Trobeu les longituds del se gment x en les figures següents :

30

� \ \

\ --'------->--\ 32

"' \ \ \

x \ \ \ \

\ \

\ \

\ 'l

\ �

21

B.6

Trobeu les longituds del s segme nts x i y de les figur e s

següents

B .7

En aque s ta figura , dirern que els segments AB i B C s ó n propoE

cional s a 2 i 3.

o

A

B B'

C e'

D o'

E' l

22

A B 2 Ho e s cr iurem : =

B C 3

a) Demostreu que A' B ' 2 = -

B ' C ' 3

b) Quant val A' B' ? i A' C ' ?

B' D' B' E'

CON S TRUCCIO l

Div i s i ó d 'un segment en parts igual s .

B.8

Div idiu un segment qua l s evol AB en due s parts igual s :

a) d ibu ixant la s eva mediatr iu , fent s e rvir e l reg l e i e l com­

pàs .

b) Ap l i cant e l teor ema de Tale s .

B . 9

a) Dibuixeu un s e gment d ' ll cms i dividiu-lo en 3 parts i gual s

usant e l teorema d e Tal e s .

b) !dem e n 7 parts igual s .

E l s gre c s mi tjançant mètodes geomètr i c s resol ien equac ions

d e l tipus :

a : b = c : x a : b == b : x

ês a dir , cons truïen la quarta proporc ional de l s segments a , b ,

c , i la tercera propor c ional de l s s egments a i b.

CON S TRUCC IO 2

Quarta propor c iona l a tre s segments donats . Ter cera propor­

c ional a dos segments donats.

23

B.10

a) Construiu, g eomètricament, e l segment x que sigui quarta pr�

por cional. de l s segments que amiden 2 , 4 i 3 cm s.; és a dir que

verifiqui la re lació

2 : 4 = 3 : x

b) R e s oleu la qüestió pl antejada algèbricament i comproveu que

e l resu ltat és la mesura d e l segment x abans construït.

c) Idem d ' l , 3 i 2. Idem de 4 , 2 i 6.

B.11

Donats e l s s egments

a b C

construiu e l s e gment quarta proporcional d e l s s egments a , b i

c.

B.12

Quan en la r e l ació a : b = c : x , b i c coincideixen , e l s e g­

ment x s ' anomena l a tercera propor cional del s s egments a i b.

a) Es c riviu la proporció qu e tradueix l a fras e : e l s egment x

é s te r c e ra proporcional dels segments de mesures l i 2 cms.

b) Feu-ne la construcció geomètrica.

c) R e s ol eu també e l problema algèbricament.

d) Idem d ' l i 3 . !dem de 9 i 6 .

B.13

Donats e l s s e gments

a b

24

cons truïu la tercera proporcional dels segments a i b.

CON STRUCCIO 3

Divisió d'un s e gment en parts proporcionals a dos o més se3

ments donats.

B .14

a) Dibuixeu un s egment de 10 cm. i dividiu-lo en due s parts

proporcionals a 2 i 3.

b) Re soleu també el problema algèbricament.

B .15

Donats els segments m

a n

dividiu el s e gment a en due s parts proporcionals a m i n.

Idem per als s e gments

m

a

n

B .16

-Dibuixeu un s egment d'll cm . i dividiu-lo en tre s parts prQ

porcionals a 2 , 3 i 5 , és a dir determineu 3 s egments que veri

fiquin la relació

x 2 =

i que s umin 1 1 cm.

y 3

= z 5

25

Resoleu també e l problema algèbricament.

TRIANGLES EN POSICIO DE TALE S

Fina lment veurem corn e l Teorema de Ta les ens permet de rela

cionar els tre s costats dels tr iang l e s ABC i A' B' C' que es for­

men en dibuixar due s re ctes para l�e l e s qu e ta llen dues s e cants .

B . l 7

26

Cons idereu la figura següent

\ \ \

a) Demostreu la relació

\ \

A B A C

A B' A C '

\ \

A

b) Demos treu que també e l costat BC i e l se gment B' C' s ón en

la mate ixa propor c i ó , és a d i r que es compleix

A B

A B '

A C

A C'

B C

B' C '

La figura us indica e l camí a s eguir : d ibuixar p e r B ' una para± l e l a a AC i repeti r e l raonament cons iderant corn a punt d ' inte r

s e c c i ó de l e s recte s concurrents e l punt B i no l ' A .

B .18

També pot donar-se e l cas que en d i buixar l e s due s paral·le­

les la s ituac ió s igui l a de la figura

s'/ /

A

Repetiu la demostrac i ó de l ' exerc i c i anterior .

B . 1 9

La s ituac i ó també pot s er

e' s'

\

27

Per fer la demos tració en aquest cas podeu cons iderar e l trian

g le auxiliar A B" C" ta l , que A B" = A B' i B" C" paral·lela a

B C i B' C'.

a ) Demos treu que e l s triangles A B' C' i A B" C" són igua l s .

b ) Demos treu la proporciona l itat de l s costats de l s triang le s

A B C i A B' C '.

Quan dos triangles presente n la d i spos ició del s exer c i c i s

B.17 , B.18 i B.19 , és a dir , quan tenen un vèrtex comú i e l s cos

tats oposats a aque s t vèrtex para l·l e l s , hom diu que e s tan en "p�

s i c ió de Ta les" .

B.20

28

Trobeu el s egment x en le s f igure s següen t s

l

l l

i l

L.

A l

5

-- - - - 20 - - - - -

x

4 7

B . 21 . L' obelis c , monument rel i g i ó s propi de l' Eg ipte faraòni c , re­

pr e senta per a uns la imatge est ilitzada d' un raig de sol, i per

altre s el d it .de Déu. Le s altures var i en entre els 1 9 i 37m . Veu­

rem ara com col.locant de mane ra adequada la nostra ombra re specte

de la s eva, podrem c alcular-ne l' altura.

x

B

Tal com ve indicat a la figura,cal que avancem o reculem en

la dire cció de l' ombra (O B' de l ' obelis c fins que l' extrem de la

s eva ombra i la nos tra coinc ideixin (punt O) .

Així tenim dos tr iangle s en pos i c i ó de Tale s:

O A B i

Es veri fica doncs

O A' B'

A' B' O B' =

A B O B

relac i ó que permet calcular A' B' tot cone ixent la nostra altur a

( A B ) i mes u rant le s ombre s OB' i OB .

a) Feu els càlculs s i l' ob s ervador amida 1 ' 60m. i ha e fe ctuat

le s me s u r e s de 1 5 i lm de le s ombres.

29

b) Podeu repetir l ' experièn cia per a mesurar l ' a l tur a a.' arbres o

d ' edificis.

B.22

a) Construïu un triangle de costats AB = 9 cm; BC = 12 cm. i

CA = 6crn. i dibuixeu-hi una para l ·le l a MN a l costat AC ta l , que

MC = 4crn. C a l culeu les l ongituds de AN i de MN.

b) Dibuixeu , ara , una para�le l a PQ a l costat AB ta l , que PA =

= 2 cm i ca l culeu BQ i PQ.

c) !dem RS para l·le la a BC i ta l , que BR

R S.

3 cm. C a l culeu CS i

d) Uniu , ara , e ls punts M amb S , P amb N , i R amb Q i comenteu

l a figura que obteniu.

2.- H O M O TÈ C I A

A ls exercicis B.17 , B.18 i B.19 hem vist que si tenim dos

tria ng l es en posició de Ta les , ta ls corn

A

s'>--------

B '------------ C B '-----------� C

30

e ls A B C i A ' B ' C ' de l es figures es verifica l a r�lació

A B

A B ' =

A C

A C'

B C =

B ' C '

és a dir tenen e ls costats proporciona ls. A més observeu que te

nen e ls vèrtexs B i B ' , C i C ' a l ineats amb e l vèrtex A .

Aquests triang l es tamb é es diu que són homotètics . Ara bé ,

no tots e l s triang les homotètics són triang les en posició de Ta­

l es .

Veurem ara un c as més genera l : e l de les figures homotèti­

ques , que en grec significa tenir la mateixa disposició .

Observeu els dos gràfics següents que representen esquemàti­

cament e l funcionament d ' una cambra fosca i d ' un apare l l reprodu�

tor de figures molt simple .

31

En ambdó s casos le s figure s repr e sentad e s s ón figu r e s homQ

tètique s. Remarqueu que tenen la mateixa forma i igual posició ,

és a dir , le s amplad e s , le s alçade s , etc. , són proporcionals i

els punts homòlegs són alineat s amb e l punt O.

Con sidereu també le s due s reproduccions s egüents del famòs

pintor holandè s M.C. Esch e r. En ambdó s casos hi ha també figur e s

homotètique s , però no u s deixeu pas enganyar p e r le s aparence s ,

perquè no són ni el s àngels i dimonis d' un , ni els dragons de

l ' altre , tret dels d ragons que són simètrics re specte el centre

del dibuix.

Le s figure s homotètiqu e s les proporciona l� trama que el

pintor utilitzà per a reiterar el dibuix: hexàgons al primer i

quadrats al s egon , com fàcilment po podeu veure en els e squeme s

que acompanyen cadascuna de le s repre s entacions.

32

33

34

B.23

Fix eu-vos en els tria ng l es A B C i A' B' C ' de l a figura següent.

a) Comproveu que tenen els vèrtexs h omòl egs a lineats amb un ma

teix punt O.

b) Comproveu que tenen e l s c ostats para l�el s i proporciona l s i

que podeu escriure

A' B' B ' C ' C ' A' = 3 = =

A B B C C A

�osaic grec d ' Emoüries.

B. 24

Util itzant els resultats dels ex ercicis B.1 i B . 2 demostreu

que en l a figura a nterior es verifica :

OA' = 3 . 0A

OB' = 3 . OB

OC ' = 3 . 0C

Hom diu que e l s triang l es A B C i A' B' C' són h omotètics en una

homotècia de c e ntre el punt O i raó 3 , informa ció que resumirem

escrivint H(0 , 3)

h /. "� , omotecia centre rao

35

B.25

36

Trobeu per a cada pare l l a de figures homotètiques e l c e ntre

O i l a raó i escriviu-los en e l l l oc indicat.

A l ' última pare l l a de tria ng l es l a situació és diferent de

l es anteriors. N oteu que e l s punts homòl egs A i �són a l ineats

amb el c e ntre O , però estan en diferents semire ctes respecte a l

c entre. E n aquests c asos assig narem a l a raó signe neg atiu.

B . 26

Expliqueu quines figures homotètiques observeu en l es següents

fotografies , i doneu-ne e l centre i l a raó de l ' h omotècia.

Formació de l a imatge en l a retina.

Fulles de l lorer.

Se cció d ' un tronc de oi jove amb

e l s ane l ls de creixement anua ls.

37

B. 27 Podem també imaginar l ' homotècia c om una mena d ' explosió que

allunya i dilata els ob jec tes. En e l cas de l a figura , figures

g eomè triques .

a) Considerant e l trapezi i la seva figura transformada , caleu

l eu l a raó d' h omo tècia .

b) Un c op determinat aquest val or , dibuixeu les figures trans­

formades del triang l e , del rombe i de les tres circumferèn­

cies .

/ /

/

\ \

l l

l

l l

l l

\ \

l \

\ \ \ \ \ \

Fix eu-vos , doncs , que per determinar una homo tècia n ' hi ha

prou de c onèix er-ne el c entre i la raó . De fet noteu que una ho­

motè cia de c entre O i de raó e l nombre real k � O , H (O , k) , no és

més que una apl icació entre els pun ts del pla que a cada punt A

l i fa c orrespondre l ' A' ta] , que:

38

1 . - O , A i N són al ineats

2 • - OA' = k • OA

Així , donc s , due s f igures homotètique s són aque l le s que e l s

seu s punts e s corre sponen e n una homotèc i a .

ALGUNES PROP IETATS DE L'HOMOTEC IA

B . 2 8

Trobeu e n una homotèc ia de centre O i raó 3

a ) La t rans fo rmada d ' una recta que pa s s i per O .

b ) La trans formada d ' una rec ta que no pa s s i per O . A qu ina dis­

tànc ia de O e stà l a recta trans formada?

c ) Repetiu l 'exerc ic i per a una ho motèc ia H ( o , -i ) .

d ) Expl iqueu com són en cada cas una recta i la seva trans for­

mada . Enunc ieu l a propietat corre sponent .

B . 2 9

Per una homotèc ia H ( 0 , 3 ) determineu

a ) L ' angle tran s format d ' un angle de vèrtex O .

b ) L ' angle trans format d ' un angle que té un de l s seus costats

que pa s s a per o.

c ) L ' ang le tran s f ormat d'un angle que c ap de l s seus costats

pa s s i per O .

d ) Repet iu l ' exerc ici per a una homotèc i a H ( o , -i ) .

e ) Com són en cada c a s e l s angles homotètic s ? Enunc ieu l a pro­

pie�a t c orre sponent .

B . 3 0

a ) Per una homotècia H ( 0 , 3 ) , trobeu e l segment trans format

d ' un segment AB . Cons idereu tot s e l s casos po s s ibles . ¿Qu ina

relac ió hi ha entre l e s longituds de l s dos segments homotè­

t ic s ? Qu ina po s ic ió re l at iva tenen ? 1 b ) Repet iu l ' exerc ic i per a una homotèc ia H ( O , -¡) .

c ) Enunc ieu l a propietat corresponent.

B . 3 1

Per una homotèc ia H ( 0 , 3 ) , trobeu

a ) El tr iangle tran s format d ' un triangle ABC . Con s idereu tot s

e l s casos po s s ib l e s .

b ) ! dem per a una homotèc ia H ( o , -i ) .

c ) Comenteu com són e l s angles del s triangles homotètic s i e l s

costat s .

39

Així , donc s , ja que tota figura poligonal e s pot de s c ompon­

dre en triang l e s , podem afirmar que l e s f igure s poligona l s h omot�

tiques tindran e l s ang l e s h omòl eg s igua l s i e l s c o stats h omòl eg s

para l ·l e l s i proporciona l s. El para l· l e l isme de l s co stats pot sim­

plificar-vos , donc s , e l traçat de figure s homotètiques.

EXERCICIS D ' APLICACIÓ

B . 3 2

a) Construiu un h exàgon de 3 cm de c o stat i agafant corn a c en ­

tre d e l ' h omotècia u n vèrtex qua l s evol , d ibuixeu la f igura

tra n sformada s i l a ra6 d ' homotècia és k =l. 2 b) !dem si e l c entre de l ' homotèc ia é s tamb é e l centre de l ' he

xàgon.

c) Ídem si es troba en una diagona l que uneix dos vèrtex s opo­

sats i a distància de 2 cm d ' un d ' e l l s.

B. 3 3

a) Construiu un quadrat de 3 cm i dibuix eu l a figura homotèti­

ca per una homotècia de centre un vèrtex i ra6 k = 2 . b)

c)

Ídem de c entre el del quadra t i ra6 k =l. 3

Ídem si en dividir una diagonal en 3 part s igual s prenem el

c entre de l ' homotè c ia en un de l s punts de d ivi s i ó i com a

ra6 k=-2.

B . 3 4

Dibuixeu un triang l e A B C i e l triangl e de vèrtex s e l s punt s

mitjan s de l s c o stats. Aque sts do s triang l e s s6n homotètic s? En

c a s afirmatiu amb quin c entre i quina raó?

B. 3 5

40

Util itzeu l a pauta següent per a con struir l e s corre sponents

figure s tran sformades per l e s homotècie s que hi vén en indica ­

d e s.

-l l l l l l

V\ o

K:-2

-

o l/' K:2

K ' '

�/ o 1·'

K=--2

-� -

-�

l� l/' o l/

l

o 1 K- -\ '

3 / -K:-3 '

' . �-

l l i ' 41

B . 3 6

Con struïu e n u n ma teix dibu ix l e s f igures tran sformade s del

quadr ilàter A B C D

a ) per l ' homotèc ia H(O ,�) . Indiqueu e l s vèrtex s N B' C' D '

b ) per l ' homotèc ia H (O , - �). Indiqueu el s vèrtex s A" B" C" D"

c ) qu ina é s l ' homotèc ia que tran s f orma e l quadrilàter N B ' C' D'

en el �· B" C"D"?

C

B

----- * ----

D A º

3.- S E M B L A N Ç A

FIGURES SEMBLANTS . RAÓ DE SEMBLANÇA

Cons iderem due s f igu res homotè t ique s i movem-ne una tal corn

ve indicat a l s e squeme s s egüents .

L e s f igure s resultants c ontinuen tenint l a mate ixa forma pe­

rò j a no tenen igual di spo s ició , perquè si bé el s s egments homò­

l eg s cont inuen e s s ent proporc ional s i el s ang l e s homò l eg s igual s ,

l e s recte s que une ixen punts homòlegs j a no són concurrents .

42

43

Aix í donc s , l e s f igure s resul tants no són homotètiques . En

aquest cas, d i rem que són f igures s embl ants .

Es c l ar , que l es f igu res homotèt iqu e s són un cas particular

de les f igures semblants .

B . 3 7

44

Les f igu re s s egüents són homotètique s en una homotèciade c en

tre O i raó 3.

D ibu ixeu- l e s de manera que s igu in sembl ant s , i deix in de ser

homotètiques . Qu ina é s l a raó de s embl ança?

u B . 3 8

Aquests dos octògon s regulars són s emb lants . Qu ina é s l a raó

de semblança?

D ibuixeu- l o s de manera que s igu in homotètic s i expl iqueu corn

trobeu el c entre i l a raó de l ' homotèc ia .

Ob serveu 'gue la raó de semblança ( raó de proporc ional itat

del s s egment s homòl eg s ) és l a raó de l ' homotèc ia corre sponent .

B . 3 9

En aque sta f igura ten iu un tro s de mo saic que ens ha s ervit

per trobar 2 tr iang l e s homotètic s . Ara h i vénen dibu ixats dos

tr iang l e s semblants .

45

Qu ina de l e s condic ion s de f igures homotètiques no ver if i�

quen? Calculeu l a raó de semb lança

B . 4 0

A' B' B' C ' C ' A' k = =

A B B C C A

D ' aquestes parel l e s de f igures geomètr iques

a ) qu ines són homotè t iques? Trobeu-ne e l centre i la raó .

b ) qu ines són semblants? Trobeu-ne la raó.

o ) b) A

A

p C)

46

e) Què podeu dir d ' aque s t s tres dibuix�s?

.... . . . ",,_ ___ ... • •• • • • • •

• • • • • • • •

B . 4 1

a ) Corn hauríeu de col-l ocar aquestes due s f igure s , pe rquè· d�i -

x e s s in de ser homotètique s?

b ) dos triangles equilàters són s emblants?

e) i do s d ' isòsceles?

47

B . 4 2

a ) D ibuixeu un rec tangle de costats 4 i 6 cm . I un al tre de cos

tats 6 i 8 cm , é s a dir cadascun 2 cm mé s gran que el s cos­

tats de l pr ime r . Són sembl ants? Per què? I s i ho f é s s im en

un quadrat de costat 4 cm?

b ) Si donat e l rec tangle de costats 4 i 6 cm , en cons iderem un

al tre de co stats tripl e s , seran semblants? Per què?

B . 4 3

Sabent que cada pare l l a de triangl es de la f igura següent són

semblant s , c a lculeu l e s l ongituds dels costats x i y .

6

30 x

SEMBLANÇA DE TRIANGLES

Si l e s f igures que c ons iderem són tr iang l e s , és clar que po­

dem donar la def inic ió següent :

48

" dos tr iang l e s són semblants s i tenen :

- e l s angles homòlegs igua l s

- e l s costats homòl eg s proporc ional s . "

A

B C

El s tr iang l e s de la f igura són semblant s . Ho indicarem :

que s ignif ica :

B . 4 4

�A B C � AA' B' C '

A

1 . - A =

B =

ê =

2 . - A B A' B '

A' B' ê•

= B C B' C '

C A C' A'

Demo streu que tota paral·l e l a a un costat d ' un tr iangle dete!_

mina , amb l e s rectes a l e s qua l s pertanyen el s al tres dos cos­

tat s , un triangle semblant a l primer .

Considereu e l s 3 casos s egüent s , on e l t riangle inic ial é s

e l A B C .

