revista de história da matemática para professores, natal
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Revista de História da Matemática para Professores, Natal
(RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
ISSN 2317-9546 EXPEDIENTE Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat) Presidente: Iran Abreu Mendes Vice-Presidente: Marcos Vieira Teixeira Secretário Geral: Carlos Roberto de Moraes 1º Secretário: Lígia Arantes Sad Tesoureiro: Mariana Feiteiro Cavalari Editoras Responsáveis Bernadete Morey Ligia Arantes Sad Comitê editorial Iran de Abreu Mendes Sergio Roberto Nobre Comitê Científico - Iran de Abreu Mendes - Sergio Roberto Nobre - Ubiratan D’Ambrosio (UNIBAN / USP) - Carlos Henrique Gonçalves Dr. (USP-ABC) - Antônio Henrique Pinto Dr. (IFES) - Giselle Costa de Sousa Drª. (UFRN) - Circe Mary Silva da Silva Dynnikov (UFES) - Rosa Sverzut Baroni, Drª (UNESP) - John Andrew Fossa, Dr (UFRN) - Lucieli Maria Trivizoli da Silva Drª (UEM) - Wagner Valente, Dr (USP) - Romélia Mara Alves Souto, Drª (UFSJ) - Tércio Gireli Kill Dr (UFES) - Moysés Gonçalves Siqueira Filho, Dr (UFES) - Antônio Carlos Brolezzi Dr (USP) - Antônio Vicente Marafiotti Garnica (UNESP) ASSESSORIA Projeto gráfico Fabrício Ribeiro
Diagramação Gerson Eugenio
Editorial................................................................................................................................................ 4
Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad
Diálogo com um educador.................................................................................................. 5
Entrevistado: Professor Severino Carlos Gomes
Entrevistador: Valdenise Lopes do Nascimento
Artigo 1: Gelosia: um método de multiplicação medieval.............................. 12
Ana Caroline Frigéri Barboza, Lucieli M. Trivizoli
Artigo 2: A história dos números primos........................................................................ 18
Rafael Bonifácio de Andrade
Artigo 3: Sobre a Matemática Recreativa.................................................................... 29
Chamada para submissão de artigos..................................................................... 37
Ligia Arantes Sad e Bernadete Morey
Caro Leitor,
Em nome da Sociedade Brasileira de História da Matemática –
SBHMat, temos a satisfação de trazer a luz mais um número da Revista de
História da Matemática para Professores (RHMP), referente a 2018.
Infelizmente, o número de 2017 não foi publicado, pelo que pedimos
desculpas aos nossos leitores.
O entrevistado neste número da RHMP na sessão Diálogo com um
educador e o Prof. Dr. Severino Carlos Gomes, professor do Instituto Federal
do Rio Grande do Norte. Ele nos conta sobre sua trajetória acadêmica e
profissional e fala sobre como a História da Matemática se insere em sua
sala de aula.
Os dois textos publicados neste número versam sobre um antigo
algoritmo de multiplicação (Gelosia: um método de multiplicação medieval)
e sobre os números primos (A história dos números primos) podem ser uma
boa leitura para os professores de matemática da escola básica.
Mas há uma novidade: nossa intenção é implementar a publicação
de material de natureza recreativa e histórica. Sendo assim, começamos por
publicar neste número da RHMP um artigo que versa sobre a matemática
recreativa. Com este artigo, queremos iniciar uma série de publicações que
mostrem que a temática de entretenimento na matemática é bastante
antiga. O artigo é rico em referências e esperamos que nossos leitores
aproveitem a oportunidade para ir atrás da matemática divertida!
Renovamos nossa expectativa de que professores com experiências
de sala de aula, relacionadas a História da Matemática, possam valorizar
esta revista e torna-la cada vez mais significativa aos colegas leitores,
aceitando o convite para submeter propostas que sejam pertinentes às
seções das futuras publicações.
Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad
Entrevista com o Prof. Dr. Severino Carlos Gomes (IFRN)
Valdenise Lopes do Nascimento
(UFERSA)
Foto1: Professor Severino Carlos Gomes (IFRN), o entrevistado, a
professora Bernadete Morey (UFRN) e o professor Luis Radford
(Laurentian University)
1 É nosso costume colocar somente a foto do entrevistado. No entanto, o professor
Severino nos disse que tem especial apreço por esta foto e nos pediu que fosse ela a
foto escolhida.
Professor, gostaria que você iniciasse nos falando sobre sua formação
acadêmica.
Concluí o Ensino Médio na antiga Escola Técnica Federal do Rio Grande
do Norte (ETFRN), integrado ao Curso Técnico em Mecânica. A partir da
graduação, toda a minha formação acadêmica foi realizada na
Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Sou Licenciado
em Matemática, com Aperfeiçoamento em Ensino de Matemática e
Especialização em Educação de Jovens e Adultos. Sou Mestre em Ensino
de Ciências Naturais em Matemática e Doutor em Educação.
Em relação a sua atuação profissional, nos fale um pouco sobre sua
trajetória.
Após concluir o Ensino Médio em 1986, dividi meu tempo entre o
trabalho na área de Mecânica Industrial e o curso de Licenciatura em
Matemática. Em 1996 iniciei minha carreira como professor de
Matemática em escolas particulares. Em 1998 ingressei nos quadros da
rede de ensino do município de Natal no estado do Rio Grande do Norte.
