richiami di trigonometria - univpm
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RICHIAMI di TRIGONOMETRIA
Francesca G. Alessio
Universita Politecnica delle Marche
ANGOLI e RADIANTI
Sia C una circonferenza di raggio 1 e centro O. Allāangolo ā individuatodalle due semirette r
0
e r uscenti da O corrispondera un arco sullacirconferenza di lunghezza āµ. Diremo che lāangolo ā misura āµ radianti.
Dato che ā” e il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suodiametro, abbiamo che la circonferenza C ha lunghezza 2ā”. Quindi unangolo giro misurera 2ā” radianti, un angolo piatto ā” radianti e un angoloretto ā”
2
radianti
āµ rad : ļæ½o = ā” rad : 180o
I Un angolo di 45o misura ā”
4
radianti, essendo 45o = 180
o
4
, mentre un
angolo di ā”
9
radianti misura 20o dato che 20o = 180
o
9
.
ANGOLI ORIENTATI
Fissata come semiretta di riferimento la semiretta r0
, si dice che lāangolo dilati le semirette r
0
e r e vertice O e positivamente orientato
(rispettivamente, negativamente orientato) se per sovrapporsi allasemiretta r coprendo lāangolo assegnato, la semiretta r
0
deve ruotare insenso antiorario (rispettivamente, in senso orario).
La misura di un angolo orientato verra indicata con segno positivo selāangolo risulta positivamente orientato, negativo se lāangolo enegativamente orientato.
COSENO, SENO e TANGENTE
Nel piano cartesiano Oxy, considerata la circonferenza trigonometrica
C di centro lāorigine O e raggio 1, indichiamo con P0
il punto di coordinate(1, 0) 2 C.
Dato āµ 2 R, sia Pāµ
il punto della circonferenza C tale che lāarco P0
Pāµ
abbia lunghezza |āµ|, dove si conviene che
ā¢ partendo dal punto P0
, lāarco P0
Pāµ
viene percorso in senso antiorariose āµ > 0 e in senso orario se āµ < 0
ā¢ se |āµ| > 2ā” il punto Pāµ
viene individuato percorrendo k volte lāinteracirconferenza trigonometrica e quindi un arco di lunghezza ļæ½ dovek 2 N e ļæ½ 2 [0, 2ā”) sono tali che |āµ| = ļæ½ + 2kā”.
Osserviamo che
ā¢ la semiretta rāµ
uscente dallāorigine e passante per Pāµ
individua con ilsemiasse delle ascisse positive un angolo orientato che misura āµ radianti.
ā¢ dato che la circonferenza C misura 2ā”, risulta Pāµ+2kā”
= Pāµ
per ogni
k 2 Z, āµ 2 R
Ad esempio
I Pļæ½ 3
2
ā”
= Pā”2
= (0, 1) poiche ļæ½ 3
2
ā” = ā”
2
ļæ½ 2ā”,
I Pļæ½ 5
2
ā”
= Pļæ½ā”2
= (0,ļæ½1) dato che ļæ½ 5
2
ā” = ļæ½ā”
2
ļæ½ 2ā”,
I P9
2
ā”
= Pā”2
= (0, 1) essendo 9
2
ā” = ā”
2
+ 4ā”.
