rezistenta materialelor

REZISTEN}AMATERIALELORREZISTEN}A

MATERIALELOR

V1

32

P7 P3P4P5P6 P2P1

ni1ni2

ni3ni

Funcia densitiide probabilitate

EDITURALUX LIBRISLUX LIBRIS

1 REZISTENA MATERIALELOR

TRAIAN BOLFACLIN ROCACORNEL BI

REZISTENAMATERIALELOR

BRAOV2011


ISBN 978-973-131-103-6

Recenzeni tiinifici: prof. dr. ing. Ioan Curtuprof. dr. ing. Gheorghe N. Radu

Consilier editorial: prof. dr. ing. Florin AndreescuTehnoredactor: ing. Alexandru MoraruCoperta: dr.ing. Bogdan AndreescuCorectura: autorii

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiBOLFA, TRAIAN Rezistena materialelor / prof. dr. ing. Traian Bolfa, prof. dr. ing.Cornel Bi, prof. dr. ing. Clin Roca ; ed.: prof. dr. ing. FlorinAndreescu. - Braov : Lux Libris, 2011 Bibliogr. IBS N97-N98-181-108-3

. Bi, Cornel. Roca, Clin. Andreescu, Florin 6ed.(

)8N.5)8

2011


PREFA

4erfecionarea acPiviPilor de proiecPare - cercePare devine o preocupare pertanenP,penPru ca cerinele de perfort an, dar i de econot iciPaPe, t odific mnPr-o corelaie conPinut ePodele de calcul, cP i cele de proiecPare.

Lucrarea de fa se adresea aP P inginerilor, care lucrea mn cerceParea,proiecParea i consPrucia sPrucPurilor, c P i proiecPanilor mn fort are i nu mn ulPit ul r ndsPudenilor din mnvt nPul superior Peznic. hn lucrare, se rein nu nut ai aspecPele PeorePicede principiu, ci i t ePodele de calcul cu aplicaie direcP mn proiecPare. CriPeriile de proiecPareurt resc o alegere corecP a t aPerialelor, o sPabilire corecP a dit ensiunilor i a fort eisPrucPurii din puncP de vedere a reisPenei mn exploaPare, a rigidiPii, precut i a sPabiliPii,mn corelare cu reducerea consut urilor specifice i penPru o fiabiliPaPe superioar, la parat ePriPeznici ridicai. 4roblet ele fundat enPale expuse mn lucrare, necesiP soluionarea opPit ,cu luarea mn considerare a cot plexiPii i t ulPiPudinii condiiilor it puse, adesea conPradicPoriidin puncP de vedere PeorePic.

Rezistena materialelor, cot ponenPa t ecanicii corpului solid defort abil, esPe ourt are firesc a t ecanicii corpurilor rigide, consPiPuind baa fort rii mn inginerie, mt bin ndsPudiul PeorePic cu reolvarea de problet e aplicaPive i efecPuarea de lucrri de laboraPor.

Folosirea Peznicii t oderne de calcul pert iPe reolvarea problet elor cu un t arevolut de calcule, mnPr-un Pit p scurP i preciie ridicaP, dar penPru aceasPa problet ele deverificare, dit ensionare, sau calcul a mncrcrilor capabile, Prebuie puse corecP din puncPulde vedere al reisPenei t aPerialelor.

ht binarea infort aiei consPrucPive sau fenot enologice, cu parPea de proiecPareconcrePa, diagrat e, recot andri, prograt e de calcul, dar i cu analiele criPice aleposibiliPilor de sporire a fiabiliPii i capaciPii porPanPe a consPruciilor Peznice, sporePeuPiliPaPea, dar i accesibiliPaPea lucrrii.

Lucrarea sPrucPuraP pe doueci i unu de capiPole, abordea problet aPicasoliciPrilor sit ple i cot puse, calculul defort aiilor i ridicrii nedePert inrilor sPrucPurilor,a problet elor de sPabiliPaPe, a calcului la oboseal, precut i a diverselor problet e specialepriviPoare la cot porParea i calculul sPrucPurilor.

laborarea cursului de Rezistena materialelor, are la baa experiena colecPivuluide reisPena t aPerialelor de la EniversiPaPea din Braov, mn care auPorii s-au fort aP i sefort ea mn conPinuare.

Braov, 20 februarie, 2011 AuPorii

REZISTENA MATERIALELOR

ConPribuia auPorilor la elaborarea lucrrii esPe urt Poarea:

U dr. ing. Traian Bolfa - 73 *

U ing. Clin Roca - 9 *

U ing. Cornel Bi - 9 *


Cuprins

SC5RT ISTORIC AL REZISTENEI MATERIALELOR ..........................

1.INTROD5 CERE

1.1. %biecPul i problet ele reisPenei t aPerialelor..........................................1.2. Tensiuni, defort aii i deplasri.............................................................1.8. poPeele de ba ale ReisPenei t aPerialelor...........................................

2.EFORT5 RI SECIONALE UN BARE I SISTEME DE BARE STATIC

DETERMINATE2.1. OePert inarea eforPurilor secionale......................................................2.2. Relaii difereniale dinPre sarcini i eforPuri................................................2.8. ConsPrucia diagrat elor de eforPuri secionale ....................................2.5. Oiagrat e ale forelor axiale...............................................................2.) . Oiagrat e ale t ot enPului de Porsiune......................................................2.3. Oiagrat e ale forelor PiePoare i ale t ot enPelor mncovoiePoare.................2.9. I isPet e de bare sPaPic dePert inaPe......................................................2.7. Fore concenPraPe t obile........................................................................2.N. Oiagrat e de eforPuri la bare curbe plane.............................................

2.N.1. Relaii difereniale dinPre sarcini i eforPuri la bare curbe..................

3.CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECI5 NILOR PLANE

8.1. DeneraliPi..........................................................................................8.2. Got enPe sPaPice.................................................................................8.8. G ot enPe de inerie................................................................................8.5. Mariaia t ot enPelor de inerie cu Pranslaia axelor....................................8.) . Mariaia t ot enPelor de inerie cu roPaia axelor.........................................8.3. Rae de inerie, elips de inerie...............................................................8.9. G odule de reisPen..............................................................................8.7. Calculul t ot enPelor de inerie...............................................................

.TRACI5 NE - COMPRESI5 NE

5.1. Fora axial, Pensiuni, defort aii..........................................................5.2. Tipuri de problet e.................................................................................5.8. ConPracia Pransversal........................................................................5.5. Bare cu variaie de seciune...............................................................5.) . Calculul barelor verPicale lu nd mn considerare greuPaPea proprie................5.3. 4roblet e sPaPic nedePert inaPe...............................................................

5.3.1. 4iese cu seciune neot ogen......................................................5.3.2. Bar arPiculaP 6mncasPraP( la at bele capePe....................................

12

1)1722

2529272N808187555353

) )) ))9)7)N35353)

929)939770797977


5.3.8. I isPet e de bare paralele i grind de rigidiPaPe foarPe t are................5.3.8.1. I isPet de bare paralele i grind arPiculaP la un capP..............5.3.8.2. I isPet de bare paralele i grind nearPiculaP la capePe.........

5.3.5. I isPet sit ePric de bare arPiculaPe concurenPe...................................5.3.) . I isPet de bare arPiculaPe concurenPe.............................................5.3.3. Tensiuni apruPe mn urt a variaiilor de Pet peraPur...........................5.3.9. Tensiuni apruPe ca urt are a unor it perfeciuni de t onPaV................

5.9. AspecPe ale calculului la cot presiune.....................................................5.9.1. Ruperea........................................................................................5.9.2. I Privirea........................................................................................

5.7. hncercrile de reisPen ale t aPerialelor la Praciune - cot presiune.Curba caracPerisPic.................................................................................5.7.1. DeneraliPi.................................................................................5.7.2. hncercarea de Praciune...............................................................

5.7.2.1. pruvePe. Condiii generale de prelevare a epruvePelor...............5.7.2.2. hncercarea la Praciune............................................................5.7.2.8. Curba caracPerisPic...............................................................5.7.2.5. pruvePe folosiPe penPru mncercarea la Praciune........................5.7.2.) . G aini i dispoiPive de mncercare.............................................5.7.2.3. Consideraii finale...............................................................

5.7.8. Tensiunea adt isibil..................................................................5.7.5. hncercarea de cot presiune............................................................

4.CALC5 L5 L CONVENIONAL AL BARELOR LA FORFECARE

) .1. Tensiuni i defort aii........................................................................) .2. 4roblet e de calcul ale mt binrilor......................................................

) .2.1. Calculul mt binrilor cu uruburi, buloane..........................................) .2.2. Calculul mt binrilor niPuiPe...............................................................) .2.8 Calculul mt binrilor sudaPe..............................................................) .2.5. Calculul mt binrilor mn let n.............................................................

6.ELEMENTE DE TEORIA ELASTICIT II

3.1. DeneraliPi..........................................................................................3.2. I Parea plan de Pensiune........................................................................

3.2.1. OePert inarea Pensiunilor principale i a Pensiunilor Pangeniale.........3.2.2. Cauri parPiculare........................................................................3.2.8. RepreenParea grafic a variaiei Pensiunilor......................................

3.2.8.1. Cercul lui G ozr......................................................................3.2.5. I Parea plan de defort aii..............................................................

3.8. I Parea spaial de Pensiune......................................................................3.8.1. OePert inarea Pensiunilor principale i a Pensiunilor Pangeniale.........3.8.2. RepreenParea grafic a variaiei Pensiunilor. Cercul lui G ozr..........3.8.8. AlPe fort e de exprit are a sPrii spaiale de Pensiune.........................

3.8.8.1. Tensiuni ocPoedrice...............................................................3.8.8.2. Tensor sferic. OeviaPor............................................................

3.8.5. I Parea spaial de defort aii...........................................................

7N7NN0N0N1N2N5N3N3N9

10010010210210810810910710N110111

11911N11N12012212)

1881851851871511511581531531) 21) 81) 81) 51) 5


3.5. Legea generaliaP a lui jooHe...............................................................3.) . xpresia energiei de defort aie.............................................................

3.) .1. xpresia energiei specifice de defort aie....................................3.) .2. xpresia energiei PoPale de defort aie.............................................3.) .8. nergia specific de defort aie t odificaPoare de volut i fort ......

3.3. Relaia dinPre consPanPele elasPice , D i 6relaia de conPinuiPaPe(.........

7.TEORII DE REZISTEN

9.1. DeneraliPi..........................................................................................9.2. Teorii clasice de reisPen................................................................

9.2.1 I Pare spaial de Pensiuni...............................................................9.2.1.1 Teoria Pensiunilor nort ale t axit e...........................................9.2.1.2 Teoria lungirilor specifice t axit e..........................................9.2.1.8 Teoria Pensiunii Pangeniale t axit e.........................................9.2.1.5 Teoria energiei PoPale de defort aie..........................................9.2.1.) Teoria energiei de variaie a fort ei...........................................

9.2.2 I Pare plan de Pensiuni.....................................................................9.2.2.1 Teoria Pensiunilor nort ale t axit e...........................................9.2.2.2 Teoria lungirilor specifice t axit e...........................................9.2.2.8 Teoria Pensiunilor Pangeniale t axit e........................................9.2.2.5 Teoria energiei specifice de defort aie....................................9.2.2.) Teoria energiei de variaie a fort ei...........................................