Trabalhei em diversas escolas públicas e particulares desta cidade até
2008, ano em que ingressei como docente no IFRN com dedicação
exclusiva. Atualmente, além do tempo dedicado ao ensino no IFRN,
também participo de projetos de Ensino, Pesquisa e Extensão e na
organização e execução de diversos eventos do Campus Natal Zona Norte.
Geralmente, atuo com um número maior de turmas no Ensino Médio
Técnico Regular, o chamado Técnico Integrado, nos cursos de Comércio,
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Eletrônica e Informática para Internet, mas também tenho turmas da
Licenciatura em Informática.
Como você descreveria as relações entre seus estudos e pesquisas e
sua atuação profissional?
Desde o início de meu trabalho como professor tenho me preocupado
constantemente com a aprendizagem matemática dos estudantes. Muito
me preocupa se eles estão realmente aprendendo, estou sempre refletindo
sobre o que posso fazer para auxiliá-los em seus processos de
aprendizagem. Diante desta preocupação decidi ir além da matemática e
procurar alcançar outros conhecimentos que entendo ser fundamentais
nesta profissão. Quando trabalhava na Rede Municipal de Ensino precisei
lecionar em turmas de educação de jovens e adultos sem nunca ter tido
contato ou estudado algo sobre como ensinar nesta modalidade de ensino.
Foi neste momento que decidi me especializar nesta área para aprender
sobre esta modalidade de ensino e seus estudantes e encontrar maneiras
de auxiliá-los em sua aprendizagem matemática. Conhecer como se
aprende Matemática foi uma curiosidade que me levou do mestrado ao
doutorado. Até o início do mestrado em 2008, eu não conhecia nenhuma
teoria sobre como se aprende Matemática e minhas aulas se baseavam no
ensino tradicional da Matemática, uma abordagem mecânica de
memorização de técnicas para resolver problemas. Atualmente procuro
conhecer as diversas tendências da Educação Matemática como por
exemplo, a utilização da História da Matemática no Ensino. Também
procuro estudar sobre teorias contemporâneas de aprendizagem,
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principalmente as que versam sobre o ensino e a aprendizagem da
Matemática.
Na profissão docente, precisamos estar sempre buscando novas
alternativas que nos possibilite desenvolver um trabalho cada vez
melhor. Do que mais você sente falta para desenvolver um bom
trabalho?
O IFRN – Campus Natal Zona Norte, onde estou lotado atualmente,
fornece aos estudantes apoio psicológico, pedagógico e socioeconômico,
além de disponibilizar estudantes monitores em diversas áreas, inclusive
em Matemática. Ainda oferece curso sobre conteúdos matemáticos do
Ensino Fundamental para alunos novatos. Porém, os índices de
reprovação em Matemática no primeiro ano são preocupantes. Para fazer
um bom trabalho com estes estudantes, acredito que precisamos continuar
engajados na busca de novas formas de ensinar e aprender Matemática,
não na perspectiva interna da própria Matemática mas, buscar estratégias
voltadas para a construção de atitudes e valores éticos e fortalecimento
emocional. Do que mais sinto falta para fazer um bom trabalho é de uma
forma de encorajar os estudantes à encarar a Matemática de frente, sem
receio de errar, sem medo de expor-se.
Professor, você mencionou anteriormente o seu interesse pela
História da Matemática. De que forma ela tem estado presente no seu
dia a dia profissional? Você tem planos para o futuro quanto a isto?
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Meu interesse pela História da Matemática iniciou-se no mestrado, onde
desenvolvi trabalhos envolvendo a História da Trigonometria. Tenho
utilizado esses estudos até hoje em minhas aulas de Trigonometria.
Sempre que possível, tento integrar nas minhas aulas o conteúdo
matemático com sua história. No momento, estamos tentando desenvolver
material de História da Matemática baseado em estudos da antiga
Mesopotâmia. Nestes, além de utilizar a História da Matemática, temos
como um dos objetivos principais a utilização de elementos da Teoria da
Objetivação, uma das teorias de aprendizagem que estudamos no
momento. A idéia é produzir atividades de Matemática baseadas em sua
história. Para isto no momento estamos desenvolvendo uma experiência
com a História da antiga Mesopotâmia, voltadas para estudantes do
primeiro ano do Ensino Médio nas aulas de Matemática. Estamos
procurando casar nessas atividades a História da Matemática com os
pressupostos teóricos da Teoria da Objetivação do Conhecimento de Luis
Radford.
Para finalizar, que conselho você daria aos licenciandos, futuros
professores de Matemática?
Ao futuro professor de Matemática, o que tenho a dizer é que procure
sempre conhecer novas alternativas de ensino. Não estude somente
Matemática, procure conhecer sua profissão, procure capacitar-se
continuamente. Não se renda à simples reprodução do conhecimento com
acomodação e desleixo. Não espere que os outros venham valorizar sua
profissão, lembre-se que seu trabalho, sua postura pessoal e profissional
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são suas melhores estratégias de marketing, são ferramentas primordiais
para o seu sucesso futuro.
Obrigada, professor Severino, por sua atenção.