Si dicono coseno e seno di āµ 2 R, cosāµ e sināµ, rispettivamente lāascissa elāordinata del corrispondente punto P
āµ
sulla circonferenza trigonometrica:
Pāµ
= (cosāµ, sināµ)
Per āµ 6= ā”
2
+ kā”, k 2 Z, si dice tangente di āµ, tanāµ, il rapporto
tanāµ =sināµ
cosāµ
NOTA: tanāµ e il coeļæ½ciente angolare della semiretta rāµ
e risulta ugualeallāordinata del punto Q
āµ
di intersezione di rāµ
con la retta x = 1
Dalla definizione segue immediatamente che
Dato un triangolo rettangolo di cateti a e b e ipotenusa c, indicata con āµ lamisura in radianti dellāangolo opposto al cateto a risulta
Ne deduciamo in particolare che, essendo cos ā”
4
e sin ā”
4
i cateti di untriangolo rettangolo isoscele di ipotenusa 1, si ha
Dato che un triangolo rettangolo di ipotenusa 1 con un angolo acuto di ā”
3
radianti e la meta di un triangolo equilatero, dal teorema di Pitagora si ha
Allo stesso modo, poiche ā”
6
e la meta di ā”
3
abbiamo
Riunendo quanto trovato, otteniamo la seguente tabella che riporta i valoridi coseno, seno e tangente degli angoli fondamentali
Ricordando che lāequazione della circonferenza trigonometrica C ex2 + y2 = 1, dalla definizione, essendo P
āµ
2 C, per ogni āµ 2 R abbiamo
ā Identita Pitagorica: cos2 āµ+ sin2 āµ = 1
ā ļæ½1 cosāµ 1 e ļæ½1 sināµ 1
ā cos(āµ+ 2kā”) = cosāµ e sin(āµ+ 2kā”) = sināµ per ogni k 2 Z
ā cos(ļæ½āµ) = cosāµ e sin(ļæ½āµ) = ļæ½ sināµ
ā Identita degli angoli supplementari:
cos(ā” ļæ½ āµ) = ļæ½ cosāµ e sin(ā” ļæ½ āµ) = sināµ
ā Identita degli angoli complementari:
cos(ā”2
ļæ½ āµ) = sināµ e sin(ā”2
ļæ½ āµ) = cosāµ
Infine, per ogni āµ,ļæ½ 2 R valgono le seguenti formule
ā Formule di addizione
cos(āµ+ ļæ½) = cosāµ cosļæ½ ļæ½ sināµ sinļæ½
sin(āµ+ ļæ½) = sināµ cosļæ½ + cosāµ sinļæ½
ā Formule di sottrazione
cos(āµļæ½ ļæ½) = cosāµ cosļæ½ ļæ½ sināµ sinļæ½
sin(āµļæ½ ļæ½) = sināµ cosļæ½ + cosāµ sinļæ½
Ponendo āµ = ļæ½ nelle formule di addizione otteniamo
ā Formule di duplicazione
cos(2āµ) = cos
2 āµļæ½ sin
2 āµ
sin(2āµ) = 2 sināµ cosāµ
Dalle formule di duplicazione, grazie allāidentita pitagorica, per ogni ļæ½ 2 Rsi ha
cos(2ļæ½) = 1ļæ½ 2 sin2 ļæ½ = 2 cos2 ļæ½ ļæ½ 1
da cui seguono
ā Formule di bisezione
cos2āµ
2=
1 + cosāµ
2sin2
āµ
2=
1ļæ½ cosāµ
2tan
āµ
2=
sināµ
1 + cosāµ=
1ļæ½ cosāµ
sināµ
ā Formule di razionalizzazione: se t = tan āµ
2
allora
cosāµ =1ļæ½ t2
1 + t2sināµ =
2t
1 + t2tanāµ =
2t
1ļæ½ t2
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
Considerate le corrispondenti funzioni coseno, seno e tangente abbiamo
ā DOMINIO: Dom(cosx) = Dom(sinx) = R mentreDom(tanx) = {x 2 R |x 6= ā”
2
+ kā”, k 2 Z};ā IMMAGINE: Im(cosx) = Im(sinx) = [ļæ½1, 1] e Im(tanx) = R;ā SIMMETRIE: cosx e funzione pari, sinx e tanx sono funzioni dispari;
ā PERIODICITA: cosx e sinx sono funzioni periodiche di periodo 2ā”,tanx e una funzione periodica di periodo ā”.
Riguardo alle proprieta di MONOTONIA delle funzioni trigonometriche,limitandoci a considerare un intervallo fondamentale avente comeampiezza il periodo, abbiamo
ā cosx e strettamente decrescente in [0,ā”], crescente in [ā”, 2ā”];
ā sinx e strettamente crescente in [ļæ½ā”
2
, ā”
2
], decrescente in [ā”2
, 3
2
ā”];
ā tanx e strettamente crescente in (ļæ½ā”
2
, ā”
2
).
Grafico della funzione coseno
Grafico della funzione seno
NOTA: Dallāidentita degli angoli complementari,
sinx = cos(ā”2
ļæ½ x) = cos(xļæ½ ā”
2
) per ogni x 2 R: il grafico del seno si
ottiene dal grafico del coseno operando una traslazione di vettore ~v = (ā”2
, 0).
Grafico della funzione tangente
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE
Le funzioni arcocoseno, arccosx , arcoseno, arcsinx , e arcotangente,
arctanx , sono definite rispettivamente come le inverse delle funzioni cosxristretta allāintervallo [0,ā”], sinx ristretta a [ļæ½ā”
2
, ā”
2
] e tanx ristretta a(ļæ½ā”
2
, ā”
2
).