9.2.8 Teoria sPrilor lit iP de Pensiune a lui G ozr....................................9.8 %bservaii generale.................................................................................

8.TORSI5 NEA

7.1. Torsiunea barelor de seciune circular....................................................7.2. Oefort aia la Porsiune........................................................................7.8. 4roblet e sPaPic nedePert inaPe la Porsiune.............................................7.5. Torsiunea barelor de seciune drepPungziular..........................................7.) . Torsiunea barelor Pubulare cu perei subiri.............................................7.3. Deneraliarea relaiilor de calcul..............................................................

9.TENSI5 NI UN GRINZI DREPTE SOLICITATE LA UNCOVOIERE

N.1. Oefiniii. poPee..................................................................................N.2. Tensiuni la mncovoierea plan pur a barelor drepPe....................................N.8. hncovoierea grinilor neot ogene alcPuiPe din t aPeriale diferiPe.................N.5. ConcenPraPori de Pensiune......................................................................N.) . Fort e raionale de seciune penPru mncovoiere..........................................N.3. hncovoierea oblic.................................................................................N.9. hncovoierea sPr t b.........................................................................N.7. xpresia general a Pensiunii de mncovoiere pur.....................................N.N. hncovoierea sit pl plan........................................................................N.10. I Parea de Pensiune a grinilor drepPe soliciPaPe la mncovoiere sit pl.........N.11. Lunecarea longiPudinal........................................................................

1) )1) N1) N131132138

13719019019019019119219219819819519519)19)19319N

1711751731791N01N8

1N71N720820)203209210210212213217


N.12. Drini de egal reisPen la mncovoiere.............................................N.18. hncovoierea grinilor alcPuiPe din t ai t ulPe t aPeriale sPraPificaPe.........

10.SOLICIT RI COMP5 SE

10.1. DeneraliPi..........................................................................................10.2. I oliciParea cot pus de Pip 6mnPindere sau cot presiune cu mncovoiere(....

10.2.1. Drind dreapP soliciPaP de o for mnclinaP, aplicaP mnPr-un planprincipal cenPral de inerie ...............................................................

10.2.2. Fir sau band mnfuraPe pe un disc i soliciPaPe la Praciune.........10.2.8. Cot presiunea excenPric a barelor de mnlit e t ic..................

10.8. I oliciParea cot pus de Pip -, forfecare cu Porsiune...............................10.5. I oliciParea cot pus de Pip - 6mnPindere, cot presiune cu forfecare,

mncovoiere cu Porsiune(..............................................................................10.5.1. I oliciPri cot puse cu Pensiuni nort ale i Pangeniale la arbori de

seciune circular.................................................................................10.5.2. I oliciPri cot puse cu Pensiuni nort ale i Pangeniale la bare cu

seciune drepPungziular.......................................................................

11.TENSI5 NI UN BARE C5 RBE PLANE

11.1. Consideraii generale........................................................................11.2. Calculul Pensiunilor mn caul barelor curbe soliciPaPe de sarcini coplanare ..11.8. Calculul raei de curbur r penPru diverse fort e uuale de seciuni ale

barelor curbe...........................................................................................

12.DEFORMAIILE LINIAR - ELASTICE ALE BARELOR I

SISTEMELOR DE BARE12.1. Oefort aiile grinilor drepPe soliciPaPe la mncovoiere..................................

12.1.1. DeneraliPi..............................................................................12.1.2. G ePoda analiPic de inPegrare a ecuaiei difereniale a fibrei

t edii defort aPe..................................................................................12.1.8. G ePoda parat ePrilor iniiali........................................................12.1.5. G ePoda grafo-analiPic a grinilor ficPive 6conVugaPe(....................12.1.) . cuaia celor dou roPiri i ecuaia celor dou sgei......................12.1.3. cuaia celor Prei sgei 6ecuaia lui Clapekron(...............................12.1.9. Calculul deplasrilor prin t ePoda suprapunerii de efecPe................12.1.7. Oefort aia grinilor soliciPaPe la mncovoiere oblic sau sPr t b.....12.1.N. nfluena forei PiePoare asupra deplasrilor v6x(............................

12.2. G ePode energePice penPru calculul deplasrilor liniar-elasPice.............12.2.1. DeneraliPi privind t ePodele energePice.........................................12.2.2. xpresiile energiei inPerne mn funcie de eforPuri...............................12.2.8. xpresiile energiei inPerne mn funcie de defort aii...........................12.2.5. Teoret a lui Clapekron.................................................................12.2.) . Teoret a lui CasPigliano................................................................12.2.3. G ePoda G ozr - G axyell..........................................................12.2.9. Regula lui Mereceagzin..............................................................

220222

282282

28828528528N

251

252

255

2) 22) 2

2) )

232232

23)23N29129929727027527327927927927N27N2N02N)2N7


12.2.7. Teoret a lui BePPi 6Teoret a reciprociPii lucrului t ecanic(.........12.2.N. Teoret a lui G axy ell 6Teoret a reciprociPii deplasrilor(............

13.GRINZI I SISTEME DE GRINZI STATIC NEDETERMINATE

18.1. DeneraliPi priviPoare la sisPet ele sPaPic nedePert inaPe.........................18.2. I it ePrie i asit ePrie la sisPet ele sPaPic nedePert inaPe...........................18.8. G ePoda analiPic de inPegrare a ecuaiei difereniale aproxit aPive a

fibrei t edii defort aPe...........................................................................18.5. G ePoda grafo-analiPic........................................................................18.) . G ePoda suprapunerii efecPelor...............................................................18.3. cuaia celor Prei t ot enPe 6Clapekron(.............................................18.9. Drini pe t ediu elasPic........................................................................18.7. Teoret a lui CasPigliano........................................................................18.N. G ePoda eforPurilor................................................................................

18.N.1. cuaiile de condiie ale t ePodei eforPurilor...................................18.N.2. 4rincipalele ePape de calcul cu t ePoda eforPurilor...........................18.N.8. Fort ularea t aPriceal a sisPet ului de ecuaii de condiie............18.N.5. Ridicarea nedePert inrilor grinilor cu brele.............................

18.10. Tensiuni Pert ice mn sisPet e cu dilaPri mt piedicaPe............................

1.STABILITATEA BARELOR FLAMBA(5 LJ

15.1. Consideraii generale............................................................................15.2. Calculul forei criPice de flat baV mn caul unei bare drepPe cot prit aPe.

Relaia lui uler.......................................................................................15.8. Oot eniul de valabiliPaPe al relaiei lui uler.............................................15.5. G ePodica de reolvare a problet elor de flat baV....................................15.) . G ePoda reducerii reisPenei adt isibile de calcul la flat baV......................15.3. Fort e raionale de seciune mn caul barelor cot prit aPe..........................15.9. Flat baVul barelor de seciune variabil...................................................15.7. Flat baVul barelor cot prit aPe excenPric................................................15.N. G ePoda energePic de calcul a sarcinii criPice de flat baV..........................15.10. Flat baVul laPeral al grinilor subiri soliciPaPe la mncovoiere..................15.11. Flat baVul unui inel supus unei presiuni exPerioare unifort e..................15.12. Flat baVul arcurilor elicoidale...............................................................

14.SOLICIT RI DINAMICE

1) .1. Consideraii generale............................................................................1) .2. I oliciPri dinat ice produse de forele de inerie....................................

1) .2.1. Calculul cablului de t acara 6ascensor(......................................1) .2.2. Bar dreapP mn t icare de roPaie unifort ................................1) .2.8. Calculul volanPului........................................................................1) .2.5. Calculul bielei t oPoare..................................................................1) .2.) . Turaia criPic a unui arbore.........................................................

1) .8. I oliciPri dinat ice produse prin aplicarea brusc a sarcinilor 6prin oc(...1) .8.1. I oliciPri prin oc PraPaPe prin legea conservrii energiei...............

801808

80380N

81081181281881982282)82)829827887850

852

8588598) 28) 58) 98) 78) N831838833837

89789789N870871878875873879


1) .8.1.1. I oliciPare de mnPindere cu oc.............................................1) .8.1.2. I oliciPare de cot presiune cu oc........................................

1) .8.1.2.1. I oliciPare de cot presiune cu oc mnPr-o bar, mn cderepe o plac rigid.....................................................................

1) .8.1.8. I oliciPare de mncovoiere cu oc............................................1) .8.1.5. I oliciPare de Porsiune cu oc.................................................1) .8.1.) . I oliciPare cot pus cu oc....................................................1) .8.1.3. I oliciPare cu oc cu at bele solide defort abile..................

1) .8.2. Calculul la oc cu aVuPorul t ulPiplicaPorului dinat ic 6de it pacP(......

16.CALC5 L5 L LA SOLICIT RI VARIABILE

13.1. Consideraii generale........................................................................13.2. Cicluri de soliciPri variabile...............................................................13.8. ReisPena la oboseal........................................................................13.5. Oiagrat e ale reisPenelor la oboseal.............................................13.) . Ruperea prin oboseal........................................................................13.3. FacPorii care influenea reisPena la oboseal...................................

13.3.1. S aPura soliciPrii........................................................................13.3.2. G aPerialul i Peznologia de fabricaie..........................................13.3.8. ConcenPraPorii de Pensiune.........................................................13.3.5. Oit ensiunile piesei...................................................................13.3.) . I Parea suprafeei piesei i PraPat enPele Pert ice, t ecanice i

czit ice aplicaPe...................................................................................13.3.3. Mariaia soliciPrilor...................................................................13.3.9. Tet peraPura............................................................................

13.9. Calculul coeficienPului de siguran la oboseal....................................13.9.1. Calculul coeficienPului de siguran la soliciPri variabile sit ple........13.9.2. Calculul coeficienPului de siguran la soliciPri variabile cot puse...

13.7. Calculul coeficienPului de siguran la regit uri nesPaionare de soliciPri....13.N. ReisPena mn exploaPare........................................................................13.10. G ePodologii de calcul probabilisPic al organelor de t aini soliciPaPe la

oboseal t ecanic...................................................................................13.11. CaracPerul probabilisP al esPit rilor de durabiliPaPe................................13.12. 4roiecParea pe baa duraPei de via....................................................

13.12.1 I Padiile de apariie i devolPare ale fisurilor de oboseal................

17.VASE DE REVOL5 IE C5 PEREI S5 BIRI S5 P5 SE 5 NOR

PRESI5 NI INTERIOARE19.1. Consideraii generale........................................................................19.2. Calculul de reisPen. Calculul Pensiunilor din perePe...........................19.8. fecPe de t argine................................................................................

18.T5 B5 RI C5 PEREI GROI I DISC5 RI UN MICARE DE ROTAIE

17.1. Consideraii generale........................................................................17.2. Caul general al Pubului cu presiune inPerioar i presiune exPerioar.........

879877

87N8N08N18N28N28N8

50050850)50751251)51)51)51)520

52152852852852552352N581

58358N551552

5) 85) 85) 3

531531


17.2.1. Calculul Pubului cu presiune inPerioar..........................................17.2.2 Calculul Pubului cu presiune exPerioar............................................