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••• Artigo 1 •••
Gelosia: Um Método de Multiplicação Medieval
Ana Caroline Frigéri Barboza
(UEM)
Lucieli M. Trivizoli
(UEM)
Multiplicação Medieval: Método Gelosia de multiplicação
Acredita-se que o método gelosia de multiplicação tenha se
originado na Índia e se expandido para a Europa. Este método foi muito
utilizado pelos árabes, devido a sua simplicidade e facilidade. Também
fora utilizado por outros povos, como por exemplo, chineses e persas. De
acordo com Reis (1996, p. 82), “dos árabes passou para a Itália nos séculos
XIV e XV e lá o nome gelosia lhe foi associado por causa da semelhança
com os gradeados colocados em frente as janelas em Veneza e em outros
lugares.”.
Segundo o dicionário Dicio, dicionário online de português, a
palavra gelosia significa “Rótula de fasquias de madeira com que se tapa
o vão de uma janela”; “rótula, janela de rótula”. E, complementar, o
dicionário Aulete traz como significado da palavra, “Grade de ripas de
madeira cruzadas no vão de porta ou janela, que permite a quem está no
interior ver o exterior sem ser visto com clareza”; “Rótula”.
Tem-se, ainda, que a palavra gelosia é relacionada à palavra
jealousy, do inglês, em que a tradução significa ciúmes. Esta relação tem
ligações com as definições expostas anteriormente, já que, naquele tempo,
muitos maridos queriam resguardar suas esposas de olhares alheios,
mantendo-as no interior de suas habitações.
Conhecidos a origem do método e o significado da palavra, vamos
expor agora o funcionamento do método e porquê funciona. A
multiplicação por gelosia envolve somas parciais para encontrar a
operação de multiplicação em questão. Vamos tomar como exemplo, a
própria explicação do método abordada na atividade de Swetz (1994).
Seguindo as indicações da atividade “Multiplicação Medieval”,
vamos apresentar os passos a serem seguidos.
➢ Primeiro, vamos construir uma grade composta de células
quadradas. Para esta grade, o número de colunas corresponde ao
número de dígitos em um fator do produto, e o número de linhas
corresponde ao número de dígitos do outro fator. Cada célula
pequena é dividida por uma linha diagonal estendendo da parte
superior direita à inferior esquerda.
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➢ Para encontrar o produto de 372 × 431, o número (372) é escrito
no topo da grade; o outro (431) é escrito no lado direito.
➢ O produto de cada número da linha pelo número da coluna é
calculado e escrito na célula compartilhada pela linha e a coluna
específicas. Os produtos individuais são escritos com seus dígitos
de dezenas acima da linha diagonal e seus dígitos de unidades
abaixo da linha.
➢ Iniciando na parte inferior direita da grade, somamos as entradas ao
longo de cada caminho diagonal dentro da grade. Escrevemos o
resultado das unidades no fim de cada caminho diagonal e levamos
o dígito das dezenas ao caminho acima e procedemos da mesma
maneira em seguida. Quando terminamos de somar, o produto é
então lido ao longo da borda esquerda e inferior da grade: 160.332.
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Em alguns casos as somas encontradas excedem dez unidades,
fazendo com que o dígito da dezena seja levado para a próxima diagonal
e somado com os números que pertencem a ela.
Mas por que este método funciona?
Segundo Zonzini (2015), a explicação deste método se dá pela
decomposição dos fatores a serem multiplicados e somados. Vamos
analisar a multiplicação feita precedentemente, 372 × 431:
Decompondo a multiplicação, temos:
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Podemos verificar que cada uma das multiplicações realizadas
condiz a uma célula da tabela. Realizam-se todas as multiplicações
necessárias e, ao final, efetuam-se as somas parciais.
Ao executar certos procedimentos, é comum meras reproduções
de cálculos sem significados e entendimentos, todavia, é importante
entender o porquê e o que se está fazendo. Ao entender o método, seja ele
qual for, nos apropriamos de saberes que nos proporcionam um
aprendizado com compreensão e raciocínio diante das operações de
cálculos, nesse caso, das operações no que diz respeito às multiplicações.
Considerações
Conhecer e apresentar diversos procedimentos para realizar as
operações pode ser uma estratégia para que os professores possam
dinamizar suas aulas ao mostrar que essas operações matemáticas
surgiram da necessidade de aprimorar os cálculos. Nesse sentido, a
atividade “Multiplicação Medieval” (SWETZ, 1994) traz consigo a
possibilidade de se trabalhar com outro método para o procedimento da
multiplicação, de ver diferentes formas com que diversos povos
desenvolveram procedimentos para lidar com a matemática, e como
podemos nos deparar com soluções e métodos muito originais.
Referências
REIS, Ismael. Fundamentos da Matemática. Volume 6. Editora
Moderna, 1996.
SWETZ, Frank J. Learning Activities from the History of
Mathematics. Portland: J. Weston Walch Publisher, 1994.
16 RHMP, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
ZONZINI, Cleudiana dos Santos Feitoza. Método gelosia: facilitando a
multiplicação. Brasília: Universidade de Brasília, 2015.