Osservato che cos([0,ā”]) = sin([ļæ½ā”
2
, ā”
2
]) = [ļæ½1, 1] e tan((ļæ½ā”
2
, ā”
2
)) = R, si ha
ā x 2 [ļæ½1, 1], arccosx = y , y 2 [0,ā”], cos y = x
ā x 2 [ļæ½1, 1], arcsinx = y , y 2 [ļæ½ā”
2
, ā”
2
], sin y = x
ā x 2 R, arctanx = y , y 2 (ļæ½ā”
2
, ā”
2
), tan y = x
Ad esempio
I Abbiamo che arccos 1
2
= ā”
3
dato che ā”
3
2 [0,ā”] e cos ā”
3
= 1
2
.
I Si ha arcsin 1
2
= ā”
6
essendo sin ā”
6
= 1
2
e ā”
6
2 [ļæ½ā”
2
, ā”
2
].
I Risulta arctan(ļæ½1) = ļæ½ā”
4
dato che ļæ½ā”
4
2 (ļæ½ā”
2
, ā”
2
) e tan(ļæ½ā”
4
) = ļæ½1.
Abbiamo
ā Dom(arccos) = cos([0,ā”]) = [ļæ½1, 1] e Im(arccos) = [0,ā”];
ā Dom(arcsin) = sin([ļæ½ā”
2
, ā”
2
]) = [ļæ½1, 1] e Im(arcsin) = [ļæ½ā”
2
, ā”
2
];
ā Dom(arctan) = tan((ļæ½ā”
2
, ā”
2
)) = R e Im(arctan) =ļæ½ļæ½ā”
2
, ā”
2
ļæ½.
Il grafico delle funzioni arccosx e arcsinx risulta rispettivamente ilsimmetrico rispetto alla bisettrice y = x delle funzioni cosx, ristretta a[0,ā”], e sinx, ristretta a [ļæ½ā”
2
, ā”
2
]
NOTA: la funzione arcsinx e dispari e, dallāidentita degli angoli
complementari, si ha arccosx+ arcsinx = ā”
2
per ogni x 2 [ļæ½1, 1].
Il grafico della funzione arcontangente risulta invece il simmetrico allabisettrice y = x del grafico della funzione tanx ristretta a
ļæ½ā”
2
, ā”
2
ļæ½
NOTA: la funzione arctanx e dispari, strettamente crescente e assumevalori strettamente compresi tra ļæ½ā”
2
e ā”
2
.
EQUAZIONI e DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
Parliamo di equazioni e disequazioni trigonometriche quandonellāequazioni e disequazioni compaiono funzioni trigonometriche.
Per risolvere tali equazioni e disequazioni occorre tener presente che lefunzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2ā”, mentre la funzionetangente e periodica di periodo ā”.
Per tale motivo, per risolvere unāequazione o disequazione trigonometricaconverra iniziare col restringere lo studio in un intervallo di ampiezza ilperiodo (in generale 2ā”, oppure ā” se e coinvolta solo la funzione tangente).
Una volta determinate le eventuali soluzioni in tale intervallo, si otterra lasoluzione in tutto R aggiungendo, per periodicita, multipli interi del
periodo.
Vedremo innanzitutto equazioni e disequazioni elementari, per risolverleragioneremo per via grafica, tracciando il grafico delle funzioni coinvolte inun intervallo di ampiezza il periodo.
sinx = āµ con āµ 2 ROsserviamo che lāequazione non ha soluzioni se |āµ| > 1. Per |āµ| 1 ogniretta y = āµ interseca il grafico del seno nellāintervallo [ļæ½ā”,ā”] in due puntidi ascissa arcsināµ il primo e Ā±ā” ļæ½ arcsināµ il secondo.
I Lāequazione sinx =p2
2
nellāintervallo [ļæ½ā”,ā”] e verificata da ā”
4
e
ā” ļæ½ ā”
4
= 3
4
ā”. Per periodicita tutte le soluzioni reali sono date dax = ļæ½ā”
4
+ 2kā” e x = ļæ½ 3
4
ā” + 2kā”, k 2 Z.
I sinx = ļæ½ 1
3
in [ļæ½ā”,ā”] e verificata da x = arcsin(ļæ½ 1
3
) = ļæ½ arcsin 1
3
e
x = ļæ½ā” + arcsin 1
3
.
sinx > āµ con āµ 2 R
Possiamo tracciare il grafico della funzione seno in [ļæ½ā”,ā”] e osservare inquali intervalli questo si trova al di sopra della retta y = āµ.
