rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaŢiilor · rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaŢiilor...
TRANSCRIPT
REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR
Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor, cunoştinţele de algebră ale
elevilor se încheagă, în sensul că aici se aplică aproape tot ce au învăţat ei la algebră:
calcul algebric, rezolvarea ecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi, mai ales, ei învaţă să
aplice aceste cunoştinţe în situaţii concrete cât mai variate. Trebuie, totuşi, subliniat că,
dacă este adevărat că aceste probleme au un conţinut concret, cele mai multe dintre ele
nu sunt cu adevărat practice. Când parcurgi zecile de probleme care se găsesc în manuale
şi în culegeri, vei găsi cu greu o problemă care să fi izvorât efectiv din activitatea
practică din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele datează din Evul Mediu sau sunt şi
mai vechi. În lumea şcolară, temele vechi au fost reluate şi amplificate, uneori li s-a
schimbat haina, aşa că astăzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unele
sunt foarte complicate. Trebuie să ne ferim de exagerări. Să nu transformăm aceste
probleme într-un scop în sine. Ele sunt un exerciţiu util al spiritului, dar numai atât. Pentru
studiile de mai târziu, aceste probleme nu sunt absolut necesare.
În aplicaţii, ori de câte ori trebuie scrisă ecuaţia care descrie o anumită situaţie, se
dau toate explicaţiile. De exemplu, la fizică apare, în legătură cu calorimetrul, o ecuaţie
destul de lungă care exprimă că cantitatea de căldură pe care o cedează un corp este
egală cu cantitatea de căldură pe care o primeşte un alt corp. Această problemă, pusă
într-o culegere de probleme de algebră, ar fi considerată ca o problemă uşoară. Totuşi, în
cărţile de fizică se explică amănunţit cum se ajunge la ea. Din aceste motive nu se poate
formula precis care sunt obiectivele acestui capitol. Se poate spune doar atât: elevii să
fie în stare să rezolve cu ajutorul ecuaţiilor probleme de greutate mijlocie; nu se poate
spune precis ce este o problemă de greutate mijlocie, dar se poate face recomandarea ca
profesorul să păstreze măsura.
CE ESTE O PROBLEMĂ DE ALGEBRĂ
1. Ce este o problemă de algebră? 2. Problemele inverse 3. În ce constă
dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică?
4. Caracterul relativ al acestei clasificări
În lumea şcolară se face distincţie între probleme de aritmetică, ce se pot rezolva
pe baza cunoştinţelor care se capătă la aritmetică şi probleme de algebră, care se rezolvă
cu ajutorul ecuaţiilor, sau între soluţia aritmetică şi soluţia algebrică a unei probleme. În
ultimă analiză, orice problemă care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuaţii de gradul 1
sau a unui sistem de două ecuaţii de gradul 1 cu două necunoscute se poate rezolva şi pe
cale aritmetică. Acest lucru este uneori foarte anevoios, dar este totdeauna posibil. Care
2
este atunci deosebirea dintre problemele de aritmetică propriu-zisă şi problemele de
algebră? De ce este uneori foarte greu să rezolvi pe acestea din urmă pe cale aritmetică?
3
1. Ce este o problemă de algebră? Mijlocul cel mai bun de a clasifica problemele la care
ne referim este de a examina ce fel de relaţii între date şi necunoscute intervin în ele.
Acest lucru se vede cel mai bine pe ecuaţiile respective. Orice problemă de aritmetică
poate fi pusă în ecuaţie. Cazurile cele mai banale sunt, de exemplu, probleme ca: O ladă
are a kg, o altă ladă are b kg; cât au cele două lăzi împreună? sau: O ladă conţine a kg; cât
conţin b lăzi? cărora le corespund ecuaţiile: x = a + b şi x = ab. Aceste cazuri sunt
banale fiindcă ecuaţia apare gata rezolvată. Lucrurile se schimbă îndată ce ecuaţia conţine
o operaţie în care unul din componenţi este necunoscut, ca în problemele inverse celor de
mai sus: Două lăzi au împreună a kg, iar una din ele are b kg; cât are cealaltă? respectiv: O
ladă conţine a kg, câte lăzi conţin b kg?
De data aceasta, ecuaţiile sînt respectiv: a + x = b şi ax = b, şi trebuie rezolvate
în raport cu x. Totuşi, aceste probleme sunt privite ca probleme de aritmetică, nu de
algebră. Aceasta se datoreşte faptului că în şcoală lucrurile se prezintă altfel.
Ecuaţiile a + x = b şi ax = b nu sunt prezentate ca ecuaţii. Cu ajutorul lor se
definesc două operaţii noi: în loc de: a rezolva ecuaţia a + x = b, se spune: a scădea a din
b; această operaţie se notează „–” şi i se dă o semnificaţie concretă (a scoate b obiecte
dintr-o colecţie de a obiecte, a micşora a cu b ş.a.m.d.). Tot aşa, în loc de a rezolva ecuaţia
ax = b, se spune: a împărţi b prin a; această operaţie se notează „:” şi are o semnificaţie
concreta (de câte ori se cuprinde a în b, câte părţi de măsură a se pot face dintr-un
obiect de măsură b ş.a.m.d.).
Datorită operaţiilor inverse, se ocoleşte noţiunea de ecuaţie şi cu ajutorul celor
patru operaţii aritmetice se pot rezolva un număr mare de probleme puse de practică.
Problemele complexe se descompun în probleme simple, care duc la forma x = a + b, x =
a - b, x = ab, x = a:b, unde a şi b sunt numere date sau care se află în prealabil tot prin
probleme de acest tip. În cadrul aritmeticii se rezolvă şi probleme a căror ecuaţie este
mai complicată. Cele mai importante sunt cazurile când ecuaţia are forma: x:a = b:c sau
a:x = b:c. Aceste probleme sunt obiectul unui capitol special – „Regula de trei”.
La capitolul „Procente” apare nevoia de a rezolva ecuaţia: 100
NpP în raport cu N
sau în raport cu p (aflarea întregului când se cunoaşte un număr de procente din el,
aflarea raportului procentual a două numere); la probleme de amestec şi aliaj apare nevoia
de a rezolva ecuaţia bft : (t - titlul, f - greutatea metalului preţios, b - greutatea
brută a întregului aliaj). Aceste probleme se rezolvă prin regula de trei simplă sau pe baza
„proprietăţilor operațiilor”. Comun acestor ecuaţii este faptul că necunoscuta figurează o
singură dată.
Să considerăm în schimb problema: Ce număr trebuie să adăugăm la ambii termeni ai
fracţiei 18
11 ca să obţinem o fracţie egală
3
2? Este drept că problema se poate rezolva pe
cale aritmetică (aflarea a doi termeni când se cunoaşte diferenţa 18 – 11 = 7 şi raportul
4
2:3), dar în mod obişnuit această problemă este privită ca problemă de algebră. Ecuaţia ei
este:
3
2
18
11
x
x.
Deosebirea esenţială dintre această ecuaţie şi cele precedente constă în faptul că
necunoscuta figurează aici de două ori. În general, se poate spune că: dacă în ecuaţia unei
probleme necunoscuta figurează cel puţin de două ori, avem de-a face cu o problemă de
algebră. Acest fapt a fost verificat pe un număr mare de probleme din diferite manuale
de algebră. Aici avem în vedere problemele cu o singură necunoscută. Problemele cu două
sau mai multe necunoscute sunt, în general, probleme de algebră - în afară de cazul când
problema se reduce uşor la o problemă cu o singură necunoscută, valorile celorlalte
necunoscute fiind uşor de aflat îndată ce s-a aflat valoarea uneia din ele. Nu avem în
vedere aşa-numitele probleme tipice, nici problemele care se rezolvă prin metode speciale
(metoda ipotezelor, metoda retrogradă etc).
2. Problemele inverse. Deosebirea dintre problemele de aritmetică şi problemele de
algebră cu o singură necunoscută se poate pune în evidenţă şi cu ajutorul noţiunii de
problemă inversă. Am arătat mai sus că ecuaţiile cele mai simple apar la definirea
operaţiilor inverse. Această idee se poate generaliza. Fiind dată o problemă în care
intervin n numere cunoscute, a1, a2, ..., an şi un număr necunoscut x, o problemă inversă
faţă de cea dată este aceeaşi problemă, dar în care x şi numerele a1, a2,..., ak-1, ak+1, ..., an
sunt date, iar ak este necunoscut. O problemă admite atâtea probleme inverse câte
numere cunoscute intervin în enunţul ei.
La aritmetică, problema inversă se foloseşte deseori pentru a face proba. De cele
mai multe ori, o problemă de algebră este inversa unei probleme de aritmetică (v. şi I, § 4;
3, unde acest fapt a apărut într-o ordine de idei apropiată). Vom verifica această
afirmaţie pe un exemplu. Considerăm situaţia următoare: Şoseaua care uneşte două
localităţi A şi B urcă tot timpul. Un biciclist merge la deal cu o viteză v kmloră, iar când
merge la vale viteza sa este cu v’ kmloră mai mare. El face drumul de la A la B în t ore, iar
de la B la A în t’ ore.
Când merge la deal, biciclistul are viteza v şi parcurge drumul AB în t ore, deci AB =
vt; când merge la vale, el are viteza v + v’ şi parcurge distanţa AB în t’ ore, deci AB = (v +
v’)t’. Scriind că cele două expresii ale distanţei AB sunt egale, obţinem relaţia:
.'' tvvvt Aici intră patru numere v, v’, t, t’, deci se pot compune patru probleme, după
cum se cere unul sau altul dintre aceste numere, şi anume:
a) Se dă: v = 9, v' = 6, t = 5; se cere t. Aceasta corespunde unei probleme uşoare de
aritmetică, şi anume: Biciclistul merge la deal cu 9 km/oră şi parcurge un drum AB în 5
ore. Viteza cu care merge la vale este cu 6 km/oră mai mare. În cât timp va parcurge
biciclistul drumul de la B la A”? Se obţine uşor pe cale aritmetică: .369
59' oret
5
Dacă privim această problemă ca directă, celelalte probleme sunt:
b) Se dă v = 9, v’ = 6, t’ = 3 şi se cere t.
c) Se dă v = 9, t = 5, t’ = 3 şi se cere v’.
d) Se dă v’ = 6, t = 5, t’ = 3; se cere v. Textul corespunzător se compune uşor.
Problemele b) şi c) sunt probleme uşoare de aritmetică. Problema d) însă este o
problemă de algebră. Ecuaţia ei este: .635 xx
Aşadar, din cele patru probleme posibile, trei sunt de aritmetică şi una este de
algebră. Acest lucru se putea vedea direct pe ecuația (1). Se constată că t’, t şi v’
figurează câte o singură dată, iar v figurează de două ori. Mai observăm că, dacă pornim
de la problema d), toate problemele inverse sunt uşoare. Acest fapt va fi folosit ca mijloc
de a-i învăţa pe elevi să pună probleme în ecuaţie (v. § 3; 2).
Independent de scopul urmărit aici, acest procedeu poate fi folosit pentru a
compune probleme de algebră.
3. În ce constă dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică? În mod
obişnuit, pentru a rezolva o problemă de aritmetică, se procedează astfel: problema
propusă se descompune în probleme simple, care se rezolvă printr-o singură operaţie,
astfel încât fiecare din ele să se poată rezolva pe baza datelor din problemă sau folosind
rezultatele problemelor simple rezolvate în prealabil, iar rezultatul ultimei probleme
simple să constituie totodată răspunsul la problema propusă. Să luăm, de exemplu,
problema următoare care nu este dintre cele mai uşoare.