A .A

B

49

CRITERIS DE SEMBLANÇA DE TRIANGLES

Veurem ara que de l e s 5 condic ions que h em impo sat al s tria�

gles semblant s , n ' h i ha prou de comprovar-ne due s , i le s a l tres en

són cons eqüènc ia .

PRIMER CRITERI : "S i dos triang l e s tenen un ang l e igual i e l s dos

costats que el formen proporc ional s , són sem­

blants".

Demo s trac ió . Suposarem que: A = A' A B A C = A' B' A' C '

A

Prenem sobre e l costat AB un segment AD igua l al A' B'

AD = A' B'

i tracem per D una paral ·l e l a al co stat BC . ..c..

El triangle ADE f ormat é s s emblant al ABC tal com hem provat

a l ' exerc ici B . 4 4 . Aix í tenim :

a mé s

6 ..6. ADE "Y ABC

A A ADE = A' B' C '

perquè tenen un angle igual A = A' i igua l s també el s d o s c o s ­

tats que e l formen .

Efectivament : 1) A = A' per hipòte s i

2 ) AD = �g per construcc ió

3 ) A' C' = AE p erquè :

50

donat que

i j a que

.¡... • '--enim <JUe

.6 L:::.. ADE 'V ABC

per h ipòt e s i

Re sulta donc s , que

B . 4 5

podem escriure

A B A C =

A ' B' A ' C1

A E = A' C '

.6 .6 A' B ' C ' "' A B C

A B A C =

A D A E

i que AD = A ' B1

Estudieu detalladament la demo s trac ió anterior i intenteu de

mo s trar de manera semb lant e l s dos criteris següents :

SEGON C RI TERI : " S i dos triang l e s tenen due s pare l l e s d ' angl e s

igual s són s emblant s " .

TERCER CRI TERI : " S i dos tr iang l e s tenen e l s tre s co stats propor­

c iona l s són s emblants " .

SEMBLANÇA DE TRIANG LES RECTANGLE S

Donat que 2 triangl e s rec tangles j a tenen 1 angle igual , e l s

criteris tindran una sola condic ió.

Enuncieu e l s c r iter i s de s emb lança , en el cas particular de

tr iang l e s rec tangl e s .

DEFINICIÓ DE SEMBLANÇA

Tote s l e s con s iderac ions fetes f in s ara ens permeten e s criu­

re la def in i c ió de semblança :

"una semblança é s una apl icació entre el s punts del pla ,

de manera que a segments d ' una f igura corre spongu in se�

men t s proporc i ona l s en l ' al tra " .

51

F igu res s emblants s eran, donc s, aqu el l e s que el s seu s punts e s

corre sponen en una semblança .

La idea de f igu res s emb l ants, j a fou emprada per Ta l e s per a

me surar altures d ' edif ic i s fent servir pal s i amidant l lurs om­

bre s . Aquest procediment s egurament el va aprendre dels egipc i s .

La f igura següent us il·lustra el mètode .

SOL ó.A B C""AA' B' C '

l A

B a' C

Coneixent l ' a l tura del pal ( A' C ' ) podrem conèix er. l ' al tura

de l ' edi f i c i ( AC ) , gràc ies a la proporc iona l i tat del s c o s tats de

2 triangl e s s emb l ant s .

B . 4 7

a ) S i amidant l ' ombra d ' un edi f i c i ob tenim 5 , 2 m , i el nos tre

regle de 4 0 cm col ·locat vert icalment pro j ec ta en el mateix

moment una omb ra de 2 5 cm , qu ina serà l ' a l ç ada de l ' edif ic i?

b ) Podeu apl icar aquest mètode per me surar l ' a l ç ada del vos tre

Inst itut .

RAÓ DELS PERÍMETRES I DE LES ÀREES DE F IGURES SEMBLANTS

En l ' exerc ic i B . 2 5 ten íem una s èr i e de f igures homotèti­

que . Cons iderarem ara :

- e l s dos tr iangl e s , homotèt ic s per l ' homotècia H ( 0 , 2 )

- el s dos rombe s , homotèt ics per l ' homotèc ia H ( 0, 3 )

- e l s dos trapezi s , homo tè t ic s per l ' homotèc ia H ( 0 , 3 )

52

Aque stes f igures venien dibu ixades s obre una pauta de tr ian­

gles eau i làters . Suposarem que el s eu c o s tat é s la unitat de me

sura .

B . 4 8

Anomenarem P al per íme tre de l a f igura inicial i P' al de la

transformada . Cal cul eu per a cada un dels 3 casos el va lor del P' quoc ient P, i relac ioneu- lo amb el valor de la ra6 d ' homotè-

c ia corresponent .

B . 4 9

Tenint en c ompte que tenim totes l e s f igure s triangulade s ,

mireu quante s vegade s conté la f igura gran a la pet i ta corre s­

ponent , o el que é s el mate ix , calcul eu en cada scun del s 3 ca­

sos el quoc ient d ' à ree s : �· i relac ioneu-lo amb el valor de

la ra6 d ' homotèc ia .

53

En aquests dos últims problemes hem comprovat que la raó

dels perímetres de dos triangles homotètics (o d'altres figures

poligonals) és igual a la raó d'homotècia, i que la raó d'àrees

és igual al seu quadrat. És a dir:

P' - = k p S' 2 - = k s

Si movem una de les figures homotètiques dels 3 gràfics an­

teriors, obtindrem figures semblants, i ja que les figures sem­

blants segueixen tenint la mateixa forma, es conservaran les an­

teriors relacions.

Aquestes relacions: P' p = k; són vàlides en general

per qualsevol tipus de figures semblants. Podeu comprovar-ho en

els exercicis següents.

B.50

Dibuixeu dues circumferències exteriors (vegeu D. 15) de ra­

dis 2 cm i 4 cm. Trobeu el centre i la raó d'homotècia. Quina

és la raó dels seus perímetres? I la de les àrees dels dos cer

eles que determinen aquestes circumferències?

B.5 1

Els costats d'un triangle amiden 9 , 6 i 12 cm.

a) Quant mesuren els d'un triangle semblant si la raó de sem-1 blança val 3?

b) Calculeu la raó dels perímetres.

e) Dibuixeu els dos triangles, traceu les altures, i mesureu­

les. En quina raó estan?

d) Calculeu les àrees i trobeu-ne la raó.

B.52

54

En aquesta figura teniu dues figures semblants. Calculeu la

raó de semblança, i, utilitzant la quadrícula que les cobreix

o una quadrícula més fina, aproximeu els valors de les àrees S' corresponents, i calculeu la raó s·

Exercicis d'aplicació

B. 53

Construïu amb regle i compàs un triangle que tingui per cos­

tats AB = 5 cm, B C = 4 cm, CA= 6 cm, i també un de semblant

que tingui de perímetre 25 cm.

B.54

Construïu dos triangles equilàters tals , que l'àrea del gran

sigui el quadruple de l'àrea del petit. Si el costat del petit

amida 3 cm, quant amida el costat del gran?

B.55

Sabent que cada parell de triangles de la figura següent són

semblants, determineu el valor de x .

O) b l

3 �, __

__ ,_

6 -2 -

55

B . 56"

Les àrees de 2 triangles semblants valen 6 cm2 i 24

a) Trobeu la raó de semblança.

2 cm .

b) Si la base del primer val 6 cm, calculeu la seva altura, ai

xí com la base i l'altura del segon.

B . 57

Els grecs utilitzaren la semblança de triangles en múltiples

aplicacions pràctiques: per a mesurar altures de penya-segats, per a

calcular la distància d'una nau a la riba, etc.

56

Els gràfics següents il-lustren el procediment que seguien:

.· : : ... :-. ..

.. . .

...

...

.

.. ·�· .. : . .

.

'

.

. . .

.

. .

.. , •

• • •

.. : .. ::· .. •• •. . , l ••

. . . .

..

.

.

....

..

.. .

En el primer cas utilitzaven pals i llurs ombres, i en el s�

gon un senzill aparell que els permetés dirigir les visuals cap

al peu i cap a la punta d'un far del qual coneixien l'altura.

Expliqueu quins triangles consideraven, i quina proporció

els permetia resoldre la qüestió en cada cas.

B.58

A Tales, se li atribueix la manera de con�ixer des de la cos­

ta, la distància a què es troba un vaixell: dos observadors mesu

rarien la distància A B que els separa i respectivament els an­

gles A i B , amb la qual cosa el triangle A B C quedaria deter­

minat.

Expliqueu com penseu que trobaven la distància al vaixell. , ,

4.- A M P L I A C I Ó R E D U C C I Ó D E F I G U R E S

Diverses són les tècniques que es poden fer servir per a am­

pliar i reduir figures, totes es basen en l'homotècia o la sem­

blança. En veurem algunes.

L'ampliació de dibuixos mit jançant quadrícules semblants era

ja utilitzada pels egipcis. Consisteix a dibuixar una quadrícula

sobre el dibuix que es vol ampliar o reduir, i una segona de se�

blant amb raó de semblança convenient. I quadre per quadre, anar

traslladant el dibuix a la nova quadrícula.

57

- l l � l.l l l l ""'

, lií � � l

'

l

' ' ...

""'

B. 59

58

Construïu una quadrícula semblant a la que cobreix el mapa

dels Països Catalans i que us permeti d'ampliar-lo en la raó i· 2 Ídem per reduir-lo en la raó 5.

Un mètode alternatiu consisteix a fer ús de la noció d'homo­

tècia mit jançant una de les tres construccions següents:

o

K = 2

o K = 2 K= 3

59

En la 1ª, pot agafar-se el centre d'homotècia en el punt que

sembli més convenient, i dibuixar les guies que calguin per tal

de buscar els punts corresponents als vèrtexs.

En el 2n cas, el centre d'homotècia es pren en un vèrtex de

la figura.

I en el 3r, és un punt interior.

B.60

Dibuixeu una figura poligonal i utilitzant els tres mètodes

anteriors obteniu-ne

a) una arnpliaci6 de ra6 3.

b) una reducci6 de ra6 i·

Hi ha també alguns aparells que permeten ampliar o reduir fi

gures: el compàs de reducci6 permet ampliar o reduir segments, i

el pantògraf permet obtenir directament figures homotètiques i

per tant semblants.

EL COM PÀ S DE REDUCCIÓ

Per a l'arnpliaci6o reducci6 de segments es pot emprar el corn

pàs de reducci6,un esquema del qual és el de la figura; i és una

simple aplicaci6 de la semblança de triangles o simplement dels

triangles homotètics.

A

60

És un compàs les branaues del qual tenen unes ranures on es

pot fixar l 'articulació O. Si tanquem e l compàs i col.loquem O en

una posició en què les branques quedin dividides en una certa

raó, per exemple OA = 20A', en obrir el compàs els segments deteE minats per dues puntes i les. seves oposades estaran en la matei­

xa raó. Així A B serà el doble de A' B' .

Variant l'obertura de l compàs podrem, doncs, reduir o am­

pliar amb la mateixa raó diversos segments.

Les ranures porten unes divisions assenyalades amb els núme­

ros 2, 3 , 4 , S, . . . que indiquen la co l.locació de l'articulació

per tal d'obtenir la reducció o ampliació corresponent.

B. 6 1

Construcció d'un compàs de reducció. Heu de construir dos re

gles, per exemple de 20 cm, amb una ranura des d'un extrem a

l'altre i que us permeti de fixar mit jançant una clàvia les

dues branques del compàs en el punt adient segons el valor de

la raó.

54 3 2

Cal també que hi marqueu amb els números 2, 3 , 4 , . . . les di­

visions que us permetran d'operar amb les raons 2, 3 , 4 , . . .

EL PANTÒGRAF

El pantògraf és un senzill instrument que permet d'obtenir

directament figures homotètiques i per tant semblants. �s en es­

sència un paral·lelogram articulat A B CD amb dos costats prolon-

61

gats de forma que:

BP = BC i DE = DC

d'on es dedueix que:

A P = A E

A

Podeu comprovar que els triangles BPC i A P E són semblants,

que els punts P, C, E són punts alineats i que

PB PA = PC

PE

Així doncs, fixant el punt P i movent sobre una figura la punta

col·locada a E, el llapis col·locat a C ens dibuixarà una figura

homotètica amb raó

k = PB PA

De manera semblant, si fix em C, les figures descrites per P i

E seran homotètiques amb raó

k = B P BA

Si canviéssim estilet i llapis les raons foren les inverses.

És clar , que el pantògraf permet de variar k tot variant la

raó entre les longitud s del s costats del paral·lelogram A B CD.

B.62

62

Construcció d'un pantògraf . Podeu construir un pantògraf ru­

dimentari de la manera següent:

- Talleu 4 tires iguals de cartró i marqueu-hi dos punts a ca­

da extrem i a la mateixa distància en totes les tires.

1 - Marqueu-hi també un punt intermedi, per exemple a 3 de la

distància entre els punts extrems.

- Col·loqueu-les corn s'indica a la figura i fixeu-les de tal mane

ra que permeti l 'articulació del paral·lelogram A B C D format.

Si fixeu el punt P a la taula i col-loqueu un llapis en el f o

rat fet en el punt C i un estilet o un altre llapis al punt E,

observareu que en moure l'estilet E, el llapis senyalarà sem­

pre un punt C en la recta PE i a la distància i de P E.

fs a dir, el llapis dibuixarà una figura homotètica, de la res 1 seguida amb l'estilet,amb la raó 3·

Construïu entre tots els grups pantògrafs que us perrnetin op�

b l 1 2 1

. 3 rar arn es raons 2, , 3 i .

MA PES I PLÀNOLS. E S CA L E S

La construcció d e figures semblants és u n problema d'aplica­

ció constant en la representació de terrenys, edificis i d'obje�

tes e� q e � eral , els quals no es poden representar amb la seva

gra�êà�ia natural sobre el paper.

63

Elp mape s i e l s plànol s no s6n mé s que f igure s semblants a

la pro j ecci6 del terreny o edifici sobre un pla hor itzontal , é s

com s i e s prengués una f otogra f ia des d ' un avi6 . Aixecar un plà­

nol és constru i r la f igura s emblant amb una determinada ra6 de

semblança que hom anomena l ' e s cal a .

Així , s i l ' e s cala d ' un mapa é s 1 : 1 . 0 0 0 . 0 0 0 vol dir que ca­

da d i s tància del mapa corre spon a una d i s tànc ia 1 . 0 0 0 . 0 0 0 de ve gade s superior a la rea l i tat , per exemple 1 cm del mapa corre s­

pon a 1 . 0 0 0 . 0 0 0cm = 1 0km a l a real itat . Segons l ' escala el s ma ­

pes e s c l a s s if iquen en :

- Mape s a petita e scal a : el s d ' e scala inferior a 1 : 1 . 0 0 0 . 0 0 0

- Mape s a mitj ana escal a : el s d ' e s cala comp resa entre 1 : 1 . 0 0 0 . 0 0 0

i 1 : 2 0 0 . 0 0 0

Mape s a gran e scal a : el s d ' e scala superior a 1 : 2 0 0 . 0 0 0

Un cas particular de mape s a gran e s cala s6n el s plànol s, que s6�

mape s d ' e scala super ior a 1 : 1 0 . 0 0 0 .

El s mapes i plànol s acostumen a portar un seqment graduat en

m, km , . . . de la real i ta t ., que alhora que indica la ra6 de sembla!:

ça facil ita l e s l ectures i me sures . Aqu e s t segment graduat s ' ano

mena escala gràf ica .

64

o 100kn

EMPÒRION

• �

o �

C. I B È R ICA ! c. TA L A I ÒT I CA

C iutat s colonial s gregue s .

Segona me itat del primer mil·leni a . C .

B.6 3

Scbre a�ues t plànol de Barcelona tenim senyalat e l recorre­

g L: -:. :::. ' ·..:. :-. a c ·..:. r sa, amb la meta coincidint amb el punt de parti­

da. Ca l c � :e� la d istància que recorreran e ls participants i

l ' à r e a � � e r c de j aran, si l'escala del mapa �s 1 : 8 . 242 .

65

B . 6 4

En un mapa de ls Pa ïsos Catalans, fet a esca la 1 : 2 . 0 0 0 . 0 0 0 ,

a ) Quants cm del mapa separaran 2 punts que en la realitat dis

ten 1 2 km ?

b ) Í dem per 1 0 0 km .

B . 6 5

Dos mapes de Catalunya estan fets a escales 1 : 1 . 5 0 0 . 0 0 0 i

1 : 7 0 0 . 0 0 0

a ) quin d'e l ls és més deta l lat?

b ) per una mateixa superfície sobre el paper, en quin dels dos

hi haurà representada una zona més grossa ?

B . 6 6

Si s'ha intentat dibuixar e l plànol d ' una habitació en un fo

li, i resulta que no hi cap, ¿com s ' ha de pren dre la nova esca­

la, més gran o més petita ?

B . 6 7

66

Dibuixeu el p lànol de la vostra habitació. Feu el dibuix a

una escala adient perquè ocupi un full de la gran dària d'un fo

li.

C . P E R Í O D E D E L A M A G N A G R È C I A

La principal figura d'aquest període és Pitàgores . Pitàgores

va néixer a l'illa de Sarnos l'any 572 a. C . i morí el 500 a.C. Fou

alumne de Tales i de jove va viat j ar a Egipte, on va adquirir

els seus primers cbne ixernents matemàt ics .

Amb Pitàgores, que és considerat corn un de ls homes més il�us

tres de la Ciència Grega, l'enfocament científic de l'estudi de

la naturalesa propi de l'època jònica, va ser substitu ït per una

concepció religiosa.

Pitàgores fundà a Crotona, port grec del sud d' Itàlia, una

Pitàgore s , segon s una e scultura de l segle XII . (Catedra l de Chartre s ) .

67

comuni tat rel igiosa ded i cada a la pràctica de l ' ascetisme i a

l ' e s tudi de les matemàtique s ; aques te s eren considerades alhora

una c lau per res o ldre e ls orígens de l ' Univers i un ins trument

per pur i f i car l ' ànima .

Els pitàgorics van fer grans progre ssos en e ls camps de la

geome tria i de la teoria ·J.e l s nombre s . E l nombre va reemp laçar al

foc , que per a l s j ònics era el pr incipi fonamental de totes les

cose s . Per e s tudiar- los van fer servir e l mètode dels nombres fi

gurats , repre sen tant- los en forma geomètrica . Això donà l loc a

l ' anomenada " ar i tmo-geometri a " ( de l gre c ari thmo s = nombre ) . E l s

c las s i fi caven en :

triangu lars í l + 2 = 3 l + 2 3= 6 . . . . 1 + 2 + . . . +n

.:J· �-. p lans quadrats l l + 3= 4 1 + 3 + 5=9 . . . . 1 + 3 . . + ( 2 n- l )

�-.;.r . . . . . .

rectangulars 2 2 + 4=6 2 + 4 + 6 = 1 2 . . . . n + ( n + l )

par a l·le lepí pe des 1 2 . . .

471 �-sòl ids< cúb i c s l 8 = 3 + 5 2 7 = 7 + 9 + 1 1

Així , doncs , e s va es tab l ir una re lació e n tre :

quanti tat i forma

é s a dir , entre : Ari tmè tica i Geometria .

De ls cone ixements geomètrics atribuïts a l ' e s cola pi tagòri­

ca , veurem tot segui t l ' anomenat teorema de Pi tàgores i desnré s

altres teoremes de l triangle rectangle , i la propie tat aue la s �

m a d ' ang les e n tot triangle és de 2 re ctes . Finalmen t e s tudiare�

la secció àuria .

68

1.- T E O R E M A D E P I T À G O R E S

La seva demos tració s ' atr ibueix a P i tàgore s , encara que e l s

egipc is , e l s indi s i e ls xinesos , e l van utilit zar molt abans

d ' una mane ra empírica , tot fent ús de le s ternes 3 , 4 i 5 e l s

egipc i s i 5 , 1 2 i 1 3 e l s i ndi s i e l s xinesos .

C . l

a ) Antigament e ls egipcis feien s e rvir e l mè tode de la cor­

da per a obtenir angles rectes sobre el terreny ; con s i s tia a

marcar-hi amb nusos 1 2 trossos igua l s i formar un triangle de

costats 3 , 4 i 5 .

