ricardo pérez martínez 5 mayo, 2005
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SIMETRÍAS DISCRETAS. CPT P PARIDAD C CONJUGACIÓN DE CARGA T INVERSIÓN DEL TIEMPO. TEORÍA CUÁNTICA DE CAMPOS. Ricardo Pérez Martínez 5 Mayo, 2005. 1. CONTENIDO. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Ricardo Pérez Martínez 5 Mayo, 2005
CPT
P PARIDADC CONJUGACIÓN DE CARGAT INVERSIÓN DEL TIEMPO
SIMETRÍAS DISCRETAS
TEORÍA CUÁNTICA DE CAMPOS
CONTENIDO
1 Grupo de Lorentz y simetrías discretas
2 Transformaciones del espinor y campos bajo P,T y C
2.1 Espinores 2.2 Campo escalar 2.3 Campo de Dirac 2.4 Campo de espín 1
3 Teorema CPT 3.1 Transformación de los covariantes bilineales
4 Conclusiones y comentarios finales
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SIMETRÍAS DISCRETAS EN EL GRUPO DE LORENTZ
El grupo propio de Lorentz (SO(3,1)) incorpora, además de las transformacionescontinuas, dos tipos de simetrías discretas en el espacio-tiempo.
rotacionesboost grupo NO compacto
irrep d No unitarias
1det 100
L
),()','( txtx
Si 1det y/o 100 Paridad: P
Inversión del tiempo: T
),()','( txtx No pueden ser obtenidas continuamente a partir delelemento identidad.
Mayo 2005
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Ricardo Pérez M.
L
PLL
P
P
TT
Estructura del grupo deLorentz según el signo de
det 00y
Conjugación de carga
Otra simetría (no espacio-temporal) es la conjugación de carga (C). Bajo esta operación, partículas y antipartículas son intercambiadas.
Mayo 2005
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Ricardo Pérez M.
TLL
PTLL
UN EJEMPLOINVERSIÓN DEL ESPACIO
Inversión es un grupo discreto
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01
10
01
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Mayo 2005Ricardo Pérez M.
¿ Cual es la situación de estas operaciones de simetría en elmundo real ?
Propiedades de transformaciónde campos bajo C,P,T y TCP.
CTP. Cualquier teoría ‘razonable’ tieneque ser invariante bajo la combinaciónde las tres transformaciones.
De los experimentos se sabe quelas interacciones gravitacional, electromagnética y fuerte, sonsimétricas respecto a C,P y T.
Las interacciones débiles violan P* y C separadamente, peropreservan CP y T.
* T.D Lee y C.N. Yang, (1956)
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Mayo 2005Ricardo Pérez M.
Comenzamos por tratar las propiedades de transformación (Prop. Transf.) del espinor bajo bajo paridad (P), inversión del tiempo (T) y conjugación de carga (C). Después veremos las Prop. Transf. de los campos de espín 0,1/2 y 1.
La parte expuesta para los espinores corresponde a una introducción para un mejor entendimiento cuando tratemos las Prop. Transf. del campo de Dirac.
Transformación del espinor bajo P,T y C. 7
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Paridad
Designemos P para la paridad. Para S=P la relación
aSS 1
se cumple ya que su deducción no depende de 1det a
Tenemos xx ' tt ',
La ecuación de Dirac es covariante, ya que A es un caso especialde la transformación general de Lorentz.
A
xax '
gdiaga )1,1,1,1(
Tenemos 1 PPa 1 PPaaa
3
0
1
PgP gPP 1
0ieP 01 ieP
),()(),(')','(' 0 txexPtxtx i
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Mayo 2005Ricardo Pérez M.
Conjugación de carga
Teoría de hoyos nos lleva a una simetría fundamental:partícula --- antipartícula.
Un hoyo en el mar de energía negativa registrando la ausencia de un electrónde carga –|e| y energia – E, es equivalente a la presencia de un positrón decarga +|e| y energía + E.