Într-un camion s-au încărcat 2 200 kg de cereale, şi anume: 11 saci de grâu de cîte
80 kg sacul, 7 saci de orz şi 12 saci de porumb; 3 saci de orz cântăresc cu 20 kg mai mult
decît 2 saci de grâu. Cât cântăreşte 1 sac de porumb?
Această problemă se descompune în următoarele probleme simple care îndeplinesc
condiţiile de mai sus:
I. Cât cântăresc cei 11 saci de grâu? kg8801180
II. Cât cântăresc 2 saci de grâu? kg160280
III. Cât cântăresc 3 saci de orz? 160 + 20 = 180 kg
IV. Cât cântăreşte 1 sac de orz? 180 : 3 = 60 kg
V.Cât cântăresc 7 saci de orz? 60 – 7 = 420 kg
VI.Cât cântăresc cei 11 saci de grâu şi cei 7 saci de orz împreună? 880 + 420 = 1300 kg
VII. Cât cântăresc cei 12 saci de porumb? 2200 – 1300 = 900 kg
VIII. Cît cîntăreşte 1 sac de porumb? 900:12 = 75 kg
Soluţia problemei este dată de expresia: VII I VI II III IV V VIII
,12:73:2028011802200 x în care cifrele romane puse deasupra semnelor
operaţiilor indică problema la care se răspunde prin operaţia respectivă. Pentru ca elevii
să poată rezolva astfel de probleme, se face o pregătire în două direcţii. În primul rând,
pe măsură ce se înaintează în predarea aritmeticii, în decursul anilor, se rezolvă în
prealabil multe probleme simple. Datorită acestei pregătiri, elevii rezolvă cu mare uşurinţă
6
fiecare dintre problemele simple şi, mai mult, ei parvin să recunoască şi să pună astfel de
probleme atunci când este cazul. Se creează astfel un anumit fond de „prefabricate”, de
piese gata făcute pentru a fi asamblate.
În al doilea rând, nu se trece de-a dreptul la probleme atât de lungi ca cea de mai
sus. Astfel de probleme se dau abia după ce s-au rezolvat probleme care se descompun în
două, apoi în trei probleme simple ş.a.m.d. şi unde problemele simple componente se
rezolvă prin operaţii felurite: o adunare şi o împărţire, o înmulţire şi o scădere ş.a.m.d. În
felul acesta, elevii învaţă treptat să descompună o problemă în probleme simple. Această
descompunere este de multe ori înlesnită de ordinea în care apar datele în enunţul
problemei şi de faptul că problemele de aritmetică au de cele mai multe ori o formă
narativă. La nevoie, îi dăm noi această formă, căutăm să vedem „cum s-au petrecut
lucrurile”. În cazul problemei de faţă, se consideră că s-au depus în camion întâi sacii de
grâu, apoi sacii de orz - căci putem afla greutatea lor - , iar la urmă sacii de porumb, care
figurează în întrebare. Astfel, apar problemele I şi V de mai sus, iar problema a V-a ne
obligă să ne punem şi să rezolvăm problemele II-IV. Acţiunile concrete din care se
compune încărcarea camionului corespund problemelor simple în care trebuie să
descompunem problema propusă şi ne arată cum să facem descompunerea.
Aşadar, elevii parvin să rezolve probleme aritmetice obişnuite datorită unei duble
pregătiri îndelungate: rezolvarea problemelor simple şi descompunerea problemelor
complexe în probleme simple, această descompunere fiind de multe ori înlesnită de un
anumit paralelism cu nişte acţiuni concrete. Aceste probleme sunt obişnuite nu prin
caracterul lor propriu, ci prin faptul că în şcoală se obişnuieşte să se rezolve astfel de
probleme - lucru determinat în parte de faptul că ele sunt apropiate de probleme ce apar
în practică.
Alta este situaţia problemelor care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor. Exemplu:
„Şoseaua care uneşte localităţile A şi B urcă mereu. Viteza cu care un biciclist merge la
vale este cu 6 km/oră mai mare decât viteza cu care merge la deal. El face drumul de la A
la B în 5 ore, iar drumul de la B la A în 3 ore. Cu ce viteză merge biciclistul la deal?”
Soluţia aritmetică nu este deloc uşoară. Problema se poate descompune în probleme
simple astfel:
I. Dacă biciclistul merge la deal timp de 3 ore, câţi kilometri îi mai rămân de făcut
ca să ajungă în B? ............ .1836 km (căci, dacă merge la vale, ar parcurge în 3 ore
tot drumul; mergând la deal el face în fiecare oră cu 6 km mai puţin, deci în 3 ore - cu
.1836 km mai puţin decât tot drumul)
II. În cât timp face el acest drum? .............. 5 – 3 = 2 ore
III. Cu ce viteză merge? ............ 18 : 2 = 9 km/oră
Soluţia problemei este dată de expresia: I III II
6 – 3 : (5 – 2), unde cifrele romane indică problema simplă corespunzătoare.
7
Această problemă se rezolvă prin aceeaşi metodă ca şi cea precedentă, şi anume: prin
descompunere în probleme simple. Ea este mai scurtă, căci se rezolvă doar prin trei
operaţii. Totuşi, ea este cu mult mai grea. Care este cauza?
Este o chestiune de obişnuinţă. Am arătat mai sus că elevii reușesc să descompună
probleme complexe în probleme simple datorită faptului că au rezolvat în prealabil multe
probleme simple şi astfel ajung să le recunoască cu uşurinţă atunci când se ivesc, în cazul
de faţă, această condiţie nu este îndeplinită, căci elevii nu au rezolvat în prealabil o
problemă cu enunţul următor: şoseaua care uneşte două localităţi A şi B urcă mereu.
Viteza cu care un biciclist merge la vale este cu 6 km/oră mai mare decât viteza cu care
merge la deal. Biciclistul parcurge drumul de la B la A în 3 ore.
Câţi kilometri îi mai rămân de făcut dacă merge la deal timp de 3 ore? Dacă elevii ar
fi obişnuiţi cu probleme de acest fel, ca de exemplu: 1 kg de piersici costă cu 6 lei mai
mult decât 1 kg de prune. Dacă, în loc de 3 kg de piersici, cumpăr 3 kg de prune, câţi bani
îmi rămân? Sau: O ladă mare conţine cu 6 kg mai mult decât o ladă mică. În loc de 3 lăzi
mari, am primit 3 lăzi mici. Câte kilograme de marfă mai am de primit? - formularea
problemei simple I ar fi mult uşurată. Dar în practica şcolară astfel de probleme se pun
rareori; de cele mai multe ori se cunoaşte viteza, preţul unui kilogram de fructe,
greutatea unei lăzi, nu diferenţa de viteze, de preţuri, de greutate; de aceea ne vine greu
să desprindem din problema în cauză prima problemă simplă.
Aşadar, deosebirea dintre problemele de aritmetică şi cele de algebră nu este
esenţială. Totul depinde de felul problemelor simple cu care suntem obişnuiţi. Unui elev
care a făcut foarte puţine probleme simple, prima problemă îi pare tot atât de grea ca a
doua. În general, greutatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică se datoreşte
faptului că nu suntem destul de familiarizaţi cu problemele simple în care ele se pot
descompune.
4. Caracterul relativ al acestei clasificări. Împărţirea unui anumit cerc de probleme în
două clase: probleme de aritmetică şi probleme de algebră, nu are aşadar nici un temei
obiectiv. Totul depinde de gradul de familiarizare a rezolvitorului cu problemele simple
corespunzătoare. Dacă în şcoală s-ar cultiva mai mult unele tipuri de probleme, hotarul
dintre problemele de aritmetică şi cele de algebră s-ar deplasa în favoarea primelor.
Pentru a arăta şi mai bine cât de relativă este această clasificare, să punem şi ipoteza
inversă. Să presupunem pentru un moment că la aritmetică s-ar învăţa cele două operaţii
directe, adunarea şi înmulţirea, iar scăderea şi împărţirea nu ar fi cristalizate ca operaţii
deosebite. Atunci probleme atât de simple ca: un muncitor are de făcut 38 de piese şi a
făcut până în prezent 15 piese; câte mai are de făcut? Sau: un muncitor face 15 piese pe
oră; în cât timp face el 180 de piese? ar fi privite ca probleme de algebră, care se rezolvă
cu ajutorul ecuaţiilor 3815 x şi 18015 x . În aceste condiţii, prima dintre problemele
de mai sus ar fi o problemă de algebră care se rezolvă cu ajutorul sistemului de ecuaţii:
8
,22007118012
202803
yx
y
unde y reprezintă greutatea unui sac de orz, iar x greutatea unui sac de porumb (să se
observe că în aceste ecuaţii intervin numai adunări şi înmulţiri, nici o operaţie inversă).
Hotarul dintre problemele de aritmetică şi cele de algebră s-ar deplasa astfel
sensibil în favoarea acestora din urmă. Practic, acest hotar - care nu este foarte precis -
a rezultat din condiţiile de organizare a învăţământului. Chestiunea are şi un aspect social.
Înainte de Reforma învăţământului din 1948, exista în ţara noastră şcoala primară închisă,
fără perspectiva ca absolvenţii ei să poată trece în învăţământul mediu şi apoi în cel
superior. La această şcoală primară se preda numai aritmetica, algebra fiind rezervată
pentru licee (până şi în fostele şcoli normale se făcea foarte puţin algebră). Sunt însă
unele probleme care nu sunt aplicaţii imediate ale celor patru operaţii aritmetice şi se
rezolvă mai uşor cu ajutorul ecuaţiilor, dar care trebuie incluse în programa şcolii primare
din cauza caracterului lor practic (procentele, problemele de amestec şi aliaj). Aceste
chestiuni au fost incluse în programa de aritmetică. Un exemplu caracteristic sunt
problemele de sută mărită şi sută micşorată. Ele sunt probleme tipice de algebră, ecuaţia
este de forma bax
x 100
(necunoscuta intervine de două ori), iar la aritmetică ele
formează un capitol deosebit.
Încheiem aceste consideraţiuni cu observaţia că în condiţiile generalizării
învăţământului, când toţi copiii capătă şi cunoştinţe de algebră, devine actuală
reexaminarea conţinutului aritmeticii şcolare. Toate problemele „tip” care se rezolvă prin
metode speciale ar urma să fie trecute la algebră - unde îşi găsesc locul firesc - chiar
dacă rezolvarea lor pe cale aritmetică este un prilej de a stimula inventivitatea unora
dintre elevi. Mai mult, şi o serie de teme care fac parte din programa tradiţională de
aritmetică ar putea fi trecute la algebră.
INDICAŢII METODICE
1. Consideraţii generale 2. Regula fundamentală 3. Exerciţii parțiale 4.
Analiza ecuaţiei unei probleme 5. Una sau mai multe necunoscute 6.
Întocmirea unor tabele 7. Probleme care duc la ecuaţii de aceeaşi formă
8. Lecţii speciale de punere a problemelor în ecuaţie
1. Consideraţii generale. În multe manuale de algebră se spune că nu se poate da nici o
regulă după care se pun probleme în ecuație. Acest lucru este adevărat. Este şi firesc să
fie aşa. Ecuaţiile însele sunt un instrument de rezolvare a problemelor. Un instrument
matematic, ca orice instrument, este util numai dacă ştim să-l mânuim. În această mânuire
9
intervine totdeauna un element viu, gândirea omului, care nu poate fi eliminat - cel puţin în
învăţământ. Punerea problemelor în ecuaţie constituie tocmai acest element viu, care nu
poate fi turnat în tipare. De aceea, ne vom mărgini în cele ce urmează la câteva indicaţii
sistematice cu caracter didactic.