Ob se rvem que aque sts tre s nombre s veri fiquen la condició seoüen t :

i comproveu que també la ver i f iquen les ternes 6 , 8 i l O ; i 9 ,

1 2 i l 5 .

b ) En èpoque s encara mé s remo te s , e l s indi s i e l s xine s os feien

servi r la corda dividida en parts que amide s s i n 5 , 1 2 i 1 3 ; i

també 8 , 1 5 i 1 7 .

69

Comproveu que segue ix e s s e n t và l i da l a cond i c i ó anter ior en tre ....

e l s tres nombre s de cada sêrie .

c ) Trobeu quatre terne s mé s que ver i fiqu i n la cond i c ió

En la f i gura següen t , vénen i l·lus trats e l s t r i ang l e s rectan­

� l e s que resulten de l e s regl e s que donaren :

70

- P i tàgore s , en e l c a s en quê n és impare l l

2 n - 1

n 2

per exemple :

S i n = 3 3 9 - l

2

S i n 5 5 2 5 - l ---

2

2 n + l

2

= 4

1 2

9 + l 2

2 5 + l 2

= 5

1 3

- La que mé s tard dóna P la tó , en e l cas 2 n pare l l

2 n n2

- l n2 + l

per exemple

S i n = 2 4 3 5

S i n = 3 6 8 1 0

S i n = 4 8 1 5 1 7

60 (;-��, . \ \ ) � - -- ... l �)�l\�,I l

\\ A 1 \ 1..1 ... ".'\ � l

�'t; l ( '• 1 1 )1"' � \ �l., 1 ) ) 1 l '"'r:1 (,� �('� \ \ l '

l ( l l \ \ \ 40 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6 1 \ \ \

24 \ \ . \ \

\ \ \ \

\ \ \ \ \ \

\ \ \ 1 2 \ \ \ · 25 \ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \

\13 \ \ 4 \ \ \ \

\ \ \ 5 l \ \ l

3 5 7 9 1 1 C"'l ll'> r-- Ol ;::

1 1 1 1 1 1 1 1 " C C C C C

4 8

35

2 1+

15

8

3

\

\

\

\ \

\ \

\ \ \

\ \

\ \ \ \ \

\ \ \

\ \

\ \ \5 0 \ \ \ \ \ \ \37

\ \

\ \ \ \

\ \ \

\

\ \ \ \

' \17 ' \

\ \ ,10 \ \

5 ' \ \ 4 6 8

-.:r <D co 1 1 " " C C C N N N

\ \ \ \

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

\ \

10 12 1 4 e N -" " C C N N

71

P a s s arem ara a traduir . l a cond i c ió anterior a imatge s geomè­

trique s . Prenem , per exemp l e , la s èr i e pi tagò r i ca 3 , 4 i 5 i f i ­

xeu-vos , que l a f i gura s egüent tradue ix la cond i c i ó 32 + 4 2

= s2

en terme s de l e s àree s de l s tre s quadrats cons tru ï t s s obre e l s

dos catets i l a h ipo tenu s a .

C . 2

Con s i derem un quadra t de cos tat a + b . Obs erveu que e s poden

fer l e s dues des compos i c i ons s egüents :

a

a + b

l b

72

b

a

a b

en dos quadrats di ferents i dos rec tang l e s igua l s , o bé en l quadrat i quatre triang l e s igua l s .

a ) Tot comparant- los , què podeu dir de l s 4 trian g l e s que apa­

reixen en les due s f igure s ?

b ) ]\,nomenem c a l cos tat del quadr a t inter ior de la 2ª

f i gu

ra ,i e sc r iviu l a igual t at. entre l e s s umes de le s àre e s de l e s

f i gures en què h a quedat de s c ompos t e l quadrat d e cos tat a1b .

Quina re lació obteniu en tre les àre e s de l s 3 quadrats de c o s ­

t a t s a , b , c ?

C . 3

Preneu ara un d e l s 4 triang l e s rec tang les i dibuixeu-hi s o ­

b r e e l s t r e s costats e l s 3 quadrats . Enun c i eu l ' anomenat teore

ma de P i tàgore s en terme s de les àre e s de l s quadrats cons tru ï ts

s obre la hipotenusa i e l s c a te ts ; i e s c r iviu l a re lació ver i f i

cada pe r a , b , c .

Veurem ara , a l guna apl ic ac i ó immed iata d ' aque s t teorema :

C . 4

a ) Coneixent e ls dos c atets d ' un tr iangle re c tangle podrem

determinar e l valor de la h ipotenu s a .

Trobeu- la en e l cas en ouè valquin a = 1 2 cm . , b = 1 6 cm .

b ) Cone ixent un cate t i la h ipotenu s a e s pot trobar l ' al tre ca

tet . Feu-ho si a = 1 6 cm . i c = 3 4 cm .

c ) En e l s s egüent s triangle s rectangle s , trobeu l a longi tud del

cos tat que f a l ta per conè ixer .

73

�9 1 5

e . s a ) Trobeu la h i potenu s a d ' un t r i a ng l e rec tang le del qua l co

neixem els dos catets : 3 cm . i 4 cm .

b ) ! dem de 6 i S em .

e ) Comparant e l s dos re s u l tats ante r i ors , podeu dir dire c ta­

ment qu ina s e rà la h i po tenusa s i e l s catets amiden 9 i 1 2 crn? I

s i ami de s s i n 1 5 i 2 0 crn ? Corn s ón tots aques ts triang l e s rectan­

gl e s ?

d ) Demos treu que tota terna d e n omb r e s d e l a forma 3n , 4 n , S n

( on n é s un nombre natural qua l s evo l ) é s una s è r i e pi tagòr i c a .

Però , cal remarcar que m i l anys abans de l s p i tagòr i c s , e l s ba

b i lon i s cone i x i en 1 5 ternes d i ferents de núme ros que formaven

tr iang les re ctangle s . B ab i loni s i a s s i r i s u t i l i t zaven acues te s

ternè s principalment per var iar l e s formes de l e s seve s cons truc

cions monumenta l s , tot var i an t e l s co s ta t s de l s tr ian g l e s re ctan

g le s uti l i t z a t s . Per a aque s t s pob l e s la inve s t i ga c i ó c i en t í f i ca

era d ' ordre pràct i c , cul tivada en fun c i ó de l s e u apro f i tamen t .

Però , e l s seus cone ixements van f ormar l a b a s e de l a c ièn c i a j ònl

ca de l a qua l van ser l ' origen .

74

I uns c inc-cents anys abans de l s p i tagòri c s , e l s x ine s o s de

mos traven que el quadrat constru r t sobre la h i potenu s a d ' un tri

ang le rec tang le , era equ iva lent a la suma de l s dos quadrats cons

tru ï t s s obre e l s catets . Per demos trar-ho i n s c r iv i en un quadr a t

dins d ' un a ltre .

R a

b

s

u

T

amb la qual cosa e s formaven 4 tr iang l e s rec tang les d ' h ipotenu­

sa c i cate ts a i b .

Així , l ' àrea de l quadrat gran era igual a l ' àrea del p e t i t

mé s 4 vegades la del triang le :

c 2 + 4 a . b

2

Traç ant le s para�le l e s a l s cos tat s del quadrat gran pe l s

punts R S T U , ob tenien :

7 5

a R

b

- - - - - -( a - b J -- - - -

T

é s a d i r , e s formava un quadrat en igu a l pos i c i ó que l ' i n i c i a l

d e c o s ta t a - b , mé s quatre rectang le s d e cos tats a i b . Així ,

l ' àre a d e l quadrat gran va l ia

( a - b ) 2 + 4 • ab

expre s s i ó que igualada a l ' anter i o r en s dóna la re lació

2 2 2 C = a + b

que é s l ' enun c i a t del Teorema .

C . 6

a ) Feu le s due s cons truccions corre sponen ts a l cas

- cos tat del quadrat gran a + b = 7 , amb a = 4 , b = 3

- cos tat del quadra t pe t i t c = 5

i comproveu l a igua ltat de les àree s G) i � Veurem ara , a lgun s exemp l e s en auè e l teorema de Pi tàgore s peE

met determinar e l ements de di feren t s fi gures geomè triqu e s .

76

C . 7

a ) Trobeu la long i tud de la diagona l del re ctangle que té pe r

cos tats 5 i 1 2 cm .

b ) C a l culeu e l per ímetre d ' un rombe , l e s d i agona l s del qua l

amiden 6 i 8 cm .

c ) L ' a l tura per A d ' un t r i an g l e amida 1 2 cm . i divideix e l c o s ­

tat BC e n 2 s egmen ts d e 5 i 9 cm . C a l cu leu e l perímetre i f eu

e l dibuix del tr i angle ABC .

C . 8

Trobeu les dimens i ons i la diagonal d ' un re c tangle que té

de períme tre 4 6 cm . , i ta l , que la b a s e és 7 cm . més l l arga que

l ' a l tura .

C . 9

La h ipotenus a d ' un tr i ang l e rec tang le amida l O cm . i un d e l s 4

seus catets val e l s 3 de l ' a ltre . Calculeu e l s cos tats d ' un

tr i ang l e semb l an t , e s se n t 1 e l valor de la raó de semb l anç a .

C . 1 0

Trobeu e l s c o s ta t s d ' un tr i ang l e re c tangle de perímetre 6 cm .

s emb lant a l de cos tats 3 , 4 i S em .

C . 1 1

Es vo l tancar un terreny que té forma de trape z i rectang l e ,

des compon ib le en un quadrat i en un tri angle i sò s ce le s . Ca l cu­

leu quants me tres de f i lat s ' h an de c omprar s i el cos tat de l

quadra t amida 2 0m .

F ixeu-vos que é s la pr imera vegada en què , en apl i c ar e l teo

rema de P i tàgore s , e l s tre s nomb r e s que han i n tervingu t no són

7 7

tots raciona l s . Això va con s t i tuir e l moment més d i f í ci l , no so­

l ament din s del pi tagori sme , s i nó e n tota l a matemàtica grega . En

genera l i t z ar el teorema de P i tàgore s , en concret e n apl i car- l o a

un triangle re c tang le i sò s c e l e s de catets igu a l a la unitat , van

trobar- se amb la impo s s ib i l it at d ' expre s sar la hipotenus a mi t j aE

ç an t un nombre r a c iona l . Això va conduir a l ' ampl ia c i ó de l a no­

ció de nombre , amb el de s envo lupament de la teor i a de le s "magn_!

tuds irraciona l s " .

C . 1 2

Comproveu quins de l s c on j un t s d e nombres s egüent s poden ser

l e s m e s ure s de l e s longituds d e l s tres costats d ' un triang l e

rectan g le

8 9 1 2 6 8 2 l ' s 2 2 1 5 5 5

5 6 7 3 4 5 5 1 2 1 3

9 4 0 4 1 7 2 4 2 5 2 3 , 'JD \/3 2 'J7 V3 Vs V8 3 2 5

2 2 6 ' 8 ., 1 0 8 1 5 ' 1 7 2 ' 1 3 5 1 4

i digueu quines terne s e s tan r e l a c i onade s entre e l le s .

C . 1 3

Le s due s diagona l s i l a b a s e p e t i ta d ' un trape z i re c tangu­

lar mes uren re s pe c t ivament 1 5 , 1 3 i S em . Dibuixeu- lo i trobeu­

ne e l s a l tr e s tres cos tat s i e l perímetre .

CONSTRUCCIÓ DELS NOMBRE S V2 , \(3 • . .

E l teorema de P i tàgore s permet de manera s e n z i l l a repre s en ­

tar s egments que amidin V2 , V3 , . . . E l punt de partida é s coE

s iderar e l triang l e rectang l e i sò s c e l e s de catet la unita t . La

h ipotenusa val\{2. . A partir d ' aque s t tr iangle h i ha due s pos s ib i ­

l i tats per anar obten int \f3 , \f4 i \/5 . . . L e s in ici arem :

7 8

3

79

C . 1 4

Feu ambdu e s cons trucc ions, prenent la uni tat adient perquè

pugueu arribar a repr es en tar f in s \[16 = 4 .

GENERALI T ZAC IÓ DEL TEOREMA DE P ITAGORES

S e gons e l teorema de P i tàgores , l ' àrea del quadrat con s truït

s obre la h ipotenus a é s i gu a l a la s uma de l e s àre e s de l s dos qu�

drats cons truï t s s obre e l s dos catet s .

C . 1 5

80

Comproveu s i aque s t enunc i a t s egue ix e s sent vàl id

a ) e n sub s t i tu i r e l s quadrats per rec tang l e s de ba se dob le de

l ' a ltura

b ) en s ub s ti tu i r - los per t r i ang l e s equ i làters

c) per hexàgons regu l ar s .

d ) Doneu l a genera l i t z a c ió de l teorema de P i tàgore s .

PROBLEMES D ' APL ICAC IÓ

C . 1 6

Dues pe r sones e s s eparen en una cru ï l la de camin s que for­

men ang le recte . La prim e ra va a peu a una ve l o c i tat de 2m/s

mentre que l ' a ltra va a l , 5m/s . Qu ina d i s tànc ia e l s s epararà

al c ap de 8 segon s ?

C . 1 7

Per m e s urar l ' a l tura d ' un e d i f i c i , podem s egui r e l s egüent

procedimen t :

ens c o rloquem s obre e l p la h or i t zontal en un punt C t a l que

l ' ang le format per la vi sua l d i r ig ida a B s igu i de 6 0 Q , i ens

retirem en la direcció AC f i n s al punt D , tal , que l ' ang le val

gui ara 3 0 Q .

/' "" a ) Tot con s i derant e l s valors de l s ang le s ABC i ABD , raoneu

c om és e l A CB D .

b ) S i l e s d i s tànc i e s a què ens h em c o �locat s ón AC = 4m i AD=

= 1 2m , quina é s l ' a ltur a AB de l ' edi f i c i ?

B

81

C . 1 8

E l s do s prob lemes que s egueixen van ser propo sats per Brah­

magupta (matemà t i c i a s trònom i ndi , 5 9 8 �6 6 0 ) e n el seu l l ibre

Brahma - S iddharta , e n què ap l i cà mè todes matemàti c s a l ' as trono

m i a , i e s tudi à la re s o lu c i ó d ' equacions de prime r i segon grau .

E l primer é s aque s t :

Dos a s ce te s viuen a l c im d ' un penya- s egat de l OOm d ' a l tura , que

té la base a 2 0 0m de la v i l a ve ïna . L ' un va baixar d e l c im i va

cam inar fins a la vi la , mentre oue l ' a l tre , e s s ent mag , va vo­

lar ver t i c a lment f in s a una a l tura x oer sobre del c im , i des

d ' a l l à e n l ín i a recta f in s a la v i l a . Trobeu x , si tot s dos van

recórrer igu a l d i s tànc i a .

¡� l ' , l ' , l ' ,

C . 1 9

Un b ambú de 2 0 0m d ' a l tura va tre n c ar - s e pe l ven t , tot que­

dant ver t i c a l la part arre lada , i l ' extrem re co l z at a terra , a

2 7 0 cm del tros dret . C a l cu l e u l e s longi tuds de les dues parts

de la canya .

C . 2 0

82

La p i ràmide de Keops va s e r cons truïda aprox imadamen t l ' any

2 5 8 0 a . C . , i e ls grecs la cons ideraren una de l e s 7 merave l le s

del mon anti c .

Té la forma d ' una p iràmide quadrangu lar regu lar , de 1 3 8m d ' a l ­

ç ada i 2 2 7m de cos tat . C a l cu l eu què amiden a ) l a d i agonal d e l a

b as e , 2 ) l ' are s ta latera l i 3 ) l ' apotema latera l .

2 . - T E O R E M E S D E L ' A L T U R A D E L C A T E T

Així com e l teorema de P i tàgores perme t r e l a c i onar e l s 3 co�

tats d ' un tri ang l e re ctang l e , aque s ts nous teoreme s perme ten ex­

pre s s ar l ' a l tura i els catets e n termes de l e s pro j ec c ions d ' a­

que s ts s obre la h ipotenu s a .

C . 2 1

L ' a l tura s obre l a h ipotenusa d ' un triangle rectang l e , e l d i

videix e n dos triang l e s també re ctang l e s .

Jus ti f iqueu que són s emb l ants en tre e l l s i també amb e l trian­

g l e i n i c i a l .

C

A '--�--l......1....1---�����������---- 9 o

E s podrà , doncs , e s cr iure AABC tt..AACD I\.. ACBD

C . 2 2

Cons iderant l a s emb l anç a .ó ACD l\... t1CBD , e s pot e s cr iure l a pr�

porció

o bé CD2

= AD x DB

AD CD

= CD BD

La qua l c o s a perme t enun c i a r e l teorema de l ' a l tura : " En un

triang l e rec tang l e , l ' a l tura r e l a tiva a la h ipotenu s a és mi t j�

na proporcional entre . . . "

a ) Comp l e teu aque s t enunc iat .

83

b � Cons iderant , ara la semb lança òABD -i.b.ACD , completeu i en ur.­

cieu e l teorema del cate t

AB AC

=

Una primera apl icació d ' aque s ts do s teoremes é s la cons truc c i ó

de la mitj ana proporc i onal . Aix í , amb aque s t procediment geo­

mè tric , e l s grecs re solien equac ions del tipus

a x

= x b

Podeu comparar- los amb e l s mètode s geomè trics proporc ionats

pe l teorema de Ta le s pe r cons tru i r la quarta i tercera propOE

cional ( vegeu exerc i c i s B . 7 i B . 9 ) .

C . 2 3

a ) Fixeu-vos , .que l a f igura s egüent tant perme t a f i rmar que

e l segment x és mi t j ana proporc ional entre e l s AB i AH , com

que e l s egmen t y ho é s entre e l s AH i HB . Raoneu el perquè .

A .__�...._���-+-���-H

B

Noteu també que h i ha dibuixada la semicircumferència de diàme

tre AB , i que tot tri ang le cons tru ï t s obre un diàmetre i amb e l

tercer vèr tex s obre l a circum ferència , é s re c tang le ( vegeu D . 2 1 ) .

b ) Mi t j anç ant un mè tode geomètric , cons truïu e l segment x de

mane ra que s igui m i t j ana proporcional entre e l s segments que

amiden l cm i 4 cm .

Re so leu també algèbri cament la qüe s tió , i comproveu que e l nom

bre trobat é s la me sura de l segment que heu cons truï t .

84

c . 2 4 � ) Con s truïu un segment que s igui mitj ana proporcional en­

tre els que amiden 2 cm i S em , u t i l i t zant el teorema del cate t .

b ) ! dem entre e l s que amiden l cm i 9 cm , uti l i t z ant e l teorema

de l ' a l tura .

Una segona apl i cació d ' aque s ts teoremes é s proporcionar mè

tode s diversos pe r determ inar e l ements de triang le s rectang le s .

Per exemple :

c . 2 s a ) Trobeu e l valor de les altures dels següents triangles

rectang les :

b ) !dem dels cate ts

e ) ! dem de le s pro j e ccions

8 5

C . 2 6 �-

a ) Calculeu e l s cos tats �l triang le rectang le següen t :

b ) Ca lculeu e l s cate ts i les al ture s de l s triang les re c tangles

s egüents :

._._ _ _ _ _ _ 6 - - - - - - +

En tercer l loc , apl i carem aque s ts dos teoremes a cons tru i r

segmen ts que amidin , per exemp le , \fl , \/13 , . . . é s a dir , que les

seves me sure s s igu in nombres i rracionals .

C . 2 7

Cons trucció d ' un s egmen t que amidi VS: a ) Podeu uti l i t zar , en aques t cas , e l teorema de Pi tàgore s ?

Quins ser i en e l s valors de l s catets ? F�-ne la cons trucc i ó .

b ) La i gualta t \15 = Vs . l . pe rme t suposar : hipcftenu s� pro j e cció

ma de l ca te t .

Però també Vs = V 5 . l l a . t . ; �

2 a · · ; prO J e CClO prO J e CClO

i ap l i car el teore-

i per tant : h ipotenusa = 5 t l = 6 i apl i car el teorema de l ' al

tura . Feu le s dues cons trucci ons .

86

e ) Cons truïu segments que amidin V3 , \fi, \f8 i \/15cm , tot indi­

cant quin teorema apl iqueu .

Finalmen t , veurem que aque sts dos teoremes e s poden i �lu s­

trar de manera s emb l ant al teorema de Pi tàgores ( C . 2 ) , però fent

ús ara de re ctang les i auadrats .

