reve statistic a probab il i dade
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7/21/2019 Reve Statistic a Probab Il i Dade
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Reviso estatstica e
probabilidadeProf. Anderson Almeida Ferreira
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Populao
Populao o conjunto de elementos (indivduos, objetos,etc.) que formam o universo de nosso estudo e que sopassveis de serem observados, sob as mesmas condies.
Num processo de inspeo da qualidade, a populao podeser considerada como o conjunto de todos os itens que saemda linha de produo.
Numa pesquisa de mercado, apopulao o conjunto de possveis
consumidores.
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Amostragem Grande parte das pesquisas cientficas ou de resolues de
problemas de engenharia so feitos por amostragem, ou seja,observamos apenas um subconjunto de elementos dapopulao.
A amostragem particularmente interessante quando: a populao grande ou infinita.
as observaes ou mensuraes tm alto custo.
as medidas exigem testes
destrutivos. necessidade de rapidez, etc.
POPULAO: todos os
possveis consumidores
Amostra: um subconjunto dosconsumidores
inferncia
amostragem
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Populao e Amostra
Populao (ou universo): todos os Nmembros deuma classe ou grupo. Ex.: todos os processos executados numa mquina
durante o perodo que esteve ativa.
Amostra uma parte da populao, denotadapor n. Ex.: todos processos executados pela mquina em
18/03/2006
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Variveis
Normalmente, estamos interessados em certascaractersticas dos objetos de uma populao.Por exemplo:
Nmero de falhas; Espessura de cada parede;
Sexo de um formando;
Idade com que um indivduo se formou
Uma caracterstica pode ser categorizada, comosexo ou tipo de defeito, ou pode ser de naturezanumrica.
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Variveis
Uma varivel qualquer caracterstica que cujo valor podemudar de um objeto para outro da populao.
Ou seja, uma varivel, o nome que se d a um fenmenoque pode ser medido e que varia conforme a medio.
Se no variasse seria uma constantee no teria maiorinteresse para a pesquisa. Normalmente, identificamos as variveis com letras
minsculas do final do alfabeto. Exemplo: x = marca da calculadora de um estudante
y = nmero de defeitos graves em um automvel recentementefabricado z = distncia de frenagem de um automvel sob condies
especficas
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Variveis
Os dados resultam da observao de uma, ou de duas oumais variveis simultaneamente.
Univariadosobservaes sobre uma nica varivel.Exemplos:
Tipo de transmisso (A, M) de cada um dentre 10 automveisrecentemente comprados Vida til (horas) de baterias da marca D colocadas em
determinado uso
Bivariadosobservaes feitas em cada uma de duasvariveis. Exemplo: O par (altura, peso) de cada jogador de basquete de um time.
Multivariadosquando so feitas observaes sobre maisde duas variveis
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Pesquisa Observacional e Experimental
Numapesquisa observacional(ou de levantamento) ascaractersticas de uma populao so levantadas (observadas oumedidas), mas sem manipulao. o caso de um censo demogrfico, pesquisas eleitorais, pesquisas de
mercado, inspeo da qualidade, etc.
Em todos esses casos, se quer ter idia de uma certa populao tal qual ela na natureza ou no processo.
Naspesquisas experimentais, grupos de indivduos (ou animais, ouobjetos) so manipulados para se avaliar o efeito de diferentes
tratamentos. o caso de se verificar o rendimento de um processo qumico para diferentes
temperaturas de reao, as quais so manipuladas de acordo com o interesseprtico.
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Os mtodos no so os mesmos
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Estatstica Descritiva
utilizada quando se deseja simplesmente resumir edescrever caractersticas importantes de dados coletados
Envolve: Coletar dados
Apresentar dados
Caracterizar dados
Finalidade:
Descrever dados
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Estatstica Inferencial
utilizada quando um investigador usa as informaes daamostra para tirar algum tipo de concluso sobre a populao
Envolve: Estimativas
Testes de Hiptese
Finalidade:
Tomar decises sobre caractersticas da populao de uma coleta
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Terminologia
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Varivel Aleatria
Uma varivel aleatria (VA)x em um espao amostralS umafunox: Sque atribui um nmero real acada ponto amostral em S
Ou seja, uma varivel aleatria uma varivel querecebe um valor numrico como resultado de umexperimento.
