REVISIÓN DE NÚMEROS

LOS NÚMEROS REALES:

SON AQUELLOS QUE INCLUYEN A LOS NÚMEROS RACIONALES  Y A LOS NÚMEROS IRRACIONALES ,

QUE NO SE PUEDEN EXPRESAR DE MANERA FRACCIONARIA Y TIENEN INFINITAS CIFRAS

DECIMALES NO PERIÓDICAS.LOS NÚMEROS REALES PUEDEN SER DESCRIPTOS Y

CONSTRUIDOS DE VARIAS FORMAS, ALGUNAS SIMPLES Y OTRAS MÁS COMPLEJAS.

ESTE CONJUNTO ES DESIGNADO CON LA LETRA R.CON LOS NÚMEROS REALES PODEMOS

REALIZAR TODAS LAS OPERACIONES, EXCEPTO LA RADICACIÓN DE ÍNDICE PAR Y RADICANDO

NEGATIVO, Y LA DIVISIÓN POR CERO.

CONJUNTO NUMÉRICO

  

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES:

LOS NÚMEROS REALES PUEDEN SER REPRESENTADOS EN LA RECTA CON TANTA APROXIMACIÓN COMO QUERAMOS, PERO

HAY CASOS EN LOS QUE PODEMOS REPRESENTARLOS DE FORMA EXACTA.

Por ejemplo:

 TIPOS DE NÚMEROS REALESUN NÚMERO REAL PUEDE SER UN NÚMERO RACIONAL O UN NÚMERO IRRACIONAL. LOS NÚMEROS RACIONALES SON AQUELLOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO EL COCIENTE DE DOS NÚMEROS ENTEROS, TAL COMO 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, MIENTRAS QUE LOS IRRACIONALES SON TODOS LOS DEMÁS. LOS NÚMEROS RACIONALES TAMBIÉN PUEDEN DESCRIBIRSE COMO AQUELLOS CUYA REPRESENTACIÓN DECIMAL ES EVENTUALMENTE PERIÓDICA, MIENTRAS QUE LOS IRRACIONALES TIENEN UNA EXPANSIÓN DECIMAL APERIÓDICA.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS APERIÓDICOS?

EXISTEN NÚMEROS CON INFINITAS CIFRAS DECIMALES NO PERIÓDICAS.POR EJEMPLO, EL NÚMERO 2 = 1 , 4142... TIENE INFINITAS CIFRAS DECIMALES Y NINGUNA DE ELLAS SE REPITE INDEFINIDAMENTE.A ESTOS NÚMEROS SE LES LLAMA NÚMEROS DECIMALES NO PERIÓDICOS.

EJEMPLOS:1/4 = 0,250000... ES UN NÚMERO RACIONAL PUESTO QUE ES PERIÓDICO A PARTIR DEL TERCER NÚMERO DECIMAL.5/7 = 0,7142857142857142857.... ES RACIONAL Y TIENE UN PERÍODO DE LONGITUD 6 (REPITE 714285). ES IRRACIONAL Y SU EXPANSIÓN DECIMAL ES APERIÓDICA.

Es irracional y su expansión decimal es aperiódica

OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS REALES: EN ALGEBRAICOS Y  TRASCENDENTES. UN NÚMERO ES ALGEBRAICO SI EXISTE UN POLINOMIO DE COEFICIENTES RACIONALES QUE LO TIENE POR RAÍZ Y ES TRASCENDENTE EN CASO CONTRARIO.

EJEMPLOS: 

Un ejemplo de número trascendente es: 

Un ejemplo de número algebraico es:

NOTACIÓN

LOS NÚMEROS REALES SE EXPRESAN CON FRACCIONES DECIMALES QUE TIENEN UNA SECUENCIA INFINITA DE DÍGITOS A LA DERECHA DE LA COMA DECIMAL, COMO

POR EJEMPLO 324, FRECUENTEMENTE TAMBIÉN SE SUB REPRESENTAN CON TRES PUNTOS CONSECUTIVOS

AL FINAL (324,823211247…), LO QUE SIGNIFICA QUE AÚN FALTAN MÁS DÍGITOS DECIMALES.