E l teorema de l . catet vindria donat pe r l a s egüent figura :

C C·nl

2 Les àrees del quadrat ( b ) i de l re ctangl e ( e . m ) són equiv�

lents .

C . 2 8

I �lus treu de manera semb lant e l teorema de l ' altura , i feu

un resum tot comple tant e l quadre s egüen t :

TEOREMA ENUNC IAT IL�USTRAC IO GRAFICA

de P i tàgore s

de l cate t

de l ' a l tura

87

3.- S U M A D E L S A N G L E S D ' U N T R I A N G L E

Eudern de Rodes , de ixeble d ' Ar i s tòti l , va e s criure la pr im�

ra h i s tòria de la Geome tr i a . Ma lauradament , només s e ' n conserven

a lguns f ragmen ts .

E n un d ' e l ls , Eudern atribueix a l s p i tagòrics e l des cobriment

de l a propo s i ció següen t : " E l s tre s angles i nteriors d ' un tr ian­

gle sumen dos rectes " , i en dóna una demos tració .

Ab ans de pre s en tar l a demostració donada per Eudern, cornprov�

rem l ' ante r i or propo s i ci ó de dues maneres ben s imple s .

C . 2 9

Dibuixeu un triang l e es calè , re tal leu- lo ta l corn veieu indi

cat a la f igura i col·loqueu e l s tres angles de manera que s i ­

guin consecutius .

3

Què ob serve u? Quant sumen e ls tres ang le s ?

C . 3 0

Una a ltra pos s ible comprovació d ' aquest resul tat é s la se­

güent :

Re tal leu un tri angle i dob l egueu les tres puntes de manera que

e l s tres vèr texs coincideixin en un punt P d ' un cos tat . Cornen teu

la s i tuació que en re sulta .

88

1\- - -(- - - - - - - �� l l \ / : l / l l \ / / l l \ / ! / � \ / � l \ 1 / / l l \� l 3

p

Veurem ar� la demostració que Eudem atribueix als Pitagòrics.

C . 3 1

Considereu el triangle A BC i dibuixeu-hi una paral·le la per

C al costat A B , tal com s'indica a la figura .

Com són e ls angles o< i o<. ' ? I e ls p i (J' ? Per què ?

l l

A O(

l

l l

Quant val la suma o( + (J + r ?

Exercicis d'aplicació

C . 32

B

a) Donat el triangle A BC, calculeu la mesura de l 'ang le ex­

tern BCD .

89

D

b ) Jus ti f iqueu , en general , que l ' angle extern d ' un triangl e

é s igual a la suma del s dos ang l e s interns no adj acent s .

C . 3 3

Calculeu la me sura del s 5 angl e s senyalats a la f igura se­

güent :

A B

C . 3 4

90

1 a ) En un tr iangl e , un angle mesura S d ' un angle pla i un a l -

2 · tre e l s 5 · Comproveu que aque s t triangle é s i sòsce l e s .

b ) En un triangle rectangle un angl e agu t é s � de l ' al tre an­

gle agut , quina és la me sura de cada s cun ?

SUMA DELS ANGLES INTERIORS D ' UN POL ÍGON

C . 3 5

Per a calcular la suma de l s angl e s interiors d ' un pol ígon ,

n ' h i ha prou de descompondre e l pol ígon en triang l e s traçant a

part i r d ' un vèrtex tot e s l e s diagonal s po s s ibl e s .

Comp l eteu l a tau l a següent :

Nombre Nombre de tr iang l e s Suma del s ang l e s Pol ígon de en què e s pot de s- interiors d ' un

costats c ompondre pol ígon

Triangle 3 1 1 8 0 Q = 2 R

Quadri làter 4 2 3 6 0 Q = 2x 2 R

Pentàgon

Hexàgon

Eptàgon

Oc tògon

Enneàgon

Dec àgon . . . 2 0

.

.

.

1 0 0 . . .

n

91

Obs erveu i comenteu el comportament del s va lors de l ' úl tima colum

na . Quant sumen e l s angl e s interiors d ' un pol ígon de n costats?

C . 3 6

S i e l s pol ígons són regulars , a partir del resul tat anterior ,

podem calcular e l val or de cadascun del s angl e s interior s .

Completeu l a taula s egüent :

Nombre cos- Suma dels Mesura Me sura d ' un Pol ígon tats = nom . angles in d ' un an- angle

-

angl e s int . teriors gle int . central

Triang l e

Quadrat

Pentàgon reg . . .

Pol ígon reg . n costats

c . 3 7

92

a ) Per enra j olar es fan servir pol ígons regul ars , qu ins t ipus

us semb l en que són e l s mé s util i tzats i per què?

b) Raoneu per què no serve ix qua l s evol t ipu s de pol ígon regu­

lar .

c ) En la f igura següent ve repre senta t el mos a ic més s impl e ,

é s format per quadrats

Dibuixeu mo saics formats per al tres pol ígons regulars .

d ) També es poden emprar polígons qu e no siguin r egulars. Quant

han de valer els angles petits d ' un rombe p erqu è es pugui

fer un mosaic, de manera que en un punt s'hi a juntin 6 rom­

bes ? F eu un dibuix que representi aqu est mosaic .

4 .- L A S E C C I Ó À U R I A

Abans hem assenyalat un dels possibles motius que portar en

als pitagòrics al descobriment dels nombres "irracionals " : el f et

de no poder expressar mit jançant un nombre racional la hipotenu ­

sa d'un triangle rectangle isòsc eles de catet unitat.

Un altre motiu , fou el que amaga el símbol de l'estrella pen ­

tagonal de l'Ordr e dels Pitagòrics, en la qual tota línia és di ­

vidida en mit jana i extrema raó .

Un s egment direm qu e és dividit en mit jana i extrema ra61 si

el dividim en dues parts tal s,que la més gran és mit jana propor­

cional entre tot el segment i l'altre part , és a dir

x a - x

a a x

=

x a-x

93

Tra s l l adem-nos des de l ' època de P i tàgores , a l a de Kepler

( un s a l t de 2 1 segl e s ) , de qui ben segur coneixereu l e s l l e i s so

bre el moviment del s planetes a l ' entorn del sol .

Kepler va e sc r iure sobre l a geometria :

" La Geometria té dos grans tresor s , l ' un é s e l teo­

rema de P itàgore s , l ' al tre la div i s i6 d ' un segment

en mitj ana i extrema raó . Si e l primer el c omparem

amb una me sura d ' or , el segon ve a ser una pedra

prec iosa . "

Euc l ide s ( 3 3 0- 2 7 5 a . C . ) , en el s "Elements " , fa G s del segon , j us ­

tament en fer la construcció d ' un pentàgon regular . �s p e r a ixò ,

que hom creu que j a era conegut pel s p i tagòr i c s que tenien e l peg

tàgon e s trellat com a s ímbo l .

Ja en el Rena ixement , el mat emàtic Luca Pac iol i va anomenar­

lo "proporc ió divina " , i al s eg l e pa s sat va s orgir el nom de "pr.2_

porc ió àur ia " a causa del g ran interès que va ten i r per al s pin­

tor s , e s cu l tors i arqu i tectes al llarg del s segl e s .

I no tan sol s va re su l tar prof it6s per a l ' art , dins l ' e stu­

di de l ' harmon ia i de l ' equ i l ibri de l e s l ínies , s inó també en

inve s tigac ions sob re e l ement s de l a vida vegetal i an imal , fetes

per botàn i c s i z oòl eg s del segle pa s sat .

Començarem l ' e s tudi de l a secci6 àuria , cal culant-la alg�­

bricament , mètode , que recordem , era de sconegut pel s grecs i que

va ser desenvolupat pel s àrab s .

C . 3 8

Comproveu que en resoldre l ' equac i ó de segon g rau , � = x

que dóna la secc ió àuria s ' obté

x =

94

a . - 1 + V?" 2

x a-x

El nomb r e - 1 + V5" 2 rep e l nom de " nombr e d ' or " , i é s e l va lor

de l a ra6 x a

Trobeu-ne l ' aprox ima c i6 dec imal de 3 r ordre . El s egment x s ' anomena s egment aur i del s egme nt a .

C . 3 9 M i t j ançant el tr iang l e rec tangle s egüent on el catet pet i t

me sura l a me itat d e l gran i ten int e n c ompte que l a s oluc i6 aba n s trobada .

també

feu l a

1 r . -

2n . -

x

pot e s c r iure ' s

x

cons truc c i 6 :

=

=

a 2

del radical V a 2

r e s teu-l i a ara 2 '

+

( ± ) V a 2 4 a 2 -a + 2

-a + V ª 2 (�) 2 - + 2 2

/ /

/

(%) 2 .

u sant

a

Qu in teorema u s

l ' a rc d ibu ixat .

ho perme t ?

S enyaleu el seg-ment la me sura del qual é s x , i tran sporteu- l o s obre l a b a s e del tr iang l e .

Amb a ixò t indreu el segme n t " a " d i v i d i t en m i t j ana i extrema ra6 .

E s d iu també , qu e x é s el s egment auri d ' a .

95

C . 4 0

En aqu e s ta repr e s entac ió del Partenó h i teniu una mos tra de la p r e s ènc ia d e l nombre d ' or .

96

e s ver i f ica que � = f , e s sent � = V3 ; 1

a ) trobeu una aproximac i ó de 3 r ordre del nombre Ï · b ) comproveu que aqu e s t nombre é s l ' invers del nombre d ' o r , é s

2 a d i r igual a - 1 + V5

( Nota : podeu rac iona l i t z ar aqu e s ta f rac c ió )

C . 4 1 En aqu e s ta f igura , s ' ha cons tru!t e l s egmen t auri x del seg­

men t AB que amida 6 cm . E s ver i f ica :

C

3 6 x =

' x y x y' - -

A B 6

De manera s embl ant cons truïu el segment aur i

a ) d ' un segment de 8 cm ( a = 8 )

b ) d ' un s egment de 1 0 cm ( a = 1 o ) c ) en tots aqu e s t s c a s o s , quant va l l a raó �? a

Euc l ides enunc i ava una propo s ic ió equ iva l ent a dividir un s e,� ment en mitj ana i extrema raó :

" d ivi d i r un s egment en due s par t s , de manera que el rec­tang l e de c o s tat s , el s egment sencer i una de l e s par t s , s igu i equ iva l ent ( é s a d ir , t i ngu i igual à rea ) al qua­drat de c o s t a t l ' a l tra part " .

97

a

a · y y

x y

a = x + y

L ' expre s s i6 a x x y

equ iva l a l a igua l tat d ' àr e e s :

2

l

x = ay

Al Rena ixeme n t l e s du e s quan t i t a t s a , x varen ser u t i l i t z a -de s en a l gune s cons truc c ion s c om a amp l a da i l l a rgada de f a ç a ­ne s , f in e s t re s , e tc . perquè hom cons iderava que l a propo r c i ó qu e determinaven ten ia caràcter e s t è t i c .

CONSTRUCC IÓ DEL RECTANGLE D ' OR

E s tudieu deta l l a dament c ada scun de l s pa s so s de l a cons truc ­c i ó s egüen t :

D C

x

A x B

D l l l l l l

A E B

98

F

o ....-____ c

A

D

A

l l l l x

B

-- C

• - -- - - a - - _ ..,

G x

C . 4 2 a ) Expl iqueu com s ' ob tenen cada s cuna de l e s 4 f igure s ante­

r ior s .

b ) A partir d ' un quadrat de 4 cm de c o s tat reprodu ïu l a d ita con struc c ió .

c ) Cal cul eu l a long i tud d e l s egment EC en func ió de x .

d ) C a l cu l eu EF , BF i AF .

e ) Comproveu que l_c s- l ong i tu d s del c o s tat del rec tang l e AFG,,B' l> e s tan en l a proporció divina , é s a d i r :

f ) Ídem per al rectang l e BFGC .

h ) Com són e l s rec tang l e s AFGB i BFGC .

Ob serveu que e l rectan g l e d ' or AFGB obt ingut é s compo s t per un quadrat i un s egon rectan g l e també d ' or . L ' ante r ior d ivi s ió pot repeti r - s e per al 2n rectan g l e i a i x í obteni r-ne un 3 r i succ e s s ivament t a l i c om ho podeu veure a l a f i gura .

/

/

99

La raó de l s costats petit i gran de cada rectang le é s e l nú

mero d ' or .

S i ara dibuixeu en cada quadrat un arc de c i rcumf erènc ia amb

centre e l s punts 1 , 2 , . . . obtindreu una e spiral que é s una bona

reproducc ió de la qua hom pot ob servar en el Nàut i l .

Aque sta e spiral s ' anomena e spiral logarítmica .

C . 4 3

A partir d ' un quadrat de 1 0cm , cons tru iu l ' e spiral logar ítmi-

ca .

El nombre d ' or a la natura :

100

Nàu t i l

101

Exer c i c i s d ' ap l i c a c i ó

Veurem a ra, com l e s cons truc c ions anter iors perme ten de d ibui xar e l decàgon regu l a r , i per tant també e l pentàgon regu l a r .

C . 4 4

Prèviament, demos trarem l a p ropo s ic ió s egüent :

" E l c o s ta t del decàgon regular i n s c r it en una c i rcumf e­rènc ia és e l segment auri del radi " .

Per demo s trar-ho , c a l tenir en comp te qu e e l s ang l e s central s en 3 6 0 Q el pentàgon regu l a r me su ren -:¡o- = 3 6 Q , i per tant el s a l tr e s

d o s angl e s igua l s de l triang l e OAB va l e n : 1 8 º º 2 - 3 6 º = 7 2Q -

B

o

S igu i AC l a b i s ec t r iu del triang l e OAB .

a ) Comproveu que e l s t r i ang l e s ABO i ABC s ón s embl an t s , i que e l ACO é s i s ò s c el e s .

b ) Com són e l s s egments AC i OC re specte a l s egment AB ? Ex­p r e s seu BC en fun c i ó de l radi OA i de l costat AB .

c ) Mi t j ançant l a s emb l an ç a del s 2 tr iang l e s anteriors comp l e ­t eu :

102

OA AB

=

què u s permet d ' a f irma r aqu e s t a expre s s ió?

C . 4 5 Fent ú s del r e su l tat anterior , cons truïu un pentàgon regu l a r

i n s c r i t en u n a c i rcumfe rènc ia de 5 cm de radi . D ibu ixeu e n l a mate ixa f igura e l pentàgon e s trel l a t .

C . 4 6 Amb un mètode semblant a l ' empra t e n e l probl ema C . 4 2 , c om­

proveu que en l ' e s tr e l l a pentagona l , tota l ín i a é s divid ida en mitj ana i extrema raó , é s a d i r :

A B

OB oc

= oc CB

Així donc s , e l segment OC és el segment au r i del costat AB del pentàgon e strel l a t .

C . 4 7 Re i t e rant e l procés segu i t en l ' ex e rc ic i C . 4 2, podeu obten i r

u n a e sp i ral en unir el s vèrtex s de l s suc c e s s iu s tr iang l e s . L a r a ó de l a b a s e i del c o s ta t per cada un d ' aqu e s ts t r iangl e s val 0 , 6 . . . ( e l nombre d ' or ) .

Compl eteu l a f igura s egüent , f in s a l vèrtex nQ 9 .

1 03

/"" / /

/ /

l l

l l l

� \

\ \ \ \ \ l

\ l l

\ l ' /

' / ' /

..__ _,..-

C . 4 8

H i ha una manera mol t s impl e de construir-vo s un pentàgon r� gul ar . Retal l eu una t ira de paper d ' 1 cm d ' amplada , feu-h i un nu s ben a j u stat i tal l eu l e s cue s sobran t s .

1 04

C . 4 9 S egu rament u s haureu a donat que g a i rebé cap con j unt arqu i te�

tòn ic s ' e d i f ica sobre una b a s e pentagona l . Una excepc ió va s e r l a Ciutade l l a de Barcel ona , l a forta l e s a f eta constru i r per F e ­l ip V a l barr i de l a Ribera a l s . XVI I I . La pl anta e r a pentago­nal , amb forma de p l anta e s trel l ada .

La l ín ia - 1 - ma rca l ' an t i c rec inte del ba r r i de l a Ribera , l a - 2 - e l l ímit de l a des truc c i ó del bar r i .

a ) Bu squeu exemp l e s d ' a l t r e s constru c c i ons amb p l antes penta­gonal s .

b ) De p intu r e s on intervingu i e l pentàgon .

I per acabar aqu e s t apartat ded i cat a l s cone ixeme n t s ma temà­t i c s relac ion a t s amb el s de l ' e s cola p i tagòr ica , re sumirem e l s proc ediments geomè t r i c s u t i l i t z a t s pel s gre c s p e r resoldre equa­c i ons . Per a ixò :

e . s o Comp l e teu l a s egüent taul a :

105

T I PUS DE PROBLEMA TI PU S TEOREMA O CONSTRUCCI6 D ' EQUAC IÓ UTIL I T ZATS

Trobar l a 4ª propor-c ional

Trobar la 3ª propor-c i ona l

Trobar la mitj ana pr_2 porc ional

D iv i d i r u n s egment en m i t j ana i extrema ra6

A la 3ª columna h i e s c r iv iu el nom , i hi f eu una p e t i ta f igu­ra que ho i l·l u s tr i .

NOTA : Podeu bu s c a r més inf orma c i6 sobre l a u t i l i t z a c i6 de l a s ec c i6 àu r ia en el l l ibre " La Geome t r í a en el Arte " de Dan Pedoe ( Ed . Gu s tavo G i l i ) .

106

D . P E R Í O D E D E L S S O F I S T E S

El s sof i s t e s o " me s tr e s de sav i e s a " eren c on f erenc iants qu e anaven d e c iutat en c iutat , d ivulgant e l s coneixements c i en t í ­f i c s i ensenyant a f e r fi s d e l raonament .

D i n s del camp de l a ma temà t ica c a l c i tar a H ipòc rates de Qu i o s ( 4 5 0 a . C . ) , que va e s c r iure una obra de geome t r ia " El e ­ment s " en la qua l , a par t i r d ' un s quants pr inc ip i s , e s van reso­l ent , d ' una manera raonada , tot un con j unt de prob l eme s . A H ipò­c r a te s e s deu el f e t que la geometria comenc i a aparèixer c om una " c i èn c ia rac i ona l " .

Va ser en aqu e s t per íode que van sorgir tre s grans qüe s­t ions :

- l a dup l i c a c i 6 d e l cub ( trobar l ' are s ta d ' un cub de volum do­b l e que el volum d ' un cub dona t )

- l a t r i secc ió d ' un ang l e ( d iv i d i r u n angle agut en tre s pa r t s igua l s )

- l a quadra tu ra del c e r c l e ( trobar un quadrat d ' àrea igua l a l a d ' un cerc l e dona t )

La pr imera d e l e s e smentade s qü e s t ion s s ' anomena tamb é pro­b l ema dè l ic , pe rquè diu l a l l egenda qu e l ' orac l e de De l o s va or­denar a l s hab itants d ' aqu e s ta c iutat de dup l icar un de l s seus al t a r s , i varen anar a c ercar l ' a j u t del s geòmetre s .

El probl ema de l a quadratura del c e rc l e de f e t j a hav i a e s­tat p lante j a t en e l pap irus de Rh ind . En un de l s seus prob l eme s e s dóna una regla , no demo s trada , per quadra r e l cercl e " e l qua­drat que té per c o s ta t els i del diàmetre , té igual àrea que e l c e r c l e " .

1 07

Però aque s t s t r e s probl eme s representaven j a qüe s tions de ma t emàtica super ior , que exc edien el s coneixeme n t s a lgèb r i c s del momen t ( equac ions de 2n grau ) . El s grec s van veure que aque s t s tre s prob l eme s e ren i rre s o l ubl e s u t i l i t z ant nomé s el reg l e i e l c ompà s .

H ipòc r a t e s de Qu i o s , e n intentar quadrar e l c erc l e , va r e s o! dre un a l tre prob l ema. : va t roba r due s lúnu l e s equ iva l en t s a un triang l e re ctangl e ; i per al c a s d ' un tr iang l e rectang l e i s ò sce­les va trobar 4 lúnu l e s que tenen igu a l àrea qu e un quadra t .

