NUMERO TRIANGOLARE:Un numero triangolare è un numero che è la somma dei primi N numeri naturali. Ad esempi 28 è un numero triangolare perché:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7  =  28Il nome “triangolare” deriva dal fatto che, fin dall’antichità, si notò che tali numeri potevano essere rappresentati da triangoli costituiti da punti, ciascuno dei quali è una unità. Ad esempio, nel nostro esempio (28):****************************Esiste una semplice formula per calcolare l’n-esimo numero triangolare, cioè la somma dei primi n numeri naturali:T(n) = n*(n+1)/2Per esempio, per n = 7, otteniamo:T(7)  =  7*(7+1)/2  = 7*8/2  =  56/2  = 28I primi numeri triangolari sono:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990….E’ interessante notare che la somma di due numeri triangolari consecutivi è sempre un quadrato esatto, per esempio:T(5) + T(6)  =  15 + 21  =  36  =  6^2T(6) + T(7)  =  21 + 28  =  49  =  7^2T(7) + T(8)  =  28 + 36  =  64  =  8^2Da notare anche che tutti i numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei loro divisori propri) sono numeri triangolari.Un’altra interessante proprietà è che il quadrato di un qualsiasi numero triangolare T(n) è uguale alla somma dei primi n numeri naturali al cubo:[T(n)]^2  =  1^3 + 2^3 + 3^3 + ….. + (n-1)^3 + n^3Per esempio:[T(4)]^2  =  10^2  =  100[T(4)]^2  =  1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3  =  1 + 8 + 27 + 64  =  100C’è ancora da osservare che tutti i quadrati esatti dispari sono della forma 8*T(n) + 1.Per esempio:11^2  =  121  =  8*15 + 1  =  8*T(5) + 113^2  =  169  =  8*21 + 1  =  8*T(6) + 1C’è infine da notare che ci sono infiniti numeri triangolari che sono anche quadrati esatti. I primi di essi sono:T(1)         =  1                     =  1^2T(8)         =  36                  =  6^2T(49)       =  1225              =  35^2T(288)     =  41.616           =  204^2T(1681)   =  1.413.721      =  1189^2T(9800)  =  48.024.900  =  6930^2

I NUMERI GEMELLI:

Tra i NUMERI PRIMI troviamo una categoria particolare rappresentata dai NUMERI PRIMI GEMELLI.

Con questa espressione si intendono DUE NUMERI PRIMI che si trovano nella sequenza dei numeri naturali vicinissimi tra loro e sono SEPARATI solamente da UN NUMERO PARI.

Prendiamo i NUMERI NATURALI:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ecc..

 

Come sappiamo 2 e 3 sono due numeri primi. Essi sono uno di seguito all'altro: quindi la loro differenza è 1.

Ad eccezione di questi due numeri primi, tutte le altre coppie di numeri primi (3 e 5, 5 e 7, 7 e 11, 11 e 13, 13 e 17) sono distanziate da almeno un numero pari: quindi la differenza tra queste coppie di numeri primi è come minimo 2.

Diciamo, allora, che quando la DIFFERENZA tra un NUMERO PRIMO  e quello PRECEDENTE è 2, questa coppia di NUMERI PRIMI viene detta NUMERI PRIMI GEMELLI.

Quindi se chiamiamo p un numero primo e il successivo numero primo è uguale a p+2, questa coppia di numeri è detta NUMERI PRIMI GEMELLI.

 Esempio:

3 e 5 sono primi gemelli;

5 e 7 sono primi gemelli;

11 e 13 sono primi gemelli;

41 e 43 sono primi gemelli;

71 e 73 sono primi gemelli.

 Il primo matematico a dare a tali numeri primi il nome di gemelli fu Paul Stäckel, un tedesco studioso della teoria dei numeri.