LOS MATEMÁTICOS USAN EL SÍMBOLO ”R”  PARA REPRESENTAR EL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS

REALES.

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Forman parte del conjunto de los Números Reales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Dicho conjunto lo denotamos por "I".

NÚMEROS IRRACIONALES FAMOSOS

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:3,1415926535897932384626433…El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:2,71828182845904523536028747…

La razón de oro tiene como símbolo la letra griega "phi" o “fi” en honor al escultor griego Fidias. Es un número irracional. Sus primeros dígitos son:1,61803398874989484820...

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:√3: 1,73205080756887729352744634√99: 9,9498743710661995473447982Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las

raíces son irracionales.

HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

APARENTEMENTE HIPASO (UN ESTUDIANTE DE PITÁGORAS) DESCUBRIÓ LOS NÚMEROS IRRACIONALES INTENTANDO ESCRIBIR LA RAÍZ DE 2 EN FORMA DE FRACCIÓN (SE CREE QUE USANDO GEOMETRÍA). PERO EN SU LUGAR DEMOSTRÓ QUE NO SE PUEDE ESCRIBIR COMO FRACCIÓN, ASÍ QUE ES IRRACIONAL.PERO PITÁGORAS NO PODÍA ACEPTAR QUE EXISTIERAN NÚMEROS IRRACIONALES, PORQUE CREÍA QUE TODOS LOS NÚMEROS TIENEN VALORES PERFECTOS. COMO NO PUDO DEMOSTRAR QUE LOS "NÚMEROS IRRACIONALES" DE HIPASO NO EXISTÍAN, ¡TIRARON A HIPASO POR LA BORDA Y SE AHOGÓ!

PROPIEDADES DE

LOS REALES

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad

Operación Definición

Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma Multiplicación

a+b = b+aab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+25(-3) = ( -3)5

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Asociativa Suma Multiplicación

a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc)=(ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado

7+(6+1)=(7+6)+1

-2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Identidad Suma Multiplicación

a + 0 = aa x 1= a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

-11 + 0=-11

17 x 1 = 17

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Inversos Suma Multiplicación

a+(-a)=0

La suma de opuestos es cero.El producto de recíprocos es 1.

15+ (-15) = 0

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Distributiva Multiplicación respecto a la suma y a la resta.

a(b+c) = ab + ac

El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8)=2(x)+2(8)

Propiedad de los opuestos

Que dice Ejemplo

-(-a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo

número.

- ( - 9 ) = 9

(-a)(b)=a(-b)=-(ab)

El producto de reales

con signos diferentes

es negativo.

(-15)(2)=15(-

2)=(15x2)=-30

( - a)( -b) = ab El producto de reales

con signos iguales es positivo.

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a El producto entre un real

y -1 es el opuesto del número real.

-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es

0.

16 x 0 = 0

a x b = 0 entonces

a = 0 ó b = 0

Si un producto

es 0 entonces al menos uno

de sus factores es igual a 0.

(a+b)(a-b) = 0 entonces

a + b = 0 ó a – b = 0

OPERACIONES CON NÚMEROS

REALES

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

•No existen raíces de orden par de números negativos en números reales Aunque existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones están definidas).•La división entre cero no está definida Cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1.

LA RECTA REAL

LA RECTA REAL:A TODO NÚMERO REAL LE CORRESPONDE UN PUNTO DE LA RECTA Y A TODO PUNTO DE LA RECTA UN NÚMERO REAL.

Paula Figueroa Sofía Arias OvejeroSofía IsasmendiEugenia Calabresi Verónica Fernández

INTEGRANTES:

PROFESORA JULIANA ÍSOLA

MATEMÁTICA2°HUMANIDA

DES2011

BIBLIOGRAFÍA: es.wikipedia.org/wiki/Número_real http://www.vitutor.com/di/re/r2.html http://

clubensayos.com/Temas-Variados/Tarea/53402.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-irracionales.html

http://facultad.bayamon.inter.edu/smejias/algebra/conferencias/props.htm