17.8. Calculul Puburilor frePaPe.......................................................................17.5. Tensiuni mn Puburile cu perei groi daPoriP variaiilor de Pet peraPur.........17.) . Mase sferice cu perei groi...............................................................17.3 Calculul discului de grosit e consPanP mn t icare de roPaie..................17.9. Calculul discului cu lit ea variabil mn PrepPe....................................17.7. Calculul discului de egal reisPen......................................................

19.PL CI PLANE

1N.1. Consideraii generale........................................................................1N.2. Calculul aproxit aPiv al plcilor..............................................................1N.8. hncovoierea plcilor circulare mncrcaPe sit ePric....................................1N.5. hncovoierea plcilor drepPungziulare......................................................

1N.5.1. hncovoierea plcilor drepPungziulare ioPrope..................................1N.5.2. let enPe de calcul mn caul plcilor drepPungziulare orPoPrope..........1N.5.8. hncovoierea cilindric a plcilor drepPungziulare.............................

20.PRINCIPII DE CALC5 L PENTR5 SOLICIT RI UN STADI5 L PLASTIC

20.1. Consideraii generale..........................................................................20.2. Calculul la mnPindere sau cot presiune al barelor drepPe........................20.8. Calculul la Porsiune al barelor drepPe......................................................20.5. Calculul la mncovoiere al barelor drepPe...................................................20.) . Tensiuni i defort aii ret anenPe......................................................20.3. CriPerii de plasPiciPaPe........................................................................20.9. FluaVul t ePalelor. let enPe de reologie.............................................

21.ANALIZA E)PERIMENTAL A TENSI5 NILOR I

DEFORMAIILOR21.1. Consideraii generale........................................................................21.2. Tensot ePria...................................................................................

21.2.1. xPensot ePre t ecanice...............................................................21.2.2. xPensot ePre t ecano-opPice.......................................................21.2.8 Tensot ePre elecPrice.................................................................

21.8. FoPoelasPiciPaPea.................................................................................21.5. G ePoda lacurilor casanPe......................................................................21.) . G ePoda franVelor t oirw........................................................................21.3. G ePoda inPerferot ePriei zolografice......................................................21.9. G ePoda analogiei elecPrice...............................................................21.7. G surarea Pensiunilor ret anenPe......................................................21.N. 4relucrarea sPaPisPic a daPelor experit enPale....................................

Anexe............................................................................................................Bibliografie...................................................................................................

53)53953N59559957057557)

57N57N5N85N75N7)01)05

)07)10)11)15)17)1N)20

)22)22)25)23)29)82)8N)8N)51)51)52)58

)55)31


SC5 RT ISTORIC AL REZISTENEI MATERIALELOR

S ecesiPaPea i dorina de a consPrui au fosP preene Pit purii mn isPoria sociePii ut ane.4enPru aceasPa era nevoie, cziar i mn cele t ai prit iPive fort e, de anut iPe criPerii, reguli cares fac acesPe consPrucii c P t ai durabile, c P t ai frut oase, uPile i uor de exploaPaP. Frmndoial c egipPenii cunoPeau o serie de asPfel de noiuni et pirice legaPe de secrePeleconsPruciilor, fr de care nu ar fi fosP posibil ridicarea unor adevraPe capodopere cut arfi Pet plele, pirat idele, obeliscurile. i grecii s-au dovediP pregPii mn arPa consPruciilor. Arzit ede6279 - 212 m.e.n( oferea la vret ea aceea o serie de noiuni noi legaPe de t ecanica corpurilorsolide cut ar fi condiiile de eczilibru, dePert inarea cenPrelor de greuPaPe, ePc.

Rot anii au inPraP de aset enea mn isPorie drepP t ari consPrucPori. hn urt a lor au rt as,cziar i p n asPi, Pet ple, poduri, drut uri i forPificaii care dovedesc at ple cunoPine dePeznica consPruciilor. MiPruvius, renut iP arziPecP i inginer rot an, a descris mn carPea saArziPecPura o serie de t ePode uPiliaPe mn consPrucii pe vret ea mt praPului AugusPus.

G ulPe dinPre cunoPinele deinuPe de civiliaiile greac i rot an au fosP redescoperiPemn perioada renaPerii. AceasPa a fosP i perioada mn care inPeresul penPru Piin crePea, puPetspune, de la o i la alPa. Leonardo da Minci 615) 2 - 1) 1N(, cea t ai repreenPaPiv figur aacelor vret uri, nu nut ai ca arPisP dar i ca inginer i ot de Piin, definea t ecanica drepPparadisul Piinelor t aPet aPice, frucPul acesPora. I e pare c lui mi aparin prit ele aplicai alesPaPicii mn dePert inarea reisPenei diferiPelor elet enPe uPiliaPe mn sisPet ele inginerePi.

4uin t ai P riu, Dalileo Dalilei 61) 35 -1352( surprindea prin fait oasa carPe Oounoi Piine aspecPe analiPice aeaPe mnPr-un sisPet logic i uPiliaPe mn dit ensionarea unorelet enPe sPrucPurale. ra mncepuPul ReisPenei t aPerialelor. S scuP la 4isa mn 1) 35,descendenP al unei fat ilii de nobili din Florena, Dalileo a sPudiaP t ai mnP i t edicina laEniversiPaPea din 4isa iar apoi i-a mndrepPaP aPenia cPre Piinele t aPet aPice i t ecanic,aPras fiind de opera lui uclid i Arzit ede. hnPreaga acPiviPaPe a lui Dalileo legaP de t ecanicat aPerialelor esPe inclus mn carPea t ai sus at inPiP 6Oou noi Piine(. xperienele saleau mncepuP cu prit ele PesPe de reisPen efecPuaPe pe diverse t aPeriale. 4rin conPribuiilePeorePice i experit enPale pe care e-a adus, Dalileo esPe cunoscuP mn isPorie i drepP prinPelereisPenei t aPerialelor.

Cu o copilrie mn care snPaPea nu l-a aVuPaP prea t ulP, RoberP j ooHe 6138) - 1908(a arPaP PoPui, mnc de la o v rsP fraged, un t are inPeres penPru Vucrii t ecanice i desen.Oei educaia sa a fosP orienPaP la origini pe direcie ut anisP, venind ulPerior mn conPacP cuo serie de oat eni de Piin de la %xford, j ooHe a mndrgiP suficienP de t ulP t ecanicapenPru a i se dedica ei aproape mn mnPregit e. G ulPe dinPre reulPaPele experienelor saleefecPuaPe pe corpuri elasPice au fosP preluaPe i folosiPe t ai P riu.

%riginar din AnPy erp - %landa, fat ilia Bernoulli a fosP nevoiP s prseasc aranaPal 6din t oPive religioase( penPru a se sPabili la sf riPul secolului al "M-lea la Basel.Oin aceasP fat ilie s-au nscuP t aPet aPicieni de excepie ce s-au it pus p n mn ilele


noasPre. Ar fi suficienP s-i at inPit pe Xacob Bernoulli, S iczolas Bernoulli, Xozn Bernoulli,Oaniel Bernoulli, nut e reonanPe ce au aPins, pe l ng t aPet aPic i dot eniile t ecanicii.I pre exet plu, Oaniel Bernoulli a fosP prit ul care a obinuP ecuaia diferenial ce guverneavibraiile laPerale ale unei bare prist aPice.

Leonard uler 61909 - 1978( s-a nscuP PoP mn apropiere de Basel. I Pit ulaP de leciilede t aPet aPic ale lui Xozn Bernoulli, la v rsPa de aispreece ani obinea t asPerul, iar mnainPede a mt plini doueci de ani a publicaP prit a sa lucrare Piinific. G aPet aPician prin excelen.

uler a adus o serie de nouPi i mn reisPena t aPerialelor fiind preocupaP mn prit ulr nd de ecuaiile poiiilor defort aPe ale diverselor elet enPe elasPice supuse aciunii unorsarcini exPerioare. I unP binecunoscuPe sPudiile pe care e-a fcuP mn dot eniul sPabiliPii.Oei mn ulPit a parPe a vieii sale era aproape orb 6mn 198) mi pierduse un oczi iar apoi lacellalP s-a mt bolnviP de caParacP(, dei b nPuiP de t ari greuPi financiare 6oscil nd mnPreAcadet ia de Piine de la I P. 4ePersburg i Acadet ia din 4rusia(, uler a reuiP s scriemnPre 1933 i 1978 pesPe 500 de lucrri Piinifice de t are valoare.

ConPribuii ret arcabile mn dot eniul reisPenei t aPerialelor e-a avuP i S avier 6197)- 1783(. S scuP la OiVon - Frana mnPr-o fat ilie de avocai, a rt as orfan la v rsPa depaispreece ani i mnPreaga sa educaie a fosP conPinuaP apoi de uncziul su, un renut iPinginer france. 4rit a carPe de reisPena t aPerialelor a lui apare mn 1723, ea cuprin ndprincipalele realiri ale acesPui t are cercePPor. S avier s-a sit iP aPras i de parPeaexperit enPal inProduc nd o serie de elet enPe noi mn Peznica consPruciilor de poduri. hn1725 era nut iP t et bru al Acadet iei Francee, iar mn 1780 profesor la cole 4olkPeczniJue.I -a bucuraP de o t are populariPaPe mn r ndul inginerilor francei.

S scuP mnPr-un t ic ora de l ng 4aris, I .O. 4oisson 61971 - 1750( a cunoscuP din plinsrcia i p n la v rsPa de cincispreece ani mnPreaga lui educaie se reducea doar la scris i ciPiP.hn 19N3 a fosP Prit is de uncziul su la FonPainebleau penPru lecii de t aPet aPic. G unca sa acoloa fosP aP P de rodnic mnc P mn 19N7 reuea la exat enul de adt iPere la cole 4olkPeczniJue.Recuper nd mn t od excepional Pit pul pierduP p n la v rsPa de cincispreece ani, a absolviPcoala poliPeznic mn 1700 iar mn 1712 devenea t et bru al Acadet iei Francee. 4rincipalelerealiri ale lui 4oisson mn dot eniul reisPenei t aPerialelor i Peoriei elasPiciPii sunP coninuPe mndou dierPaii publicaPe mn 172N i 1781 i mn cursul su de t ecanic ediPaP mn 1788.

D. Lat w 619N) - 1790( i B.4. . Clapekron 619NN - 1735( au fosP colegi la cole4olkPeczniJue 6anul absolvirii 1717( iar apoi la coala de t ine. Oup absolvirea acesPeia dinurt au fosP recot andai guvernului rus drepP ingineri ce prot iPeau t ulP penPru viiPor. S oulinsPiPuP de drut uri i cot unicaii de la I P. 4ePersburg a fosP puPernic it pulsionaP de preenacelor doi cercePPori. S ut ele lor esPe legaP mn special de o serie de conPribuii aduse consPruiriipodurilor suspendaPe din I P. 4ePersburg. Oup 1781, odaP cu dePeriorarea relaiilor dinPreFrana i Rusia, Lat w i Clapekron s-au mnPors mn Frana conPinu ndu-i aici acPiviPaPea Piinific.Oevin t et bri ai Acadet iei Francee 6Lat w - 1758, Clapekron - 17) 7(.