Ex. Atrasos numa rede, tempo de resposta de um servidor,tempo entre chegadas de clientes em um servidor, nmero
de tweets recebidos por uma conta experimental do Twitter
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Mdia
A mdia amostral Para um conjunto de nmeros x1, x2, x3, ...xn,
Para informar a mdia amostral recomenda-se o usode preciso decimal de um dgito a mais do que a
preciso dosxi. Mdia da populao
= (soma dos N valores da populao)/N
n
x
x
n
i
i 1
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Mas cuidado com Mdia
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Varincia
Considere-se as trs sries de valores abaixo:
possvel notar certa semelhana entre elas?
Aparentemente so conjuntos bem diferentes. Mas todos tm a mesma mdia: 11,25.
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Varincia
Essa observao do distanciamento doselementos em relao mdia chamada de
varincia. Ento, alm da mdia, o pesquisador deve
ficar atento tambm varinciado conjunto
de valores, j que esta complementa acaracterizao do conjunto.
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Clculo da varincia
Para cada elemento, subtraia a mdia doconjunto deste elemento: = =
=
Agora, cada valor representa a distncia do elemento para a mdia doconjunto
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Eleve os valores resultantes ao quadrado:
=
= =
Isso faz com que todas as distncias fiquem positivas e aumenta a influncia deelementos mais distantes da mdia.
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Some os resultados:
1,5625+0,5625+7,5625+5,0625 = 14,75105,0625+76,5625+85,5625+115,5625 = 382,75
0,0625+0,0625+0,0625+0,5625 = 0,75
Isso gera um valor absoluto da varincia acumulada
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Divida pelo nmero de elementos do conjuntomenos 1:
14,75/3 = 4,9166...
382,75/3 = 127,5833...0,75/3 = 0,25
Isso gera a distncia mdia, ou seja, independente do
nmero de elementos no conjunto.Poderia ser nao invs de n-1, mas a varincia de umconjunto com apenas 1 elemento deve serindeterminada.
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Frmula da Varincia
a varincia do conjunto X
representa cada um dos elementos do conjunto X
a mdia do conjunto X
o nmero de elementos do conjunto X
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Desvio-Padro
O desvio-padro uma medida tambmbastante utilizada para analisar conjuntos e
definido simplesmente como a raiz quadradada varincia
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Indices de Disperso
Medem qual a variao de conjunto de dados Intervalo (minmo e mximo)
Variancia da amostra
E os derivados da varincia da amostra:
Desvio Padro, S
COV = Razo da mdia da amostra e o desvio padros / x
Percentis
Especificao de quantas observaes caem nos intervalos
sn
x xii
n2 2
1
1
1
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Sumarizao de DadosDado uma amostra {x1, x2,..., xn} de no
observaes. No caso da mediana,x(i) o i-esimoelemento da listaordenada
4. Mediana
5. Moda: observao com maior
frequncia
6. Varincia da amostra
parsexx
imparsex
nn
n
)(5.0 )2/)1(()2/(
)2/1((
n
i
i xxn
s1
22 )(1
1
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Sumarizao de Dados
Dado uma amostra {x1, x2,..., xn} de noobservaes.
7. Desvio Padro
8. Coeficiente de Variao =
n
i
i xx
n
s
1
2)(
1
1
xs /
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Mediana
Mediana amostral: Valor tal que 50% dos pontos esto abaixo dele
Ordene as observaes em ordem crescente
= ao (n+1)/2esimo valor se n impar
= mdia do (n/2)-esimo e do (n/2+1)-esimovalores, se n par
Divide as observaes em duas partes
x~
x~
x~
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Quartis e Percentis
Quartis: Divide as observaes em 4 partes
O 2 quartil a mediana
Percentis: Divide as observaes em 100 partes
99-esimo percentil separa as 1% maiores observaesdo restante
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Exerccio
O artigo The Pedaling Technique of Elite EnduranceCyclists (Int. J. of Sport Biomechanics, 1991, p.29-53)relatou os dados a seguir sobre a potncia de uma nicaperna de um ciclista em alta carga de trabalho:244 191 160 187 180 176 174 205 211 183 211 180 194 200
Calcule a mdia e a mediana amostral. Suponha que a primeira observao tenha sido 204 em vez de
244. Como a mdia e a mediana seriam afetadas? Calcule uma mdia aparada, eliminando a maior e a menor
observao da amostra O artigo tambm relatou valores sobre a potncia uma nica
perna para uma carga de trabalho baixa. A mdia amostralpara 13 observaes foi 119,8 e a 14 observao foi 159.Qual o valor da mdia para a amostra toda?