În multe manuale se dă un plan de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuaţiilor
(alegerea necunoscutei, punerea problemei în ecuaţie, rezolvarea ecuaţiei, proba). Acest
plan este de puţin folos. El dă o imagine falsă a realităţii prin faptul că pune punctul al
doilea - formarea ecuaţiei - pe acelaşi plan cu celelalte, când, de fapt, acest punct conţine
aproape totul. Singura indicaţie care s-ar putea da în această privinţă ar fi următoarea: se
exprimă sub formă de ecuaţie relaţiile dintre datele problemei şi necunoscute. Dar
această indicaţie este prea generală pentru a fi utilă. În cele ce urmează facem, într-o
ordine întâmplătoare, unele recomandări.
2. Regula fundamentală. Greutatea principală pe care o întâmpină elevii la punerea
problemelor în ecuaţie se datoreşte nu atât de mult faptului că ei nu-şi dau seama ce
relaţii există între mărimile ce intervin în problemă, cât faptului că nu sunt obişnuiţi să
exprime aceste relaţii cu ajutorul necunoscutei sau necunoscutelor. De exemplu, în cazul
relaţiei S = vt, orice elev ştie să calculeze drumul parcurs de un mobil care are o mişcare
uniformă când cunoaşte viteza şi timpul, dar pentru aceasta v şi t trebuie să fie daţi
numeric; le vine greu „să exprime” drumul parcurs când v sau t conţine necunoscuta. De
aceea, punerea problemelor în ecuaţie este mult uşurată dacă se ia mai întâi pentru
necunoscută un număr luat la întâmplare şi se rezolvă problema inversă, apoi se pune în
locul numărului arbitrar litera x, ca în exemplele următoare:
1) Două maşini pleacă în acelaşi timp din oraşul A şi merg spre oraşul B. Prima maşină
merge cu viteza de 60 km/oră, a doua merge cu o viteză de 40 km/oră şi ajunge în oraşul
B mai târziu cu două ore decât prima. Se cere distanţa dintre cele două oraşe.
Presupunem că am rezolvat problema, că am aflat că distanţa este de 300 km, de
exemplu, şi facem proba, calculând cu cât ajunge maşina a doua mai târziu - trebuie să dea
două ore. Se obţine:
timpul în care prima maşină face drumul: ore560
300 ;
timpul în care maşina a doua face drumul: ore2
1740
300 ;
întârzierea: .22
1252
1760
300
40
300
Bineînţeles, proba nu a ieşit - nu am ghicit rezultatul. Acum notăm cu x distanţa
dintre cele două localităţi. În loc de ;60
apare60
300 x în loc de .
40
xapare
40
300 Facem scăderea
6040
xx şi punem condiţia ca diferenţa să fie egală cu 2. Obţinem ecuaţia: ,2
6040
xxcare
dă x = 240. Lucrările se pot aşeza pe două coloane astfel:
10
26040
40
60
252
17
217
40
300
560
300
300
xx
x
x
x
Mai frumos este dacă rezultatul problemei numerice se exprimă direct printr-o
formulă, apoi se taie peste tot numărul 300 şi se înlocuieşte cu x. Pe tablă apare direct
ecuaţia problemei: .26040
xx
Să observăm că, dacă notăm cu V şi v vitezele, cu d distanţa dintre cele două oraşe,
iar cu i întârzierea, între aceste mărimi există relaţia: .V
d
v
di În problema propusă,
necunoscuta este d. Problema preliminară rezolvată de noi a fost o problemă uşoară de
aritmetică în care necunoscuta era i; v şi V intră de asemenea câte o singură dată, deci
luând aceste mărimi ca necunoscute, obţinem de asemenea probleme de aritmetică. Este
greu de spus de ce am preferat problema în care necunoscuta este i.
2) În magazia unui restaurant se găsesc 1-20 kg de orez, 150 kg de griş. S-a consumat de
3 ori mai mult griş decât orez şi în magazie a rămas de două ori mai mult griş decât orez.
Cât orez s-a consumat?
Presupunând că s-au consumat 20 kg de orez, lucrările se prezintă astfel:
.36,23150
1202
3150
120
3150
3
120
290
100
9060150
60320
10020120
20
xx
x
x
x
x
x
x
x
În cazul când se foloseşte o formulă numerică, se obţine: .2203150
20120
3) Să luăm şi o problemă destul de grea, cu două necunoscute: A spune lui B: „Eu am acum
de 2 ori mai mulţi ani decât ai avut tu când eu am avut vârsta ta de acum, iar când tu vei
avea vârsta pe care o am eu acum, vom avea împreună 36 de ani”. Ce vârstă are fiecare din
ei?
Presupunând că A are, de exemplu, 14 ani, iar B are 10 ani se poate judeca astfel: A
a avut vârsta lui B în urmă cu 14 – 10 = 4 ani; atunci B a avut 10 – 4 = 6 ani. Raportul dintre
vârsta lui A de acum şi vârsta lui B de atunci este de 26:14 ş.a.m.d. Se obţine schema:
11
362
2
22
2
;
36321418
18414
41014
26
14
6410
41014
10;14
xyx
yxyxx
yx
xy
x
xyyxy
yx
yxaniani
Se obţine sistemul:
12
16
363
43
y
x
yx
yx.
Dat fiind caracterul neobişnuit al acestei probleme, în clasă se simte nevoia de a
face lucrările din stânga liniei verticale de 2 ori, luând pentru x şi y alte valori. Acest
procedeu izvorăşte din însăşi metoda algebrică de a aborda problemele şi din faptul că
orice problemă de algebră poate fi privită ca problema inversă a unei probleme de
aritmetică.
Dăm şi soluţia aritmetică a problemei, care este interesantă prin faptul că prima
ecuaţie se obţine pe cale intuitivă, fără calcul algebric, iar ecuaţia a doua nu apare deloc.
Fie OA vârsta lui A, iar OB vârsta lui B. În fiecare an, fiecare dintre punctele A şi B se
deplasează spre dreapta cu o unitate. Când punctul A se găsea în B, B se găsea într-un
punct B’, astfel încât B’B = BA.
Din prima parte a enunţului rezultă că OA = 2OB’, adică OB’ = B’A. Dar B’A este
format din două segmente, BB’ = BA. Atunci OB este format din 3 segmente egale cu BA,
iar OA din 4 segmente egale cu BA (adică OB :OA = 3 : 4 sau 3OA = 4OB 3x = 4y -
prima ecuaţie a sistemului). Când B va fi în A, adică atunci când va fi înaintat cu BA, A va
fi înaintat şi el cu un segment egal cu BA şi se va găsi într-un punct A’. Atunci vârstele lor
vor fi: OB’ = 4 segmente, OA’ = 5 segmente, suma vârstelor lor va fi reprezentată de 4 + 5
= 9 segmente. Această sumă este 36, deci un segment reprezintă 36: 9 = 4. B are 4 – 3 =
12 ani, iar A are 4 – 4 = 16 ani.
Totuşi, nu trebuie abuzat de acest procedeu, căci duce la diluări inutile. Procedeul
trebuie folosit cu tact, şi anume: la început, când se începe un gen nou de probleme
(probleme de mişcare, de amestec etc.) şi ori de câte ori punerea unei probleme în ecuaţie
merge greu.
3. Exerciţii parţiale. De multe ori elevii nu reuşesc să pună o problemă în ecuaţie nu din
cauza unei ignoranţe totale, ci pentru că nu ştiu să folosească una sau alta din datele
problemei. De aceea, sunt utile exerciţii de exprimare sub formă algebrică a unor relaţii
sau de formare a unor expresii algebrice ca următoarele:
a) Să începem cu transcrierea cu semne matematice a afirmațiilor: a este mai mare
(mai mic) decât b cu... şi a este mai mare (mai mic) decât b de... ori. Elevii fac deseori
12
greşeala de tipul următor: pentru a exprima că a este mai mare decât b cu 2, ei scriu a + 2
= b. Aceasta se datoreşte unei confuzii între a este mai mare decât b cu 2 şi a mărit cu 2
este b, şi faptului că se poate folosi semnul „+” sau „ –”.
7 este mai mare decât 5 cu 2; acest lucru se poate exprima în trei moduri: 7 – 5 =
2, 5 + 2 = 7, 7 – 2 = 5. După acest model se fac exerciţii ca următoarele:
x este cu 5 mai mare decât 17... x = 17 + 5 sau x – 5 = 17 sau x – 17 = 5;
x este cu 8 mai mic decât a ... x = a – 8 sau a = x + 8 sau a – x = 8;
5(x + 1) este cu 18 mai mare decât 3(x – 2) ... 5(x + 1) = 3(x – 2) + 18 sau 5(x + 1) –
3(x – 2) = 18 sau 5(x+ 1) – 18 = 3(x – 2).
Trebuie continuate exerciţiile de tipul ultimului până când elevii dau rapid şi sigur
răspunsurile sub cele trei forme. Un sfat practic şi simplu este următorul: pentru a scrie,
de exemplu, că a este cu 5 mai mare decât b, se scrie provizoriu a = b; apoi se adaugă 5 la
numărul mai mic, adică la b, şi apare a = b + 5; sau se scade 5 din numărul mai mare şi
apare a – 5 = 6. Se recomandă să se procedeze la fel pentru expresiile: mai mare (mai mic)
de ... ori. Aici, mai mult decât în cazul precedent, este util ca elevii să ştie să exprime
relaţia în două moduri, astfel încât ea să apară şi sub forma de raport. De exemplu: 2x + 5
este de 3 ori mai mare decât x – 2 se scrie: 2x + 5 = 3(x – 2) sau x – 2 = 3.
Aceste exerciţii, ca şi cele precedente, pot fi puse în legătură şi cu modul în care o
ecuaţie se transformă într-o altă ecuaţie echivalentă cu ea. De exemplu, în cazul x = a + 8,
celelalte relaţii se deduc din prima, trecând termenul a sau 8 în partea stângă.
Exerciţii de acest fel, ca şi de felul celor care urmează se pot face sistematic sau
atunci când se simte nevoia, adică înainte de a aborda problemele în care intervin
asemenea expresii sau atunci când apar greşeli. În ultimul caz se întrerupe problema, se
dau explicaţiile necesare şi se face un număr suficient de exerciţii.
b) La problemele în care intervin procente apar greutăţi din cauză că elevii ştiu să
calculeze cu procente numai în cazuri numerice. Sunt recomandabile exerciţii ca
următoarele:
100
7203203din%7
100
2150150din%2;
100
483483din%
100
5din%5;
100
5483483din%5
xx
xx
xx
xx
c) Situaţia este asemănătoare la problemele în care intervine concentraţia unei
soluţii sau titlul unui aliaj, dar puţin mai grea, fiindcă nu toţi elevii au idei clare despre
aceste noţiuni. Înainte de a trece la probleme de acest fel trebuie să revenim asupra
noţiunilor respective şi să-i învăţăm pe elevi să folosească formule - nu regula de trei. De
13
exemplu, concentraţia unui amestec dintr-o substanţă oarecare (alcool sau un acid) şi apă
este dată în procente (grade) de formula:
.1000
:aliajunuititluliar,100
brutagreutatea
fina greutateatitlul
totalagreutatea
alcooluluigreutateaiaconcentrat
După ce elevii au înţeles bine aceste formule sunt necesare exerciţii ca
următoarele:
Concentraţia unei soluţii care conţine:
15 g de sare şi 250 g de apă.................................................... 10015250
15
a grame de sare şi 100 g de apă..............................................100
100100
100
a
a
a
a
(x + 20) kg de alcool şi y kg de apă.........................................