En aqu e s t e s f igures ve repr e s entat e l probl ema r e s ol t per H i pòc ra te s , e n e l 1 r c a s per a u n triang l e rectang l e qua l s evo l , i en e l 2n per a un d ' i s ò s c e l e s , l a qua l c o s a ens porta , tot do­bl ant la f igura , a pode r parlar del quadrat .

Comp roveu sobre la 1 ª f igura que A4 = A 1 + A 2 . ( Podeu uti­l i t z ar l a genera l i t z ac ió del Teorema de P i tàgore s per a semice�

e l e s sobre e l s c o s ta t s del t r iang l e rectang l e ) . Així donc s , en la 2ª f igura es veu qu e l e s 4 lúnu l e s són equ iva l e nt s , és a d i r , que tenen igual àrea que e l quadra t .

H ipòcrate s , en e l s s eu s e s tudi s , va aprofundir espe c ia lment en l e s propietats del c e r c l e . Gran part de l a seva obra es va

108

perdre , però e l s r e s u l t a t s que va obten i r s6n p re s en t s en el s '' E l ement s " que e sc r iuria Euc l ides ga i rebé dos s e g l e s mé s tard .

� s per a ixò , que en aqu e s t apartat e s tud i arem aüe s t ions rela c ionades amb el cercle i l a c ircumferèn c i a :

Comença rem amb a l gunes qü e s t ions r e l a t ives a l a c i rcumf e rènc ia , e s tu d ia rem , despré s , e l s pun t s notab l e s d ' un triang l e , i e l s ang l e s e n la c i r cumf e rènc ia que e n s portaran al concepte d ' arc capa ç .

1 . - L L O C S G E O M È T R I C S

Cons i dereu l a c i rcumf erènc ia de l a f igura s egüent :

o

é s una c i rcumf e rènc ia de centre el punt O i el ra di de l a qual me sura 3 cm . �s c l a r , que tots e l s s eu s punt s són a 3 cm del cen tre O i a mé s qu e no h i ha cap a l t r e punt del pla qu e c omp l e i ­x i aqu e s ta cond i c i ó .

Aqu e s t f e t é s e l qu e permet d i r que la c i rcumf erèn c i a de l a f igura é s el l l oc geomè tr i c de l s pun t s qu e d i s ten 3 c m d e l punt O ( c entre ) .

En general , una f i gu ra qu e contingu i tots e l s punt s que c om­p l e i xen una determinada prop i e tat i no en cont ingui d ' al t r e s d i ­rem que é s el l l oc geomè t r i c d ' aqu e s t s punts .

109

Aix! donc s , una c i rcumferència é s e l L loc g eomè tr ic del s pun t s que d i s ten d ' un punt f ix , anomena t cent r e , una ma teixa d i s tànc ia anomenada rad i .

D . 1 La media triu d ' un s egment i l a b i s ec t r iu d ' un ang l e poden co�

s iderar- s e també l l oc s geomè tric s . Le s f igu re s s egüents u s poden a j udar a veure qu ina és la propi etat que c omp l e ix en el s pun ts d ' ambdu e s f igure s .

/ /

/ / / / / / / / / / / / / / /

Mediatr iu

'\ '\ " '\ ' '\

' '\ ' ' ' '\ ' '\ " "" " ,,

A -------r-------- B /

/ / /

/ / / / /

Comp l e ten l e s �e f in i c ions s egüent s :

' '

b

' ' Bi sec t r iu

a

- l a med iatriu d ' un s egment é s e l l l oc geomètric del s pun t s ò. e l p l a q u e . . .

- l a b i sec t r iu d ' un ang l e é s el l l oc geomè tr i c de l s pun t s del pla qu e . . .

D . 2 Determineu e l s l l oc s geomètric s següent s :

a ) del s pun t s qu e d i s ten 2 cm d ' una rec ta donada

b) de l s punts qu e equ i d i s ten de due s rectes paral.l e l e s

110

c ) del s punts que equidisten de due s recte s secants

d ) del s punts que equidi s ten de due s c ircumferènc ies concèntr i

que s .

2 . - A L G U N E S Q U E S T I O N S S O B R E L A C I R C U M F E­

R � N C I A

A l ' apa rtat anterio r , hem definit circumferènc ia com _el con­

j unt de tots e l s punts del pla que d i s ten d ' un punt f ix ( centre )

l a ma te ixa di stànc ia ( radi ) .

Ten int en compte aque s ta def inic i6 e l s punts del pla es po­

den c} a s s if icar amb re specte a la c ircumferènc ia en :

D . 3

exterior s , s i l a d i s tànc ia al c entre é s mé s g ran que el ra

di

- de la c ircumferènc ia , s i la di stànc ia al c entre és igual

al radi

interior s , s i la di stànc ia al c entre és mé s petita que e l

rad i .

I �lustreu grà f icament l e s pos ic ions relative s d ' un punt re s­

pecte a una c ircumfe rènc ia .

RADIS I CORDES

Hem definit el radi d ' una c i rcumferència com un número :

l a d i s tànc ia del c entre O a un punt P qual sevol de la c i rcum

ferènc ia .

1 1 1

Però l a paraul a radi es fa servir també pe r indicar e l seg­

ment OP .

Def inic ió : radi d ' una c ircumf erènc ia é s el segment que une ix e l

c entre amb u n punt d e l a c ircumferènc ia .

Per tal d ' evitar confus ions , fóra mil lor no emprar e l terrr.e

radi amb aquest doble senti t , però aquest dob l e ús és tan u sual

que és pràcticament impo s s ib l e de canviar . Tanmateix , e l context

en el qua l s ' ut i l itz i el terme permetrà de saber , sense ma s sa d� f icul tat , s i e s tracta del segment o del núme ro que és l a me sura

de la seva l ong itud .

Dos al tres segment s relac ionats amb l a c ircumferènc ia vénen

il·lus trat s a la f igura següent :

C

CD : corda de l a c ircumferènc ia ; AB : diàmetre de l a c ircumferència

112

D . 4

Doneu l e s def i n ic ions de corda i de diàmetre d ' una c ircumfe­

rènc ia .

La paraula diàmetre s ' ut il itza també , igual que el terme ra­

di , amb un doble s en tit : amb el de segment i amb el de número

que és la me sura de la seva l ong itud .

Al s exerc i c i s següents veurem algunes prop ietats interes sants

de les corde s i e l s radi s .

D . 5

Cons idereu la f i gura següent :

o B

a ) comproveu , u t il i t z ant un semicercle g raduat , que el radi OC

é s perpendicular a l a corda AB

b ) comproveu , util itzant un regle graduat , que AD = DB .

D . 6

Compl eteu , j us t i f icant cada scun del s pa s so s indicats , l a de­

mostració de la prop ie tat :

" S i una recta que pa s sa pel centre d ' una c ircumf erèn c ia

é s perpendicular a una corda , l a divideix en due s parts

igual s " .

1 1 3

B

H ipòte s i : La recta OC pa ssa per O i OD .L AB

Conc lu s ió : AD = DB

Demos trac ió :

� 6. a ) ODA i ODB són triang l e s rectang l e s

D . 7

b ) OA = OB

c ) OD = OD 1::::::,,,.. !:::::::,..

d) ODA = ODB

e ) AD = DB

Demo s treu que s i una recta pa ssa per O i d ivide ix una cor­

da , que no é s un diàmetre , en du es pa rts igua l s , l l avors l a

recta és perpend icular a aqu e s ta corda .

o

A D B

C

1 14

H ipòte s i : La recta OC pas sa per Q i AD = PB

Conclus ió : OC i AB

Sugger iment : Per fer l a demostra c ió , feu s e rvir l a prop ietat

de l s punts de la mediatr iu .

D . 8

Al pa í s del s barruf ets i davant de l e s qüe st ions pl ante j ades

a l s dos exerc i c i s anterior s , el barrufet Badoc i e l barrufet Sa

vi varen inic iar una forta pol èmica que interessà tot el pa í s .

El pr imer defensava que s i una recta que pa s sa pel centre d ' una

c ircumfe rènc ia , divide ix una corda en due s parts igual s , aques

ta recta és perpendicul ar a la corda . El segon patufet soste­

nia en canvi que aquesta a f i rmac ió no era nec e s sàr iament cer­

ta .

Qu è en penseu vo saltre s ? Raoneu l a vo s tra tes i .

POS ICIONS RELATIVES D ' UNA RECTA I UNA C I RCUMFER�NCIA

Tothom ha presenc iat el l lanç amen t d ' una pe dra amb una f ona

o ha fet rodar un cè rcol sobre una surerfície plana .

1 1 5

Les f igures següents i�lu s tren : el moviment c i rcular de scrit per

la pedra i la direcci6 que prendrà en el moment del l l ançament ¡

i la pos ic i6 del c èrcol i el terra en un moment donat .

En ambd6 s ca so s , la di rec c i6 que prendrà l a pedra i el terra vé­

nen repre sentats per una rec ta que tal l a l a c ircumferènc ia en un

únic punt . Punt que representa la posició de l a pedra en el mo­

ment del l lançament i el punt de contacte del c èrcol amb el ter­

ra . Aque sta rec ta s ' anomena recta tangent a la c i rcumferènc ia .

D . 9

a ) Descriviu al tre s s ituac ions que puguin servir per a il�us­

trar el c oncepte de recta tangent- a una c ircumf erªnc ia .

b ) Doneu l a definici6 de recta tangent a una c ircumferènc ia .

D . 1 0

a ) Dibu ixeu una c ircumferència i diver ses recte s tangents .

b ) Comproveu , f ent servir un semicercle gradua t , que el radi

que té pe r extrem el punt de contacte és perpendicular a la

tangent .

En cons eqüènc ia , donc s , ob servem que una recta tangent a una

c ircumfe rènc ia també és aquel l a per a la qua l la d i stància al cen

tre é s igual al radi .

D . 1 1

I �lu streu grà f icament l es altres due s pos ic ions relatives

d ' una recta i una c i rcumfe rènc ia : recta secant i recta exte­

r ior . Doneu-ne també la def inici6 .

1 16

D . 1 2

Completeu l a taula següent ;

RECTA TANGENT

De f in i c ió 1 : e s ta

l l en en un ún i c

punt

Def i n i c ió 2 : d = r

D . 1 3

RECTA SECANT RECTA EXTERIOR

a ) Quantes

1 . des

tangents

d ' un punt

a una c ircumferènc ia e s poden dibu ixar

exter ior a la c i rcumferènc ia ?

2 . des d ' un punt de l a c ircumferènc ia ?

3 . des d ' un punt interior?

b) Ídem quantes rectes secants ?

c ) Ídem quante s rectes exteriors ?.

D . 1 4

D ibu ixeu , f ent servi r el reg l e i el compàs , l a recta tangent

a una c ircumferènc ia per un del s seus punt s .

POS ICIONS RELATIVES DE DUES CIRCUMFERÈNCIES

El dibu ix é s una reproducció de , l ' e squema d ' una màqu ina ( una

mena de pol i spa s t ) ideada per Arquimedes , que ul tra é s ser el mé s

1 1 7

gran matemàtic de l ' antigor , en fou ta¡:nbé e l mé s gran eng inyer .

Aquest esquema apareix en una p�g ina de l ' edic ió de les seve s

obres impre ses a Par í s l ' any 1 6 1 5 .

En aquest esquema , h i f igu ren d iver se s c ircumferènc ie s en PQ s i c ions relatives di ferent s . Dues de l e s c ircumferènc ies de l ' es

quema són :

Les c ircumferènc ies que tenen aquesta po s i c ió relat iva s ' anome­

nen exter iors , perquè no tenen punt s en comú i. e l s punts de la

segona c ircumferènc ia són tots exte r iors respecte a l s de la pri­

mera .

118

D . 1 5 •

a ) I l·lus treu gràf i cament l e s restants po s i c ions relative s :

1 . c ircumferènc ies secants

2 . c ircumferènc ies tangents exteriors i tangents interiors

3 . c ircumf erènc ies inter iors

b ) Doneu l e s def inic ions corre sponent s .

Una al tra manera de determinar l e s posic ions rel atives de

due s c ircumferènc ies , és comparar la di s tànc ia d entre e l s cen-

tre s i la suma o la di ferènc ia del s radi s . Per exemple l e s c ir­

cumferènc ies s ecants són aqu e l l e s que comp l e ixen :

d < r + r ' i d > r-r'

tal com queda i l·lustrat a la f igura

D . 1 6

r ,,, /

d

Compl eteu la taula següent :

Pos i c ió I l·lu stració relat iva grà f ica Condició

anal ítica

d > r + r'

d = r + r '

1 1 9

Pos i c ió I l lu strac ió grà f i ca Condic ió relativa anal ítica

Secants r� <. r+r' > r-r'

d = r-r'

d < r-r'

D . 1 7

Dibu ixeu una c ircumf erènc ia de radi r , donat , que pa s s i per

un punt A i s igu i tangent a una c i rcumf erènc ia donada .

r

120

D . 1 8

Dibu ixeu una c i rcumf erènc ia de rad i r , dona t , que pa s s i per

un punt A i que s igu i tangent a una c ircumferènc ia donada .

r

D . 1 9

Dibu ixeu una c ircumf erènc ia de radi r que s igu i tangent a

dues c ircumferènc ies donade s .

r

DETERMINAC IÓ D ' UNA CIRCUMFER�NCIA

Ana l i tzarero , ara , quants punts cal en per a determinar una c i r

cumferència . P e r això , cons iderem tres punts A , B , C n o a l ineats

i f em la cons truc c ió indicada a la f igura .

121

A

C

D . 2 0

E s tudieu deta l ladament aquesta construcci6 i :

a ) j u stif iqueu per què e l punt o é s e l centre de la c ircumfe -

rènc ia que pa s sa per A , B i C

b ) expl iqueu com cons tru iríeu una c i rcumferènc ia que pa s s i

tres punts donats . Quantes soluc ions hi ha?

D . 2 1

a ) Donats do s punts A i B , cons tru ïu una c ircumferència que

pa s s i per aqu e s ts do s punts . Quante s soluc ions h i ha? On

s6n e l s centre s de l e s c ircumferènc ies soluc i6?

b ) Ídem pe r un sol punt A .

D . 2 2

per

Determineu una c ircumf erènc ia que pas s i per do s punts donats

A i B i que tingu i el c entre sobre una recta donada .

D . 2 3

Expl iqueu com c onstru ir íeu una c i rcumf erència d e l a qua l c o­

ne ixem un punt Ar una tangent t i el s eu punt de contacte

amb la c i rcumf erènc ia P .

1 22

D . 2 4

Determineu una c ircumterènc ia que té el centre en una recta

donada i de l a qual cone ixem una recta tangent i el seu punt

de contacte .

D . 2 5

Dibu ixeu una c ircumferènc ia tangent a l e s recte s r i s de

la f igura i que pas s i pel punt P de r .

3.- P U N T S

s

N O T A B L E S D ' U N T R I A N G L E

CI RCUMCENTRE I INCENTRE

La cons trucc ió d ' una c ircumferènc ia que pas s i per tres punts

A , B , C no al ineats é s equ iva l ent a dibu ixar l a c ircumf erènc ia

que pa s s i pels tre s vèrtex s del t riang l e ABC . Aquesta c ircum­

ferènc ia s ' anomena c ircumferènc ia c ircumscrita al triang l e i el

s eu centre , e l C I RCUMCENTRE del triangl e .

D . 2 6

a ) Expl iqueu corn determinar íeu e l c ircumcentre d ' un triang l e .

b ) Util itz ant la de f inició de mediatriu , com a l loc geomètric ,

demo s treu que l es tre s mediatrius d ' un triang l e es tal len

en un punt .

c ) Qu in é s aquest punt?

1 23

D . 2 7

a ) Con s truïu un tr iangle de costat s 3 , 4 i 5 cm i la c ircumf e­

rència c i rcumsc r ita .

b ) !dem per a un tr iangle equ ilàter de 5 cm de cos tat .

c ) !dem pe r a un d ' i sòsceles de costats 4 , 6 i 6 cm .

d ) !dem per a un d ' escalè de costats 6 , 4 i 3 cm .

Comenteu l es pos s ibles pos ic ions del c ircumc entre segon s el ti

pus de tr iangle .

Plantegem-nos , ara , el probl ema de dibu ixa r l a c ircumferèn­

c ia inscr ita a un tr iangl e , és a dir la c ircumfe rènc ia tangent

a l s tres costats . Ob serveu l a f igura següent :

\ \ \

B

\ / \ /

O Y / l l

i noteu que el centre O d ' aqu e s ta c ir cumf erència é s un punt que

equidista del s tres costats del tr iangl e .

D . 2 8

a ) Tot rec ordant la def inic ió d e b i sectriu , c orn a l l oc geomè­

tric , expl iqueu com de terminar íeu el centre de la c ircumf e­

rènc ia inscr ita a un tr iangl e . Aqu e s t punt s ' anomena l ' IN­

CENTRE del tr iangl e .

b ) !dem , demo s treu que l e s tres b i sectrius d ' un tr iangl e e s

tal l en e n un punt .

c ) Qu in é s aquest punt?

1 24

D . 2 9

En e l tr iangl e ABC d e l a f igura d e costat 4 , 4 i 3 cm , h i

h a dibu ixade s l e s tre s b i sectrius inte r iors i l e s tre s exte­

r ior s del s seus angl e s . La intersecc ió de l e s tres inter ior s

é s l ' incentre I i la de due s exte r iors i una interior s ' ano­

mena exincentre ( E1

, E2

, E3

) •

a ) Comple teu el dibu ix amb la c i rcumf e rènc ia inscr ita i l e s

tres ex inscrite s .

b ) Repet iu la construc c ió per a un t riangle de costats 3 , 3 i

4 cm .

/ / /

/ /

/ )f:'.- \\ \ l l \ \ \ //

\ \ l \ l \ \ l

\ l \ \ l \ l E J

/\\ l \ l \ \ \

\

l

125

BA.F ICENTRE

E t imològ icament la parau la baricentre s ian i f ica " c entre de

gravetat " , és a d i r és el punt en què pot supo sar-se concentrat

tot e l pe s del cos i aquest pes é s , com sabeu , la resul tant dels

pe sos de totes l e s mol ècules que e l con st itue ixen . En aque st apa�

ta t en s intere s sa determinar e l bar i centre d ' un triangle .

D . 3 0

Determinació exper imental del baricentre d ' un t riang l e .

a ) D ibu ixeu , en una carto l ina gru ixuda , un triang le de 1 2, 1 0

i 8 cm decostat i reta l l eu- l o .

b ) Construïu-vos una plomada . Ho podeu fer amb un f i l re s i s ­

tent i u n cos pe sant , p e r exempl e u n tros d e plom o d e f e r ­

r o o s imp l ement amb una pedra .

c ) F ixeu e l tr iang le per un vèrtex , en una paret , de ma nera

que pugu i o s c i l-l ar l l iurament , i fent servir la pl omada di­

buixeu la vertical que aquesta u s determina . Fer-ho igual ­

ment p e r a l s al tre s do s · vèrtexs .

Ver tical Plomada

Com a re sultat de l ' exper iènc ia observeu dos fets notab l e s :

1 r . cada vert ical d ibu ixada é s una recta que pa s s a per un vèr­

tex i pel punt mit j à del costat oposat . Aquestes rectes

s ' anomenen mitj anes del triangl e .

126

2 n . Les tre s mitj anes e s tal l en en un ma teix punt . Aquest punt

é s el baricentre del triangl e . Sabr íeu expl icar e l per�uè?

D . 3 1

Un raonament f í s ic per determinar el bar icentre .

Cons iderem un triang l e ABC i supos em-lo format per una col­

lecció de t ire s mol t e s tretes paral·l e l e s al costat AB , com

s ' indica a l a f igura .

C

a ) Qu in és el c entre de g ravetat de cadascuna d ' aquestes t i re s ?

b ) E l centre d e gravetat del triang l e haurà d ' e s tar al ineat

amb e l s de cada scuna de l e s t ires . Per què ?

c ) Sobre qu ina rec ta e stà el baricentre?

d) Per determinar el baricentre n ' h i ha prou que repet iu el

raonament supo sant que el triangl e é s format per col·lec­

c ions de tires paral·l e l e s als al tres dos costat s .

D . 3 2

Una s impl e demos tració matemàt ica .