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••• Artigo 2 •••
A História dos Números Primos
Rafael Thé Bonifácio de Andrade
(IFRN)
O objetivo deste trabalho é mostrar um pouco da história e da
trajetória dos números primos, com o intuito de conectar a Matemática
teórica com os assuntos cotidianos ensinados em sala de aula.
Este trabalho mostrará um pouco de como os números primos
surgiram, foram construídas e generalizadas normas, lemas, teoremas e
conclusões, nos permitindo ir além do ensinado em sala de aula (como
MMC e MDC) e nos embasando para outros campos como a Teoria dos
Números, Álgebra Abstrata e a Criptografia. Além disso, tentarei reunir
resultados importantes que, geralmente, encontram-se espalhados mas
desempenham papel importante nas áreas correlatas.
Com o intuito de diminuir ou minimizar as distâncias entre teoria
e prática, espero que esse artigo possa servir como fonte de pesquisa de
professores e alunos que se interessem pelo tema ou que, por ventura,
possam vir a se interessar.
A história dos números primos
A nossa história começa na Grécia Antiga. Grandes pensadores
gregos debruçaram-se para formalizar pensamentos sobre assuntos
concretos e abstratos. E, talvez, a construção de maior importância tenha
sido a definição de número, bem como sua representação. A partir desse
conceito, começou-se a formular o conceito dos conjuntos numéricos. Aí
surgiu um grupo de números especiais, que só possuíam dois divisores
naturais (pode-se pensar também como quatro divisores inteiros) e não
podiam ser decompostos com o auxílio de nenhum outro número. A esse
grupo de números deu-se o nome de números primos.
Estudos relatam que a Escola Pitagórica, por volta de 530 a.C.,
estudava a “mística numérica” e já conhecia e estudava o conjunto dos
números primos, mas sem essa nomenclatura. Eles estudavam os números
perfeitos e os números amigáveis. Números perfeitos são números que a
soma dos divisores desse número (com exceção do número) é o próprio
número, como por exemplo o 6 (ao somar os divisores 1, 2 e 3, o resultado
é o próprio 6). Números amigáveis são números que a soma dos divisores
de um é igual ao outro número, como o 220 e o 284 (a soma dos divisores
de 220: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, e a soma dos
divisores de 284: 1+2+4+71+142 = 220). Os pitagóricos referiam-se aos
números primos como números lineares, enquanto os números compostos
eram chamados de números não-lineares, e eram representados por
retângulos, dando a ideia de que os números lineares os formaram.
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Figura 1: representação por retângulos.
Fonte: acervo do autor (2016).
Como pode ser observado no retângulo acima, o mesmo possui 6
pontos colocados em um retângulo, cujos lados são formador por 2 pontos
e 3 pontos (mais tarde chamados de números primos).
Mais tarde, Euclides (por volta de 300 a.C.) trouxe referência aos
números primos no seu livro Os Elementos no que diz respeito a: cálculo
de MDC entre dois números, determinação de números primos menores
que um inteiro dado, e a infinidade de números primos existentes. Os
Elementos são uma coleção de treze livros, dos quais os livros VII, VIII e
IX trazem noções de teoria dos números. É no livro VII que Euclides traz
a definição de números primos “Números primos é todo aquele que só
pode ser medido através da unidade”, ou seja, não pode ser colocado em
função de nenhum outro número (outro divisor) com exceção do 1. No
livro IX, Euclides fala da infinidade de números primos, quando diz
“Números primos são mais do que qualquer quantidade fixada pelos
números primos”, ou seja, não importa o quão grande seja o número primo
(valor fixado), sempre vai existir mais números primos que esse valor.
20 RHMP, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
Assim como Euclides, outro grego também dedicou-se a estudar
os números primos: Erastóstenes de Cirene. Ele foi o primeiro a formular
uma tabela que sintetizasse os números primos, chamado de Crivo de
Erastóstenes (por volta de 200 a.C.), com uma regra bem simples de
eliminação dos números compostos. Essa tabela ainda é utilizada nos dias
de hoje, no ensino fundamental, pela facilidade de produção e de
compreensão. O 1 não é primo, pois não tem outro divisor. Destaca-se o
próximo (2) como primo e, ao passo desse número (de 2 em 2) corta-se os
números (em vermelho) pois serão números múltiplos de 2. Seleciona-se
o próximo não cortado (3) que será primo e corta-se os números de 3 em
3 que serão seus múltiplos. A partir desse momento, verifica-se que
números múltiplos de 3 já foram cortados pelo 2 (como o 6, 12, 18 e os
demais), e começa a surgir a ideia de “múltiplos comuns” e, mais tarde, o
MMC. O procedimento de repete com os próximos números, até o 50
(pois o próximo já seria o 100, e depois do 50 o próximo múltiplo não
consta no Crivo). Feito todo esse procedimento, os números destacados:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
79, 83, 89 e 97 são os números primos (de 0 a 100) e os números
eliminados por serem múltiplos dos destacados serão os números
compostos.
21 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Figura 2: Crivo de Erastóstenes.
Fonte: acervo do autor (2016).
Mas foi somente por volta de 500 d.C. que os números primos
saíram da Grécia e foram sendo estudados em outras partes do mundo. O
romano Boethius, no seu livro De Institutione Arithmetica, que surgiu pela
primeira vez a expressão númerus primus. Durante a Idade Média, esse
livro foi praticamente a única fonte de estudo sobre o tema.