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Exerccio
O artigo Oxygen Consumption During FireSuppression: Error of Heart Rate Estimation(Ergonomics, 1991, p. 1469-1474) informou osdados a seguir sobre consumo de oxignio
(mL/kg/min) para uma amostra de 10 bombeirosem uma simulao de supresso de incndio:29,5 49,3 30,6 28,2 28,0 26,3 33,9 29,4 23,5 31,6
Calcule: A amplitude amostral A varincia amostral O desvio padro
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Exerccio
Em uma amostra foram observados os seguintesvalores para uma caracterstica: 116,4 115,9114,6 115,2 115,8
Calcule a mdia amostral e os desvios em relao amdia
Use os desvios calculados para obter a varinciaamostral e o desvio padro amostral
Subtraia 100 de cada observao para obter uma novaamostra de valores transformados. Calcule a varinciaamostral desses valores e a compare a varincia dosdados originais.
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Probabilidade
Probabilidadese refere ao estudo daaleatoriedade e da incerteza
A teoria da probabilidade oferece mtodos dequantificao das chances ou possibilidadesde ocorrncia associadas aos diversosresultados
Experimentoqualquer ao ou processocujo resultado est sujeito a incerteza.
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Espao Amostral
O espao amostral de um experimento,representado por S, o conjunto de todos osresultados possveis desse experimento.
Exemplos: Examinar um fusvel para verificar se funciona
S={N, D}N representa sem defeito e D com defeito
Examinar trs fusveis em sequncia S={NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}
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Exemplo
Dois postos de gasolina esto localizados emuma determinada interseo. Cada um possuiseis bombas. Considere o experimento em
que o nmero de bombas em uso emdeterminada hora do dia determinado paracada posto.
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Exemplo
Se uma bateria de lanterna nova, tipo D, tiveruma voltagem fora de certos limites, serclassificada como falha (F); se a voltagem
estiver dentro dos limites especificados, serclassificada como sucesso (S). Suponha queum experimento consista em testar cada
bateria quando sai de uma da linha demontagem at que seja observado umsucesso.
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Evento
Evento qualquer grupo (subconjunto) deresultados contidos no espao amostral S.
Simplesse possui um nico resultado
Compostose possui mais de um resultado
Quando um experimento realizado,determinado eventoAocorre se o resultado
experimental estiver contido emA.
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Exemplo
Considere um experimento em que cada umde trs veculos que trafeguem em umadeterminada estrada siga ela sada esquerda
(E) ou direita (D) no final da rampa de sada. Alguns eventos compostos:
O evento em que exatamente um dos trs veculos vira direita
O evento em que no mximo um dos veculos vira direita
O evento em que os trs veculos viram na mesmadireo
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Exemplo
Para o exemplo das bombas em uso em cadaum de dois postos
Exemplos de eventos compostos
O evento em que o nmero de bombas em uso omesmo nos dois postos;
O evento em que o nmero total de bombas em uso 4;
O evento em que no mximo uma bomba est em usoem cada posto.
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lgebra de Eventos
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lgebra de Eventos
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lgebra de Eventos
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lgebra de Eventos
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Trs axiomas da probabilidade Dado um experimento e um espao amostral S, o objetivos da
probabilidade atribuir a cada eventoAum nmero P(A),denominado probabilidade do eventoA, quefornecer umamedida precisa da chance de ocorrncia de A.