20
10020
yx
x
(x + 3y) kg de alcool şi câtăreşte în total (15x + y) kg.............
yx
yx
15
1003
De asemenea:
titlul unui aliaj care conţine 12 g de aur
şi a g de cupru.............................................................................. 100012
12
a
titlul unui aliaj care conţine 3 kg de nichel
şi cântăreşte x kg............................................................................ 10003
x
titlul unui aliaj care cântăreşte (a + 12) kg,
în care greutatea metalului fin este cu b kg
mai mică decât greutatea totală...................................................... 100012
12
a
ba ş.a.m.d.
Poate nu este necesar să se facă şi exerciţii inverse, de exemplu, să se exprime
greutatea fină ca funcţie de titlu şi greutatea totală.
d) Situaţia este asemănătoare cu formula S = vt. Elevii trebuie să înveţe să o
folosească şi atunci când S, v şi t sunt expresii algebrice. De data aceasta sunt necesare
toate formele (şi t = s : v şi v = s: t).
Exemple de exerciţii:
1) Un mobil merge timp de t + 2 secunde cu viteza v – 3; se cere drumul parcurs.
2) Un automobil parcurge distanţa de 380 km în t – 2 ore în loc de t ore; cu cât şi-a
mărit el viteza?
14
3) Un motociclist trebuia să facă un drum mergând timp de t ore cu o viteză de v
km/oră. El a mers o oră mai puţin, dar viteza sa a fost cu 12 km/oră mai mare. Să se afle
diferenţa dintre drumul pe care trebuia să-l parcurgă şi cel parcurs.
Răspunsuri: .1212112)3;380
2
380)2;32)1
vttvvttt
vt
e) Menţionăm, în sfârşit, problemele cu privire la cifrele unui număr scris în
sistemul zecimal, în care intervine, de exemplu, suma cifrelor unui număr, răsturnatul unui
număr ş.a. înainte de a aborda aceste probleme sunt utile exerciţii ca următoarele - dacă
nu au fost făcute în cadrul capitolelor anterioare:
Să se scrie numărul în care cifra zecilor este x, iar cifra unităţilor este y; să se
scrie răsturnatul numărului care se scrie cu cifrele x, y, z (luate de la stânga spre
dreapta); un număr este format din cifrele x, y, z; să se calculeze numărul care se obţine
scăzând din el suma cifrelor sale (apare regula de divizibilitate cu 9) ş.a.
În legătură cu aceste probleme, dar în altă ordine de idei, menționăm că ele au un
oarecare dezavantaj. Dat fiind că necunoscutele pot lua numai valori cuprinse între 0 şi 9,
sistemele corespunzătoare se pot rezolva şi dacă numărul ecuaţiilor este cu 1 mai mic
decât numărul necunoscutelor. Obligându-i pe elevi să le rezolve numai prin metoda
obişnuită, încurajăm tendinţa lor de a aplica mereu metodele învăţate, fără a ţine seama
de specificul problemei pe care o au în faţă. Probleme cu această temă pot fi date cu folos
în legătură cu soluţiile unei singure ecuaţii cu două necunoscute.
4. Analiza ecuaţiei unei probleme.
a) În primul rând trebuie respectată regula, general valabilă, de a nu trece la
rezolvarea unei probleme înainte de a ne asigura că elevii cunosc bine enunțul ei - ceea ce
nu se face întotdeauna. Pentru aceasta se scriu datele schematic pe tablă şi se cere unui
elev să repete enunţul ei cu cuvinte proprii, eventual se mai repetă o dată, apoi se
stabileşte bine ce se dă şi ce se cere. Abia pe urmă se trece la rezolvare.
b) La fixarea necunoscutei se foloseşte de obicei o exprimare prescurtată, ca:
notăm cu x timpul sau notăm cu x grâul şi cu y porumbul. Acest lucru nu este rău. Este însă
mai bine să obligăm elevii, cel puţin la început, să se exprime complet, să spună: notăm cu x
numărul care arată câte ore merge..., respectiv: notăm cu x numărul care arată câte
kilograme de grâu... şi cu y câte kilograme de porumb... Aceasta nu înseamnă să fim
pedanţi. Aceste formulări, deşi sunt lungi, îi fac pe elevi să vadă mai clar lucrurile.
c) Trebuie să avem grijă ca elevii să-şi dea perfect seama de semnificaţia fiecărui
factor şi a fiecărui termen din ecuaţie. Să luăm, de exemplu, problema următoare (alegem
înadins o problemă uşoară, căci ne referim aici în special la primele probleme): Pentru a
transporta nişte cereale de la magazia unei cooperative agricole de producţie la gară se
foloseşte o camionetă şi un camion... În camion încap cu 700 kg mai mult decât în
camionetă. Camioneta a făcut de 5 ori drumul, camionul l-a făcut de 3 ori şi au fost
transportate în total 16500 kg de cereale. Ce capacitate are fiecare din aceste vehicule?
15
După ce s-a scris ecuaţia: ,1650070035 xx ea trebuie analizată prin întrebări
ca: „Ce reprezintă factorul 5?”, „Factorul x?”, „Ce arată termenul 5x?”, „Ce exprimă
ecuaţia?” (cantitatea de cereale pe care le transportă camioneta şi cea transportată de
camion fac împreună 16500 kg).
Am considerat cazul în care această analiză se face după ce ecuaţia a fost scrisă.
Ea este utilă în primul rând celorlalţi elevi, care au avut un rol receptiv – dacă nu chiar
pasiv – la formarea ecuației, dar ea este utilă şi elevului de la tablă căci astfel el îşi dă şi
mai bine seama de ceea ce a făcut. Ar fi enervant să-l obligăm să dea toate explicaţiile
acestea în timp ce scrie ecuaţia, dar ele pot deveni utile când elevul se poticneşte. De
exemplu, în cazul ecuaţiei de mai sus, elevul a scris 5X şi nu vede clar cum trebuie să
continue. Atunci este utilă întrebarea: „Ce reprezintă 5x?” – pentru a fi urmată de
recomandarea: „Exprimă în acelaşi fel cantitatea de cereale pe care o transportă
camionul”.
Dacă această analiză face apel la posibilităţile elevilor de a se exprima, întrebări ca
următoarele merg mai direct la ţintă: „Cum se schimbă ecuaţia problemei dacă camioneta
face de 7 ori drumul?”, „Dacă camionul face de 4 ori drumul?”, „Dacă capacitatea
camionului este cu 1200 kg mai mare decât a camionetei?”, „Dacă s-au transportat în total
25000 kg de cereale?”. Pentru a rezolva o problemă ca aceasta, s-a format ecuaţia:
;300001200811 xx care a fost problema?
La aceste întrebări în afară de ultima, s-ar putea întâmpla ca un elev să răspundă
înlocuind mecanic numărul corespunzător din ecuaţie. Profesorul va şti să deosebească
răspunsurile gândite de celelalte.
Se poate trece apoi la întrebări ca următoarele, care privesc operaţiile: „Cum se
schimbă ecuaţia dacă în camion se încarcă cu 300 kg mai puţin decât în camionetă?”, „Dacă
capacitatea camionului este de două ori mai mare decât a camionetei?”, „Dacă se foloseşte
şi o căruţă cu cai care are o capacitate cu 800 kg mai mică decât camioneta şi căruţa face
de 4 ori drumul?”.
Astfel de exerciţii sunt foarte bine primite de clasă. Elevii au satisfacţia pe care
ţi-o dă înţelegerea deplină a unui lucru. Răspunsurile fiind scurte, se pot antrena mulţi
elevi.
d) Trebuie să explicăm elevilor că se pot aduna (sau scădea) numai expresii care
reprezintă mărimi de acelaşi fel şi că se obţine o mărime tot de acelaşi fel. Astfel, în
exemplul de mai sus, 5x reprezintă o masă exprimată în kilograme, expresia 3(x + 700) -
de asemenea, tot aşa şi 16500. Acest lucru este util când se formează ecuaţia. Se evită o
greşeală frecventă: având de rezolvat problema: Apa unui râu curge cu o viteză de 2,5
km/oră. Un vapor parcurge o anumită distanţă la deal în 6 ore, iar la vale în 8 ore. Care
este viteza proprie a vaporului?
16
Un elev scrie ecuaţia: 5,285,26 xx , în loc de 5,285,26 xx . El a
adunat x – 6, care reprezintă o lungime, cu 2,5, care reprezintă o viteză - aceeaşi greşeală
în partea dreaptă a ecuaţiei.
e) De mare importanţă este ca elevii să exprime în cuvinte relaţia care duce la
formarea ecuaţiei. Exemple: în cazul problemei de mai sus cu privire la transportarea
cerealelor la c), s-a arătat cum se exprimă ecuaţia în cuvinte.
În cazul ultimei probleme, trebuie spus: exprimăm în două moduri distanţa pe care o
parcurge vaporul şi egalăm expresiile. Asemenea formulări nu se pot obţine la început.
Elevul, chiar când scrie ecuaţia, nu este în stare să arate în cuvinte ce exprimă ecuaţia. El
lucrează corect, dar îi vine greu să spună ce face. De aceea, este util ca, la început, să
cerem elevilor să dea formularea după ce au scris ecuaţia. Ar fi bine ca şi la problemele pe
care le rezolvă acasă să dea asemenea formulări în scris, de exemplu, după ce au rezolvat
ecuaţia. Treptat, însă, trebuie să ajungem ca elevii să formuleze relaţia în cuvinte, înainte
de a scrie ecuaţia: „Voi scrie că... este egal cu...”.
5. Una sau mai multe necunoscute. Dacă parcurgem problemele dintr-o culegere
oarecare, găsim probleme care sunt, categoric, probleme cu o singură necunoscută şi
probleme care sunt, tot atât de categoric, cu două sau mai multe necunoscute. Există însă
probleme care se află la hotarul dintre aceste două feluri de probleme, ca de exemplu: O
pârghie AB de genul I are o lungime de 40 cm. La capătul A acţionează o forţă de 50 N,
iar la capătul B de 30 N. La ce distanţă de punctul A trebuie să fie punctul de sprijin ca
pârghia să fie în echilibru?
În cazul acestei probleme se poate proceda în două feluri:
1) M fiind punctul de sprijin al pârghiei, se pune AM = x, MB = y şi se obţine
sistemul x + y = 40, 5X = 3y.
2) Dacă braţul AM are lungimea x, celălalt braţ va avea lungimea 40 – x. Legea bine
cunoscută din fizică ne dă ecuaţia 5x = 3(40 – x). Considerăm că o asemenea problemă
trebuie rezolvată cu ajutorul unui sistem din următorul motiv: avantajul metodei algebrice
de rezolvare a problemelor constă în faptul că ea ne scuteşte de raţionamente care
variază de la o problemă la alta, de artificii. Enunţul problemei se traduce în limbajul
ecuaţiilor şi cu aceasta problema este în principiu rezolvată, căci tot restul se face pe
baza unor reguli bine stabilite. Metoda algebrică se foloseşte din plin atunci când această
traducere este cât mai fidelă, orice transformare prealabilă a enunţului constituie o
abatere de la metoda algebrică. În învăţământ este util să păstrăm puritatea metodei. Şi
aceasta nu de dragul ei, ci din motive didactice: în felul acesta, elevii îşi însuşesc mai bine
metoda algebrică.