Somente no início do renascimento científico, por volta de 1200
d.C., é que começam as obras árabes e traduções de outras obras, sendo
complementadas pelos estudos hebraicos, hindus e egípcios. Foi nessa
época que surge a principal obra da época: Liber Abacci, livro do
Fibonacci.
Bachet, em 1621, traduziu e publicou o texto original da
“Aritmética de Diofanto”. Através dessa tradução, Pierre de Fermat
desenvolveu algumas conclusões e estudos acerca dos números primos,
algumas sendo de tamanha importância, que deu-lhe o título de “pai da
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teoria dos números moderna”. Uma das conjecturas de Fermat dizia que
todo número na forma 22𝑛 + 1 era primo, ficando os resultados da
expressão conhecidos como “números de Fermat”. Mais tarde, Euler
provou que para n=5, o número de Fermat seria composto, derrubando
então tal conjectura. A partir de então, começou um estudo de vários
matemáticos para mostrar que os demais números de Fermat (com n>5)
também eram compostos.
Fermat escreveu várias conclusões para Mersenne e, em uma
delas, adotou a expressão “números de Mersenne” para todo número
primo na forma 2p - 1 (onde p é um número primo). Mais tarde, Fermat
alavancou um dos mais importantes teoremas da teoria dos números, o
“Pequeno Teorema de Fermat”, que diz que um número primo p, primo
entre si com a, divide o número na forma 𝑎p - 1 − 1.
Após derrubar a conjectura de Fermat, Leonhard Euler dedicou-se
também a estudar os números primos. Após provar a veracidade do
Pequeno Teorema de Fermat, Euler generalizou mais esse teorema: “se a
e m são números naturais maiores do que 1, primos entre si, então 𝑎𝜑(𝑚) −
1 é divisível por m (onde 𝜑 é a função fi de Euler, isto é, 𝜑(𝑚) é a
quantidade de números naturais entre 0 e m – 1 que são primos com m)”.
Apesar de seus estudos por diversos anos, comprovando e derrubando
conclusões, Euler não chegou a lançar nenhum livro de autoria própria.
Por último, no que diz respeito a prova de teoremas, Gauss tentou
provar o teorema de Euclides sobre a infinidade de números primos, dado
um número inteiro n muito grande, com a conclusão: “Indiquemos por 𝐴𝑛
o número de primos abaixo de n. O teorema dos números primos assegura
que 𝐴𝑛 𝐥𝐨𝐠𝑒 𝑛
𝑛se aproxima de 1 conforme n cresce indefinidamente. Em
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outras palavras, 𝐴𝑛
𝑛 , chamada densidade dos primos entre os primeiros n
inteiros, aproxima-se de 1
𝐥𝐨𝐠𝑒 𝑛, tanto mais quanto maior for n”. Essa
conclusão foi tão importante na matemática moderna, que ficou conhecido
como “Teorema dos Números Primos”. Gauss também conjecturou, mais
tarde, a quantidade de números de primos (𝜋(x)) através da expressão
𝜋(𝑥) ≈ ∫1
ln 𝑡𝑑𝑡
𝑥
2.
Legendre (por volta de 1800) estimou que 𝜋(𝑥) ≈1
ln 𝑥−1,08366.
Mas, ao substituir o valor 1,08366 por 1, essa aproximação se equivalia a
de Gauss através do Teorema do Número Primo, segundo a igualdade
𝐥𝐢𝐦𝑥→∞
𝜋(𝑥).ln 𝑥
𝑥= 1.
Os números primos eram estudados, até a idade Moderna, apenas
por razões teóricas. Até surgir a Criptografia. Os números primos são
responsáveis por vários modelos criptográficos. Atualmente, um dos
maiores avanços foi feito por Manindra Agrawal, em 2001, que elaborou
um algoritmo computacional para testar se o número é primo ou
composto, mas não fornece (no caso de ser composto) os divisores, nem
a quantidade deles.
Com ele, já é possível encontrar números primos com até 17 milhões de
algarismos. O maior primo conhecido até hoje é o 257885161 − 1, encontrado
pela Universidade Central do Missouri.
Durante a Idade Moderna, muitos teoremas foram lançados sem
demonstrações, como as funções f(n) = n² - n + 41, que fornece 40
números primos maiores ou iguais a 41, precisando somente adotar n no
intervalo natural [1;40]. Outra função semelhante a esta, é a f(n) = n² - 79n
+ 1601 que apresenta valores primos sempre que n<80. Existe também a
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conjectura dos primos gêmeos, que diz que “existem infinitos pares de
primos do tipo p e p+2”. Essas conjecturas sem demonstrações atraem
muitos matemáticos pelo aspecto financeiro, pois é oferecido dinheiro
(além da fama) a quem conseguir provar tais afirmações. A Eletronic
Frontier Foundation oferece prêmio de 100 mil dólares para quem
encontrar um número de Mersenne com 10 milhões de algarismos, e o
Instituto Clay oferece 8 mil dólares para quem provar (ou refutar) a
hipótese de Riemann.
Números primos no ensino da Matemática atual
Atualmente, os números primos estão em diversas partes dos mais
diversos conteúdos ensinados em sala de aula.