Barrw de I ainP - MenanP s-a nscuP mn 19N9 la I eine eP G arne. AbiliPaPea sa mnt aPet aPic a fosP evidenP mnc de la o v rsP fraged i riguros supravegzeaP de PaPl suexperP mn econot ie. Oevine sPudenP la aceeai cole 4olkPeczniJue dar, puPernic it plicaP mnevenit enPele poliPice ale anului 1715 6c nd refu s lupPe penPru un uurpaPor( i seinPerice drepPul de a conPinua faculPaPea. I ainP - MenanP esPe declaraP un deerPor. Abiamn 1728 i se pert iPe de guvernul france s conPinue sPudiile la cole 4olkPeczniJue. Oup


absolvire urt ea o carier universiPar, t unca sa favoriP fiind dedicaP Peoriei elasPiciPii.hn 1737 devine t et bru aq Acadet iei Francee i o auPoriPaPe de neconPesPaP mn t ecanicp n la sf riPul vieii sale. ElPit ul su arPicol Cot pPe rendus, era publicaP cu doar paPruile mnainPea t orii sale - 3 ianuarie 1773.

O.X. XuravsHi 61721 - 17N1( a absolviP nsPiPuPul de inginerie penPru drut uri icot unicaii din I P. 4ePersburg mn 1752. Cariera lui XuravsHi a fosP orienPaP pe direciaconsPruciilor de ci feraPe mn Rusia. A fosP pionul principal mn realiarea legPurii dinPre I P.4ePersburg i G oscova. Are conPribuii it porPanPe mn analia Pensiunilor Pangeniale mn grinisoliciPaPe la mncovoiere sit pl. G ulPe dinPre lucrrile sale au fosP Praduse 6mn aceea perioad(mn engle i france fiind cunoscuPe apoi i mnsuiPe mn lut ea Piinific.

S ut ele lui A. !Wzler 6171N - 1N15( esPe legaP direcP de fenot enul de oboseal.S scuP mn j anovra, a prit iP o educaie inginereasc consisPenP la nsPiPuPul 4oliPeznic dinaceeai localiPaPe. Oup absolvire s-a it plicaP direcP mn indusPria consPruciei de locot oPivedin Berlin i mn consPrucia cii feraPe Berlin -j anovra. xperienele sale au consPiPuiP puncPede plecare mn analia unui fenot en ce guvernea organele de t aini aflaPe sub aciuneasoliciPrilor ciclice - oboseala.

hn cele preenPaPe t ai sus at cuPaP s surprindet - fr a inPra mn at nunPe -c Peva secvene bibliografice ale unor oat eni de Piin it plicai mn fascinanPa isPorie areisPenei t aPerialelor. At consideraP uPil acesP lucru penPru c isPoria esPe cea care nepoaPe oferi t odele penPru viiPor. hn acesP sens v recot andt s ciPii plcuPa i aPracPivacarPe a lui I Pepzen 4. Tit oszenHo - sPoria reisPenei t aPerialelor penPru a cunoaPe t aimndeaproape viaa, at biiile, necaurile i idealurile cercePPorilor. At fi PoPui nedrepi dac,pe l ng cei at inPii t ai sus - i care vor fi des mnP lnii mn cursul de fa - nu at pronunat car: G arioPPe 61320 - 1375(, Lagrange 61983 - 1718(, C.A. Coulot b 61983 - 1703(,Daspard G onge 61953 - 1717(, 4onceleP 61977 - 1739(, Tzot as oung 61998 - 172N(,Cauczk 6197N - 17) 9(, G .M. %sProgradsHk 61701 - 1731(, ! . Fairbairn 6197N - 1795(, aPonj odgHinson 6197N - 1731(, Xulius ! eisbacz 61703 - 1791(, F. RedPenbaczer 6170N - 1738(,F. Draszof 61723 - 17N8(, X.A.C. Bresse 61722 - 1778(, . ! inHler 6178) - 1777(, Y.Cult ann 61721 - 1771(, ! .X.G . RanHine 61720 - 1792(, D.D. I PoHes 6171N - 1N08(, D.R.Yirczzoff 61725 - 1779(, Lord Yelvin 61725 - 1N09(, X.C. G axy ell 61781 - 179N(, %. G ozr6178) - 1N17(, F.I . XasinsHk 617) 3 - 17NN(, A. Foppl 617) 5 - 1N25(, S . . XuHovsHi 61759 -1N21(, I ir j orace Lat b 6175N - 1N85(, A. .j . Love 61738 - 1N50( i binemneles pe t uli alii.

La noi mn ar sPrlucii ingineri i profesori s-au preocupaP de dot eniul ReisPeneit aPerialelor. AsPfel Angzel I alignk, on lonescu, lie Radu, Dz. t ilian Filipescu, AurelBele i G izail j angan prin acPiviPaPea lor pracPic, Piinific i didacPic au fosP adevraifuriPori ai Piinei t oderne de calcul i proiecPare a consPruciilor mn ara noasPr conPribuindla mt bogirea coninuPului ReisPenei t aPerialelor ca Piin.

15INTRODUCERE

1 INTRODUCERE

1.1 OBIECTUL I PROBLEMELE REZISTENEI MATERIALELOR

Pentru actualitate i mai ales pentru perspectiv construcia de maini n mod directi prin interveniile i implicaiile n toate sectoarele vieii economice, are o importandeosebit. Deci proiectarea raional, cu o fiabilitate complex ct mai ridicat, constituie opreocupare central, nu numai pentru cei care nva s proiecteze, dar i pentru toi ceicare particip ntr-un fel sau altul la realizarea modernizrilor tehnice.

Rezistena materialelor este o disciplin de cultur tehnic general, care facetrecerea dintre Mecanica teoretic i Organe de maini, propunndu-i s determine sau sverifice pe baz de calcul, dimensiunile pieselor componente ale unui ansamblu pe baza adou criterii aparent contradictorii; - economie de material; - siguran n funcionare subaciunea ncrcrii exterioare.

Uneori, n proiectare, se dovedete economic o subdimensionare a unor repere ichiar ansambluri finite, acest lucru ns trebuie corelat cu nlocuirea lor periodic, dup unanumit interval de timp, n acest caz realizndu-se o construcie ct mai uoar (de exemplun aviaie). Important pentru proiectare i, n general, pentru practic a fost depireaconceptului de siguran absolut n funcionare, garantat firesc de un coeficient de siguransupraunitar (uneori fr semnificaie fizic adecvat).

Construciile mecanice cu durat infinit, aa cum rezult din vecheareprezentare a coeficientului de siguran, de multe ori n domeniile de vrf (industriaaerospaial) nu mai sunt de actualitate n principal datorit supradimensionrii, cu consumexagerat de materiale i energie, cu uzur moral din ce n ce mai rapid. Din acestmotiv proiectarea prin calcul a organelor de maini, a mainilor pe baze probabilisticecapt o argumentare i oblig la cercetri specifice pe un front larg. Calculul clasic seva corela cu noile cerine, astfel nct s conduc treptat la introducerea unor metalecare s evidenieze garantarea funcionrii fr defecte o durat cuprins n timp sauun numr de cicluri, cu o anumit probabilitate.

Cele dou probleme majore ale Rezistenei materialelor sunt:- stabilirea relaiilor de calcul pentru determinarea dimensiunilor transversale

minime ale elementelor de rezisten care s le asigure satisfacerea condiiei de rezisten.- stabilirea relaiilor de calcul ale deplasrilor elementelor de rezisten, produse

de forele aplicate. Cu ajutorul relaiilor deduse se verific dac dimensiunile stabilite dinprima condiie, satisfac condiia a doua, deci cea de rigiditate; n caz contrar dimensiunilese vor determina cu relaiile de calcul ale deplasrilor. Uneori pe lng rezolvarea celordou probleme, este necesar i ndeplinirea condiiei de stabilitate, deci determinarearelaiilor de calcul la stabilirea acelor elemente de rezisten la care forele aplicate ar puteaprovoca fenomenul de pierdere a stabilitii formei iniiale de echilibru.


Rezistena materialelor rezolv, stabilind relaii proprii tipurilor de solicitare, treicategorii de probleme:

- probleme de dimensionare, stabilind dimensiunile optime ale pieselor proiectate;- probleme de verificare, stabilind dac piesele de diferite dimensiuni respect sau

nu, sub aciunea ncrcrii, condiiile de rezisten, rigiditate i stabilitate;- probleme de calcul a sarcinii admisibile, cunoscndu-se n acest caz materialul,

dimensiunile i modul de solicitare.Rezistena materialelor este o tiin inginereasc bazat pe experiene i ncercri.

n cadrul ei se fac o serie de ipoteze simplificatoare, cu scopul reducerii volumului decalcule. Astfel corpurile (piesele) studiate de rezistena materialelor se mpart n trei categorii:

A. Elemente de rezisten care au dimensiunile transversale mici n raport culungimea lor. Din aceast categorie fac parte:

- fibrele, cablurile, funiile i benzile subiri, acestea putnd suporta numai fore dentindere, fiind flexibile.

- barele, care pot suporta att fore de ntindere, ct i fore de compresiune, precumi fore transversale.

Barele pot fi drepte sau curbe, purtnd diferite denumiri n funcie de solicitarea lacare sunt supuse: fire, tije, tirani care rezist la traciune; stlpi care rezist la compresiune,grinzi supuse la ncovoiere, arbori care preiau rsucirea. (fig.1.1)

B. Elemente de rezisten care au dou dimensiuni mari n raport cu a treia (grosimea)(fig.1.2). Din aceast categorie fac parte:

- membranele, care au grosime foarte mic, neglijabil, putnd suporta numai forede ntindere distribuite, tangente la suprafaa median.

- plcile, care au grosimea mic n comparaie cu suprafaa median, dar neneglijabildeci pot prelua att fore tangente la suprafaa median, ct i fore normale pe aceasta. nfigura 1.2 se prezint exemple de plci ca, de exemplu, un rezervor umplut cu lichid degreutate specific [N/m3].

C. Elemente de rezisten care au cele trei dimensiuni principale de acelai ordin demrime (fig.1.3). Din aceast categorie fac parte: fundaia unei maini, blocul motor, bilele

Fig. 1.1

17INTRODUCERE

i rolele rulmenilor, tuburile cu pereigroi, etc.

Clasificarea anterioar, fcut pecriterii pur geome-trice, este valabil ngeneral i pentru determinarea gradului decomplexitate al calculelor de rezisten.Astfel pentru grupa A de care ne ocupmn esen n acest volum, calculele sunt maisimple dect pentru grupele B i C, carefac obiectul volumului doi al acestui curs.

n cursul exploatrii, elementeleunei structuri de rezisten se afl sub

aciunea unor sarcini exterioare, care pot fi fore sau cupluri defore (momente).

Astfel, dup mrimea suprafeei pe care se aplic,sarcinile pot fi (fig.1.4):

sarcini concentrate; sarcini repartizate, uniform sau cu intensitate variabil

n lungul barei, sau pe o suprafa.n figura1.5,a este prezentat o for distribuit, a crei

intensitate este o funcie cunoscut p(x). Rezultanta foreidistribuite se calculeaz cu relaia:

xxpR2

1

x

x

d (1.1)

iar poziia rezultantei este dat de relaia:

,

R

xxpx

x

2

1

x

x

0

d

(1.2)

Intensitatea forei distribuite are dimensiuni de forpe lungime, deci n sistemul de uniti SI, se msoar n N/m. n prezentul curs forele se vor indica n general n N, iarlungimile n mm, aa cum apar ele pe desenele tehnice.

n figura 1.5,b este prezentat o for distribuit pe undomeniu plan W. Rezultanta acestei fore este:

,y,xpR

d (1.3)

iar poziia rezultantei este dat de relaiile:

R

y,xpy

y;R

y,xpx

x 00

dd(1.4)

Fig. 1.2

Fig.1.3

Fig. 1.4

Fig. 1.5


n acest caz, intensitatea forei distribuite (ex.presiunea unui fluid) se msoar n SI n 1N/m2 =1Pa, sau 1N/mm

2 = 106N/m2 = 106Pa = 1MPa.