Pentru a rezolva această problemă printr-o singură ecuaţie, enunţul ei trebuie
transformat în prealabil. Când avem în faţa ochilor un segment AB şi un punct interior O,
relaţia dintre părțile OA, OB şi segmentul întreg AB pe care o sugerează este OA + OB =
17
AB, (x + y = 40). Când notăm lungimea unuia dintre segmente cu x şi scriem că lungimea
celuilalt este 40 – x, folosim o relaţie dedusă, care nu este dată direct în enunţul
problemei.
Considerăm că o problemă trebuie rezolvată cu ajutorul unei singure ecuaţii cu o
singură necunoscută numai atunci când enunţul ei permite să se exprime direct toate
mărimile din problemă prin expresii liniare în funcţie de una din ele. Spunem că mărimea y
se exprimă direct în funcţie de x; atunci simpla transcriere cu semne matematice a părţii
corespunzătoare din enunţ dă o relaţie de forma y = f(x), fără o explicitare prealabilă.
Vom lămuri aceasta prin trei exemple:
1) O maşină a făcut în 3 ore 187 km. În ora a doua ea a făcut cu 7 km mai mult decât în
prima oră, iar în ora a treia - dublul drumului făcut în prima oră. Să se afle drumul pe care
l-a făcut maşina în prima oră.
- notăm cu x drumul parcurs în prima oră; celelalte mărimi sunt: drumul parcurs în
ora a doua 7 x , drumul parcurs în ora a treia x2 ; condiţia este îndeplinită, deci
problema se rezolvă printr-o singură ecuaţie: .18727 xxx
2) O maşină a parcurs un drum de 210,5 km în patru ore. În ora a doua a făcut cu 21 km
mai mult decât în prima oră, în ora a treia - două treimi din drumul făcut în ora a doua, iar
în ora a patra - cât media dintre drumurile parcurse în primele două ore. Să se afle drumul
parcurs de maşină în prima oră.
- dacă notăm cu x drumul parcurs în prima oră, celelalte mărimi sunt:
.
2
212
2
21,
3
212,21
xxxxx
Şi această problemă, deşi este mai grea, se rezolvă printr-o singură ecuaţie:
.5,210
2
212
2
21
3
21221
xxxxxx
Dacă introducem mai multe necunoscute, obţinem sistemul:
5,210
2
212
3
212
21
uzyx
xu
xz
xy
care se reduce prin simple substituţii la ecuaţia de mai sus. Observaţie analogă cu privire
la prima problemă.
3) Problema următoare este extrasă dintr-o culegere de probleme, unde figurează înainte
de sistemele de ecuaţii: „În trei clase sunt în total 119 elevi. În clasa întâi sunt cu 4 elevi
mai mult decât în clasa a doua şi cu 3 elevi mai puţin decât în a treia. Câţi elevi sunt în
fiecare clasă?”
18
- această problemă duce la sistemul:
3
4
119
zx
yx
zyx
Problema nu îndeplineşte condiţia. Ea trebuie considerată ca o problemă cu trei
necunoscute. În legătură cu chestiunea discutată aici, mai observăm următoarele: dacă
pornim pe drumul de a transforma în prealabil enunţul, deosebirea dintre problemele de
algebră şi cele de aritmetică se şterge uneori complet. De exemplu, în cazul ultimei
probleme, dacă suntem obligaţi să folosim o singură necunoscută, trebuie să judecăm
astfel: notăm cu y numărul elevilor din clasa a doua; atunci în clasa întâi vor fi y + 4 elevi;
apoi, dacă în clasa întâi sunt cu 3 elevi mai puţin decât în clasa a treia, atunci în clasa a
treia sunt cu 3 elevi mai mult decât în clasa întâi, deci (y + 4) + 3 = y + 7 elevi; acum
ecuaţia problemei este (y + 4) + y + (y + 7) = 119; transformarea informaţiei cu privire la
clasa a treia revine, de fapt, la următoarele: din ecuaţia x = z – 3 se scoate z = x + 3, iar x
se înlocuieşte cu y + 4; se fac în mod camuflat transformări ale sistemului; de aici până la
rezolvarea sistemului pe cale aritmetică nu este decât un pas, căci acum enunţul problemei
sună astfel: „În clasa întâi sunt cu 4 elevi mai mult decât în clasa a doua, în clasa a treia cu
7 elevi mai mult decât în clasa a doua, iar în total sunt 119 elevi; nu avem decât să scădem
din totalul de 119 elevi 4 + 7 = 11 elevi, diferenţa 119 – 11 = 108 să o împărţim prin 3
ş.a.m.d.
Pe de altă parte, s-a spus mai sus că există probleme care sunt categoric probleme
cu o singură necunoscută. Acest lucru este adevărat numai în cazul problemelor foarte
simple. Când rezolvăm o problemă „compusă” de aritmetică (care se rezolvă prin mai multe
operaţii), introducem, de fapt, nişte necunoscute ajutătoare. Situaţia este aceeaşi la
problemele de geometrie când trebuie aplicată o formulă şi nu se dau direct toate
elementele necesare. De exemplu, într-un trapez dreptunghic se dau bazele B = 11 cm, b =
7 cm şi latura oblică c = 5 cm. Se cere aria trapezului. Pentru a afla aria, se află în
prealabil diferenţa bazelor şi (prin teorema lui Pitagora) înălţimea. Deci şi această
problemă ar putea fi privită ca problemă cu mai multe necunoscute, dar sistemele
corespunzătoare sunt foarte simple.
Toate acestea arată că clasificarea problemelor după numărul necunoscutelor este
relativă, ca şi împărţirea problemelor în probleme de aritmetică şi probleme de algebră. În
şcoală există tendinţa de a rezolva printr-o singură ecuaţie cu o singură necunoscută şi
unele probleme în care enunţul trebuie transformat în prealabil, de exemplu, prima
problemă de la acest punct cu privire la pârghie. Pregătirea elevilor are numai de câştigat
dacă rezolvarea acestor probleme se amână cu câteva săptămâni, până ce elevii vor fi
învăţat şi sisteme de ecuaţii. Dacă mai târziu, când elevii şi-au format o oarecare
dexteritate în punerea problemelor în ecuaţie, un elev sau altul preferă să lucreze cu o
singură ecuaţie, nu există nici un motiv să-l împiedicăm.
19
6. Întocmirea unor tabele. Uneori este recomandabil să se întocmească tabele, fie
pentru a pune în evidenţă ce se dă şi ce se cere în problemă, fie pentru a urmări mai uşor
transformările la care sunt supuse mărimile din problemă. Dăm două exemple:
a) Distanţa dintre două localităţi A şi B este de 48 km. Din A pleacă spre B un biciclist şi
un motociclist. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare decât viteza biciclistului.
Motocictistul pleacă cu 211 ore mai târziu decât biciclistul şi ajunge în B cu 2
11 oră
înaintea lui. Să se afle viteza fiecăruia dintre ei. Se formează următorul tabel:
v t S
Biciclistul x y 48
Motociclistul 4x y - 3 48
Urmărind enunţul, se completează întâi coloana a treia, apoi prima şi la sfârşit a
doua (expresia y – 3 se obţine adunând în prealabil 211 cu 2
11 ). Cele două ecuaţii ale
problemei se obţin apoi scriind că în fiecare rând S = vt. Ele sunt: xy = 48, 4x(y - 3) = 48
şi dau x = 12, y = 48. Asemenea tabele sunt utile în cele mai multe probleme de mişcare.
Soluţia aritmetică. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare decât a
biciclistului. În acelaşi timp, motociclistul ar parcurge un drum de 4 ori mai mare decât
biciclistul, adică km192448 . El ar ajunge astfel într-un punct C situat dincolo de B,
unde AC = 192 km, deci BC = 192 – 48 = 144 km. Pentru a parcurge drumul AB îi trebuie cu
3 ore mai puţin decât biciclistului. În aceste 3 ore, el poate să parcurgă drumul BC, care
este de 144 km, deci viteza sa este de 144 : 3 = 48 km/oră. Viteza biciclistului este de 4
ori mai mică, deci de 48 : 4= 12 km/oră.
b) Avem două vase A şi B, care conţin fiecare o anumită cantitate de lichid. Turnăm din A
în B jumătate din cât conţine B, apoi turnăm din B în A jumătate din cât conţine A şi în
sfârşit turnăm din A în B jumătate din cât conţine B. După aceste trei operaţii, în fiecare
vas se găsesc 27 l. Cât se găsea la început în fiecare dintre aceste vase?
Vasul A Vasul B
La început
După prima operaţie
După operaţia a 2-a
După operaţia a 3-a
x
2
2
2
yxyx
4
36
2
2
2
1
2
2 yxyxyx
8
1314
4
27
2
1
4
36 yxxyyx
y
2
3
2
yyy
4
27
2
2
2
1
2
3 xyyxy
8
621
4
27
2
1
4
27 xyxyxy
20
Nu rămâne decât să se scrie că fiecare dintre expresiile obţinute după operaţia a
treia este egală cu 27. Se obţine sistemul:
20
34
278
621
278
1314
y
x
xy
yx
În cursul lucrărilor care merg destul de greu în clasă, este util să se facă proba
după fiecare operaţie; suma celor două expresii din aceeaşi linie trebuie să fie egală cu x
+ y. Se pot compune diferite variante. De exemplu, se dă că după operaţia a treia cele
două vase conţin cantităţi egale de lichid (ceea, ce dă ecuaţia 10x = 17y), sau se dă
raportul dintre aceste cantităţi şi încă o relaţie dintre x şi y, de exemplu cele două vase
conţineau la început 54 l. De asemenea, numărul operaţiilor se poate mări oricât de mult.
Problemele de acest tip se rezolvă uşor prin „metoda retrogradă”. Se ştie că după
a treia operaţie, fiecare din cele două vase conţineau câte 27 l. La această situaţie s-a
ajuns adăugând la vasul B jumătate din conţinutul lui. Deci, cei 27 din B reprezintă o dată
şi jumătate, adică 3 jumătăţi din cât se găsea în el înainte de ultima operaţie; 27 : 3 = 9; 9
– 2 = 18. Prin operaţia a treia s-au adăugat la vasul B = 27 – 18 = 91, care s-au luat din
vasul A, deci în vasul A se găseau înainte de operaţia a treia 27 + 9 = 36 l. Aşadar, după
operaţia a doua, în vasul A se găseau 36 l, iar în B 18 l. Acum raţionamentul se repetă:
36 : 3 = 12; 12 - 2 = 24; 36 – 24 = 12; 18 + 12 = 30; după prima operaţie în A se
găseau 24 l, iar în B 30 l. Apoi 30 : 3 = 10; 20210 ; 30 – 20 = 10; 24 + 10 = 34.