Inicialmente, utilizamos os números primos para o cálculo do
MMC e do MDC (6º ano). Para isso, é necessário que o aluno conheça o
dispositivo prático da decomposição em fatores primos (ou fatoração) e,
antes disso, o aluno precisa conhecer e saber quem são os números primos,
sendo então mostrado e ensinado a construção e utilização do Crivo de
Erastóstenes. Mais tarde essa fatoração servirá para a simplificação de
expressões e frações algébricas.
Já no ano seguinte (7º ano), o aluno compreende a finalidade dos
números primos quando é apresentado às frações. É introduzido o
conceito de primos entre si para frações irredutíveis. Novamente é revisto
o conceito de MDC para a maior simplificação possível das frações e o
MMC para operar frações com adição e subtração de denominadores
diferentes.
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No 8º ano os números primos são novamente reutilizados para
fatorações quando se faz necessário a simplificações de raízes através do
agrupamento de fatores semelhantes para formação de potências. A noção
de irracionalidade para raízes de números primos é introduzida.
Como se pode observar, os números primos são de fundamental
importância para a formação intelectual e matemática dos nossos alunos.
Algumas curiosidades sobre os números primos
Abaixo, uma lista de algumas das curiosidades mais intrigantes
sobre os números primos:
• p = 2 é o único primo que pode ser escrito como nn + n;
• p = 3 é o único primo que p²+2 também é primo;
• Os primeiros 16208 dígitos de 𝜋 formam um número primo;
• p=353535...3535 (4157 dígitos) é o maior primo conhecido
com apenas 2 algarismos;
• A soma dos cem primeiros primos é 1111;
• p = 6173 é primo, e continuará sendo primo mesmo se for
apagado qualquer um dos algarismos;
Referências
HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM,
2011.
MELO, Rafael Pereira de. Números Primos. Publicado em
www.somatematica.com.br, 2015.
26 RHMP, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
PROBST, Roy Wilhelm. Números Primos. Universidade Regional de
Blumenal. Santa Catarina, 2003.
Boyer, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard
Blücher, 1974.
DocumentarioCiencia. [4/10/13] A História dos Números primos –
Documentário 2007. Retirado de: www.youtube.com/watch?v=eHp0cQy
-2S4.
27 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
••• Artigo 3 •••
SOBRE A MATEMÁTICA RECREATIVA algumas contribuições iniciais
Maria da Conceição Alves Bezerra
(UFRN)
Gostaríamos de trazer para esta seção da RHMP alguma
contribuição que falasse do aspecto divertido da matemática. Uma vez que
esperamos que outras contribuições venham a seguir, traremos aqui
apenas algumas notas iniciais do que vamos chamar de Matemática
Recreativa.
Não queremos neste momento nos deter numa definição preciso
do que seria Matemática Recreativa. Dizer que matemática recreativa
seria uma matemática divertida, que entretém, não esclarece nada do
termo.
Trazendo aqui o exposto por em (Bártlová, 2016) sobre o que seria
matemática recreativa, em contraposição ao que seria uma matemática
“séria”, falaremos de quatro aspectos, um tanto sobrepostos, que cobrem
a maioria dos tópicos que poderiam ser rotulados como matemática
recreativa.
1. O aspecto científico-popular - a matemática
recreativa é aquela parte da matemática divertida e
popular. Ou seja, os problemas correspondentes
devem ser compreensíveis para um leigo interessado,
embora as soluções possam ser mais difíceis. Por
matemática recreativa, podemos entender a
abordagem com a qual podemos tornar a matemática
séria compreensível ou, pelo menos, mais palatável.
2. O aspecto divertido - a matemática recreativa é uma
matemática que é usada como um desvio da
matemática séria para a diversão. Por exemplo, um dos
proeminentes matemáticos recreativos
contemporâneos, Ian Stewart, vê o papel da
matemática recreativa precisamente nesse sentido. Ele
está tentando ver a matemática como uma fonte de
inspiração e alegria. Ele frequentemente escreve em
seus livros que a matemática divertida é aquela parte
que não é ensinada na escola. O mesmo ponto de vista
foi defendido por Martin Gardner que, além disso,
acreditava que, mesmo na escola, a matemática
ensinada ali deveria ser divertida até certo ponto.
3. O aspecto pedagógico - a matemática recreativa
pode ser usada para fins de ensino. É visto como uma
grande utilidade pedagógica. Suas partes esteve
presente na mais antiga matemática conhecida e esta
situação continua até os dias atuais.
4. O aspecto histórico - a matemática recreativa
sempre desempenhou um papel muito importante na
história da matemática e foi responsável pela origem
de teorias e conceitos matemáticos inteiros
importantes que não existiriam sem ela.
(BÁRTLOVÁ, 2016, p. 4) (Trad. Nossa)
Bártlová (2016), destaca a Matemática Recreativa como uma área
ideal para trabalhar aspectos históricos e multiculturais da Matemática, e
permite o desenvolvimento da criatividade, o prazer em fazê-la, traz em
jogo emoções e nos faz sentir parte de um trabalho coletivo realizado pela
a humanidade há milhares de anos.