Dup modul de aciune n timp, sarcinile pot fi:

sarcini statice, care sunt constante ntimp, dup ce au crescut lent de la zero la valoareanominal (fig.1.6,a).

sarcini dinamice, care se aplic cu vitezrelativ mare; sarcinile dinamice pot fi: sarcini aplicate n mod brusc, prin oc (fig.1.6,b); sarcini variabile, acestea putnd fi la rndul lor: sarcini variabile periodic ntre o valoare minimi una maxim (fig.1.6,c), sau sarcini variabile aleatoare (fig.1.6,d).

Solicitrile aleatoare sunt importante ntr-o seriede domenii ale tehnicii, fiind cele mai dificil de modelatmatematic aprnd de exemplu la suspensiileautomobilelor, aviaie, roboi, etc.

O problem important n cazul solicitrilorcu oc o constituie deducerea variaiei forei n timp.

n funcie de cum se poate considerancrcarea, static sau variabil, se va face i calcululde rezisten. Solicitrile statice sunt caracteristiceconstruciilor, pe cnd solicitrile variabile se ntlnescmai ales la organele de maini.

Forele exterioare se mpart dup natura lor n: fore date sau active, denumite i sarcini sauncrcri; fore de legtur, denumite i reaciuni.

Rezistena materialelor, spre deosebire de Mecanica teoretic consider corpul deformabil,drept urmare forele nu se mai pot considera ca nite vectori alunectori, ci trebuie considerateca fiind vectori legai.

1.2 TENSIUNI, DEFORMAII I DEPLASRI

ncrcarea exterioar a corpurilor trebuie limitat, cci dac aceasta depeteanumite valori, corpul solicitat se poate distruge fie prin rupere, fie pot aprea deformaiipermanente foarte mari care l fac impropriu scopului pentru care a fost construit. Stabilireafuncionrii corecte este indisolubil legat de dimensiunile corpului, natura materialului folositi mrimea ncrcrii exterioare.

Folosind metoda seciunilor (imaginare), corpul solid n repaus, ncrcat cu foreexterioare, aflat n echilibru (fig.1.7), se separ n cele dou pri I i II. Pentru echilibrarea

Fig. 1.6

19INTRODUCERE

forelor exterioare situate pe una din cele dou regiunieste necesar ca n seciunea A, s existe eforturiinterioare, repartizate pe suprafaa seciunii, astfel nctstarea de ncrcare a prilor fictiv izolate s rmn idup secionare identic cu cea iniial.

Intensitatea forelor distribuite pe suprafaaseciunii, se numete TENSIUNE :

.mm

N

A

Pp

2

d

d(1.5)

Tensiunea p se descompune n dou componente:- o component normal pe seciune, notat cu s,numit tensiune normal;- o component n planul seciunii, notat cu t, numittensiune tangenial (de direcie oarecare n planulseciunii).

Este evident legtura dintre aceste tensiuni:

.p222 (1.6)

Se consider c tensiunea este pozitiv cndtrage (ntinde) partea pe care se aplic (de sens contraraxei x), iar tensiunile sunt pozitive cnd sunt de senscontrar axelor din seciune cu care sunt paralele(fig.1.8). Indicii atribuii tensiunilor normale arat axacu care tensiunea este paralel iar n cazul tensiunilortangeniale primul indice se refer la orientarea normaleiplanului pe care se afl tensiunea.

Unitatea de msur pentru tensiuni rezultdin relaia (1.5) fiind unitate de for pe unitatede suprafa. De multe ori fora dndu-se n N ilungimile n mm, rezult c pentru tensiuni, se vafolosi ca unitate de msur MPa: 1N/mm2 =1MPa.

Totalitatea tensiunilor din jurul unui punct(fig.1.9) [21] formeaz starea de tensiune, aceastareflectnd gradul de solicitare al corpului solid nlocul respectiv, deci apreciind rezistena organelorde maini i a elementelor de construcii. Starea detensiune este o mrime tensorial:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T . (1.7)

Fig. 1.7

Fig. 1.8

Fig. 1.9


O tensiune prea mare r sau

r cauzeaz

distrugerea corpului prin rupere, pentru respectiv admindu-se valori admisibile (

a,

a) mult mai mici

dect cele de rupere (r,

r).

Rezult c tensiunea, depinznd i dencrcarea piesei i de dimensiunile ei, este un bunindicator al pericolului solicitrii.

n rezistena materialelor, corpurile sestudiaz innd seama c ele se deformeaz subaciunea sarcinilor, iar punctele acestora sedeplaseaz. Deformaiile i respectiv deplasrile suntproduse de tensiuni, corpul solid schimbndu-i formai dimensiunile iniiale ntr-o msur relativ mic, decideformaiile putnd fi considerate elastice, disprndodat cu dispariia forelor aplicate.

Se consider corpul din figura 1.10 [25] care nu poate efectua deplasri cinematice(legturile nu permit micri mecanice). Sistemul de fore P

1, P

2,....P

n deformeaz corpul,

iar punctele oarecare ale acestuia A, B, C se deplaseaz, ajungnd n poziiile A, B, C.Vectorul, cu originea ntr-un punct al corpului solid nedeformat i vrful n acelai

punct al corpului deformat, reprezint deplasarea total a punctului, sau sgeat, iar proieciileu, v, w pe axele sistemului triortogonal, reprezint componentele deplasrii, unde:

222 wvu (1.8)

Alturi de deplasrile liniare , apar i deplasri unghiulare, astfel unghiul cu carese rotete un segment oarecare AB, n poziia final AB poart denumirea de rotaie.Datorit deplasrii inegale a punctelor corpului solid, se schimb distana l dintre doupuncte oarecare A i B.

Astfel: ABBAl (1.9)unde l poart denumirea de lungire daca l> 0, sau scurtare dac l< 0.

Raportul dintre lungire i lungimea care s-a alungit se numete lungire specific medie:

l

lm

. (1.10)

Dac lungimea segmentului AB este infinit mic, atunci se obine lungirea specificdin dreptul punctului A, pe direcia AB:

l

llim

0l

. (1.11)

Lungirea i scurtarea constituie deformaii liniare, lungirea fiind o deformaie liniarpozitiv (( > 0), iar scurtarea negativ (< 0).

Prin deformarea corpului solid, iau natere i deformaii unghiulare. Se numetelunecare, unghiul cu care variaz un unghi oarecare BAC.

)CABBAC(lim0AC;0AB

(1.12)

Fig. 1.10

21INTRODUCERE

Unghiul cu care se modific un unghi drept, se numete lunecare specific,notat cu . Aceasta este pozitiv atunci cnd corespunde micorrii unghiului drept.

Ansamblul lungirilor specifice x,

y,

z i cel al lunecrilor specifice

xy,

yz,

zx, dintr-un

punct al unui element de rezisten solicitat definesc starea de deformaie n punctul respectiv,aceasta fiind o mrime tensorial.

Att deformaia liniar, ct i cea unghiular sunt mrimi adimensionale.Pentru majoritatea materialelor utilizate n tehnic, ntre tensiuni i deformaii exist

relaii liniare, valabile atta timp ct tensiunile sunt relativ mici. Astfel:

G;E (1.13)

unde: E este o caracteristic de material, numit modul de elasticitate longitudinal, iar G- modul de elasticitate transversal.

Proporionalitatea dintre deplasrile elastice ale corpurilor solide i forele aplicate,exprim legea lui Robert Hooke.

Dup cum rezult din relaiile (1.13), modulele de elasticitate se msoar n pascalin sistemul SI ca i tensiunile. n tabelul 1.1 se dau valorile modulelor de elasticitate pentructeva materiale mai des utilizate.

n figura 1.11,a se consider un element de corp solicitat numai de tensiuni normale , iarn figura 1.11,b, un alt element solicitat numai de tensiuni tangeniale . Tensiunile normale suntnsoite numai de lungiri specifice , iar tensiunile tangeniale de lunecri specifice . n cazulfigurii 1.11,a pe lng deformaia longitudinal, ia natere i o deformaie transversal

t, unde:

.xt (1.14)

unde x este deformaia specific longitudinal, iar este un coeficient de proporionalitate

adimensional, denumit coeficient de contracie transversal sau coeficientul lui Poisson.Valoarea acestui coeficient este dependent de natura materialului. Drept urmare, o barsupus la traciune i micoreaz seciunea, iar una comprimat i-o mrete.

Fig. 1.11

Material E [MPa] G [MPa] OEL (2 ... 2,2).10

5 081.10

5

FONT (1,2 ... 1,6).105 045.105 ALUMINIU (0,7 ... 0,75).105 (0,26 ... 0,27).105

Tabelul 1.1


1.3 IPOTEZELE DE BAZ ALE REZISTENEI MATERIALELOR

Din cele spuse se poate observa c orice calcul de rezisten prezint dou mari pri:a. determinarea tensiunilor i a deplasrilor; acest calcul ine de mecanica

corpului deformabil. Tensiunile i deplasrile trebuiesc calculate n funcie de :- forma piesei - aspectul geometric al problemei;- proprietile materialului din care se execut piesa - aspectul fizic al problemei- ncrcarea piesei - aspectul static al problemei.

b. analiza deplasrilor, care nu trebuie s depeasc o anumit limit; calcululde rigiditate. Aceast parte a calculului, cea mai delicat, d verdictul dac dimensiunilepiesei sunt sau nu corespunztoare.

Primul volum al cursului se axeaz pe determinarea tensiunilor i a deplasrilor, iarvolumul doi al cursului, pe calculele de rigiditate.

n rezistena materialelor, pentru stabilirea unor relaii i rezolvarea expeditiv aproblemelor concrete, se fac mai multe ipoteze, att asupra comportrii materialului corpuluistudiat, ct i asupra solicitrii acestuia. Aceste ipoteze reflect cu aproximaie bun realitatea,trebuiesc verificate de experien, introducnd erori de calcul admisibile n practica inginereasc.

Principalele ipoteze sunt urmtoarele:A) Ipoteza mediului continuu - materialul corpului este continuu i umple tot

spaiul definit de volumul teoretic al corpului.B) Ipoteza omogenitii i izotropiei - materialele au aceleai proprieti n toate

punctele i pe toate direciile. Oelul, fonta, aluminiul, sticla etc. sunt exemple demateriale care pot fi considerate omogene i izotrope. Exemple de materialeanizotrope sunt: lemnul, masele plastice etc.

C) Ipoteza elasticitii perfecte - consider c dac nu se depesc anumite limite,dup descrcarea corpului de forele ce l solicit, el revine complet la forma iniial.

D) Ipoteza identitii proprietilor mecanice ale elementului infinit mic cucele ale corpului solid ntreg - permite discretizri suficient de fine, iar rezultateleanalizei de pe aceste elemente vor putea fi generalizate pe ntregul corp.