Entonces tenemos una correspondencia 1-1 entre las solucionesde energía negativa de la ecuación de Dirac
y las eigenfunciones del positrón (carga +|e|), que son solución de energía positiva de la ecuación de Dirac.
0 mcAcei
0 cmcAcei
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T
c CCU_
*0*
c con Buscamos un operador que conecte la solución
Conjugación de carga
Ec. de Dirac para el electróncon energía negativa.
Ec. de Dirac para el positróncon energia positiva.
0 mcAcei
0 cmcAcei
AA *, xi
xi
*
0**
mcA
ce
xi
0CU 1*UUbuscamos tal que 0*1*
UmcUUA
ce
xi
0*
UmcA
ce
xi 0*
UmcA
ce
i
10
Mayo 2005Ricardo Pérez M.
10*010*0 )( CCCC
Determinación de U
recordemos0CU 1*UUy
0
0i
ii
10
010T 0*0pero
1CC T TCC 1 TCC
02iC
Tt CCCiC 102
12, gusando
11 T 22 T 33 T00 Tsabemos , , ,
0,0 C 0,2 C 0,3 C 0,1 C
Conjugación de carga11
Mayo 2005Ricardo Pérez M.
Conjugación de carga
*2_
*00 iCCKCT
c
Por lo tanto, el estado conjugado de carga esta dado por
y C Son estados conjugados uno del otro
)()())(())(( 0202*22**22*2 xxxiixi Tccc
)()()( 00220202 xxx Por otra parte, recordando
Si describe el movimiento de una partícula de Dirac con masa m y carga en un potencial , entonces representa el movimiento de una partícula de Dirac con la misma masa m y carga opuesta en el mismo potencial.
0 mcAcei 0 cmcAc
ei
)(x)(xA )(xCe
e
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Reversión del tiempo
Tendremos invarianza ante reversión del tiempo en la teoríade Dirac si la función de onda transformada
),('),(´),´( txtxTtx
Satisface también la ecuación de Dirac.
tt ' xx '
* Construcción de la transformación.
),(. 0 txeAmeAi
tt ' ),('),(´),´( txtxTtx Inversión del tiempo causa y junto con
),(),(),( 11 txTTtxTHtxTt
TiT
)',('),()',(''
11 txTTtxTHtxTt
TiT
),(),(),(
txtxHt
txi
A
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Mayo 2005Ricardo Pérez M.
Reversión del tiempo
Para la ec. de Dirac debe cumplirse al igual que para ),()',(' txTtx
),( tx entonces
)',(')',('),('
txtxHttx
i
B
Comparando A y B
iTiT 1 ),(),(),( 1 txHtxHTtxTH
iTiT 1 ),(),(),( 1 txHtxHTtxTH
a)
b)
a) alteraría el espectro de H. (no aceptado)
b) aceptada. Se debe cumplir lo siguiente,
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Mayo 2005Ricardo Pérez M.
Ya que iTiT 1 KTT 0 k operador de conjugacióncompleja
Ahora determinaremos al operador 0T
Reversión del tiempo
iTiT 1Con se sigue que
10
1 ),( TtxeTATmT
),( txH
Sólo si se cumple que 1TT 1TT,
11111 ),())((.),( TtxeTATTTiTTTTtxTH
),(),(. 0121 txeATTmctxeAiTT
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Mayo 2005Ricardo Pérez M.
De lo anterior, tenemos
100 TT 1
00 TT,
ya que es puramente imaginaria, y las otras son reales2
1
1010 TT
21
020 TT
31
030 TT
100 TT
Recordando 12 ijijji
0 ii
122 i
310 iT 131
0 iT ,
Reversión del tiempo16
Mayo 2005Ricardo Pérez M.
Reversión del tiempo
Con 0 ,el operador de reversión del tiempopuede ser escrito como
KTKiKT 031
31
ii
),(),(),(),(),(),(' *31*31
*00 txitxitxTtxKTtxTtx
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CAMPO ESCALAR (S=0)
P PARIDAD ( INVERSIÓN ESPACIAL )
)x,t((x',t')x'x'
Transformación deloperador de campo
)()'(')( xxx p
),(),( 1 txPtxP p
),(),( *1 txPtxP tp
t
1P Para preservar la normalización.