30 RHMP, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
2. Matemáticos e obras que contribuíram para a divulgação da
Matemática Recreativa
Muitos matemáticos ao longo da história dedicaram-se ao estudo
de Recreações Matemáticas, como Leon Battisti Alberti (1404 – 1472),
Luca Pacioli (1445 – 1517), Leonhard Euler (1707 – 1788), Pierre de
Fermat (1601 – 1665), entre outros. Esses matemáticos têm sido citados
em estudos de História da Matemática, sobre alguns problemas
recreativos, por exemplo, o problema proposto por Euler, sobre a
possibilidade de percorrer as sete pontes da cidade de Königsberg, sem
passar pela mesma ponte duas vezes.
Alcuino de York (735 – 804), no século VIII, foi um dos
matemáticos notáveis da sua época. Em 781, foi convidado por Carlos
Magno para ser responsável pela escola do palácio, onde ficou, até 796,
com o cargo de conselheiro educacional. Foi o responsável pela maior
reforma na educação no império Carolíngio.
Alcuino é autor de uma das mais antigas coleção de problemas
de Matemática Recreativa escrito em latim – Propositiones ad Acuendos
Juvenes (Problemas para Estimular os Jovens). “As Propositiones
consistem em 53 problemas de matemática e lógica recreativas, muitos
dos quais têm longa tradição na história da matemática, de origem egípcia,
árabe e europeia” (LOPES, 2017, p. 74).
Luca Pacioli (1445 – 1517), italiano, natural de Borgo di San
Sepolcro (Atual Sansepolcro), província da cidade de Arezzo, na região
da Toscana, na Itália – foi um frei e matemático renascentista do século
XV – escreveu diversas obras, dentre as quais destacamos as mais
importantes: “Summa de Aritmética, Geometria, Proportione et
31 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
Proportionalitá” (1494) (coleção de conhecimentos de Aritmética,
Geometria, proporção e proporcionalidade), mais conhecido por Summa,
e “De Divina Proportioni” (A Divina Proporção) publicada em Veneza
em 1509 – e autor do primeiro manuscrito inteiramente dedicado à
Matemática Recreativa De Viribus Quantitatis.
Embora, Luca Pacioli tenha contribuído de forma significativa
para a Matemática no século XV, pouco se sabe sobre a obra De Viribus
Quantitatis (1496 – 1508), que segundo Hirth (2015), é um dos maiores
compêndio de Matemática Recreativa, no seu contexto histórico. Para o
autor a obra é certamente um marco no que hoje podemos chamar de
Ciência Popular (HIRTH, 2015).
Hirth (2015), realizou um estudo intitulado “Luca Pacioli and his
1500 book De Viribus Quantitatis”, cujo objetivo é fornecer uma melhor
compreensão do conteúdo De Viribus Quantitatis nos seus aspectos mais
recreativos da Matemática. O autor, afirma que a obra é de grande
interesse por seu impacto na Educação Científica e na transmissão da
Ciência.
Para Singmaster (2008), a obra configura-se como um livro de
entretenimento e de temas recreativos. De Viribus Quantitatis significa O
Poder dos Números, é uma coleção de jogos e recreações matemáticas
(recreações aritméticas, problemas geométricos e topológicos, contém
provérbios, poemas, adivinhações e truques de magia). O autor considera
o primeiro trabalho inteiramente dedicado à Matemática Recreativa.
Apresentamos a seguir, outros matemáticos que contribuíram para
a divulgação da Matemática Recreativa. Samuel Loyd (1841 – 1911),
(conhecido como Sam Loyd), americano, criador de enigmas e recreações
32 RHMP, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
matemáticas, aprendeu a jogar xadrez entre 10 anos e 14 anos e teve o seu
primeiro problema de xadrez publicado na New York Saturday Courier,
escreveu problemas de xadrez para a revista Scientific American
Supplement, além de escrever vários quebra-cabeças, por exemplo, 14-15
Puzzle e Get Off the Earth (O’CONNOR; ROBERTSON, 2003).
Yakov Perelman (1882 – 1942), autor russo, publicou obras
recreativas como Física Recreativa; Álgebra Recreativa; Aritmética
Recreativa; Geometria Recreativa; Astronomia Recreativa; Matemática
Recreativa, dentre outras. Na Rússia os livros de Perelman, desde 1913,
alcançaram mais de 300 edições, traduzidos por várias línguas (espanhol,
alemão, francês, inglês, italiano, português, búlgaro, finlandês, dentre
outras) (O’CONNOR; ROBERTSON, 2011).
Martin Gardner (1914 – 2010) foi matemático e escritor americano
de destaque na área da Matemática Recreativa. Durante 25 anos o autor
escreveu para a revista Scientific American, com uma coluna intitulada
Mathematical Games, posteriormente, sendo esses conteúdos editados em
livros. Destacamos algumas de suas obras que apresentam recreações
matemáticas, como Aha! Insight (1978), Aha! Gotcha: Paradoxes to
Puzzle and Delight (1982), Mathematics, Magic and Mystery (1956),
Mathematical Puzzles of Sam Loyd (1959), More Mathematical Puzzles
of Sam Loyd (1960), Entertaining Mathematical Puzzles (1986),
Perplexing Puzzles and Tantalizing Teasers (1988), Puzzles from Other
Worlds (1984), (O’CONNOR: ROBERTSON, 2010).