Para assegura que as atribuies de probabilidades sejam
consistentes, todas as atribuies devem satisfazer os axiomasa seguir:
Para qualquer evento A, P(A) >= 0
P(S) = 1 (Normalizao)
Se A e B so mutuamente exclusivosP (A + B) = P(A) + P(B)
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Exemplo
Representando os seis eventos simplesassociados ao lanamento de um dado de seislados por E1, E2, E3, E4E5e E6.
Se o dado for construdo de tal forma quequalquer um dos trs resultados pares tenha odobro de probabilidade de ocorrer em relao aosmpares, como seria uma atribuio apropriada de
probabilidades a cada evento simples? Qual seria a probabilidade do evento A =
resultado par?
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Tcnicas de contagem
Quando os diversos resultados so igualmenteprovveis, a tarefa de calcular probabilidadesse reduz a contagem. Em particular se N for a
quantidade de resultados de um espaoamostral e N(A) for a quantidade deresultados contidos em um evento A, ento
P(A) = N(A)/N
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Tcnicas de Contagem
Regra do produto Se o primeiro elemento ou objeto de um par
ordenado puder ser selecionado de n1formas e paracada uma das n1formas, o segundo elemento do par
pode se selecionado de n2formas, o nmero de pares n1n2.
Exemplo: Uma famlia se mudou para uma cidade eprecisa dos servios de um obstetra e de um pediatra.
H duas clnicas de fcil acesso e cada uma tem doisobstetras e trs pediatras. De quantas formas a famliapode escolher os dois especialistas na mesma clnica.
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Exemplo
H 10 professores disponveis para correode provas de um determinado curso. Oprimeiro exame consiste em quatro questes
e deseja-se selecionar um professor diferentepara corrigir cada uma (apenas um porquesto). De quantas formas diferentes os
professores podem ser escolhidos para acorreo?
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Combinao
Definio
Dado um conjunto de nobjetos diferentes,qualquer subconjunto no-ordenado de tamanho
k denominado combinao. O nmero decombinaes de tamanho kque podem serformadas a partir de nobjetos representadopor
k
n
)!(!
!
!
,
knk
n
k
P
k
n nk
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Exemplo
Um depsito de uma universidade recebeuuma entrega de 25 impressoras, das quais 10so impressoras a laser e 15 so a jato de
tinta. Se 6 das 25 forem selecionadasaleatoriamente para serem verificadas por umtcnico, qual ser a probabilidade de queexatamente 3 delas sejam a laser?
E a probabilidade de ao menos 3 impressorasa jato de tinta serem selecionadas?
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Probabilidade Condicional
Exemplo Componentes complexos so montados em uma fbrica
que usa duas linhas de montagem diferentes: A e A. A linhaA usa equipamentos mais antigos que A, de forma que mais lenta e um pouco menos confivel. Suponha que emdeterminado dia, a linha A tenha montado 8 componentes,dos quais 2 foram identificados como defeituosos e 6 nodefeituosos, ao passo que a linha A produziu 1 defeituoso e9 no defeituosos.
O gerente de vendas seleciona aleatoriamente 1 dos 18componentes para uma demonstrao.
Antes da demonstrao, qual a probabilidade do componenteselecionado ser na linha A?
Se o componente tiver defeito, qual a probabilidade docomponente selecionado ser na linha A?
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Probabilidade condicional
A probabilidade condicionaltrata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendoocorrido um evento B, ambos do espao amostral S, ou seja, ela calculada sobre oevento B e no em funo o espao amostral S.
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Probabilidade condicional
Exemplo
Uma pesquisa realizada entre 1000
consumidores,registrou que 650 deles trabalham
com cartes de crdito da bandeira MasterCard,
que 550 trabalham com cartes de crdito da
bandeira VISA e que 200 trabalham com cartes
de crdito de ambas as bandeiras. Qual aprobabilidade de ao escolhermos deste grupo
uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser
tambm um dos consumidores que utilizam
cartes de crdito da bandeira MasterCard?
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Probabilidade condicional
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Exerccio
Suponha que, de todos os indivduos quecompram uma determinada cmera digital,60% incluem um carto de memria opcional
na compra, 40% incluem uma pilha extra e30% incluem um carto e uma pilha. Dado queo indivduo selecionado comprou uma pilha
extra, qual a probabilidade de compra deum carto opcional?