Para un campo cargado puede ser escogido arbitrariamente
Para un campo neutral 1P
P
Paridad intrínsica
En la teoría cuantizada
Pi
p e
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PARIDAD Campo escalar
Obtenemos la transformación de los operadores decreación y de aniquilación.
PARIDAD Campo escalar
),(),( 1 txPtxP p
),(),( *3 txubtxuapd ptpppp
),(),( *113 txuPPbtxuPPapd ptPpp
La inversión del espacio de coordenadas resulta en la reversióndel momento (3dim).
Hbbaapd ptpp
tppp 32 131 PbbaaPpdPHP p
tpp
tpp
ppp aPPa 1
tpp
tp aPPa
*1
tpp
tp bPPb
1
ppp bPPb *1
),(),( txutxu pp
).( xptipp
peNu
Paridad de unestado, cantidadconservada
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CONJUGACIÓN DE CARGA
)()( 1 xCxC tc
)()( *1 xCxC ct
1c
pcp bCCa 1
tpc
tp bCCa *1
pcp aCCb *1
SIMETRÍAS DISCRETAS Campo escalar
Los operadores de partícula y antipartícula sonIntercambiados.
1CCAdemás
Esta transformación reemplaza unapartícula por la correspondiente
antipartícula.
C unitario.
tpc
tp aCCb 1
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INVERSIÓN DEL TIEMPO
SIMETRÍAS DISCRETAS Campo escalar
),()','('' txtxxx
Consistencia entre matemática y
física.
config. inicial config. final
),('),(' txtx tT
),(),( 1 txTtxT T ),(),( *1 txTtxT tT
t
Necesitamos un operador antiunitario V
tAVVA )('' 1
),(),(),(' * txtxKtx TT 1
2 T
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INVERSIÓN DEL TIEMPO campo escalar
Ley de transformación para los operadores de creacióny de aniquilación.
)),(),(( 1*13 txuTTbtxuTTapNd ptpppp
)),(),(( *3 txubtxuapNd ptppppT
La acción de los operadores P y T en el espacio de Hilbert es el mismo, sin embargo T es asociado con una conjugación compleja adicional.
TT
tpT
tp aTTa *1
tpT
tp bTTb 1
pTp bTTb *1
),(),( * txutxu pp pTp aTTa
1
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CAMPO DE DIRAC
Inversión espacial P
),(),(~
1 spbPspPb ),(),(~
1 spdPspPd
),(),(~
1 spdPspPd tt ),(),(~
1 spbPspPb tt
),(01 txPP 0
_1
_
),( txPP P
1 CTP
h = 1, h = -1
PPP 1Partículas y antipartículas
tienen paridad opuesta.
P cambia una partículacon p y s en la mismapartícula con –p y s.
),(),('),( 0 txtxtx
)( ,0
~
ppp
),(),(~
0 spuspu
),(),(~
0 spvspv
))),(),(),().(( .1.13 xiptxipP espvPspPdespuPspPbpNd
)),(),(),(),(( .0
.0
3~~xpitxpi
p espvspdespuspbpNd
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Mayo 2005Ricardo Pérez M.
)()(_
1 xCCxCT
tT CxCxC )()( 1_
TCC 1
02iC
),(),( 1 spdCspCb ),(),( 1 spbCspCd
),(),( 1 spbCspCd tt ),(),( 1 spdCspCb tt
Los operadores de partícula y antipartícula son intercambiados.
),(),(
),(),(_
_
spuspvC
spvspuCT
s
xiptxipp espvCspCdespuCspCbpNd )),(),(),(),(( .1.13
s
xipT
xipT
tp espvCspdespuCspbpNd )),(),(),(),(( .
_.
_3
CAMPO DE DIRAC
Conjugación de carga
)()()()()( *00 xCxCxKCxx
T
c
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Mayo 2005Ricardo Pérez M.