I La disequazione sinx > 2 non ammette soluzioni mentre sinx > ļæ½ā”e verificata da ogni x 2 R.
I La disequazione sinx > 1
2
nellāintervallo [ļæ½ā”,ā”] e verificata da
ā”
6
< x < ā” ļæ½ ā”
6
= 5
6
ā”. Per periodicita tutte le soluzioni reali sono dateda ā”
6
+ 2kā” < x < 5
6
ā” + 2kā”, k 2 Z.
sinx < āµ con āµ 2 R
Tracciamo il grafico della funzione seno in [ļæ½ā”,ā”] e osserviamo in qualiintervalli questo si trova al di sotto della retta y = āµ.
I La disequazione sinx < ā”
2
e verificata da ogni x 2 R.
I La disequazione sinx <p3
2
nellāintervallo [ļæ½ā”,ā”] e verificata da
ļæ½ā” < x < ā”
3
e ā” ļæ½ ā”
3
= 2
3
ā” < x < ā”. Per periodicita tutte le soluzionireali sono date da ļæ½ā”+ 2kā” < x < ā”
3
+ 2kā” e 2
3
ā”+ 2kā” < x < ā”+ 2kā”,k 2 Z.
cosx = āµ con āµ 2 R
Lāequazione non ha soluzioni se |āµ| > 1 mentre per |āµ| 1 ogni retta y = āµinterseca il grafico del coseno in due punti di ascissa arccosāµ e ļæ½ arccosāµ
cosx > āµ oppure cosx < āµ con āµ 2 R
Anche in questo caso, possiamo tracciare il grafico della funzione coseno in[ļæ½ā”,ā”] e la retta y = āµ e ragionare graficamente
tanx = āµ, tanx > āµ oppure tanx < āµ con āµ 2 R
In questo caso possiamo restringere lo studio allāintervalloļæ½ļæ½ā”
2
, ā”
2
ļæ½dove la
funzione tangente risulta strettamente crescente (e quindi iniettiva)
I Lāequazione tanx = 1 nellāintervallo (ļæ½ā”
2
, ā”
2
) e verificata da x = ā”
4
, lesoluzioni reali saranno quindi x = ā”
4
+ kā”, k 2 Z.I La disequazione tanx > ļæ½2 nellāintervallo (ļæ½ā”
2
, ā”
2
) e verificata daarctan(ļæ½2) = ļæ½ arctan 2 < x < ā”
2
, le soluzioni reali saranno quindi dateda kā” ļæ½ arctan 2 < x < ā”
2
+ kā”, k 2 Z.
Vediamo infine alcune equazioni e disequazioni piu complesse per le qualioccorrera riportarsi ai casi elementari visti.
I Lāequazione cos(2x)ļæ½ sinx = 0 , ricordando che cos(2x) = 1ļæ½ sin2 x,
risulta equivalente a sin2 x+ sinxļæ½ 1 = 0, equazione algebrica nellavariabile t = sinx. Ammette come soluzioni ogni x = ā”
2
+ 2kā”, k 2 Z.
I Lāequazione sinx+ cosx = 1 puo essere ricondotta allāequazione
razionale 2t
1+t
2
+ 1ļæ½t
2
1+t
2
= 1 ponendo t = tan x
2
, per x 6= kā” con k 2 Z.Ammette come soluzioni ogni x = 2kā” e x = ā”
2
+ 2kā”, k 2 Z.In alternativa, posto y = cosx e z = sinx, dallāidentita pitagoricalāequazione risulta equivalente al sistema
Ā®y + z = 1
y2 + z2 = 1
che ammette come soluzioni (1, 0) e (0, 1). Quindi le soluzionidellāequazione iniziale saranno date dalle soluzioni dei sistemi
Ā®cosx = 1
sinx = 0e
Ā®cosx = 0
sinx = 1
I La disequazionep1ļæ½ cosx | sinx| nellāintervallo [0, 2ā”] ammette
come soluzioni ogni ļæ½ā”
2
+ 2kā” x ā”
2
+ 2kā”, k 2 Z.
I La disequazione log(sinx) + log(cosx) + 2 log 2 > 0 dalle proprieta
del logaritmo, risulta equivalente a log(4 sinx cosx) > 0 per sinx > 0 ecosx > 0, ammette come soluzioni ogni ā”
12
+ 2kā” < x < 5ā”
12
+ 2kā”,k 2 Z.