E) Ipoteza proporionalitii dintre tensiuni i deformaii - admite cmaterialele utilizate satisfac legea lui Hooke, dac tensiunile nu depesc o anumitvaloare, adic tensiunile sunt proporionale cu deformaiile. Aceast simplificaredat de ipotez, face ca ea s fie aplicat chiar i pentru unele materiale neliniarede tip font sau duraluminiu.

F) Ipoteza micilor deplasri - deplasrile cauzate de ncrcarea corpului sunt multmai mici dect dimensiunile corpului. Se poate neglija modificarea formei corpuluica urmare a ncrcrii i deci ecuaiile de echilibru se pot scrie pentru corpulnedeformat. Calculele bazate pe aceast ipotez se numesc de ordinul I. n urmaacestei ipoteze deplasrile vor fi tratate ca nite infinii mici.

G) Ipoteza micilor deformaii - corpul i modific n mic msur configuraiainiial. Pentru piese metalice se poate considera c deformaiile sunt multmai mici dect unitatea,

23INTRODUCERE

cu unitatea.Ca o consecin a celor artate anterior este posibil aplicarea principiului

suprapunerii efectelor.n general, se poate scrie c deplasrile (ca de altfel i tensiunile) privite ca funcii

de ncrcare, satisfac relaiile:

,PvPv

;PvPvPPv 2121(1.15)

unde este un numr.H) Ipoteza lui BARR DE SAINT VENANT - consider c la distane relativ mari

de locul de aplicare a forelor, distribuia tensiunilor, a deplasrilor i a deformaiilor, nudepinde de modul efectiv de aezare a forelor (fig.1.12). n ncastrare, distribuiatensiunilor este aceeai pentru cele trei exemple din figur, diferenele constatndu-senumai local, n apropierea locului de aplicare a forei.

Ipotezele enunate anterior, permit determinarea cmpului de deplasri i de tensiunicu ajutorul calculului diferenial i folosirea teoriei elasticitii.

I) Ipoteza lui BERNOULLI (a seciunilor plane) - consider c la solicitareabarelor se constat c o seciune plan i perpendicular pe axa longitudinalnainte de deformaie, rmne plan i normal i dup deformaie (fig.1.13).

Consideraiile geometrice cldite pe aceast ipotez simplific problema determinriilegii de distribuie a tensiunilor n seciunile normale ale barelor solicitate la ntindere,compresiune sau ncovoiere, comparativ cu rezolvarea maiprecis, dar mult mai laborioas din teoria elasticitii, carenu accept ipoteza seciunilor plane.

n cazul plcilor, ipoteza lui Bernoulli se nlocuiete cuipoteza normalelor drepte, dup care, o dreapt normal pesuprafaa median a plcii nedeformate, rmne dreapt inormal pe suprafaa median i dup deformarea plcii - ipotezalui Kirchhoff.

Fig.1.12

Fig. 1.13


2 EFORTURI SECIONALE N BARE I SISTEME DE BARE

STATIC DETERMINATE

2.1 DETERMINAREA EFORTURILOR SECIONALE

Problemele de baz ale rezistenei materialelor, respectiv calculele de rezisten,rigiditate i stabilitate presupun cunoaterea eforturilor interioare care se dezvolt n seciuniletransversale ale fiecrei bare. Se consider bara ca fiind static determinat deci ecuaiilede echilibru static (3 n plan i 6 n spaiu) din mecanica corpului rigid sunt suficiente pentruaflarea reaciunilor. Deoarece corpul este n stare de echilibru atunci i prile detaate I,respectiv II vor fi n stare de echilibru sub aciunea forelor (cuplurilor) exterioare i aforelor de legtur (fig.2.1). Secionnd bara cu un plan perpen-dicular pe axa longitudinal,se obin cele dou tronsoane I i II.

Condiia de echilibru a forelor de pe bar presupune scrierea urmtoarelor douecuaii vectoriale:

,0PrC ;0P iII,I

iII,I

iII,I

i (2.1)

unde rk este vectorul de poziie al unei fore oarecare fa de centrul de greutate al seciunii

A considerate.Dac bara se taie n dou pri ca n figura 2.1. att pe un tronson ct i pe cellalt

apar eforturile interioare RC R i care menin echilibrul forelor de pe tronsoane.

.0PrC ;0PR

;0PrC ;0PR

K

II

kII

II

KII

KI

kII

KI

(2.2)

ntruct forele aplicate pe cele dou tronsoaneale barei se afl n echilibru, conform relaiilor(2.1), din aceste ecuaii vectoriale se obine:

.PrPrCC

;PPRR

I

Kk

II

kkIII

IK

IIKIII

(2.3)

Deci eforturile R Ci , care se dezvoltprin ncrcare pe cele dou suprafee A, suntegale i de sens contrar (metoda secionrii).

Fig. 2.1

25EFORTURI SECIONALE

Torsorul II C,R reprezint aciunea prii de barII care a fost detaat prin secionare, asupra prii

I; torsorul IIII C,R reprezint aciunea prii Iasupra prii II.

De asemenea relaiile vectoriale (2.3) arat

c eforturile secionale C R i se obin prinreducerea n centrul de greutate al seciuniitransversale a sistemului de fore existent fie petronsonul I, fie pe tronsonul II.

Dac raportm tronsonul II la sistemul dereferin triortogonal Cxyz localizat n centrul degreutate al seciunii (fig.2.2), eforturile secionale

C R i se pot descompune pentru cazul general de solicitare n cte trei componente fiecare,rezultnd conform relaiei (2.3):

o for axial N, egal cu suma proieciilor pe axa longitudinal Cx a barei a tuturorforelor situate la stnga sau la dreapta, cu semn schimbat, seciunii considerate.

;XXRNII

i

I

ix (2.4) dou fore tietoare Ty i Tz, egale cu suma proieciilor pe axa Cy, respectiv

Cz, din planul seciunii, a tuturor forelor situate la stnga sau la dreapta, cu semnschimbat, seciunii considerate.

.ZZRT

;YYRT

IIi

Iizz

IIi

Iiyy

(2.5)

un moment de torsiune Mt, egal cu suma momentelor n raport cu axalongitudinal Cx a barei, a tuturor forelor i cuplurilor de fore situate la stngasau dreapta, cu semn schimbat, seciunii considerate:

;MMCMII

x

I

xxt (2.6) dou momente ncovoietoare Miy i Miz egale cu suma momentelor n raport

cu axa Cy, respectiv Cz, din planul seciunii a tuturor forelor i cuplurilor de foresituate la stnga sau la dreapta, cu semn schimbat, seciunii considerate:

.II

izM

Iiz

Mz

Ciz

M

;II

iyM

Iiy

M=y

Ciy

M

(2.7)

Fig. 2.2


Eforturile din seciune RC i R se dezvolt pe suprafaa seciunii prin tensiuni de direcie

oarecare (fig. 2.1) care se pot descompune n componente rezultnd: o tensiune normal x paralel cu axa Cx ; o tensiune tangenial xy paralel cu axa Cy ; o tensiune tangenial xz paralel cu axa Cz.

Componentele torsorului de reducere RC i R se pot exprima i n funcie detensiunile generate pe suprafaa seciunii transversale, folosind relaiile de echivalen staticdintre eforturi i tensiuni, respectiv:

A Ayiz

Axiyxzxyt

Axzz

Axyy

Ax

.dAyM;dAzM;dA)yz(M

.dAT;dAT;dA N

(2.8)

Frecvent se ntlnete cazul particular al grinzilor solicitate numai de fore coplanare(fig. 2.3) [21], la care numrul componentelor torsorului de reducere este de trei:

fora axial: ;II

iX

Ii

Xx

N

fora tietoare: ;II

iY

Ii

Yy

T

momentul ncovoietor: .II

izM

Iiz

Miz

M

Pentru aceste eforturi se admite, convenional, pentrucalcule urmtoarea convenie de semne:

Fora axial N este considerat pozitiv dac vectorul N este dinspre interiorulctre exteriorul torsorului, n acest caz ea poart denumirea de for axial detraciune (ntindere), n caz contrar numindu-se for axial de compresiune, deciprivind spre stnga, fora axial N pozitiv are sens opus axei Cy (fig.2.4);

Fora tietoare T este considerat pozitiv atunci cnd suma proieciilor tuturorforelor situate n stnga seciunii considerate este indreptat n sus (deci are sensopus axei Cy), sau cnd cea din dreapta este orientat n jos (fig. 2.4).

Momentul ncovoietor Mi este considerat pozitiv atunci cnd suma momentelorforelor i cuplurilor din partea stng a seciunii are sensul orar (vectorul momenteste de acelai sens cu axa Cz), sau cnd cea din dreapta are sensul antiorar.

Conform figurii 2.4 se poate observa c fora axial i momentul ncovoietor prezintcaracter simetric, pe cnd fora tietoare caracterantisimetric. Prin reprezentarea eforturilor secionale N,T,Mi n lungul barei se obin diagramele de eforturisecionale. Pentru fora axial i momentul ncovoietor,pentru grinzi simetrice i simetric ncrcate diagramele Ni Mi vor avea caracter simetric, iar pentru T caracterantisimetric.

Fig. 2.3

Fig. 2.4


2.2 RELAII DIFERENIALE DINTRE SARCINI I EFORTURI

Se consider bara dreapt AB din figura 2.5 cu ncrcarea exterioar format dinfore acionnd n planul XY, deci n seciunile barei se dezvolt: un efort axial, un eforttietor i un moment ncovoietor. Relaiile difereniale de echilibru fac legtura ntre eforturilesecionale i ncrcare (forele exterioare).

Din bar se izoleaz elementul de lungimeelementar dx (fig. 2.5, b i c) ncrcat cu sarcinadistribuit p cu componentele px i py, care pelungimea elementar pot fi admise ca fiind uniformdistribuite. Elementul detaat trebuie s fie i el nstare de echilibru sub aciunea incrcrii, dar i alforelor de legtur considerate, pe ambele seciuni,pozitive i variabile.

Din ecuaiile de echilibru, scrise pentruelementul din figura 2.5, c, rezult:

.0=)dMM(2

dxdxpMTdx;0M

;0)dTT(dxpT;0Y

;0)dNN(dxpN;0X

iiyiiz

yi

xi

Dac neglijm termenul

2

dxp

2

y care este un infinit mic de ordin superior i reducem

termenii asemenea, rezult:

.dx

idM

T;dx

dTy

p;dx

dNx

p (2.9)

Relaiile ( 2.9 ) sunt generale la barele drepte i sunt valabile i pentru orice structurformat din bare drepte.

Analiznd relaiile difereniale obinute, se pot trage urmtoarele concluzii: intensitatea px sau py a sarcinii uniforme este egal cu derivata cu semn schimbat

a forei axiale N, respectiv tietoare T. fora tietoare T este egal cu derivata funciei momentului ncovoietor n raport

cu abscisa seciunii.

Relaiile ( 2.9 ) permit determinarea expresiilor eforturilor secionale prin operaii deintegrare sau de derivare.