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Variveis Aleatrias
Def.: Para um dado espao amostral Sde umexperimento, uma varivel aleatria (va) qualquerregra que associe um valor a cada resultado de S. Emtermos matemticos, uma varivel aleatria umafuno cujo domnio o espao amostral e ocontradomnio um conjunto de nmeros reais.
Exemplo: Quando um estudante tenta acessar umcomputador em um sistema de compartilhamento detempo, toda as portas esto ocupadas (F), caso em que
o aluno no ter sucesso, ou haver ao menos umaporta livre (S), caso em que o estudante conseguiracessar o sistema. Com S= {S, F}, defina uma va X X(S) = 1 X(F)=0
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Variveis aleatrias
Varivel aleatria de Bernoulli Qualquer varivel aleatria cujos nicos valores possveis
so 0 e 1.
Variveis aleatrias discretas, quando os valores
possveis constituem um conjunto finito ou podem serrelacionados em uma sequncia infinita na qual hajaum primeiro elemento, segundo elemento e assim pordiante.
Variveis aleatrias contnuas, quando o seu conjuntode valores possveis consiste em um intervalo completoda reta de nmeros (Reta real).
Di t ib i d b bilid d
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Distribuio de probabilidade paravariveis aleatrias discretas
Exemplo: Seis lotes de componentes esto prontos para
embarque em um fornecedor. O nmero decomponentes com defeito em cada lote mostrado a
seguir:
Seja X o nmero de peas com defeito no lote
selecionado. Sendo os eventos igualmente provveis p(0) = P( X=0 ) =
p(1) = P( X=1 ) =
p(2) = P( X=2 ) =
Lote 1 2 3 4 5 6
Nmero de peas com defeito 0 2 0 1 2 0
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Funo de massa de probabilidade
Def.: A funo distribuio de probabilidade oufuno de massa de probabilidade (fmp ou pmf)de uma va discreta definida para cada nmeroxpor p(x) = P(X=x)=P(todos os sS: X(s)=x).
Exemplo 1:Suponha que visitemos uma lojadurante uma semana e observemos se a prximapessoa a comprar um computador comprar umlaptop ou um desktop.
Se 20% de todos os computadores duranteaquela semana selecionaram um laptop, a fmp deX ser:
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Exemplo 2: Considere um grupo de cincodoadores de sangue potenciais: A, B, C, D e E.Desses apenas A e B possuem O+. Cinco
amostras de sangue, uma de cada indivduo,sero testadas em ordem aleatria at queseja identificado um indivduo O+. Seja va
Y=nmero de testes necessrios paraidentificar um indivduo O+. Ento a fmp de Y:
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PDF (probability distribution function) ou pmf
Seja X o nmero de visitas que cada requisiofaz ao disco
p(X): p(0) = 0.25 p(1) = 0.5 p(2) = 0.25
Funo de Probabilidade de Massa
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2
# visitas ao disco
p(x)
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Histograma
Outra representao grfica equivalente Plota o nmero de vezes que a sada de um experimento
aleatrio foi igual a cada ponto amostral
Ex: se total de requisies ao servidor = 1000
Histograma
0
100
200300
400
500
600
0 1 2
# visitas ao disco
#Requisies
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Distribuies Discretas
Zipf() Comumente usada quando a distribuio altamente
concentrada em poucos valores Popularidade de arquivos em servidores Web/multimdia
90% dos acessos so para 10% dos arquivos Popularidade de palavras na lngua inglesa
Seja i, o elemento que ocupa a i-esima posio no rankingde concentrao
C a constante de normalizao
Zipf: lei das Potncias
,...2,1)( iiCiXP
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Distribuio Zipf Modela popularidade dos remetentes de e-mails
Parmetro de uma distribuio de
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Parmetro de uma distribuio deprobabilidade
No exemplo 1, tnhamos p(0)=0,8 e p(1)=0,2.Em outra loja temos p(0)=0,9 e p(1) = 0,1. Deforma geral, a fmp de qualquer va Bernoulli
pode ser expressa na forma
aqui um parmetrocontrrio
x
x
caso
se
se
xp 1
0
0
1
);(
Funo de distribuio acumulada
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Funo de distribuio acumulada(FDA ou CDF)
A FDA F(x)de uma va discreta X com fmp p(x) definida para cada valor de x po
Para qualquer valor x, F(x) a probabilidadede o valor X observado ser no mximo x.