7. Probleme care duc la ecuaţii de aceeaşi formă. Pentru a învăţa pe elevi să pună
problema în ecuaţie este util să se rezolve în aceeaşi oră mai multe probleme care duc la
ecuaţii sau la sisteme de aceeaşi formă, sau unele dintre ele să se lucreze în clasă, iar
altele să se dea ca temă pentru acasă. În felul acesta ei învaţă mai uşor să desprindă
dintr-o situaţie concretă relaţiile matematice - când aceeaşi relaţie apare în diferite
situaţii, ei o recunosc mai uşor. În unele manuale şi culegeri, problemele sunt chiar
grupate în acest fel, dar este bine ca profesorul să le poată compune singur - aşa cum vom
arăta în exemplele următoare.
1) Să luăm, de exemplu, problema a) de la pagina anterioară care duce la sistemul: xy = 48,
4x(y - 3) = 48, adică la un sistem de forma xy = a, bx(y - c) = a. Aici produsele apar
datorită relaţiei S = vt. Unde mai există relaţii asemănătoare? Producţia totală =
(producţia în unitatea de timp) x timpul; costul = (preţul unitar) x cantitatea; suma totală
= (contribuţia fiecăruia) x (numărul celor care contribuie) - când se face o colectă;
cantitatea de material transportat = (capacitatea unui camion) x (numărul camioanelor),
aria dreptunghiului sau a paralelogramului = baza x înălţimea ş.a.m.d. Se obţin probleme noi
înlocuind mărimile din problema dată cu altele. Analogia este deosebit de vizibilă dacă se
iau producţia totală, producţia în unitatea de timp şi timpul; muncitorul face piese, iar
21
biciclistul sau motociclistul „face” kilometri, producţia totală corespunde drumului total
parcurs. Obţinem astfel enunţul:
a) Doi muncitori trebuie să confecţioneze câte 48 de piese. Primul muncitor face de 4 ori
mai multe piese pe oră decât al doilea (piesele lui se fac mai uşor); el începe lucrul cu
211 ore mai târziu decât al doilea şi-l termină cu 2
11 ore înaintea lui. Câte piese face
fiecare din ei pe oră?
Dacă se ia dreptunghiul, se obţine enunţul:
b) Aria unui dreptunghi este de 48 m2. Dacă mărim baza de 4 ori şi suprimăm 2 fâşii
paralele cu baza, late de câte 1,5 m, obţinem un dreptunghi care are aceeaşi arie. Să se
afle dimensiunile dreptunghiului.
c) Este util şi enunţul sub forma abstractă: Produsul a două numere este 100. Dacă mărim
unul din ele de 5 ori şi-l micşorăm pe celălalt cu 4, produsul rămâne neschimbat. Să se afle
cele două numere.
Dacă se păstrează în diferite variante aceleaşi date - aşa cum am procedat la
variantele a) şi b) - elevii văd mai uşor asemănarea dintre probleme, dar ei se orientează
şi după criterii neesenţiale - ceea ce este, poate, admisibil la început; la variantele
următoare, datele numerice trebuie neapărat schimbate. Pentru a obţine rezultate
rotunde, se poate proceda astfel: se rezolvă ecuaţia literală, apoi se înlocuiesc în expresia
soluţiei literele prin valori convenabile. De cele mai multe ori, condiţiile concrete ne obligă
să dăm literelor valori cuprinse între anumite limite. De exemplu, în problema aceasta se
obţine
.1
bc
bax
Parametrul b nu poate varia prea mult (viteza cu care merge un
motociclist este de 3 - 6 ori mai mare decât viteza cu care merge un biciclist); am luat b =
4. Atunci formula devine .4
3
c
ax Pentru a nu se putea lua o valoare prea mare, un drum
de 48 km este destul de mult pentru un biciclist, rămâne să se aleagă şi c, astfel încât să
se obţină pentru x un număr întreg, am ales c = 3.
2) Considerăm problema: A are 29 de lei, B are 11 lei. Fiecare din ei capătă câte 1 leu pe
zi. După câte zile va avea A de două ori mai mult decât B? Aritmetic, problemele de acest
fel se rezolvă observând că diferenţa dintre banii lui A şi banii lui B rămâne constantă.
Problema revine la aflarea a două numere când se cunoaşte diferenţa lor (= 29 – 11 = 18) şi
raportul (= 2).
Se obţine ecuaţia:
;211
29
x
xadică de forma: .k
xb
xa
Variante:
a) Într-un vas se găsesc 29 l de apă, iar în alt vas 11 l. În fiecare vas intră câte 1 l de apă
pe minut. Peste cât timp va conţine primul vas de două ori mai multă apă decât al doilea?
b) A are 29 de ani, B are 11 ani. Peste câţi ani va fi vârsta lui A de două ori mai mare decât
vârsta lui B?
22
Această variantă este ceva mai grea, căci în enunţ nu se spune că în fiecare an se
adaugă un an la vârsta fiecăruia. Cu această ocazie, menţionăm că aceste probleme, atât
de răspândite în manuale, sunt cât se poate de nefireşti. Când se compară vârstele a doi
oameni se întreabă cu cât, nu de câte ori este mai mare unul decât celălalt.
c) Într-o clasă au fost 17 băieţi şi 7 fete. Au venit acelaşi număr de băieţi şi de fete şi
acum sunt în clasă de două ori mai mulţi băieţi decât fete. Câţi băieţi au venit?
Varianta următoare are o formă mai abstractă.
d) Ce număr trebuie să adunăm la ambii termeni ai fracţiei 39
19ca să obţinem o fracţie
egală cu ?5
3
Pentru a potrivi datele numerice, se poate folosi, aşa cum am arătat în exemplele
precedente, soluţia literală .1
k
kbax Când ni-l dăm pe k dinainte, se poate proceda mai
simplu. În cazul de faţă am luat la întâmplare o fracţie egală cu 2, şi anume 18
36, apoi am
scăzut din ambii termeni numărul 7 (luat la întâmplare, dar având grijă să obţinem o
fracţie ireductibilă).
Foarte util este să cerem elevilor să compună ei variante. Prin aceasta stimulăm
imaginaţia lor şi, totodată, ei ajung să pătrundă mai bine legătura dintre enunţul unei
probleme şi ecuaţia corespunzătoare. Dacă punerea problemelor în ecuaţie poate fi
comparată cu o traducere dintr-o limbă în alta, compunerea unei probleme care să
corespundă unei ecuaţii date corespunde cu o retroversiune şi este ştiut cât de utile sunt
retroversiunile în învăţarea unei limbi străine.
Procedeul recomandat aici are două avantaje. Primul: elevii învaţă mai uşor să
desprindă dintr-o situaţie concretă relaţiile matematice – când aceeaşi relaţie apare în
diferite situaţii concrete, ei o recunosc mai uşor. Al doilea: procedeul pune în evidenţă
caracterul general al relaţiilor matematice. Prin aceeaşi ecuaţie sau prin acelaşi sistem de
ecuaţii se rezolvă probleme care, la prima vedere, nu au nimic comun.
Se poate da variantelor o altă direcţie, compunând probleme care duc la ecuaţii
asemănătoare, nu chiar de aceeaşi formă. De exemplu, în cazul problemei 1) de mai sus,
datele se pot schimba astfel: a) în loc de: viteza motociclistului este de 4 ori mai mare
decât viteza biciclistului, se poate da că viteza motociclistului este cu 36 km/oră mai
mare decât a biciclistului (ecuaţia a doua devine (x + 36)(y - 3) = 48; b) în locul datelor cu
privire la momentul plecării şi momentul sosirii motociclistului, din care rezultă că timpul
în care motociclistul parcurge drumul este y – 3, se poate da că timpul în care
motociclistul parcurge drumul este 1/4 din timpul necesar biciclistului - diferenţa
vitezelor fiind de 36 km.
Mai multe posibilităţi oferă problema a doua, de exemplu:
23
a) A are 60 de lei, iar B are 154 de lei. Fiecare din ei cheltuieşte câte 1 leu pe zi.
După câte zile va avea B de 3 ori mai mult decâ A? [15 zile]
b) A are 27 de lei, iar B are 78 de lei. A capătă în fiecare zi câte 1 leu, iar B
cheltuieşte în fiecare zi câte 1 leu. După câte zile va avea B de două ori mai mult decât A?
[8 zile]
Problema devine ceva mai grea dacă întrebarea se formulează astfel: cât trebuie să
dea B lui A ca B să aibă de 2 ori mai mult decât A?
Elevii au tendinţa să scrie: micşorează numărătorul, dar omit să mărească numitorul
sau fac greşeala inversă.
c) A are 33 de lei şi B are 49 de lei. Ei primesc în fiecare zi câte 3 lei. Peste câte
zile va fi raportul dintre banii lor egal cu 3/4? [5 zile]
d) A are 50 de lei, iar B 221 de lei. A capătă în fiecare zi câte 4 lei, iar B
cheltuieşte în fiecare zi câte 6 lei. Peste câte zile va fi raportul dintre banii lor egal cu
2/5? [6 zile]
e) Doi drumeţi A şi B merg pe aceeaşi şosea care trece printr-o localitate O. La un
moment dat, distanţele de la localitatea O sunt: OA = 50 km, OB = 221 km. Drumeţul A se
depărtează de localitatea O cu 4 km/oră, iar B se apropie de O cu 6 km/oră. După câte
ore va fi raportul dintre aceste distanţe egal cu ?5
2
8. Lecţii speciale de punere a problemelor în ecuaţie. Se ştie că la problemele ce se
rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, partea cea mai importantă este formarea ecuaţiei sau a
sistemului. De aceea este util ca unele lecţii să fie consacrate numai acestor lucrări.
Problema se consideră rezolvată în momentul în care a fost pusă în ecuaţie, în felul acesta
se concentrează efortul asupra greutăţii principale şi densitatea lecţiilor creşte pentru că
se elimină munca, mai puţin interesantă în acest moment, de rezolvare a ecuaţiei sau a
sistemului. Totodată se ridică nivelul lecţiilor. Se pot face diferite comentarii, aceeaşi
problemă se poate pune în ecuaţie în mai multe feluri, se pot rezolva mai multe probleme
asemănătoare ş.a.m.d. În special, exerciţii ca cele indicate la punctul precedent nici nu se
pot face cu spor dacă se duc calculele până la capăt. Bineînţeles, acest procedeu nu poate
fi folosit permanent, ci numai când elevii sunt mai avansaţi şi în mod sporadic.
ALTE RECOMANDĂRI
24
1. Comparaţia dintre soluţia aritmetică şi cea algebrică 2. Probleme în
care trebuie făcute unele operaţii suplimentare 3. Probleme cu date în
litere 4. Probleme în aparenţă nedeterminate 5. Observaţii finale
În paragraful precedent am indicat o serie de mijloace prin care îi putem învăţa pe
elevi să pună probleme în ecuaţie. În cele ce urmează dăm unele recomandări speciale, prin
care se urmăreşte o adâncire a cunoştinţelor elevilor, dincolo de limitele obişnuite.
1. Comparaţia dintre soluţia aritmetică şi cea algebrică. Nu este cazul să se rezolve în
mod sistematic problemele de algebră şi pe cale aritmetică. Aceasta ar constitui o imensă
risipă de timp şi de energie. Mai mult, într-un anumit sens acest lucru este chiar
contraindicat. Scopul acestor probleme este să-i învăţăm pe elevi să mânuiască
instrumentul algebric. Rezolvând în paralel problemele sau un mare număr dintre ele pe
cale aritmetică riscăm să avem soarta vânătorului care aleargă după doi iepuri. Considerăm
că uneori este, totuşi, util să se compare metoda algebrică cu cea aritmetică, atunci când
elevii cunosc şi pe aceasta din urmă, şi să se dea interpretări concrete ale metodelor de
rezolvare a sistemelor liniare.