Fig. 2. 5


Astfel:

.3

kx2

k2

2xy

pi

M

;2

kxy

pT

;1

kxx

pN

(2.10)

unde k1,k

2 i k

3 sunt constantele de integrare, (care se determin impunndu-se condiii

referitoare la valorile componentelor eforturilor secionale n dreptul diverselor seciuni).Expresiile (2.10) arat c:

n lungul poriunii de grind ncrcat cu o for transversal uniform repartizat,fora tietoare se distribuie liniar, iar momentul ncovoietor parabolic.

dac p = 0, deci n lungul poriunilor de grind fr sarcin distribuit, foreleaxiale i tietoare sunt constante, iar momentul ncovoietor se distribuie liniar.

pe orice interval al barei, funcia forei tietoare sau axiale este cu un gradsuperioar funciei sarcinii, iar cea a momentului cu un grad superioar celei aforei tietoare.

momentul ncovoietor are valori extreme, acolo unde fora tietoare (derivatamomentului) se anuleaz i reciproc.

dac fora tietoare este pozitiv, atunci momentul ncovoietor este cresctor, iarpentru fora tietoare negativ momentul ncovoietor este descresctor i reciproc.

2.3 CONSTRUCIA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECIONALE

Avnd n vedere faptul c n general eforturile sunt variabile pe deschiderea barei,la efectuarea calculelor de rezisten i rigiditate, prezint interes determinarea variaieieforturilor precum i stabilirea valorilor maxime ale acestora (determinarea seciuniipericuloase).

Construcia diagramelor arat reprezentarea funciilor de variaie ale forei axiale,tietoare sau a momentelor de ncovoiere, torsiune pe deschiderea barei.

Trasarea diagramelor este precedat de obicei de calculul reaciunilor, iar ca liniede referin pentru reprezentarea valorilor eforturilor secionale se folosesc linii de formaaxei barei. De obicei forele axiale i forele tietoare pozitive se reprezint deasupra linieide referin, iar momentele ncovoietoare pozitive sub linia de referin (diagrama de momentencovoietoare devine asemntoare cu grinda deformat sub aciunea forelor aplicate).

Uneori, diagramele de variaie se traseaz fr a calcula reaciunile, pornind de larelaiile difereniale i stabilind relaiile de recuren pentru determinarea mrimii efective avalorii eforturilor din diversele seciuni (vezi aplicaia 2.1).

Aplicaia 2.1 Cu ajutorul relaiilor difereniale dintre eforturi, se cere s se afle


expresia forei tietoare i a momentului ncovoietor pentru grinda din figura 2.6:Rezolvare: Intensitatea forei distribuite la o distan oarecare x, se exprim n

funcie de intensitatea maxim p0, rezultnd: .xl

px

p 0

Conform relaiilor (2.9) se obine:

.k+xk6

x

l

pk+Tdx=M

;k2

x

l

pk+pdx-=T

32

30

3i

2

20

2

Cu ajutorul a dou condiii referitoare la valoareamomentului ncovoietor, se pot determina constantele de

integrare, observndu-se c momentul ncovoietor este nul n punctele A i B, adic Mi = 0

pentru x = 0 i x = l. Din expresia momentului ncovoietor rezult: .0k 6

lpk 3

02

Astfel, expresiile forei tietoare i momentului ncovoietor devin:

.x6

lp

l6

xpM ;

6

lp

l2

xpT 0

3

0i

0

2

0

Funcie de aceste expresii se pot calcula eforturile produse n oricare seciune transversal.

2.4 DIAGRAME ALE FORELOR AXIALE

Diagramele forelor axiale arat n ce msur seciunile transversale ale barei suntsolicitate la intindere sau la compresiune, precum i mrimea forelor din diferitele seciuni.

Aplicaia 2.2 Se cere s se reprezinte diagrama forelor axiale pentru bara dinfigura 2.7.

Rezolvare: Se determin reaciunea XA i valoarea forei axiale pe fiecare tronsonal barei.

.P4PP5PXN ;P3P5PXN

;P2PXN ;PXN

;PX ,0P4PP5PX ;0X

A43A32

A21A1A

AAi

deci

Prin reprezentarea acestor valori se obine diagrama forelor axiale (fig. 2.7).Aplicaia 2.3 Pentru bara vertical, avnd lungimea 4l, de seciune constant A i

greutate specific din figura 2.8 [21], solicitat de forele concentrate P i 3P, se cere sse traseze diagrama de fore axiale, innd cont i de greutatea proprie a barei.

Rezolvare: Din suma de proiecii pe vertical, se determin reaciunea XA.

.lA4P4X ;0l4APP3X ;0X AAi

Fig. 2.6


Fora axial din seciunea curent va fi:

.lAg4P4Nl3x

l;AgP4''N0x xAglAgP4N

l;AgP'Nlx

;PN0x xAgPN

A

2

A2

2

1

21

pentru

pentru

pentru

pentru

Observaii: Datorit greutii proprii, care este o sarcin uniform distribuit, pecele dou zone 1-2, respectiv 2-A, fora axial variaz liniar, iar n punctele 1 i 2 undeexist forele concentrate P i 3P, se produc salturi n diagrama N (fig. 2.8).

2.5 DIAGRAME ALE MOMENTULUI DE TORSIUNE

Valoarea momentelor de torsiune dintr-o seciune a barei se calculeaz, fie n funciede forele aplicate i braele lor de prghie fa de axa longitudinal a barei, fie n funcie deputerea pe care o transmite bara n micarea ei de rotaie n jurul axei longitudinale la oanumit turaie.

Dac bara transmite o putere P n kW la turaia n n rot/min, atunci momentul detorsiune va fi:

m].[kN n

P9,55

n

30P

PMt (2.11)

Dac puterea este msurat n C.P., iar turaia n rot/min:

m].[kNn

P7,02Mt (2.12)

Aplicaia 2.4. Pentru bara din figura 2.9 se cere s se traseze diagrama momentelor detorsiune Mt.

Rezolvare: Bara fiind solicitat numai de cuplurile Mo i 2Mo, orientate ca vectori nlungul axei longitudinale x, seciunea A a incastrrii are o singur reaciune MA.

Din ecuaia de momente fa de axa x se obine:

Fig. 2.7 Fig. 2.8


;M3M ;0MM2M ;0M 0A00Axi

Valorile momentelor de torsiune pe fiecare tronson vor fi:

.M3M2MM ;MM 000A2021 Pe tronsoane, momentele de torsiune vor fi constante.

Aplicaia 2.5 Se cere s se traseze diagrama cotat amomentelor de torsiune pentru arborele drept, solicitat prinintermediul celor patru aibe, ca n figura 2.10. Momentele aplicateau valorile: M1=500 Nmm; M2=800 Nmm; M3=2000Nmm, iar randamentul se consider unitar.

Rezolvare: Valoarea momentului de torsiunepentru fiecare tronson al barei este.

. 7002000800500M

;1300800500M

;500M ;0M

43t

32t

21t10t

mmN

mmN

mmN

2.6 DIAGRAME ALE FORELOR TIETOARE I ALE MOMENTELORNCOVOIETOARE

Dup cum s-a artat n paragraful 2.2, variaia momentelor ncovoietoare n lungulunei bare este insoit de existena unor fore tietoare. Dac forele sunt aplicate sub ununghi oarecare fa de axa longitudinal a barei, atunci iau natere i fore axiale, baratrebuind s fie articulat intr-un punct de sprijin.

n aplicaiile ulterioare bara solicitat la ncovoiere poart denumirea de grind.

Aplicaia 2.6: Se consider grinda incastrat solicitat de o fora concentrat(fig. 2.11).

Rezolvare: Scriind ecuaiile de echilibru se gsesc reaciunile:

. lPsinlPM

;PsinPY ;PcosPX

yA

yAxA

n seciunea curent x eforturile vor fi.

. sin)lx(PsinlPsinxPMxYM

;YT ;XN

AAi

AA

Deci forele axiale i tietoare rezult c sunt constanten lungul grinzii, iar momentul ncovoietor variaz liniar.

Observaii: Pentru trasarea diagramelor nu eranecesar calculul reaciunilor, ci seciunea curent putea fidefinit la distana x de captul liber din B, deci fcnd

Fig. 2.9

Fig. 2. 10

Fig. 2.11


secionarea nspre dreapta.

Aplicaia 2.7 Grinda rezemat la capete, solicitat deo for concentrat transversal (fig. 2.12).

Rezolvare: Scriind ecuaiile de momente fa de celedou reazeme, obinem reaciunile.

.l

PaY

l

PbY BA i

Definind seciunile curente pe fiecare dintre cele doutronsoane, respectiv A-1 i 1-B, observm c forele tietoaresunt constante n lungul fiecrei regiuni, astfel:

.l

aPP

l

bPPYT ;

l

bPYT AB1A1A

Observaii: Mai uor era de definit pe cel de al doilea tronson seciunea curentpornind de la B ctre punctul 1 deci seciunea x.

ntr-o seciune curent momentul ncovoietor este.

. xl

aPxYM ;x

l

bPxYM B1BA1A

Deci momentul ncovoietor este repartizat liniar n lungul poriunilor din grind.

Dac a = b = l /2, .4

PM

lmaxi

Observaii: n dreptul sarcinilor concentrate n diagrama T se produce un salt pe direcia

forei i cu valoarea acesteia. Fora tietoare este constant n intervalul dintre dou fore normale pe axa barei. n dreptul sarcinilor concentrate diagrama Mi i schimb panta. Momentul ncovoietor este maxim n seciunea unde fora tietoare trece prin zero. Pe intervalul A-1 fora tietoare este pozitiv, deci

momentul ncovoietor este cresctor, iar pe intervalul1-B, fora tietoare este negativ, deci momentulncovoietor este descresctor.

Aplicaia 2.8 Grinda rezemat la capete i solicitatde un sistem de fore concentrate transversale (fig. 2.13).

Rezolvare: Din ecuaiile de echilibru, rezult reaciunile:

.aPl

1Y;)al(P

l

1Y

n

1iiB

n

1iiA

Diagrama forelor tietoare const din poriuni de liniiorizontale, ntrerupte prin salturi n dreptul forelor concentrate,iar curba momentelor ncovoietoare din linii drepte care si

Fig. 2.12

Fig. 2.13


schimb panta n dreptul forelor concentrate.Expresiile forelor tietoare i momentelor ncovoietoare pe diversele tronsoane ale grinzii

vor fi:

i

11ii1iiAi

1212A21A1A

B

n

1iABn1A21A1A

).aa(PaYM

);aa(PaYM ;aYM ;0M

;YPYT ;...;PYT;YT

Observaii. Momentul ncovoietor este maxim nseciunea unde fora tietoare trece prin zero.

Aplicaia 2.9: Grinda rezemat, solicitat de o forconcentrat transversal situat pe consol (fig. 2.14).

.l

aPY0aPlY ;0M

;l

l)a(PYl)a(PlY ;0M

AA)B(

BB)A(

Forele tietoare sunt constante pe regiuni, iar momentulncovoietor variaz liniar, nul n captul liber i punctul A, fiind maxim unde fora tietoaretrece prin zero, deci n punctul B, unde M

max= -Pa.

Aplicaia 2.10 Grinda incastrat, solicitat de o fortransversal uniform repartizat p (fig. 2.15).

Rezolvare: n seciunea curent x fa de captul liber 1eforturile sunt.

.2

pxM ;xpT

2

A1A1

Observaii. n cazul sarcinilor uniform repartizate diagrama forelor

tietoare T variaz liniar, iar diagrama momentelorncovoietoare Mi variaz parabolic.