Em Atlanta, Geórgia (EUA), desde 1993 no mês de março, se
realiza regularmente em honra a Martin Gardner, um encontro sobre
Matemática Recreativa e Magia. Trata-se do Gathering for Gardner
33 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
(G4G), realizado de 2 em 2 anos, (embora existe uma diferença entre o
primeiro e o segundo encontro tenha sido de três anos). A Fundação
Gathering 4 Gardner (G4G)2, tem como objetivo estimular a curiosidade
e o intercâmbio lúdico de ideias e pensamento crítico da Matemática,
magia, ciência, literatura e quebra-cabeças recreativos, com a finalidade
de preservar o legado do escritor Martin Gardner.
A vida de Martin Gardner é celebrada anualmente no dia 21 de
outubro (data do seu aniversário) no mundo, no evento global –
Celebration of Mind3 – o evento é desenvolvido pela Fundação Gathering
for Gardner (G4G) e tem como objetivo reunir pessoas para explorar e
desfrutar de quebra-cabeças, jogos, magia, dentre outras, ou seja, é um
evento para que as pessoas possam conhecer e compartilhar o legado de
Martin Gardner.
Com relação à Matemática Recreativa no Brasil, destacamos Júlio
César de Mello e Souza (1895 – 1974), sob o pseudônimo de Malba
Tahan, nasceu na cidade do Rio de Janeiro no século XIX, foi escritor,
matemático e educador brasileiro, publicou várias obras de divulgação
para a popularização da Matemática, dentre as quais, algumas são
referentes à Matemática Recreativa, como Matemática Divertida e
Curiosa; O Homem que Calculava; Histórias e Fantasias da Matemática;
Dicionário Curioso e Recreativo da Matemática; Matemática Divertida e
Pitoresca; Matemática Divertida e Diferente; Matemática Divertida e
2 http://www.gathering4gardner.org/
3 https://www.celebrationofmind.org/
34 RHMP, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
Delirante; Matemática Recreativa; Didática da Matemática
(SEGANTINI, 2015).
A obra O Homem que calculava foi traduzida para vários idiomas.
É a obra mais popular de Malba Tahan, e traz união entre Matemática e
literatura, além de usar elementos da Matemática Recreativa, com
problemas recreativos inseridos em contos árabes, quebra-cabeças,
curiosidades, desafios e histórias. No Brasil, Malba Tahan é considerado
o principal nome da Matemática Recreativa (SEGANTINI, 2015).
Considerações
Na seção anterior deste artigo discorremos sobre autores e obras
que podem ser vir de fonte para futuros estudos sobre matemática
recreativa. O exposto até aqui de modo nenhum esgota o que poderia ser
dito sobre o assunto. Poder-se-ia falar sobre o valor pedagógico da
matemática recreativa, sobre experiências já aplicadas em sala de aula,
etc. No entanto, sendo este um primeiro artigo sobre o assunto, esperamos
poder voltar em breve com mais matéria sobre o tema ou, ainda melhor,
seria se outros professores e estudantes se aventurassem a ir a uma das
fontes citadas para trazer mais novidades para nós.
Referências
BÁRTLOVÁ, T. History and current state of recreational
mathematics and its relation to serious mathematics. Doctoral thesis.
Charles University in Prague. Faculty of Mathematics and Physics –
Department of Mathematical Analysis. Prague, 2016.
35 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
GARDNER, M. Divertimentos matemáticos. Tradução de Bruno
Mazza. São Paulo: IBRASA, 1998.
HIRTH, T. W. N. S. LUCA PACIOLI AND HIS 1500 BOOK DE
VIRIBUS QUANTITATIS. Dissertação de Mestrado em História e
Filosofia das Ciências. Universidade de Lisboa Faculdade de Ciências –
Secção Autónoma de História e Filosofia da Ciência. Lisboa, 2015.
LOPES, F. J. A. As Propositiones ad Acuendos Juvenes, de Alcuíno de
York – tradução. Revista Brasileira de História da Matemática - Vol. 17
nº 33, p. 73-90, 2017.
O’CONNOR, J; ROBERTSON, E. F. The MacTutor History of
Mathematics archives: Indexes of Biographies: Samuel Loyd. 2003.
O’CONNOR, J; ROBERTSON, E. F. The MacTutor History of
Mathematics archives: Indexes of Biographies: Martin Gardner. 2010.
O’CONNOR, J; ROBERTSON, E. F. The MacTutor History of
Mathematics archives: Indexes of Biographies: Yakov Perelman. 2011.
SEGANTINI, C. Problemas Recreativos na Obra o Homem que
Calculava, de Malba Tahan, e a Resolução de Problemas. Dissertação
de mestrado no Programa de Pós-Graduação em Ensino na Educação
Básica. - Universidade Federal do Espírito Santo, Centro Universitário
Norte do Espírito Santo, 2015.
SINGMASTER, D. De Viribus Quantitatis by Luca Pacioli: The First
Recreational Mathematics Book. In Demaine, E. D. et al (Eds.). A
lifetime of puzzles: a collection of puzzles in honor of Martin
Gardner's 90th birthday (pp. 77-122). Editora A. K. Peters, 2008.
36 RHMP, Natal (RN), Ano 4, n. 1, Mar. 2018
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