Cons idereu un triangl e ABC i l a recta C ' B ' que une ix e l s

punts mit j an s de l s costats AB i AC , respect ivament . Demostreu :

127

1 r . que B ' C ' é s la me itat de BC i 2 n . que B ' C ' é s paral.lela

a :JC . Per aquestes raons l a recta B ' C ' s ' anomena paral.l e l a mi t

j ana .

Suggeriment : demostreu que el s triang l e s ABC i A ' B' C ' són sem­

blant s .

D . 3 3

Una prop ietat de l e s mit j anes i una propietat del baricentre .

1 . Con s iderem un t riang l e ABC i anomenem G el punt en què e s

tal l en dues mit j ane s . Fent servir u n regl e graduat , compro­

veu qu ina rela c ió h i ha entre e l s segments en què G divi­GB . GC de ix a cada mitj ana , é s a dir, calcul eu l e s raon s GB' i GC'

A

2 . Comprovarem el resul tat anterior mit j anç ant un raonament ma

temàtic .

a ) Demos treu que e l s triang l e s GBC i GC' B ' són semb l ant s .

b ) Determineu quina é s l a raó del s costats homòl eg s .

3 . S i , ara , anomenem G ' el punt en què e s tal l en l e s med iane s

BB' i AA� repetint el raonament anterior podeu demos trar

qu e G = G' A

s ���������_¡¿_�������� c A

128

4 . . Qu ina § s l a propietat de l e s mit j ane s que hem dedu ï t en

aquest exerc i c i ? I la del bar icentre ?

D . 3 4

Una curiosa experiènc ia .

a ) D ibu ix€u , sobre una cartol ina g ru ixuda , un triangl e de cos­

tats 1 0 , 6 i 8 cm . Senya leu-h i el baricentre G .

b ) Re tal l eu e l triangle i c l aveu-lo a l a paret de manera que

pugu i osci�lar l l iurament . Ob serveu que , s i el punt de f ixa

c i6 §s un punt que no §s el bari centre , en moure el tr ian­

g l e de la seva pos i c i ó d ' equ i l ibri retorna a l a po s i c i ó ini

c i a l . En canvi , si e l punt de f ixació §s el baricentre , l a

pos i c ió d ' equ i l ibri § s qua l s evol po s ic ió ,

D . 3 5

"' \ " \ " \ " ' \ "

\ "-\ \

Cons iderem el s triang l e s de l a f igura , obtinguts unint e l s

punts mitj ans del s costats d e l succe s s iu s tr iangl e s . S igu i G e l bar icentre del triang l e mé s ex terior . S i supo sem que GA = 1 .

Cal culeu les l ong i tuds dels s egments GA' , GA" , GA" ' i GA '" .

1 29

A

ALTURES D ' UN TRIANGLE . ORTOCENTRE

Començarem aqu e s t apartat con stru int , en cartol ina g ru ixuda ,

tres triangl es :

1 • un t riang l e acutangle de 7 ' 8 ' 1 o cm .

2 . un triangle rectangle de 6 ' 8 ' 1 o cm .

3 • un t riangle obtu sangle de 5 ' 8 ' 1 o cm .

Un cop retallats , d i spo sem el triang l e acutang l e e n un pla

vertical i de manera que un de l s costat s quedi horitzontal ; ho

podem aconsegu i r recol zant-lo sobre una taula o un tau l e r horit­

zontal .

Fent servir una pl omada , podem dibuixar la vertical que pa s ­

sa pe l vèrtex opo sat al costat que e s tà en po s ic ió horitzontal .

130

Aqu e s ta vertical é s una de l e s a l tures del triangl e . Ob ser­

veu , que l ' al tura i la base són sempre perpend iculars encara

que canviem la posició del triang l e i ara j a no s iguin l ' horit­

zontal i la vertical .

D . 3 6

a ) Repetiu e l procé s anterior per obtenir l e s tres al tures del

triangl e acutangl e .

b ) 1 dem del rectang l e .

D . 3 7

Í dem en e l cas del t riang l e obtu sangl e . En aquest cas , haureu

d ' eng inyar-vo s per tal de d ibu ixar l e s tre s altures j a que a l ­

gun e s són exteriors al t r iangl e .

131

S i heu fet aque stes exper iènc ies amb tota cura , haureu tro­

bat que en tots e l s casos l e s tres altures es tal l en en un punt .

Aqu e s t punt s ' anomena l ' ortocentre del triangle .

D . 3 8

En cada scun del s casos cons iderats , on é s s i tuat l ' ortocen­

tre re specte al triang l e ?

També podem comprovar aque sta prop ie tat d e l e s a l tures amb un

raonament matemàtic ben s imple .

D . 3 9 Cons iderem un tr iangle ABC i el triang le A ' B ' C ' obt ingut

d ibuixant per c ada vèrtex la para�l ela al costa t oposat .

e '

B

a ) Comproveu que e l s vèrtex s A , B , C són el s punts mitj ans

del s costats del tr iangle A ' B ' C ' . Intenteu també demo s trar­

ho mitj anç ant un raonament matemàtic .

b ) D ibu ixeu l e s a l ture s del tr iangle ABC . Cada a l tura qu ina

l inia és re specte al tr iangle A ' B ' C ' .

c ) Util it z eu el r e sul tat anter ior per demos trar que l e s 3 a l tu

res e s tal l en en un punt .

Hem e s tudiat f ins aqu i el s 4 punt s notables d ' un tr iangl e ,

alguns són interiors al triang le i d ' al tres poden ser exte riors ,

aque s t fet depèn del t ipu s de triangle considerat . Ens podem pr�

guntar , què pa ssa en el cas d ' un tr iang le equ i l fter o en un d ' i-

sòscele s .

132

Dibu ixeu 3 triangl e s equ i làters de costats di ferent s . En

aque s t s tr iang l e s det erminen , amb tota cura , el s punts nota­

b l e s . Què ob serveu ? Sabr íeu j u s t i f icar el resulta t ?

D . 4 1

D ibu ixeu un triangle i s òsceles de c o stats 1 0 , 6 i 6 cm . De­

termineu e l s punts notab l e s . Què ob serveu ? Sabr íeu j u s t i f icar

el r e su l tat?

UN EXERCICI RESUM

D . 4 2

Compl eteu l a taula s egüent :

Punts notab l e s H i concorren les tres . . . . Prop ieta t geomètrica

C I RCUMCENTRE

INCENTRE

BARICENTRE

ORTOCENTRE

UNA CURIOS I TAT GEOMÈTRICA

D . 4 3

Comproveu en diver sos casos qu e el c ircumcentre , el bar icen­

tre i l ' ortocentre s6n s empre punts al ineat s . A mé s a mé s , com­

proveu que el baricentre é s a dob l e d i s tància de l ' ortocentre

que del c i rcumcentre . La recta que conté aquests tre s punts

s ' anomena l a recta d ' EULER .

UNA IMPORTANT PROP IETAT DE LES BI SECTRIU S DELS TRIANGLES

Les b i sectriu s del s ang l e s interiors i ex teriors d ' un trian­

gle div ide ixen el s costats opo sats en dos segment s relac ionats

133

amb el s costats corre sponents . Intentarem , tot s eguit , determi­

nar aque sta relac ió .

D . 4 4

En el s triang l e s de l e s f igure s h i ha també dibu ixade s l a b i

sectriu d ' un ang l e interior i d ' un angle exter ior .

a ) Completeu , fent servir un reg l e graduat , la taula s egüent :

- - - -

MA AC MB BC

F ig . 1

F ig . 2

Fig . 3

Fig . 4

b ) Intenteu de terminar una proporc ió entre l e s me sures d ' aquests

4 s egments .

La rel ació qu e hau reu determinat é s :

MA MB AC = BC

Demos trarem qu e aquesta relac ió es compleix per a qua l s evol trian

gle .

1 34

D . 4 5 -

Demo s treu que , s i CM é s la b i s ectriu de l ' ang le ACB òel trian

gl e ABC , e s compleix MA MB =

AC BC

C

� A M 8

Sugger iment : 1 . Des del vèrtex B, dibuixeu una para�l ela a la b i

sectriu C M i prolongueu el c o s ta t AC f in s que ta­

ll i aque s ta para�l ela .

D . 4 6

2 . Demos treu que el triangle BCD é s i sòsceles i

apl iqueu el teorema de Tal e s .

/ 1 º ,,. ,

/ l / / l

/ / l / l

l l l J l l

..-... S igu i CM la b i s ec tr iu de l ' ang l e ex terior BCD del tr iangle

ABC , demos treu que MA MB AC = BC

A B

D ,,.., e�/! \ / '�--�< *- -� \ � M

1 35

Suggeriment : 1 . Des del vèrtex B , d ibuixeu una para�lela a l a

b i sectriu exterior CM .

2 . Demo s treu que el triangle BCE é s i sòsceles i

apl iqueu el teorema de Tale s .

Heu demo s tra t , donc s , l e s propie tats següent s :

1 . - La b i sectr iu d ' un angle interior d ' un triang l e divideix

e l c o s tat oposat en dos s egments additiu s proporc ional s

al s costats corresponent s .

2 . - La b i se c triu d ' un ang l e exterior d ' un triang l e divideix el

costat opo sat en dos s egments sub s trac t iu s proporc ional s

al s costats corre sponents .

D . 4 7

El s costats d ' un triang l e amiden 4 , 5 i 6 cm .

a ) Cal cul eu el s s egments en qu è la b i sectr iu interior de l ' an­

gle opo sat tal la el co s tat de 6 cm .

b ) Ídem d ' un del s ang l e s exteriors .

D . 4 8

E l per1metre d ' un tr iang l e é s de 2 1 cm i l a b i sectr iu inte­

rior d ' un del s ang l e s divide ix el c o s tat oposat en dos s egments

de 3 i 4 cm . Calculeu les long 1tuds de l s tre s costat s .

4 . - A N G L E S E N L A

ARCS I ANGLES CENTRALS

C I R C U M F E R È N C I A

El Sol é s un del s innomb rab l e s mil ions d ' e s tel s que ex i s tei­

xen a l ' univers . A ull nu es poden veure uns 6 . 0 0 0 e s tel s , una

tercera �art del s qual s s6n v i s ib l e s des de qual sevol indre t de

l.a Terra .

136

El fet que un e stel s igu i v i s ib l e a l cel durant la nit en

un moment concre t , depèn de l ' hora , de l ' època de l ' any i de l a

po s ic ió d e l ' ob servador a l a superfície de l a Terra . E l s e s tel s

que resu l ten v i s ib l e s du rant tot l ' any s ' anomenen e s tel s c ircum­

polar s .

Ja que la Terra té un moviment de rotac ió sobre un e ix imag! nari que pas s a pei s pol s , e l s e s tel s tenen un moviment anarent

en el cel , é s a dir s embl a que es mogu in .

A l ' hemi s feri nord g i ren al vol tant de l ' e s tel pol ar ( Pola­

r i s ) , que es troba pràcticament en la vertical del pol nord i

per tant sembla que no e s mou .

A l ' hemi s feri sud dibuixen c ircumferènc i e s , com a l ' hemi sfe­

r i nord , però no h i ha c ap e stel pol a r au stral que en marqu i el

centre .

1 37

En un dia aque s t s e stel s recorren tota l a c ircumferèn c ia , en

temps inferiors de s c riuen porcions d ' aquestes c ircumferènc i e s .

Aqu e s te s porc ions s ' anomenen a rc s de c i rcumferènc ia .

A A

B

Ob serveu que cada pare l l a de pun t s d ' una c ircumferènc ia de­

terminen dos arc s , per di s t ing ir-los farem el conveni d ' ind icar

l ' arc per dos pun t s , el s s eu s ex trems , i recorrent sempre de s del

primer punt al s egon en s entit contrari a l e s agu l l e s d ' un rel l ot

ge .

138

Així t indrem el s arc s

B 8

A A

S i e s fotog raf ien el s e s tel s c i rcumpol ars entorn del pol nord ,

amb una expo s ic ió l larga s ' obté una fotogra f i a sembl ant a la se­

güent :

139

Observeu que el s e stel s no apare ixen com a punts l luminosos,

s inó com a arc s de c ircumf erènc ies concèntrique s de centre l ' e s­

tel polar . Això es deu al fet que en é s se r una fotograf ia de

llarga expos i c ió s ' ha pla smat una part del camí que apa rentment

recorren .

El s d i stints arc s tenen di s t inte s l ong ituds com s ' aprecia a

s impl e v i s ta , l ong i tud que depèn del radi de l a c ircumf erènc ia

al qual pertanyen ; però sabem que tot s corre sponen a un ma teix

temp s d ' expo s i c ió .

Aqu e s t ú l t im fet queda ref l ectit en l a fotog rafia pe rquè el s

ang l e s que tenen el vèrtex en el centre de l a c ircumferència i

el s costats del qual passen pel s extrems del s dif erent s arcs s ón

içua l s i per tant tenen l a mate ixa mesura .

\ l

J

140

Aque sts angles que tenen el vèrte� en e l c entre de l a c ircum

ferènc ia s ' anomenen angl e s c entral s .

Aix i un arc d ' una c i rcumferènc ia ve determinat per la me sura

de l ' ang l e central corre sponent . Me sura que anomenarem me su ra an

gul a r de l ' a rc i que indicarem mit j anç ant la l l etra m . Aix i di­

rem :

A

o

8

-m AB = l). AOB

- "" ta me sura de l ' arc AB és la me sura de l ' angl e central AOB .

D . 4 9

Determineu , f ent s e rvir un tran sportador d ' angl e s , l e s me su­

res angulars del s arcs de l e s f igures d ' aqu e s t apartat .

D . 5 0

S i m AB -ED .

- - t""' = 3 0 Q qu ina é s l a me su ra del s arcs BC , DE , EA , BA i

A

E

141

D . 5 1

Qu in é s l ' angle que formen l e s agul l e s del rellotge a l e s

7 h s ? I a l e s 4 h s ? I a tres quarts d e c inc ?

D . 5 2

Un grup d ' amigue s ob serven , en una caseta de t i r al bl anc en

una f i ra , un artif i c i format pe r un con i l l mecànic que surt

d ' un punt i descriu una c ircumferènc ia . Una de les no ies diu :

quan el con i l l ha g i rat 1 0 0Q roman una e s tona parat ; é s en

aqu e s t moment que hem de disparar . Una al tra comenta : entre

e l s punts corre sponents al s ang l e s de 1 2 0 Q i 2 0 0 Q és on corre

mé s ; durant aquest g ir no intere s sa di spara r . I f i nalment , una

tercera diu : quan ha g i rat 2 9 0 Q g ira du rant 3 0 Q mé s mol t l enta

ment .

a ) dibu ixeu un cercle per repres entar-h i l a traj ectòria del c�

n il l , i ma rqueu-h i un punt inic ial qual sevol d ' on suposeu

qu e surt el conil l .

b ) Feu sobre aquest cercl e , emprant un transportador d ' ang l e s ,

un e squema del moviment de l conil l .

D . 5 3

Qu ine s s6n l e s me sure s del s arc s aparentment descrits per un

e s tel en

a) 1 dia?

b ) 1 hora?

c ) 1 quart?

DOS SIMPLES TEOREMES

D . 5 4

Demo streu que :

a ) En una c i rcumferènc ia , s i dos angles centra l s s6n igua l s tam

bé ho s6n e l s arc s que determinen .

b ) En una c ircumferènc ia , s i dos arcs s6n igual s també ho s6n

el s angles central s corresponent s .

142

D . 5 5

Demostreu que :

a ) En una c ircumf erènc ia , s i due s corde s són igual s també ho

són el s arcs que determinen .

b ) El rec íproc.també és cert .

C

D

/ /

DUES QÜESTIONS PER REFLEXIONAR

D . 5 6

a ) Dibu ixeu due s c ircumferènc ies concèntr ique s de 3 i 5 cm de

rad i .

b ) Dibu ixeu en l e s c i rcumferènc i e s anteriors arcs de me sures

4 5 Q , 1 2 0 Q i 2 8 0 Q

c ) Per què s i el s arc s dibu ixat s tenen l a mate ixa me sura angu­

lar , el s de la c ircumf erènc ia de 5 cm són de ma j or long itud

que el s corre sponents a la de 3 cm?

D . 5 7

El s antics navegants grecs f e ien s ervir l a geometria per

or ientar- se a l a mar i havien de ser curo sos en els càl cul s ,

perquè d ' a ixò depenia poder arribar al port des itj at . Calcula­

ven l a l a ti tud on es trobaven me surant l ' angl e format per la

supe r f í c i e hor i t z ontal de l a seva nau i la direc c ió de l ' es tel

pola r .

Raoneu sobre l ' esquema de l a f igura per què podien calcular

d ' aque s ta manera l a latitud .

143

P. N.

l - -- - - - - - -o t-.... _ -

ANGLE S INSCRITS

l l

P S.

E . POLAR

_...... PERPENDICULAR _...... ........ AL VAI X E L L

PLA D E L'EQUADOR

En s diuen que des d ' un va ixell s ' han dirig it v i sual s al cap

de Creus i al cap de Begur i que l ' angl e que formen aquestes vi­

sual s é s de 3 0 9

C A P D E B E G U R E . 1 : 7 00.000

144

Ens podríem preguntar s i amb aque sta dada en ten im prou per po­

der determinar en el m�pa la s ituac i6 del vaixel l . L a qüe s t i6 e s

redueix a esb r inar , s i h i h a d iversos punts d e s del s qua l s es ve­

gi el segment AB sota un ang l e de 3 0 Q ,

D . 5 8

Cal cu l eu , f ent servir un tran sportador d ' angl e s , l ' angl e so­

ta el qual es veu el s egment AB des del s punt s P1

, P2

, P3

, P4

i PS de la f igura :

p W

� � H eu comprovat que des del s punts P

2, P

3 i P S e s veu AB sota

el mateix ang l e que de s de P . D ' aquests punt s n ' h i ha que s6n

mol t a prop de l a costa com e l s P2

i P S i d ' al tre s que no ho e s ­

tan tant , p e r tant n o é s la d i s tànc ia a l a còsta el fet que ca­

racteri t z a e l s punts bu scats .

Pot ser us haureu adonat , que el fet que el s carac teritza é s

el d e perta�yer a l a c ircumfe rènc ia determinada per A , B i P . Ai

xí donc s , el vaixel l es pot trobar en qua l s evol punt de la ma r

que pertany i a l a c ircumferènc ia que pa s s i per A , B i P .

D . S 9

Dibu ixeu , amb tota cura , l a c i rcumferènc ia qu e pas s a per A ,

B i P i comproveu l ' a f i rmac i6 anterior .

145

Aque sts ang l e s s ' anomenen ang l e s inserits perquè tenen el vèr

tex en un punt de la c ircumf erènc ia .

Def inic i6 . Un angle inscrit é s un ang le que té e l vèrtex en

un punt de la c ircumferènc ia i e l s seus costats en s6n corde s .

p

S i en l ' angle inscrit de la f igura mantenim f ix e l co stat PB

i imag inem que el punt A s ' aprox ima al B i després que A s ' a l l� ,,-....

nya de B , què l i pa ssa a l J ang le central corresponent AOB ?

D . 6 0

Comproveu , i l·lus trant-ho amb divers e s f i gure s , què l i pa s sa -..... /'"'-.

a l ' angle c entral AOB corre sponent a l ' angle inscrit APB a me-

sura que aque s t e s va f ent mé s pet i t . ! dem s i es va f ent mé s

gran .

Podem dedu ir , donc s , que h i ha una relac i6 entre l e s me sure s

del s angl e s inscrits i l e s del s centra l s corre sponent s . Tot se­

gu i t intentarem determinar-la .

D . 6 1

Con s idereu e l s angle s inscrits de les f igures següent s

146

p p

A

8

F ig . 1 F i g. 2 Fi g . 3

a ) Compl eteu la taula s egüent

4APB ,,.....,.

m AB

Figura 1

F igura 2

F igura 3 i

b ) H i ha alguna relac i6 entre e l s valors de les due s filtime s

columnes ?

D . 6 2

a ) D ibuixeu diversos angles inscrits .

b ) Determineu la me sura d ' aquests angles i de l s arc s que abr�

cen l lurs costats .

c ) H i ha alguna relac i6 entre l e s mesures del s ang l e s i l e s

de l s arc s corresponent s ?