xyy
ypxXPxF
:
)()()(
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Exemplo: Para a fmp
F(y) para cada valor de {1,2,3,4} :
F(2,7)= F(3,9999)=
y 1 2 3 4
P(y) 0,4 0,3 0,2 0,1
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Valor Esperado
Seja X uma va discreta com conjunto devalores possveis D e fmpp(x). O valoresperado ou valor mdio de X denotado por
E(X) ou x
Qual o valor esperado de uma va Bernoulli X?
Dxx xpxXE )()(
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Distribuio de probabilidade binomial
H diversos experimentos que satisfazem exatamente ouaproximadamente a seguinte lista de requisitos: O experimento consiste em uma sequncia de n experimentos
menores denominados tentativas, onde n estabelecido antes doexperimento.
Cada tentativa pode resultar em um de dois resultados possveis,
chamados de sucesso (S) ou falha (F). As tentativas so independentes, de forma que o resultado de
qualquer tentativa particular no influencia o resultado de qualqueroutra tentativa.
A probabilidade de sucesso constante de uma tentativa para a outra.Denominamos essa probabilidadep.
Um experimento para o qual essas condies so satisfeitas denominado experimento binomial.
Exemplo: A mesma moeda lanada sucessiva eindependentemente n vezes.
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Exerccio
Calcule usando a frmula b(3; 8, 0,6)=
b(5; 8, 0,6)=
P(3 X 5) quando n=8 e p=0,6 P(1 X) quando n=12 e p=0,1
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Exerccio Seja X o nmero de falhas na superfcie de
uma caldeira de um determinado tiposelecionada aleatoriamente, com distribuiode Poisson de parmetro =5. Calcule
P(X8)= P(X=8)=
P(X9)=
P(5 X 8)=
P(5
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E l
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Exemplo
A probabilidade de X ter um valor no intervalo[a, b] a rea contida entre o intervalo e
abaixo da curva da funo de densidade. Ogrfico de f(x) normalmente denominadocurva de densidade.
Funo de distribuio acumulada e
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Funo de distribuio acumulada evalores esperados
A funo de distribuio acumulada F(x) de uma vacontnua X definida para cada nmero x por
a rea abaixo da curva de densidade esquerda de x.
O valor mdio ou esperado de uma va contnua X comfdp f(x)
A varincia de uma va contnua X com fdp f(x) e mdia
x
dyyfxXPxF )()()(
dxxfxXEx )()(
])[()()()( 222 xEdxxfxXVX
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Exemplo
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Exemplo Suponha que o tempo de resposta X em um terminal
de computador on-lineespecfico tenha distribuioexponencial com tempo de resposta esperado igual a 5segundos. Qual a probabilidade de o tempo deresposta ser no mximo 10 segundos?
A probabilidade de o tempo de resposta estar entre 5 e10
865,0135,0111)2,0;10()10(
2,0,5
1
)(
2)10)(2,0(
eeFXP
XE
233,0)1()1(
)2,0;5()2,0;10()105(
12
ee
FFXP
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Intervalos de confiana
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Intervalos de confiana
Estimando a Populao a Partir das Amostras Quo alto so os humanos?
Medir todos nesta sala (amostra) Calcular a mdia da amostra
Assumir que a mdia da populao igual da amostra . Uma estimativa pontual no diz nada sobre o
quanto pode estar prxima de Uma alternativa para apresentar um nico valor
sensato para o parmetro que est sendoestimado calcular e relatar um intervalocompleto de valores plausveis.
x
x
Intervalos de confiana
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Intervalos de confiana
Valor da mdia da amostra apenas umaestimativa da verdadeira mdia da distribuio.