1) În primul rând vin în consideraţie problemele care se rezolvă printr-o ecuaţie de forma
Nncbaundenc
x
b
x
a
x ,,,,, . Asemenea probleme se rezolvă în număr mare la
aritmetică şi calculele care se fac sunt foarte asemănătoare cu cele care se fac pentru a
rezolva ecuaţia. Să luăm, de exemplu, problema: Cineva a avut o sumă de bani. El a cheltuit
pe rând 1/3, 1/6 şi 2/9 din ea şi i-au rămas 85 de lei. Câţi bani a avut?
La aritmetică, această problemă se rezolvă prin operaţiile următoare:
,30618
5:85;
18
5
18
131;
18
13
9
2
6
1
3
1 iar ecuaţia problemei este: 85
9
2
63
xxxx
sau .859
2
63x
xxx
Pentru a pune în evidenţă analogia cu soluţia aritmetică, este mai bine să se
efectueze unele calcule înainte de a scrie ecuaţia, astfel:
.306;8518
5;
18
5
18
13;
18
13
9
2
63 x
xxxx
xxxx
Calculele sunt aceleaşi ca la soluţia aritmetică (în clasă, lucrările se pot aşeza
frumos pe două coloane). Faptul că ecuaţia 8518
5
xse rezolvă de obicei prin doi paşi
306,18855 xx , iar la aritmetică se face o singură operaţie
18
5:85 nu are
importanţă; se poate scrie 18
5:85;85
18
5 xx sau în prima soluţie, ultima lucrare se
25
poate descompune în două: se află întâi 18
1 din sumă, apoi toată suma, ceea ce revine la
simplificarea ecuaţiei cu 5. Rămâne numai operaţia a doua. Descăzutul este x în loc de 1. În
privinţa aceasta, se poate observa că la soluţia aritmetică acest punct este cel mai greu.
Elevii scriu cu uşurinţă diferitele fracţii, înţelegând că fiecare fracţie este o fracţie din
ceva, care nu se menţionează niciodată la calculele cu fracţii, dar se împacă greu cu ideea
de a scrie 1 pentru suma întreagă, căci această sumă nu este de 1 leu. În soluţia algebrică,
această dificultate nu apare, se scade din toată suma partea cheltuită.
2) Se poate da metodei comparaţiei o interpretare concretă. Considerăm, de exemplu,
problema: 16 caiete şi 15 creioane costă împreună 58 de lei, 12 caiete şi 7 creioane costă
împreună 38,40 de lei. Cât costă un caiet? Cât costă un creion?
Problema se rezolvă cu ajutorul sistemului:
40,38712
581516
yx
yx
Pentru a rezolva sistemul, se înmulţeşte prima ecuaţie cu 3 şi a doua cu 4, apoi se
scade ecuaţia a doua din prima. În loc să spunem că înmulţim prima ecuaţie cu 3, putem
spune că aflăm cât am plăti dacă am cumpăra de 3 ori mai multe caiete şi de 3 ori mai
multe creioane; în mod analog se interpretează înmulțirea ecuaţiei a doua cu 4.
Punem faţă în faţă lucrările prin care se rezolvă sistemul şi soluţia aritmetică:
lei 1,20 costacreion .....1........................................1,20......
lei 20,40 costa creioane ..17........................................20,40.....17
lei 153,60 costa creioane 28 si caiete ....48....................153,60....2848
lei 174 costa creioane 45 si caiete ......48....................174.......45 48
lei 38,40 costa creioane 7 si caiete ......12....................38,40.....7 12
lei 58 costa creioane 15 si caiete16...................................581516
y
y
yx
yx
yx
yx
În partea dreaptă, rândul al 5-lea se obţine comparând cele două rânduri
precedente. De fiecare dată s-a cumpărat acelaşi număr de creioane, 48; diferenţa de
preţ se datorează faptului că s-a cumpărat a doua oară cu 45 – 28 = 17 creioane mai puţin
şi de aceea s-a plătit cu 174 – 153,60 = 20,40 lei mai puţin. Deci, 17 creioane costă 20,40
lei. De aici se obţine costul unui creion.
În aritmetică, procedeul folosit în coloana din dreapta se numeşte uneori „metoda
egalării termenilor”. Fie că elevii îl cunosc de la aritmetică, fie că nu-l cunosc, el poate fi
folosit pentru a da o frumoasă interpretare intuitivă metodei eliminării prin reducere.
3) În mod asemănător se poate interpreta metoda eliminării prin substituţie. Fie, de
exemplu, problema: La o cantină iau masa 80 de copii şi 24 de adulţi. Raţia de lapte a unui
copil este cu 100 ml mai mare decât dublul raţiei unui adult. Într-o zi se consumă 54 l de
lapte. Care este raţia de lapte a unui copil? A unui adult?
26
Sistemul corespunzător este:
1,02
542480
yx
yx, el se rezolvă prin metoda
substituţiei: .25,0;46184;548184;54248160;54241,0280 yyyyyyy
Aritmetic, problema se rezolvă astfel: se presupune că tot laptele este împărţit în
porţii, 80 de porţii de copii şi 24 porţii de adulţi, şi se cere să se transforme totul în
porţii de adult. Din datele problemei rezultă că din fiecare porţie mare se fac două porţii
mici şi rămân 100 ml, care se strâng într-un vas. Se obţine astfel 80 – 2 = 160 de porţii
mici şi în vas se strâng 0,1 – 80 = 8 l de lapte. Mai sunt 24 de porţii mici şi în total sunt 54
l de lapte, deci 160 + 24 = 184 de porţii mici şi 8 l reprezintă în total 54 l; prin urmare,
cele 184 de porţii reprezintă 54 – 8 = 46 l; o singură porţie mică are 0,250 l. Substituirii
lui x din prima ecuaţie prin 2y + 0,1 îi corespunde operaţia concretă de a înlocui porţiile de
copil prin porţii de adult. Calculele care se fac când se dă soluţia aritmetică corespund
întocmai celor care se fac pentru a rezolva sistemul, aşa cum ele au fost prezentate
desfăşurat.
2. Probleme în care trebuie făcute unele operaţii suplimentare. Elevii, când se găsesc
în faţa unei probleme la algebră, trec imediat la punerea ei în ecuaţie. Aşa îi obişnuim noi.
Pentru dezvoltarea intelectuală a elevilor este util să dăm şi unele probleme care să nu fie
gata aranjate pentru a fi puse în ecuaţie. Bineînţeles, aceasta se poate face abia când
elevii sunt mai avansaţi în rezolvarea problemelor.
În manuale şi în culegeri, asemenea probleme sunt foarte rare – dacă nu
inexistente, profesorul trebuie să şi le compună singur, complicând probleme cunoscute.
Dăm câteva exemple:
1) Pornim de la o problemă care duce la o ecuaţie de forma date,numere,, bakxb
xa
de
exemplu:
A are un salariu de 1380 de lei, B are un salariu de 1650 de lei. Fiecare din ei cheltuieşte
aceeaşi sumă de bani şi la sfârşitul lunii îi rămâne lui B de 2 ori mai mult decât lui A. Cât
cheltuieşte fiecare din ei într-o lună?
Complicăm enunţul, înlocuind prima frază prin următoarea: A a avut un salariu de
1200 de lei şi B de 1500 de lei; salariul lui A s-a mărit cu 15%, iar salariul lui B cu 10%.
Înainte de toate trebuie să aflăm ce salariu are fiecare din ei acum; abia pe urmă
se poate trece la punerea problemei în ecuaţie. Se obţine ecuaţia ,2
1
1650
1380
x
x care dă x
= 1110.
2) O secţie a unei uzine trebuie să livreze la un termen anumit o anumită cantitate de
piese. Dacă se fac câte 80 de piese pe zi, se produc până la termenul stabilit cu 36 de
piese mai puţin decât trebuie. Dacă, însă, producţia zilnică se măreşte cu 12 piese,
lucrarea se termină cu 3 zile înainte de termen şi se fac chiar cu 12 piese mai mult. De
câte piese a fost comanda şi în cât timp trebuiau fabricate piesele comandate?
27
Problema se poate rezolva cu ajutorul sistemului:
.2196
27
12392
3680
y
x
yx
yx
Se poate introduce, de exemplu, următoarea complicaţie. În loc să se dea că
producţia zilnică se măreşte cu 12 piese, se dă că ea se măreşte cu 15%; iar în loc de: se
fac chiar cu 12 piese mai mult, se dă că se fac cu 48 de piese mai mult decât s-ar fi făcut
dacă se produceau numai câte 80 de piese pe zi; sau: se fac mai multe piese decât se cere
în comandă, şi anume 1/3 din numărul pieselor care ar lipsi dacă s-ar produce numai câte
80 de piese pe zi.
3) La o cooperativă agricolă de producţie se cultivă grâu pe 2 loturi de pământ. Recolta de
pe primul lot a fost evaluată la 1600 kg/ha, cea de pe lotul al doilea la 2000 kg/ha şi s-a
calculat că în felul acesta recolta totală va fi de 32 de vagoane. În realitate, recolta de pe
primul lot a fost cu 10% mai mare, iar recolta de pe lotul al doilea a fost cu 5% mai mică şi
a conţinut 6% corpuri străine. Producţia totală a fost cu 112 kg mai mică decât s-a
prevăzut. Câte hectare are fiecare din aceste loturi?
Problema se rezolvă cu ajutorul sistemului:
.7
10
3188817861760
3200020001600
y
x
yx
yx
Calculele suplimentare intervin în calcularea coeficienţilor din ecuația a doua: 10%
din 1600 = 160; 1600 + 160 = 1760; 5% din 2000 = 100; 2000 – 100 = 1900; 6% din 1900 =
114; 1900 – 114 = 1786 (ar fi greşit să se ia dintr-o dată 5% + 6% = 11%); 32000 – 112 =
31888.
Complicaţii mici de acest fel se pot introduce aproape în toate problemele,
exprimând mărimile date în unităţi diferite: kilograme şi grame, metri şi centimetri
ş.a.m.d. Ceva mai greu este cazul când, în aceeaşi problemă, viteza se exprimă în km/oră şi
m/min. Subliniem că toate calculele acestea trebuie să aibă un caracter aritmetic, adică
ele trebuie să intervină în aflarea constantelor care intervin în ecuaţia sau în sistemul de
ecuaţii ale problemei. Aceluiaşi scop, dar în măsură mai mică, îi servesc problemele care
cer un mic calcul după ce ecuaţia sau sistemul a fost rezolvat.
Aceste complicaţii, oricât de mici, sunt utile prin faptul că datorită lor elevii sunt
obligaţi să iasă din tiparele obişnuite. La un examen s-a dat o problemă în care trebuia
aflat în cât timp se face o anumită lucrare, dar întrebarea a fost formulată cam astfel:
lucrarea trebuia să fie terminată la data de 5 septembrie; la ce dată va fi terminată? (Din
ecuaţie rezultă că lucrarea se termină cu un anumit număr de zile înainte de termen.
Foarte mulţi elevi au rezolvat bine problema, dar au greşit la aflarea datei - nu au ţinut
seama că luna august are 31 zile.)
3. Probleme cu date în litere. Se pare că aceste probleme sunt prea grele pentru şcoala
generală. Sunt, totuşi, recomandabile câteva probleme care se rezolvă efectiv la
aritmetică şi unde ele nu sunt privite ca simple exerciţii, ci fiecare formează un tip
special, care se rezolvă prin metode speciale. Este vorba de următoarele trei probleme:
1) Să se afle două numere, cunoscând suma lor s şi diferenţa lor d.