147

En aquests exerc ic i s haureu observat que

1 .-.._ <}: APB = 2 m AB

és a dir , la mesura d ' un ang l e inscrit en una c ircurr ferènc ia és

la me itat de la me sura de l ' arc que abracen els seus costat s .

A cont inuac ió , intenta rem provar que aquesta prop ietat es

compl e ix en genera l .

D . 6 3

Con s iderem un ang l e inscrit , un costat de l qual é s un diàme

tre de la c ircumf erènc ia

_______ P

B

,.,

Per determinar la me sura de l ' angle APB d ibuixarem l ' angle cen A A

-

tral AOB . Ten int en compte que AOB é s l ' angle exterior del tri -

angle POB i que aquest é s i sòscele s , demo s treu que

D . 6 4

1 ,_ 4 APB = 2 m AB

Util i t zant la propietat demos trada en e l prob lema anterior u s

serà fàc i l provar que t ambé e s compleix en e l s c a s o s de les f i

rrures següents :

148

p

C

,........... ..-... ....-... S impl ement u s heu d ' adonar que en el pr imer c a s APB = APC + CPB

............ ............ -i que en e l segon cas APB = CPB - CPA .

ALGUNES SENZ ILLES APLICAC I ONS

D . 6 5

S ' atribueixen a Ta les algune s propo s ic ions tal s com :

" Tot diàmetre b i seca e l cerc le " .

" Un ang le inscrit e l s costats del qua l ab racen una semic ir-

curofe rènc ia és r _; e te " .

Intenteu provar aques t.:1 se':Jona af rmac ió

D . 6 6

Recolzant-vos en la propo s ic i6 anterior , con struïu trian­

g l e s rec tang les que t -i ngn in :

1 r h ipotenu sa de 6 cm i un catet de 2 cm .

2 n h ipotenu sa de 6cm i l ' a _ tura sobre l a h ipotenu sa d • 1 cm .

3 r h ipotenu sa de 6 cm i un de l s ang l e s aguts de 4 5 Q .

D . 6 7

Fent servir només P e scaire i un l lapi s trobeu e l c entre

d ' una c ircumferènc ia donada .

149

ANGLE SEMI-INSCRIT

D . 6 8

Un angle semi- inscrit é s un angl e que té el vèrtex en un punt

de la c ircumferènc ia , un costa t és una secant i l ' altre una tan­

gent .

B

A

...... � - ­

...... ... _ � -- -_.,._ - o

Ju s t i f iqueu que l ' ang le s emi - inscrit me sura la me itat que l ' arc

que abraça , rec o l zant-vo s en les due s f igures anterior s .

ANGLES EXTERIORS I ANGLES INTERIORS

Fins ara , hem determinat la rela ció entre les me sures del s

angles centra l s i dels angles insc r i ts , i les d e l s arc s que abr�

cen ; però , que podem dir respecte a al tres angl e s com e l s de les

f igure s ?

angle exter ior ang le interior

1 50

A la primera figura , el vèrtex é s un punt exter ior a la c ir­

cumf erènc ia i e l s c o stats s6n s ecant s . A la segona e l vèrtex és

un punt interior i e l s costats s6n secants .

Aquests angles s ' anomenen respect ivament angle exter ior i an

gle inte r io r .

D . 6 9

A l e s 4 f igures següents hem indicat l e s me sure s de l s ang l e s

i del s arc s que determinen

p

f ig 1 f ig 2

' C 40° ' ' ' -D

f ig 3

s. í p .... Oº 2. ' º l

l

f ig 4

Apl iqueu aque stes dade s en les taules següent s :

Angle exter ior

f ig 1

f ig 2

Angl e interior

f ig 3

f ig 4

'4" APB m

4. APB m

........._ -AB m CD

- -AB m CD

151

.......... � En c ada c a s h i ha a lguna r e l a c i 6 entre c4:APB i m AB i m CD?

D . 7 0 a ) D ibuixeu d.iversos ang l e s ex t e r i o r s i dive r s o s ang l e s int�

r i ors i , mi t j ançant e l tran sportador d ' angl e s , determineu l e s me sure s de l ' angle i de l s a rc s que determinen .

b ) D i spo s eu e l s re sultats en f orma de taul e s , com en l ' exer­c i c i anterio r .

c ) I ntenteu determinar una r e l a c i 6 entre la me sura de l ' an­gle i l e s de l s arc s que abracen .

Ben s egur que haureu trobat l a r e l ac i 6

<} APB = � ( m AB - m éi3 )

per al s angl e s ex terior s . 1 -

I l a r e l a c i ó <::}:: APB = 2 ( m AB + m CD )

'- ,C ..... .....

per a l s ang l e s inte r i or s .

152

E:s a dir :

1 . La me sura d ' un angle exterior é s igual a la semid i f erèn­

c ia de l e s mesure s del s arc s que abracen e l s seus costats .

2 . La mesura d ' un ang le exterior é s igual a la semi suma de

l e s me sure s de l s arc s que abracen e l s costats de l ' angle

i e l s de l ' angle opo sat pel vèrtex .

Aque stes relac ions e s poden demo strar en general sense gaire

dif icultat, si recordeu qu ina é s la me sura del s angles inscrit s .

D . 7 1

Cons idereu l ' angle exterior de la f igura , i demo streu que . 1 ......... -

<1:APB = 2 ( m AB - m CD )

p

Per determinar .:::fAPB, n ' h i ha prou que observeu que c::::jACB é s

exterior al tr iangle ACP .

D . 7 2

Demo st reu , cons iderant l ' angle inte rior de la f igura , que _..\... 1 ,........ .......... � APB = 2 ( m AB + m CD )

----�IC '- D t . ,'- l

l '\ ' p l '\ l

l

1 53

Per dete rminar 1: APB n ' h i ha prou que ob serveu que -9= APB é s

exter�or a l t r iangle APD .

UNS EXERCICIS RESUM

D . 7 3

D . 7 4

1 54

Compl e teu la tau la següent :

Angle

Central

Inscrit

Semi-inscrit

Exterior

Inter ior

- .........,.

De f inic i6 Mesura

E l s arcs AB i CO me suren 1 1 5 Q 1 0 ' i 3 6 Q 3 0 ' , r e spec t ivament .

,...,,...._ /"-. � � a ) Calcul eu la me sura dels angles DAC , DBC , DEC i DFC i di-

gueu de qu in t ipu s s6n . Comenteu e l s �esultats trobats per

a l s do s pr imer s .

ALGUNES QUESTIONS SOBRE RECTES TANGENTS

CONSTRUCCIÓ 1

Tangent a una c i rcumferènc ia en un del s seus punts .

D . 7 5

D ibuixeu una c ircumferència i senya leu-hi u n punt P . Cons­

tru ïu la tangent per aque st punt i j us t i f iqueu aque sta cons­

t ruc c ió .

D . 7 6

Calculeu e l va lor de x en la f igura següent

3 x

'-.-...-----' 2

D . 7 7

D ibu ixeu per un punt A d ' una recta r una c ircumfe rènc ia tan

gent que pas s i per un punt B exterior a r .

A r

D . 7 8

Dibu ixeu una c ircumfe rènc ia que s igui tangent a due s rectes

paral·leles r i s i que pa s s i per un punt B donat .

r

s

155

CONST�UCCIO 2

Tangent a una c ircumfe rènc ia per un punt exterio r .

Ob serveu que c on struir la recta tangent a una c ircumferènc ia

per un punt exterior, es redue ix a constru i r un tr iangle rectan­

gle del qua l c one ixem la h ipotenu sa OP i un catet OT , que é s e l

rad i d e la c ircumferènc ia .

o p

D . 7 9

Per c onstru i r la tangent a una c ircumf erènc ia per un punt ex

terior se segue ix el procé s següent

o· x p

s '-/

l '\

l \

¡_ _ _ _ _ R \

-7< p º 1 J \ l \ l '\ /

T .._

1 56

o

s l / /

! / ¡/ K- -

o \ \ \ \ \ \ \ " T

,--

--

I R" - - - - ""*p l l

� l

""- "

l l

/ / - -

a ) Ju s t i f iqueu cadascun del s pa s so s i demo streu que PS i PT

s6n segments de les rec te s tangents .

b ) Con st ruïu l e s tangents , a una c ircumf erènc ia de 3cm de rad i ,

per un pun t que disti Sem del centre .

D . 8 0

Demos treu , util itzant l ' ú l tima f igura de l ' exerc ic i anter ior ,

que e l s segment s de tangent a una c ircumf erènc ia des d ' un pun t

exte rior s6n igua l s . A la figura d ) heu d e demo s trar que

PS=PT ) .

D . 8 1

D ibuixeu una c i rcumf erènc ia de radi r donat , i que s igu i tan

gent a due s rec tes t i s , donade s .

r

t

____________ s

D . 8 2

Demostreu que e l s segments PA i PC de la f igura s egüent s6n

igual s .

A

C

1 57

CONSTRUCCIÓ 3

Tangent s comune s a dues c ircumferènc ies .

Aque s ta c on st rucció e s redu e ix a l a cons truc c ió 2 c om ho po­

deu c omprovar a l e s f igures següent s

/ /

- - -

/ / / - -::o_

l ( / l l l l

l /

/ /

/

l l . \ \ \ '-..

l

'- - ;;;

tangents exteriors

/

\ \ "

/ / -- /

tangent s inte r iors

D . 8 3

a ) Ju stif iqueu l e s construc c ions anterior s .

b ) D ibuixeu due s c ircumferènc ies de rad i s Sem i 3cm e l s c en ­

t r e s d e l e s qua l s d i stin 1 0cm . Construïu l e s tangents ext�

riors i l e s tangents interiors c omune s a l e s due s c ircumf e

rènc ies .

D . 8 4

Demostreu que e l s segmen ts de tangen ts comunes a due s c i rcum

f erènc ies són igua l s .

D . 8 5

ECLIPS I S . Un ec l ip s i é s l ' ocultac ió total o parc ial de la

l lum d ' un a stre per interpo s ic ió d ' un al tre a s tre entre el pri­

mer i l ' ob servado r . Els ec l ip s i s es produe ixen quan l ' omb ra de

la L luna cau sobre la Terra o quan l ' omb ra de la Terra cau sob ra

la Lluna . La po s s ib i l itat de l ' ec l ip s i prové del fet que , es sent

el Sol 4 0 0 vegades mé s l luny de la Terra que no pa s la LLuna ,

les seves dimens ions són també 4 0 0 vegade s l e s d ' aque sta i , a ix í

158

e l s d i sc s del Sol i de la Lluna , vi stos des de la Terra , tenen

aprox i�adament les mat� ixe s a imen s ion s apa rents que s6n de l ' or­

dre de mig grau .

O ob servador

A 1 a stre 1 A2 a s tre 2 « = dimen s ió aparent d ' A 1 i A2 .

El s dos a s tres A1 i �2 tenen la mate ixa dimen s i6 aparent .

E l s ec l ip s i s de Sol només e s poden produ ir quan el Sol i l a

.Lluna es tan en con j unc i6 , i e l s centre s d e l s dos astres coinci­

de ixen aprox imadament v i s to s des de la Terra . S i e s comple ixen

aquestes condic ion s hi haurà ec l ip s i de Sol , però nomè s en una

e streta fran j a de la supe r f í c ie terres tre , j a que la c o inc idèn­

c ia aprox imada del c entre del Sol i de la Lluna no pot é s se r ob

servada des de tota la Terra , s in6 que depèn de la lati tud a la

qual e s trobi l ' ob servador .

En aquestes regions , quan e l d i s c de la Lluna é s aparentment

mé s gran o igual que el del Sol , aqu e s t re sta totalment amaga t i

hom diu que h i ha ec l ips i tota l .

1 59

L ' ec l ip s i total de Sol ve e squematitzat aprox imadament a la

f igura

EC L I PS I T O T A L D E S O L

SO L

LLU N A

TE R R A

EIIlIIlJ Z O N A D' O M B R A

� Z O N A D E P E N O M B R A

S i e n canvi , a causa d e l a relac ió d e d i s tànc i e s , e l d i s c de

la Lluna és mé s pet i t que el del Sol , resta v i s ible un e stre t

ane l l l luminós encerclant e l disc fosc de la Lluna . En aquest

cas , hom diu que l ' ec l ip s i é s anular .

A c ada cantó de la f ran j a en la qua l l ' ec l ip s i é s total o anu

l ar i , en una z ona força exten s a , l ' ocultac ió del Sol pe r l a Ll�

na no é s completa , ja que és v i s ib l e una par t poc o mol t impor­

tant del disc solar , segons que l ' ob servador s igu i mé s o menys

l luny de la f ran j a d ' ec l ip s i total .

a ) Feu un esquema que expl iqui un ec l ip s i anular de Sol .

b ) !dem d ' un ecl ips i parc ia l .

c ) Expl iqueu en què c on s i s t e ix un ec l ip s i de Lluna i f eu un e s

quema que l ' i l·lustri .

UNA PROPIETAT DE LES RECTES SECANTS

S i d ibuixem per un punt P inter ior a una c ircumf erènc ia , d i ­

verses secant s , e l s segment s determinats p e r aque st punt i e l s

160

punts d ' intersecc i6 amb la c ircumf erènc ia, tenen una propietat co

muna que intentarem determinar tot seguit .

D . 8 6

a ) Completeu la taula següent , f ent servir un regle graduat

2

D

F

PX1

PX2 Px 1 . Px

2

Secant 1

Secant 2

Secant 3

x 1 i x2 punts en què cada s ecant ta l l a· la c ircumferènc ia .

b ) Què ob serveu a l ' ú l t ima coluwna ?

c ) Enunc ieu la propietat c orre sponent .

Intenta rem demo strar-la en genera l .

D . 8 7

D ibu ixeu per un punt P inter ior a una c i rcumferènc ia , due s

rec te s secant s qual sevo l . Demos treu que

PA . PB = PC . PD

161

SUGGERIMENT . Uniu e l s punt s A i D , i B i C , i demo s treu que e l s

triangles APD i BPC són semblant s .

A

C

o ·

/

/ /

/ /

/

/ /

/

8

Més sorprenent é s pot ser el fet que aque sta propietat també

e s c omple ix s i el punt P é s exter ior .

D . 8 8

Dibu ixeu des d ' un punt P , ex terior a una c ircumferèn c ia , di­

verse s secants i seguiu els mate ixos pa ssos que en els exerc i­

c i s D . 8 6 i D . 8 7 .

D . 8 9

D ibu ixeu de s d ' un pun t P exterior a una c ircumferènc ia , dues

secants qua l s sevol . Demo streu que :

PA . PB = PC . PD p

SUGGERIMENT . Un iu e l s pu�ts A i D , i C i B , i demos treu que e l s

triangles PAD i PCB són s emb lant s .

162

D . 9 0

Calculeu x a les f igure s següents

5 . - A R C C A P A Ç

-4-1 l

10

Des d ' una butaca d ' una sala c inerna toqrà f ica , un espec tador

veu la panta l l a sota un ang l e de 4 0 Q .

A B

163

Creieu que h i ha a l tre s l locs de la sala des de l s qua l s e s

veu l a pantalla sota e l mate ix ang l e ?

Noteu que aque sta qüestió é s del mateix t ipu s que la plante­

j ada a l ' inic i de l ' apartat c orresponent a l s angles inscrit s . La

soluc ió @ns ve donada per l ' arc de c ircumferènc ia AEB .

Aquest arc é s l ' arc capaç de 4 0 Q sobre e l segment AB .

D . 9 1 ,,-.....

Per què tots e l s ang les de vèrtex s un punt de l ' arc AEB són

de me sura 4 0 Q ?

164

~ � ¡ \ \ l \ ' - / l\ l " ' - - / l \ \\ ( l \ " ' ' / - -.l l \�� \ " ';,- .::: l -- , __ (-

/ \ '> / • ' ,/ l l l \ / ' ........ l l \ / ' l ' cl-J f--): / /

\ '-

V / /' .( .

\ l ' \ l ' <7- l

l ' ,,.-{ \ o(. / \. ; \y

En genera l , donat un s egment AB i un angl e de me sura o<. anom�

narem arc capa ç d ' angle o<.. sobre e l segment AB a l l l oc geomètric

dels punts que veuen e l segment AB sota l ' angle o'-.. •

D . 9 2

a ) Raoneu qu in é s l ' arc capaç de 9 0Q sobre un segment , dona t ?

b ) D ibuixeu-lo sobre un segment de 4 cm .

D . 9 3

Con struïu un triangle rec tang le del qual cone ixem la hipote­

nusa a = 1 0 cm i un catet b = 6 cm .

D . 9 4

Constru ïu un triangle rec tangle del qual c one ixem la h ipote­

nu sa a = 6 cm i l ' a l tura c orre sponent a la h ipotenu sa ha= 3cm .

Tenint en compte la f i gura següent

E

f ixeu-vo s que e l teorema de l ' al tura e s pot enunc iar :

D . 9 5

Tota semicorda é s mit j ana proporc ional entre e l s segments en

què divideix a l diàmetre perpendicular .

Doneu un enunc iat semb lant per al teorema del catet i i l�us­

treu- l o amb una f igura .

165

CONST:RUCCIÓ DE L ' ARC CAPAÇ

E studieu detal ladament cadascun del s pa s so s de l a construc­

c i6 s egüent .

l l l

~ F i g . 1

F i g . 3

D . 9 6

\!ex: '

' '

'

Fi,g . 2

' O( '

' '

'

F i g , 4

' '

'

/ /

a ) Ju s t i f iqueu cadascun de l s pa s s o s anterior s .

b ) Construïu l ' arc capaç de 7 0 Q sobre un segment de 3 cm .

D . 9 7

Cons truïu sobre un segment de 4 cm l ' arc capaç de 6 0 Q . ! dem

de 1 2 0 Q . Què ob s erveu?

Ob serveu que l a construcci6 de l ' arc capaç d ' angle suplemen-

166

tar i en e l semiplà oposat , dóna el mate ix centre i que ambdós

completen una c ircumf erènc ia .

L ' arc capaç permet resoldre una sèrie de qüe s t ions i de cons

truc c ions geomètriques força intere s sants .

D . 9 8

Problema de la carta de navegac ió . Expl iqueu c orn determina­

r íeu sobre un mapa de la c os ta la po s ic ió d ' un va ixe l l V , s i

s ' han mesura t e l s angles cA. i (3 formats per l e s tres visual s

d irigides des del va ixe l l a tres l loc s notab l e s de la c osta .

Apl icac ió . S itueu sobre aqu e s t mapa de la costa de l ' Alt Empor­

dà un vaixe l l per al qual d. = 5 0 Q i ¡?, = 1 2 0 Q ; e s sent A el far

del Cap de Creus , B e l de Roses ( a la punta de la Ponc e l l a ) i

C e l de l e s i l l e s Medes .

1 67

D . 9 9

Af E D J T o l f

o $

R R A N l A

a ) Con struïu un tr iangle del qual cone ixem l a base a= Scm , l ' an

gle opo sat A= 4 5 Q i l ' altura ha = 4 cm . "

b ) !dem b = 4 cm , B = 7 0 Q i hb

= 2crn .

D . 1 0 0

Construïu un tr iang le del qual cone ixem a = 6 cm , A= 6 0 Q i l a me

d iana m relat iva al costat a , m = Sem . a a

168

D . 1 0 1

Dibu ixeu a escala 1 : 1 0 0 un segment que repre senti una port�

r ia d ' un c amp de f.utbol ( que suposarem que té 7m) . Construïu

la l ínia on han de s ituar- se els fotògra f s , si tots l ' han de

veure sota un angle de 3 5 Q . ..

D . 1 0 2

Comenteu per au è e l s grec s constru ïen e l s tea tres en forme

c ircular .

6 . - A L G U N E S Q Ü E S T I O N S S O B R E P O L Í G O N S

I N S C R I T S C I R C U M S C R I T S

L ' e l ement arqu itec tòn ic que podeu veure a la f igura següent

és la rosassa de la catedral de Val ènc ia .

1 69

E s una f i l igrana arqu itec tòn ica del gòtic català con s t i tuïda

per gran quantitat de f igures geomètr ique s , entre l e s qua l s des­

taquen la c ircumf erènc ia i els pol ígon s .

S i cons iderem nomé s l e s f igure s geomètrique s que més ressal­

ten , obt indrem l ' e squema següent :

Ob serveu que e l s dos triangles equ i làters tenen e l s tres an­

gles insc r i t s a la c ircumferènc ia , és per aque sta raó que hom d iu

que són triangl e s inscrits .