Derivata de ordinul doi a momentului ncovoietor estenegativ deci curba momentului ncovoietor esteconcav (ine apa) (axa pozitiv y pentru Mi esteindreptat n jos).

Aplicaia 2.11 Grinda rezemat la capete, solicitat de ofor uniform repartizat p (fig. 2.16).

Rezolvare: Din condiii de simetrie, reaciunile dincele dou reazeme sunt egale ntre ele i egale cu:

Fig. 2.14

Fig. 2.15

Fig. 2.16


.2

lpYY BA

ntr-o seciune curent x, expresiile forei tietoare i ale momentului ncovoietor vor fi:

.8

lp

2

ll

2

l

2

pM iar ,

2

llx pentru 0T

,xl2

xp

2

xpx

2

lp

2

xpxYM ;x

2

lpxpYT

2

max

22

ABAABA

Observaii: n punctele A i B se produc salturi cu valoarea reaciunilor n diagrama forelor

tietoare, iar ntre reazeme fora tietoare scade (mergnd de la A ctre B, conformconveniei de semne) cu valoarea rezultantei forei uniform distribuite care este pl.

La simetrie constructiv i simetrie de ncrcare, diagrama T este antisimetric

iar diagrama Mi este simetric; n axa de simetrie T = 0 i .0iM .

Aplicaia 2.12 Grinda incastrat solicitat de un cupluconcentrat (fig. 2.17).

Rezolvare: n seciunile barei, att fora axial ct i foreletietoare sunt nule, iar momentul ncovoietor este constant n lungulgrinzii egal cu Co, grinda aflndu-se ntr-o stare de ncovoiere pur.

Aplicaia 2.13 Grinda rezemat la capete solicitat de uncuplu concentrat aplicat pe deschiderea acesteia (fig. 2.18).

Rezolvare:

.l

CY 0ClY ;0M

;l

CY 0ClY ;0M

0B0B)A(

0A0A)B(

Deci reaciunile sunt egale i de sens contrar, implicit foratietoare este constant n lungul grinzii i egal cu.

. l

CYT 0AB-A

Pe cele dou poriuni ale grinzii momentul ncovoietor este repartizat liniar avndexpresiile.

. xl

CxYM ;x

l

CxYM 0B1B

0A1A

Observaii: n dreptul cuplului n diagrama de momente ncovoietoare se produceun salt egal cu valoarea cuplului.

Fig. 2.17

Fig. 2.18


Aplicaia 2.14 Grinda rezemat solicitat de o forrepartizat liniar (fig. 2.19).

Rezolvare: Rezultanta sarcinilor repartizate (indiferentde forma repartiiei) este dat de aria suprafeei de ncrcare iacioneaz n centrul de greutate al acestei suprafee.

. 3

lpY 0l

3

2

2

lplY ;0M

; 6

lpY 0l

3

1

2

lplY ;0M

0B

0BA

0A

0AB

Intensitatea forei distribuite, la distana x de reazemulA, este:

.l

xppdeci;

l

x

p

p 0x

0

x

Expresia forei tietoare n seciunea curent x, este:

.l

x31

6

lpxp

2

1

6

lpT

2

20

x0

BA

Se observ c fora tietoare variaz parabolic i se anuleaz la o distan egal cu:

l577,03

lx0

Momentul ncovoietor, n seciunea curent, are expresia:

.l

x-1

6

xlp

l6

xpx

6

lp

3

xxp

2

1xYM

2

20

3

00xABA

Momentul ncovoietor variaz dup o parabol cubic, a crei maxim, pentru

3

lx0 este: .

39

lp

l3

l1

3

l

6

lpM

2

0

2

20

max

Aplicaia 2.15 Grinda rezemat solicitat de o for repartizat parabolic (fig. 2.20):

2

2

0xl

xpp .

Rezolvare:

.12

lpY 0xlRlY ;0M

;4

lp

l

xRY 0xRlY ;0M

0AGA)B(

0GBGB)A(

Fig. 2.19


unde

l

0

l

0

0

2

2

0x .3

lpdx

l

xpdxpR iar

.l4

3

3

lp4

lp

dxp

dxpx

x0

2

0

l

0

x

l

0

x

G

.

Utiliznd relaiile difereniale dintre eforturi, seobine:

2

2

0x

l

xp

dx

Td i respectiv

2

2

0x

l

xp

dx

Td .

Prin integrare se obine: .KxKl12

xpM ;K

l3

xpT 212

4

0ix12

3

0x .

Cele dou constante de integrare se obin din condiiile de legtur, scrise pentru

reazemul din A pentru x = 0 ; AA YT i 0MiA ; deci 12

lpK 01 i .0K 2

Expresiile forei tietoare i momentului ncovoietor, devin:

.l

x1

12

xlp

12

xlp

l12

xpM ;

l

x41

12

lp

12

lp

l3

xpT

3

300

2

4

0

ix3

300

2

3

0x

Deci fora tietoare variaz dup o parabol cubic, iar momentul ncovoietor dupo parabol de gradul patru.

.lp 04,0416

lp

l4

l1

4

l

12

lpM

l, 63,04

lx0T

2

03

2

0

3

3

3

0maxi

30x

Aplicaia 2.16 S se traseze diagramele de eforturi pentru bara din figura 2.21.Rezolvare:

070122022

22306

3

22640

2

18Y9

2

2210

;0M

;kN 40X02

2210

2

2230X

B

iA

AA

Fig. 2.20


kN.50Y

012

22106

3

1640

2

1

62

22307072208Y

;0M

kN;90Y

A

A

iB

B

Forele axiale sunt egale cu:

. kN 10N kN;40N 322A Forele tietoare sunt egale cu:

;kN 4030+T=T

;kN 104050T;kN 50T

s2d2

s2A

kN; 8060402

1TT d2Bs

.x3

20p

6

x

40

p

kN; 10T kN; 1090TT

xx

3-BBsBd

Fora tietoare se anuleaz pe tronsonul 2-B:

,x3

20

2

13040YT 2AB2

de unde rezult: .m 464,3x0

Se calculeaz urmtoarele valori ale momentelor ncovoietoare:

m.kN 376,82

464,33

1

3

20464,3

2

1464,33070464,4220464,5YM

m;kN 10M;kNm 10

7012202YM;kNm 3070MM

m;kN 402

11201YM

2

Amax

B

A2s1d1

As1

Observaii: Scopul diagramelor de eforturi este acela de a prezenta o imagine de ansamblu

a solicitrii grinzilor (n majoritate prezint interes seciunile cu solicitare maxim,

Fig. 2.21


unde urmeaz s se fac calculele de dimensionare sau verificare). Arcele de parabol de pe poriunile situate la stnga, respectiv dreapta, seciunii din

punctul 2 nu se racordeaz, deoarece n acest punct efortul tietor face un salt.

2.7 SISTEME DE BARE STATIC DETERMINATE

Sistemele de bare static determinate sunt formate din bare drepte sau curbe mbinaterigid prin articulaii sau alte legturi. Un sistem este static determinat dac i se pot calculaatt reaciunile ct i eforturile din fiecare bar cu ajutorul metodelor de calcul ale staticii.Grinzile cu articulaii interioare sunt cunoscute sub denumirea de grinzi Gerber.

Sistemele de bare pot fi: nchise, deschise sau mixte (fig. 2.22) [21] dup cumbarele sistemului sunt astfel legate ntre ele nctformeaz contururi nchise, deschise sau mixte.Astfel de sisteme de bare nchise ntlnim la grinzilecu zbrele, diferite cadre, inele cu articulaii, etc.Sisteme de bare deschise ntlnim sub forma degrinzi cotite, cadre deschise, arbori cotii etc.

Toate aceste sisteme de bare le ntlnimn construciile de masini, implicit n construciileroboilor industriali, etc.

Liniile de referin, ce se utilizeaz latrasarea diagramelor de eforturi, au formasistemului de bare.

Aplicatia 2.17 Se consider grinda dreapt cu articulaii din figura 2.23.Rezolvare:Grinda este static determinat, deoarece n articulaiile interioare din 2 i

3 momentele ncovoietoare sunt nule. Din scrierea ecuaiilor:

Fig. 2.22

Fig. 2.23


.Pa54M

0a2P4Ma4P2

23;0M

;P2

23Y

0a7a

P2P4P

2

7P26Y;0Y

;P26Y

02

a7

a

P2a7Pa2a6P

2

7aY

;0M

;P2

7Y

02

a3

a

P2a3Pa2Ya2;0M

A

Ast2

A

Ai

B

B

dr2

C

Cdr3

Cu aceste valori n figura 2.23 s-au trasat diagramele T i Mi, neexistnd diagrama N.

Aplicaia 2.18 Se consider grinda cotit plan prezentat n figura 2.24.Rezolvare: Reaciunile se determin scriind momentele n articulaia din punctul 2

i ecuaiile de echilibru static.

kN. 30Y;050420Y ;0Y

kN; 50Y

;03044Y2420240 ;0M

;0X ;0102040X ;0X

kN; 10X;01202X;0M

AAi

B

Bdr2

BBi

AAst2

Se parcurge grinda cotit de la A la B prin 4: pentru fora axial:

;kN 30XN ;kN 30YN B4BA4A pentru fora tietoare:

;pxYT;Nk 304020XT

;kN 1020XT;kN 10XT

AB4A43

A31A1A


pentru momentul ncovoietor:

.mkN 5,62M;m 5,1x M

;2

x420x4YM;kNm 402405206XM

m;kN 203204XM;mkN 101XM;0M

max0max

2

00B4BA4

A3A1A

pentru

La aezarea diagramelor de eforturi se pstreaz convenia de semne de la grinziiledrepte. n colul unde se mbin rigid dou bare, n unghi drept, momentul ncovoietor serabate de pe o poriune pe cealalt, n schimb fora tietoare trece n for axial i invers.

Aplicaia 2.19 Se consider cadrul plan din figura 2.25 [21] pentru care se cer

Fig. 2.24

Fig. 2.25


diagramele de eforturi.Rezolvare: Pentru calculul reaciunilor se folosesc ecuaiile de echilibru ale staticii:

kN. 55Y

;022026202304Y;0M

kN.65Y

;025026204204Y;0M

;kN 30X;02050X ;0X

A

AiB

B

BiA

AAi

Pentru verificare se poate folosi Yi 0 constatndu-se corectitudinea rezultatelor..

Pe poriunile cadrului, fora axial are urmtoarele valori.

;0N ;kN 2050XN ;0N ;kN 55YN 45A4223A2A Fora tietoare se repartizeaz liniar pe zona 3-2-4-5.

kN; 45Y20T kN; 20T kN; 35Y20T kN; 20T Bst4dr4Adr2st2 Pe stlpi fora tietoare are urmtoarele valori:

.kN 20TkN; 2050XT kN; 30XT 46A21A1A Momentul ncovoietor are trei valori n jurul nodurilor 2 i 4:

pe consol: m.kN10M

;mkN102

1l20M

4

2

pe stlp: m;kN 20120M

m;kN 03505XM

4

A2

la dreapta nodului 2: m;kN 103505X2

1120M A2

la stnga nodului 4: .mkN 301202

1120M4

rezistenta materialelor

Documents