28
2) Să se afle două numere cunoscând suma lor s şi raportul lor q
p.
3) Să se afle două numere cunoscând diferenţa lor d şi raportul lor q
p.
Aceste probleme au avantajul că scot elevii din labirintul de metode pe care le-au
învăţat la aritmetică. Acest lucru se poate arăta elevilor, ca ei să devină conştienţi de
progresul pe care l-au făcut prin faptul că au învăţat algebra. Au dispărut metodele
speciale. Acum, fiecare din aceste probleme este o problemă ca oricare alta, care se
rezolvă cu ajutorul unui sistem de ecuaţii. Pe de altă parte, revenirea asupra procedeelor
din aritmetică are avantajul că, şi în cadrul lor, se folosesc litere - ceea ce nu se face la
aritmetică.
4. Probleme în aparenţă nedeterminate. Deosebit de instructive sunt problemele care
duc la un sistem în care numărul ecuaţiilor este mai mic decât numărul necunoscutelor şi
care se pot, totuşi, rezolva. În unele cazuri, aceasta se datoreşte faptului că în problemă
nu se cere să se afle valorile necunoscutelor x şi y, ci o anumită expresie, cum ar fi x + y
sau xy, care este determinată de datele problemei; în alte cazuri, una dintre necunoscute
se reduce. Aceste probleme sunt interesante, pentru că ies din cadrul problemelor
obişnuite şi îi obligă pe elevi să reflecteze. Dăm câteva exemple:
1) Un dreptunghi are însuşirea următoare: dacă mărim una dintre laturile sale cu 25 cm,
iar cealaltă cu 15 cm, perimetrul lui devine de 180 cm. Se cere perimetrul dreptunghiului.
cmdeesteperimetrulyxyx 100;10022;180152252
Variante: ambele laturi se micşorează; o latură se măreşte şi cealaltă se micşorează.
2) Dacă mărim o latură a unui dreptunghi de 3 ori, iar cealaltă de 4 ori, aria sa devine de
132 cm2. Se cere aria dreptunghiului.
211;11;13243 cmdeesteariaxyyx
Variante analoge cu cele de la problema precedentă.
3) Aria unui trapez este de 70 cm2, iar înălţimea sa este de 7 cm. Se cere linia mijlocie a
trapezului.
4) O barcă merge pe un râu. Dacă viteza cu care curge apa ar fi cu 0,5 km/oră mai mare,
iar viteza proprie a bărcii ar fi cu 6 km/oră mai mare, barca ar merge la vale cu o viteză
de 18,5 km/oră. Cu ce viteză merge barca la vale?
orakmcuvalelemergebarcayxyx /12;12;5,1865,0
Problema analogă când barca merge la deal ./13;12;5,185,06 orakmxyxy
5) Doi biciclişti A şi B trec peste un pod MN mergând cu viteze egale. Biciclistul A merge
de la M spre N, iar B de la N spre M şi ei se întâlnesc într-un punct P, unde MP este 85 -
din lungimea podului. O maşină trece peste acelaşi pod de la M spre N. Ea intră pe pod în
acelaşi timp cu biciclistul A şi se întâlneşte cu biciclistul B în momentul când acesta intră
pe pod. Viteza maşinii este de 60 km/oră. Se cere viteza bicicliştilor.
29
Fie a lungimea podului socotită în kilometri, t momentul întâlnirii (timpul fiind
socotit în ore, de la momentul în care biciclistul A intră pe pod), iar x viteza bicicliştilor în
km/oră. Timpul necesar maşinii pentru a parcurge podul este 60a , deci biciclistul B intră
pe pod cu 60a ore mai târziu decât A. Până în momentul întâlnirii, biciclistul A merge timp
de t ore, iar B timp de 60at ore şi ei parcurg, respectiv MP = tx km şi NP = 60at x
km. Se obţine o primă ecuaţie, scriind că suma acestor drumuri este de a km:
.60
axa
ttx
A doua ecuaţie se obţine scriind că MP este 85 din lungimea
podului: .8
5atx Avem astfel un sistem de două ecuaţii cu trei necunoscute: t, x şi a.
Totuşi, problema se poate rezolva.
Se înlocuieşte în prima ecuaţie tx prin 85 a, se împarte ecuaţia prin a 0a şi se
obţine x = 15. Bicicliştii merg cu o viteză de 15 km/oră. Este remarcabil că a şi t rămân
nedeterminaţi (legaţi prin relaţia a = 24 t), ceea ce înseamnă că viteza bicicliştilor este
aceeaşi oricare ar fi lungimea podului.
Soluţia aritmetică: studiem mişcarea bicicliştilor din momentul în care biciclistul A
intră pe pod. În acest moment, biciclistul B se află într-un punct N’. Deoarece ei merg cu
aceeaşi viteză, ei trebuie să se întâlnească la mijlocul drumului, deci MP=PN’. Cum MP este
egal cu 5 diviziuni (o diviziune este a 8-a parte din pod), PN este de asemenea de 5
diviziuni, deci NN’ este de două diviziuni. Pe de altă parte, se dă că maşina şi bibiclistul B
se întâlnesc în N, iar când maşina se află în M, B se află în N’ (A se află în M). Rezultă că
în timpul în care maşina parcurge tot podul, care este de 8 diviziuni, B parcurge drumul
N’N, care este de numai două diviziuni, deci de 4 ori mai mic. Rezultă că viteza biciclistului
este a patra parte din viteza maşinii.
6) Un înotător înoată pe Neva împotriva curentului. În dreptul podului Republica pierde o
ploscă goală. După ce mai înoată 20 min îşi dă seama de pierdere; se întoarce şi ajunge
plosca în dreptul podului Schmidt. Să se afle cu ce viteză curge apa, dacă distanţa dintre
cele două poduri este de 2 km.
Fie S podul Schmidt, R podul Republica, T punctul în care se găseşte înotătorul în
momentul când îşi dă seama că a pierdut plosca, t timpul (în ore) cât merge înotătorul în
sensul apei după ce a pierdut plosca (în care face drumul RT), SR - d km, v şi x, respectiv
viteza înotătorului şi a apei (în km/oră). Înotătorul merge în sensul apei cu viteza v – x, iar
în jos cu viteza v + x; plosca merge cu viteza x.
Avem: RT = (v - x)t, ST = (v - x)t + d. Scriem că timpul în care înotătorul face
drumul de la R la T şi de aici înapoi la S (cu viteza v + x) este egal cu timpul în care plosca
face drumul RS (cu viteza x) şi obţinem ecuaţia:
.x
d
xv
dtxvt
În problemă se dau numai d = 2 km şi t = 31 ore, deci ecuaţia conţine două
necunoscute: v şi x. Totuşi, problema se poate rezolva, căci, făcând calculele, v se reduce
şi se obţine t
dx
2 . Cu datele din problemă: x = 3 km/oră.
30
Soluţie aritmetică: Presupunem că totul s-ar petrece într-o apă stătătoare. Atunci
lucrurile ar fi foarte simple. Înotătorul ar merge un timp t până într-un punct T şi de aici
s-ar întoarce până în punctul R, unde ar găsi plosca, care stă pe loc. Deci, el ar găsi plosca
după 2t ore (t ore pentru a merge din R până în T şi tot atât pentru a merge înapoi). Acest
rezultat rămâne valabil şi într-o apă curgătoare, căci distanţa dintre înotător şi ploscă
rămâne neinfluenţată de faptul că apa curge la vale. Într-adevăr, fie v viteza înotătorului,
iar x viteza apei (a ploştii). Într-o apă stătătoare, înotătorul, când merge în sus, s-ar
depărta de ploscă într-o unitate de timp cu o distanţă v; datorită faptului că apa curge la
vale, înotătorul parcurge numai drumul v – x, în schimb plosca parcurge la vale un drum de
lungime x, deci distanţa dintre ei creşte tot cu v. Când merge la vale, înotătorul parcurge
într-o unitate de timp un drum v + x, dar plosca parcurge un drum de lungime x, deci
distanţa dintre înotător şi ploscă scade cu v – ca într-o apă stătătoare (acest lucru devine
mai clar dacă ne închipuim o plută foarte lungă, de la R la T, şi că înotătorul, în loc să
înoate, ar merge pe plută de la R la T şi înapoi, unde ar găsi plosca; faptul că pluta este
antrenată de apă la vale nu are nici o influenţă).
Rezultă că şi într-o apă curgătoare înotătorul prinde plosca după 2t ore, timp în
care plosca parcurge drumul d. Dacă viteza ploştii este d : 2t. Aceasta este şi viteza apei.
Acum devine clar de ce rezultatul este independent de viteza înotătorului, căci s-a
dat timpul cât merge înotătorul în susul apei, din R până în T, nu distanţa RT. Dacă viteza
proprie a înotătorului devine mai mare sau mai mică, distanţa RT creşte sau scade, dar
timpul necesar înotătorului pentru a face drumul de la R la T şi înapoi rămâne acelaşi, 2t.
Viteza v intervine numai când, pentru a pune problema în ecuaţie, calculăm lungimea
segmentului RT.
5. Observaţii finale.
a) La acest capitol, mai mult decât la altele, se aplică proverbul: „Nu multe, ci mult”. La
partea care se referă la calculul algebric sunt întradevăr necesare multe exerciţii, ca
elevii să ajungă să calculeze rapid şi sigur. Aici, însă, situaţia este alta. Contează mai puţin
cantitatea problemelor rezolvate, important este ca elevii să înţeleagă bine problemele
care se rezolvă.
b) Pe cât posibil, să nu se considere o problemă terminată în momentul în care s-a aflat
valoarea necunoscutei, chiar dacă se face proba - în enunţ, nu în ecuaţie. Este util să se
facă, de la caz la caz, observaţii, să se discute alte posibilităţi de a pune problema în
ecuaţie ş.a.m.d. Acest lucru devine mai clar dacă ne închipuim o plută foarte lungă, de la R
la T, şi că înotătorul, în loc să înoate, ar merge pe plută de la R la T şi înapoi, unde ar găsi
plosca. Faptul că pluta este antrenată de apă la vale nu are nici o influenţă.
c) Faptul că nu există o metodă de a pune problema în ecuaţie nu înseamnă că, în clasă,
putem rezolva probleme luate la întîm-plare. Tocmai aici, unde ordinea de predare nu este
bine determinată de conţinut, ca la alte capitole, organizarea predării joacă un rol mai
mare. Problemele trebuie grupate pe criterii; greutatea de a le pune în ecuaţie, forma
ecuaţiei, conţinutul ş.a.
31
d) Să nu pierdem din vedere ce este esenţial la acest capitol: punerea în ecuaţie. Asupra
acestei laturi să ne îndreptăm atenţia, atât la problemele pe care le rezolvăm în clasă, cât
şi la cele pe care le dăm ca teme pentru acasă. În special la acestea din urmă, la
verificare, să discutăm cu toată clasa cum au fost puse problemele în ecuaţie.
e) Problemele ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor nu sînt un scop în sine, ele sunt exerciţii
de a aplica algebra la descrierea unor situaţii şi relaţii din realitate. Aceluiaşi scop îi
servesc şi alte exerciţii şi probleme, care nu duc la ecuaţii ci la ua simplu calcul algebric.
Asemenea exerciţii trebuie făcute tot anul, în cadrul calculului algebric.