Inversión del tiempo
),(),( 01 txTTtxT
tTtxTtxT 0
_1
_
),(),(
),(),(),(),('),( *00 txTtxKTtxTtxtx
T~~
*2/10 ),()1(),( spuispuT s )( ,0
~sss
),()1(),(~~
2/11 spdiTspTd s
),()1(),(~~
2/11 spbiTspTb tst ),()1(),(~~
2/11 spdiTspTd tst
),()1(),(~~
2/11 spbiTspTb s
Inversión del tiempo hace el cambio en el vectorde momento y en la dirección de espín.
PTTP 1
CAMPO DE DIRAC
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Campo electromagnético
),(),( 1 txAPtxPA
),(),( 1 txATtxTA
Notamos que ),(),( txAtxj
),(),( 1 txACtxCA
es invariante ante laaplicación sucesiva de T,P y C.
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EL TEOREMA CPT
)()( 1 xLxL
TCP es un invariante de la naturaleza.
Para cualquier teoría cuántica de campo local quepueda ser descrita por una densidad lagrangianainvariante de Lorentz, hermiteana y cuyos operadoresde campo satisfacen el teorema espín-estadística, lasiguiente relación se cumple
• La acción integral, las ecuaciones de campo y las relaciones de conmutación son invariantes ante PTC
Constituye una de las predicciones mas fundamentalesde la teoría cuántica de campos.
CPT Descubierto por Schwinger y G. Luders, (1954).
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• Consecuencia. Las masas y tiempos de vidade partículas y sus antipartículas son exactamenteiguales
Campo escalar
)()( 1 xx t
Campo espín 1/2
)()(_
051 xixT
Campo electromagnético
)()( 1 xAxA
051_
)()( ixx T
Ricardo Pérez M.
Transformación de los campos bajo PTC
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Mayo 2005
Propiedades de transformación de los covariantes bilinealesbajo C, P, T y PTC.
)(xabS )(~xSba )(
~xSba )( xSab
)(xPab )(~xPba )( xPab
)(xVab )(
~xV ba )(
~xV ba )(xVab
)(xPab )( xPab
)(xTab )(
~xT ba )(
~xT ba )( xTab
)(xTba
)(xPba
)(xVba
)(xPba
)(xSba
C P T PCT
),( txx ),(~
txx ),(~
txx ),( txx
)(~xPba
escalar
pseudoescalar
vector
vector axial
tensor
)(~xPba
),(),(),(),( 5_
5_
txtxtxtx abab
51
0*5
0 )( TT
),(),(),(),( 5_
5_
txtxtxtx baab
)(~xPba
),(),(),(),( 5_
5_
txtxtxtx abab 5050 i
515 CCi
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Bjorken J.D. y S.D. Drell. Relativistic quantum fields. New York:McGraw-Hill, 1964.
Peskin M. y Schroeder. An introduction to quantum field theory.Perseus Books Group,1995.
Greiner W. Field quantization. Springer-Verlag, Berlin,1986.
Lee T.D. y C.N. Yang, Phys Rev, 104, 254 (1956).
Mori T. y C.S Lim, The physics of the standard model and beyond.World Scientific Publishing, 2004.
Ricardo Pérez M.
REFERENCIAS30
Mayo 2005
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES
GRACIAS.
• Esquemas de gravedad cuántica han sugerido un ligero rompimiento en la simetría de Lorentz o de CTP.
• Diversas observaciones astrofísicas y experimentos de alta precisión están siendo investigados actualmente.
Simetrías discretas pueden emplearse para relacionar el comportamiento de diferentes sistemas físicos, por ejemplo, aquellos que difieren por un intercambio de partículas y antipartículas.
Todas las teorías de campo no interactuantes son invariantes bajo P,T y C pero puede cambiar si interacciones presentes rompen la simetría.
Cualquier teoría de campo relativista debe ser invariante bajo el grupo propio de Lorentz, pero no necesita serlo bajo P,C y T. Sin embargo la operación conjunta TPC (en cualquier orden) es un invariante de la naturaleza.
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