D . 1 0 3

a ) Uniu e l s vèrtex s d ' aquests tr iangl e s . Qu ina f igura heu ob­

t i ngut� b ) Es un pol ígon inscr i t ? Per què ?

c ) El s a l tres pol ígons que e s veuen a la f igura són pol ígons

inscrits?

D . 1 0 4

a ) Intenteu donar la def inic ió de pol ígon inscr i t en una c ir-

1 7 0

cumferènc ia . I l�ustreu- lo amb d iversos exemple s .

b ) D ibuixeu dos pol ígons inscrits en una c ircumferènc ia donada

que no s igu in regulars .

S i deixeu volar la vos tra fanta s i a , podeu imag inar -a partir

de la f igura inicial- d if erents esquemes que u s poden dur a nove s

forme s i a noves trame s que u s permetin desenvolupar la vostra

creat ivitat .

D . 1 0 5

Intenteu determinar diver s e s trames geomè trique s a pa rtir de

les reproducc ions de les x i l�ograf ies , del pintor holandès M .

C . ESCHER , representades a l e s f igure s :

Camí de Vida 1 9 5 8

1 71

D . 1 0 6

Cerc l e l ímit 1 9 5 9

Aga fant c orn a base l a rosassa de l a catedral de Val ènc ia , di bu ixeu due s trame s geomètr ique s i de ixeu ac tuar la vos tra c rea

t ivitat per tal d ' obten i r-ne due s c ompo s i c ions art í s t iques .

Un dels e squemes que e s poden dedu i r a part i r de l ' e l ernent ar

qu itectònic que ens ha s ervit de suport é s :

172

Ob serveu que e l s dos tr iangles i l ' h exàgon que determinen t�

nen e l s costats tangents a la c ircumf erènc ia interior , per aque�

ta raó hom d iu que són pol ígons c ircumscr it s a la c i rcumferènc ia .

D . 1 0 7

D ibu ixeu dos po l í gon s regulars i dos d ' irregulars c ircums­

crits a una c i rcumf erènc ia donada .

Us proposem a continuac ió algunes qüe s t ions relative s a l s p�

l ígon s insc r i t s i c i rcumsc r i t s .

D . 1 0 8

Sabr íeu donar una a l tra definic ió de pol ígon insc r i t ? ! dem

de pol ígon c ircumscrit?

D . 1 0 9

a ) D ibu ixeu una c ircumferènc ia de Sem de radi i construïu un

quadrat inscrit i un de c ircumscrit a aquesta c ircumferèn­

c ia .

b ) Ca lcu leu les long i tuds de ls c o s ta t s i de l e s diagona l s .

e ) Repetiu e l s càlcu l s en e l cas en què el radi s igui de r cm .

D . 1 1 O

a ) Cons tru ïu un hexàgon regular inscrit en una c ircumferènc ia

de radi 3 cm .

b ) Calculeu el co stat i l ' apotema .

c ) Repetiu el càlcu l s i el rad i é s de r cm .

D . 1 1 1

Repetiu l ' exerc ici anterior per a un hexàgon c ircumscrit .

D . 1 1 2

a ) Construïu un triangle equ i làter inscrit en una c ircumferèn-

1 73

c ia de 4cm de rad i .

b ) Calcu l eu e l costat i l ' a l tura en func ió del radi .

c ) Repe tiu e l cà lcul s i e l radi é s de r cm .

d ) Re�etiu tots e l s apartats anteriors per a un triang l e equi­

làter c ircumsc r i t .

QUADRILÀTER INSCRIPTIBLE

Anomenarem quadr ilàter inscript ibl e a un quadri l àter que pot

ser in scrit en una c i rcumferènc ia .

Tot segu i t , in tentarem e sbr inar qu i na cond i c ió ha de ten i r

u n quad r i l à ter pe rqu è s ig u i i n s c r ip t ib l e .

D . 1 1 3

a ) Det e rmineu , f e n t s e rv i r un transportador d ' an g l e s , l e s me s�

res del s ang l e s dels quadr ilàters de l e s f igure s següent s :

A

( D

F i g. l F i g . 2

174

b ) Di spo seu e l s re sul tats a la taula següent :

f ig . 1

f ig . 2

A

A A A

C B A

D

qu ina relac i6 h i ha entre A i ê ; i entre B i D?

D . 1 1 4

Recordant la relació entre la me sura d ' un angle inscrit i

la de l ' arc que abracen e l s s eu s costat s , dedu ïu , en general ,

la relac i6 trobada a l ' exerc i c i anterior .

Aix i donc s , hem deduït que un quadr ilàter inscriptible convex

té e l s ang l e s oposats suplementar i s .

Comprovem s i la prop ietat rec iproc a é s també c erta .

D . 1 1 5

Cons ide reu un quadri l àter ABCD que t ingu i e l s angles opo­

sats suplementar i s , demo streu que és inscriptib l e .

SUGGERIMENT . Recordeu la c onstruc c i6 de l ' arc capa ç .

Re sumint , podem enunc iar que la c ondic i6 perquè un quadr ilà­

ter s igu i inscriptible é s que els seus angles oposats s igu in su­

plementaris .

D . 1 1 6

Con s idereu un quadr ilàter ABCD . Compl eteu l e s dade s següents

perquè s igu i inscriptible .

1 r A=6 ºº B= 1 0 0 º 2 n A= 7 ü º B = 2A

175

D . 1 1 7

a ) Donat e l quadrilàter ABCD de la f igura tal , que la d iagonal

AC és un diàmetre . Raoneu perquè B=D= 9 0 Q i A+ê= 1 8 0Q

b ) E s cont inuarà ver if icant aquesta c ondic ió s i e l punt D e s

mou sobre la c ircumf erènc ia?

B D . 1 1 8

a ) Con struïu un quadr ilàter ABCD tal , que AB= 4 cm , A= 6 0 Q , B = 8 0 Q

i ê = 1 2 0 Q . A

b ) Calculeu la mesura de l ' angle D .

e ) Aque st quadr i là ter é s inscr ipt ib l e ? En cas a f i rmatiu c ons­

truïu la c i rcumf erènc ia c i rcumscr ita i expl iqueu e l proced!

ment empra t .

D . 1 1 9

L ' angl e que formen l e s tangents el evade s des d ' un punt P e�

terior a una c ircumferènc ia és de 6 0 9 i la d i s tànc ia entre el s

punts de tangènc ia é s de Sem .

a ) Trobeu e l s valors de l s 4 angles indicats a la f igura .

b ) Calculeu CP , OC i e l radi .

e ) El quadr ilàter AOBP é s inscriptible?

176

En cas a f i rmat iu , quin seria e l c entre O de la c ircumfe rèn­

c ia c ircumscr ita?

Dibu ixeu-la .

D . 1 2 0

D . 1 2 1

S i ABCD é s un quadr i là ter c ircumscrit proveu que

AB + DC = BC + AD

D

A C

B

Ana l itzeu , s i podeu dedu i r e l valor de l s costats de sconegu t s

en cadas cuna de l e s f igures s egüents .

?

177

E . L E S E S C O L E S D ' A T E N E S

A mitj an segle V a . C . , l e s escoles s ' havien mul t ipl icat , pe­

rò f inalrnent el c entre cultura l del món grec va formar-se a Ate­

nes , d ' on no es va desp l açar f in s que va pa ssar a Alexandr ia . Amb

l ' Acadèmia de Plató i e l L i c eu d ' Ar i s tòti l va c anviar el c oncep­

te de la c iènc ia , que va e s devenir el re sultat d ' un e s forç orga­

n itzat de col.laborac ió .

La primera fou fundada per P la tó l ' any 3 8 7 a . C . i func ionà d�

rant nou segle s , f in s que Justinià ( VI a . C . ) va dec retar e l tan­

cament de l e s e scoles pagane s . Ari stòt i l hi va a s s i stir qua s i du

rant 2 0 anys , però en morir Plató ( 3 4 8 ) se ' n va al lunya r per

c reure que es tendia a desviar la f i losof ia cap a la Matemàtica .

Quan retornà a Atene s va instal·lar l a seva e scola en e l L ic eu i

la va dirig ir durant 1 2 anys .

Ari s tòtil va c rear una nova c iènc ia : l a l ògica , amb la qua l

vol ia determinar la validesa dels raonaments per tal d ' arribar

al coneixement de la rea l i tat . Però corn a home de c iènc ia va des

tacar pr inc ipa lment per les seves inves tigac ions en B iologia .

Corn a matemàtic s podem c itar a Eudem de Rode s i a Èudox de

Cnido s .

Eudern de Rode s ( segle IV a . C . ) , del qua l j a hem pa rlat a l p�

r íode de la Magna Grèc ia, -quan c itàvem una propo s ic ió que en la

seva " H i s tòria de la Geometria '' atribu e ix a l s p itagòrics- fou

de ixeb l e d ' Ar i stòti l . De la seva obra només s e ' n conserven alguns

fragments i té un interè s e special el dedicat a la . quadratura de

l e s lúnules d ' H ipòc rate s de Qu ios perquè té gran importànc ia his­

tòrica , ja que van ser l e s primeres f igure s corbes l ' àrea de l e s

qual s e s v a calcular exactament .

Èudox de Cnidos ( 4 0 8 - 3 5 5 a . C . ) fou de ixebl e de Plató i e s de

dicà a l ' ensenyament a Atene s . Corn a matemàtic l i devem una teo

ria de les proporc ions i una teoria del segment aur i .

179

180

A l a pàg ina anter ior hi ha una reproducc ió del fresc de " l ' Es

cola d ' Atene s " amb e l qual e l p intor Rafael va decorar una de l e s

paret s d e la S a l a d e la S ignatura· ( 1 5 0 8 - 1 1 ) d e l Vat icà .

" L ' Escola d ' Atene s " mos tra una reunió del s grans pensador s , .

poetes i home s de c iènc ia de l ' antiga Grèc ia .

Les due s f igure s centra l s són :

- Plató ( amb l e s fac c ions de Leonard de Vinc i )

- Ari stòt i l

embrancats en una di scu s s ió f i losòf ica .

Pl ató avança amb l ' índex senya lant e l cel , é s a dir e l món

de l e s idees i Ar i stòt i l dirig e ix la mà c ap endavant , entre el

cel i la terra , com si volgués opo sar a la visió idea l i sta de Pla

tó una v i s ió mé s rea l i sta .

Una mica cap a l ' esquerra h i ha :

- Socràte s - f i lòsof grec (l'l..4 7 0 - 3 9 9 a . C . ) - mes tre de Pl ató ,

e stà de per f i l enumerant e l s seu s arguments .

A pr imer pla , gai rebé en e l centre :

- Heràc l it (�5 4 4 - �4 8 3 a . C . ) , amb l e s facc ions de Miquel Ange l ,

té el cap reco l zat a la mà .

A la dreta :

- Euc l ides (A-3 0 0 a . C . ) , amb les fac c ions de Bramante ( arqui­

tecte que va c oncebre la ba s í l ic a de Sant Pere ) , està inc l i

nat , f en t un dibuix geomètric amb compà s .

E s de remarcar que Ra fael va s i tuar a l ' e squerra el s " pensa­

dor s " entre els qua l s hi col·locà a Mique l Ange l , mentre a la dre

ta h i c o l·locà e l s a s trònoms , geòmetres i matemàtic s entre e l s

qua l s s ' h i s i tuà e l l ma teix . És e n e l grup d e més a l a dreta , amb

Z oroa stre ( a s trònom àrab ) que porta una e s f era c e l e ste , el geògra f

Ptolomeu , e l qua l porta un globus terraqui i amb e l pintor I l Sodoma

181

A P E N D I X

En aqu e s t apèndix , hem apl egat a l gune s noc ion s b à s iqu e s geo­

mè t r iqu e s e l cone ixement de l e s qua l s és ind i spensab l e per a po­

der abordar e l mate r ia l d ' aqu e s t l l ibre .

I . - C O N G R U È N C I A D E T R I A N G L E S

Ob s e rveu a tentament l e s du e s l àmines segü e n t s del p intor ho­

ladès M . C . ESCHE R :

1 82

Haureu remarcat que tots e l s cava l lers de la pr imera i tots

els àngel s i dimonis de la segona s6n idènt ic s en forma i grand� ria . S i en reta l l é s s iu un , podríeu fer-lo c oinc idir exac tament

amb e l s a l tres , é s a dir , superposats coincidirien , i per tant ,

cada punt d ' una figura té un punt c orre sponent a l ' al tra .

Aquestes f igure s hom diu que s6n congruents o , f ent un abú s

- de l lenguatge , igua l s .

Tanmateix , podeu comprovar que e l s cava l l er s blanc s , malgrat

183

ser c ongruents amb e l s negre s , ho són d ' una manera diferent que

entre e l l s . F ixeu-vos que són diferents d ' una manera ben bà s ica ,

perquè per fer c o inc idir un de b lanc amb un de negre , hauríem de

reta l l ar-lo i donar- l i la vol ta .

E l s b lanc s són f igure s congruents directe s , i un de blanc i

un de negre , f igure s congruents inver se s .

1 . - CONGRU�NCIA DE TRIANGLES

En pa rticu lar , s i ten im dos triangles congruent s , per exem­

ple e l s de la f igura

C F

D E

i ·e l s fem coincidir , t indrem que cada vèrtex d ' un c o incidirà amb

un vèrtex de l ' a ltre , en e l nostre cas : A amb P , B amb F i C amb

E ; i é s clar que e s compl irà :

AC = DF AB = DE BC = EF

i "' l\ A l\ A /\ A = D B = E C = F

Aix í podem donar la def inic ió següent :

DEF INICIO : Dos triangles s ón c ongruents ( igua l s ) , s i h i ha una c o�

re spondènc ia entre e l s seus vè�tex s de manera que e l s

costats corresponents i el s angles corre sponents són

igual s .

1 84

2 . - CRITERI S D ' IGUALTAT DE TRIANGLES

Si material i t z em un tr iang le amb tres t i res de cartró , ob se�

vern que s ' obté una forma r íg ida , la qua l cosa no passa s i mate­

r ia l itzem un quadri làte r .

l l

i l l l

Es c lar, que a ixò s ign if ica que s i tenim e l s costats d ' un t r i

angl e igua l s a l s d ' un altre triangl e , e l s dos triangles són con­

gruent s .

Noteu , donc s , que en aquest cas considerant nomé s tre s de l s

s i s e l ements d ' un t r iangle , hem aconsegu i t determinar la igua l­

tat dels do s t r iangl es .

Ens podr íem preguntar , s i h i ha d ' a l tres terne s de tres ele­

ments c omprovant la igua l ta t dels qual s e s pugu i deduir la d e l s

tr iangles .

a ) Primer criteri d ' igua l tat :

S i dos triangles tenen e l s tre s costats igua l s , són c ongruent s .

Mal grat semblar un fet ben evident , no podem provar-lo a par­

t ir de la nos tra def inic ió de triangles congruents i per a ixò

l ' acceptarem c om a c erta , és el que s ' anomena prendre-ho c orn

un po s tulat .

CONSTRUCCIÓ . La c onst ruc c ió d ' un triangle cone ixent e l s tres

1 85

c o s tat s , e s fa seguint e l proc é s indicat a la f igura :

\ \

\ \ \C \

\ \

\

a

b

C

l l

b l l l l l

o

o

Els altres c r iteris que també prendrem com a pos tulats són :

b ) Segon c r iteri d ' igua l ta t :

S i do s tr iang l e s tenen igua l s dos costats i l ' angle que for­

men , són igua l s .

CONSTRUCC IÓ . La construc c ió corre sponent é s :

a

b

o o c ) Terce r c r iteri d ' igua l tat :

186

S i dos tr iang l e s tenen igua l s un costat i e l s dos angles con

tigu s , són igual s .

CONSTRUCCIÓ . La construc c ió c orresponent é s :

B

a

1 1 . - M E D I A T R I U B I S E C T R I U

1 . - MEDIATRIU D ' UN SEGMENT

a

a

Mediatriu d ' un segment é s la recta perpendicular al s egment

en el punt mit j à .

CONSTRUCCIÓ . La cons truc c ió de la mediatriu d ' un segment ve

ind icada a la f igura :

p p

A 8 A B

p'

187

Aquesta construcc i ó e s j u s t i f ica util itzan t la congruènc ia

de triangle s .

Demo s trarem que s i :

H ipòte s i :

Conc lu s ió :

Demo strac ió

6 L::,,. 1 . - APP ' =BPP '

_.....,__ -2 . - APE=EPB

..6 � 3 . - APE�BPE

,........ ,,.-...... 4 . - AEP=BEP

............ -

AP=BP i AP ' =BP '

la recta PP ' é s la med ia triu del s egment AB ; és

a dir , PP ' é s perpendicular a AB i E é s e l punt

mit j à .

l p

Ju s t i f icac ió

Per teni r e l s tres costats

igua l s :

- AP=BP i AP ' =B P ' ' per h ipòte s i

- PP ' é s comú

5 . - AEP i BEP són a ng l e s

rec tes

6 . - AE=BE

intenteu c ompletar l a demo strac ió j us t i f ic ant cada scun dels pa�

sos que no ho e s tan encara .

188

2 . - B ISECTRIU D ' UN ANGLE

B i s ec tr iu d ' un angl e é s la recta que , pa s sant pe l vèrtex , d i

vide ix l ' angle en dues pa rts igua l s .

CONSTRUCC IO . El proc é s de c onstrucc ió ve indicat a la f igura :

p p A p

Aquesta c onstruc c ió e s pot j u s t i f icar util itzant la c ongruè�

c ia de triangl e s .

Demo strarem que s i :

H ipòtes i :

Conclu s ió :

Demo strac ió :

.6. .6 1 . - PBD =PAD

,....... .......... 2 . - BPD =DPA

PA=PB i AD=BD

� � APD=BPD

Ju stif icac ió :

Intenteu j us t i f icar e l s dos pa s so s de la demo strac ió .

189

I I I . - A N G L E S D E C O S T A T S P A R A L . L E L S I

A N G L E S D E C O S T A T S P E R P E N D I C U L A R S

S i tenim due s recte s r i s , ta l lades per una transversal t ,

e s formen vu it angles .

s

E l s ang l e s 1 ' 2 , 7 i 8 s ' anomenen exterior s . " " " "

E l s angles 3 ' 4 ' 5 i 6 s ' anomenen interior s . " "

E l s ang les 1 i 5 " " 2 i 6 " 7 3 i

4 i 8 di rem que són corresponent s . "

- El s angles i 8

2 i 7 direm que són al terns-extern s . " "

- E l s angles 3 i 6 " "

4 i 5 direm que són al terns- interns .

Es pot demos trar, que s i les rectes r i s són paral�eles , e l s

ang l e s corresponents , e l s a l terns -externs i e l s al tern s - interns ,

són igua l s .

A par tir d ' aque sta propietat e s poden dedu ir a l tres ú t i l s

prop ietats .

190

2 . - ANGLES DE COSTATS PARAGLELS

E l s angles de costats paral� e l s són igua l s o suplementaris .

Per demo s trar aque sta propietat , n ' hi ha prou de perl longar el s costats de manera que s ' obtingu in due s rectes para l� e l e s ta

l lade s per una transversal

l l

l l

l

l l

l l

i apl icar la propietat enunc iada aban s .

l l

l

1 91

Podeu demostrar de la mateixa manera que tamb é e s compleix

per a les al tres po s s ibl e s po s ic ion s del s angl e s .

2 . - ANGLES DE COSTATS PERPENDICULARS

El s angles de costats perpendiculars s6n iguals o suplemen­

tari s :

Per demo str�r aques ta prop ieta t c omençarem suposant que e l s

vèrtex s coinc ide ixen .

En aque s t c a s la demos trac i6 é s immediata .

1 92

A mé s a mé s . qua l sevo l cas sempre e s pot redu ir a aqu e s t s i

pel vèrtex d ' un dels ang l e s es dibuixen paral-l e l e s al s costats

de l ' al tre angl e , de manera que si l ' ang l e és agut , el format

per l e s pa ral-l e l e s també , i s i é s ob tús , tamb é ho é s e l de l e s

pa ra l.l e l e s .

1 93

ICE _ UAB _