Os limite c1e c2tais que existe uma altaprobabilidade, 1-, que a mdia da populaoest no intervalo (c1,c2):
Pr{ c1< m < c2} =1-
onde o nvel de significncia e
100(1- ) o nvel de confiana
2]Pr[]Pr[ 21
cxcx
I l d C fi
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Intervalos de Confiana
Quo alto Jos? Suponha que a mdia da altura humana seja 1,70 m
Jos mede 1,70 mcerto?
Suponha que 90% dos humanos esto entre 1,55 e 1,90 m
Jos est entre 1,55 e 1,90 m Ento estamos 90% confiantesque Jos est entre 1,55 e
1,90 cm
Estimando os Intervalos de
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Confiana Duas frmulas para intervalo de confiana
Acima de 30 amostras de qualquerdistribuio: distribuio-z
Pequenas amostras de populaesnormalmente distribudas: distribuio-t
Distribuio Z
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Distribuio Z
O intervalo de confiana 100(1-)% da mdiade uma populao normal, quando o valorde e conhecido, dado por
Teorema do limite central: A mdia amostral
de observaes distribudas identicamente eindependentes:
nzx /2/1
)/;(~ nNx
Distribuio-z
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Distribuio-z
Intervalo em cada lado da mdia:
O nvel de significncia pequenopara nveis maiores do intervalo deconfiana.
Existem tabelas para a varivel z!
x z
s
n
1 2n
xxz /
645.12
1.01
z 960.1
205.01
z
Exemplo da Distribuio z
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Exemplo da Distribuio z
35 amostras: 10 16 47 48 74 30 81 42 57 67 7 13 56 44 54 17 60 32 45 2833 60 36 59 73 46 10 40 35 65 34 25 18 48 63
Mdia da amostra = 42,1Desvio padro s= 20,1 n = 35
Calcule o intervalo com 90% de confiana
x
42 1 1 645 20 1
3536 5 47 7. ( . )
.( . , . )
645.12
1.01
z 960.1
205.01
z
x z s
n
12
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Definindo o tamanho da amostra
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Definindo o tamanho da amostra
Quantas observaes n para obter umaacurcia de r% e um nvel de confiana100(1-)%?
r% de acurcia implica em
CI =
nszx
))100/1(),100/1(( rxrx
Distribuio t
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Distribuio t
Frmula quase a mesma:
Usvel para populaes normalmente distribudas!
Mas funciona para pequenas amostras
n-1 indica o grau de liberdade
x ts
nn 1 2 1 ;
Exemplo da Distribuio t
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Exemplo da Distribuio t
10 amostras de chegada de transaes: 148 166 170 191 187 114 168180 177 204
Mdia da amostra = 170.5.Desvio padro s= 25.1, n = 10
Calcule o intervalo de confiana de 90%:
Quanto
x
x t
s
nn
1 2 1 ;
110;2
1.01 t
Exemplo da Distribuio t
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Exemplo da Distribuio t
x
170 5 1 833 25 1
10156 0 185 0. ( . )
.( . , . )
Exemplo da Distribuio t
-
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Exemplo da Distribuio t
10 amostras de chegada de transaes: 148 166 170 191 187 114 168180 177 204
Mdia da amostra = 170.5.Desvio padro s= 25.1, n = 10
Calcule o intervalo de confiana de 90%:
Calcule agora o intervalo de 99% de confiana
x
170 5 1 833 25 1
10156 0 185 0. ( . )
.( . , . )
x t
s
nn
1 2 1 ;
Exemplo da Distribuio t
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Exemplo da Distribuio t
x
170 5 1 833 25 1
10156 0 185 0. ( . )
.( . , . )
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Tomando decises sobre os dados
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experimentais
Por que usamos intervalos de confiana?
Sumarizar o erro na mdia da amostra
Prover elementos para saber se a amostra significativa
Permitir comparaes luz dos erros
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Referncias
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Referncias
Raj Jain. The Art of Computer SystemPerformance Analysis: Techniques forExperimental Design, Measurement, Simulationand Modeling, John Wiley & Sons, Inc., 1991.
Jay L. Devore, PROBABILIDADE E ESTATSTICAPARA ENGENHARIA E CINCIAS. CengageLearning, 2006.
Material didtico do prof. Fabrcio Benevenuto. Material didtico da profa. Jussara Almeida
DCC/UFMG