riješeni zadaci i teorija iz - · pdf filenastavna cjelina: 2. nizovi nastavne...
TRANSCRIPT
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
1
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA
IZ
LIMES NIZOVA
LIMES MONOTONIH NIZOVA
GEOMETRIJSKOG REDA
LIMES FUNKCIJA
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
2
2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA
2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza
2.4.1.1 Riješeni zadaci
2.4.2 Teoremi o limesima-operacije sa limesima
2.4.3 Neki značajni limesi
2.4.3.1 Riješeni zadaci
2.4.4 Limes geometrijskog niza
2.4.4.1 Zadaci
2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA
2.5.1 Monotoni nizovi
2.5.1.1 Riješeni zadaci
2.5.2 Omeđeni nizovi
2.5.2.1 Riješeni zadaci
2.5.3 Limes monotonih nizova
2.5.3.1 Riješeni zadaci
2.5.4 Baza prirodnog logaritma – broj e
2.6. GEOMETRIJSKI RED
2.6.1 Definicija reda
2.6.2 Geometrijski red
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
3
2.4.1. DEFINICIJA LIMESA I KONVERGENTNOG NIZA
Limes je temelj matematičke analize.
Za niz brojeva a1, a2, a3, …, an, … kažemo da konvergira ili teži
prema realnom broju a ako i samo ako za svaki član (ma kako
malen) pozitivni broj ɛ (ɛ > 0) postoji prirodan broj n0 = N = N (
tako da za svaki
n > n0 ili n > N vrijedi:
Broj a zove se tada limes ili granica (broja) niza (an)-
DEFINICIJA LIMESA NIZA:
Broj a nazivamo limes niza a1, a2,…,an, …:i pišemo
ako je svaki postoji također broj N = N ( da je
N ovisi o unaprijed po volji zadanom malom pozitivnom broju
Ako niz konvergira prema nekom određenom broju a, kažemo
da je KONVERGENTAN1, a u svakom drugom slučaju je
DIVERGENTAN.
1 Latinski: konvergen-lat. težiti prema nečemu
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
4
2.4.1.1 Riješeni zadaci
Primjer 1:
Niz:
Kako dobiti treći član n=3?
n=3
Kako dobiti ?
Oduzeti drugi član od prvog ili treći član od drugog.
Niz konvergira prema broju 2 jer je limes toga niza
broj 2.
εn1
n1
2n1
22n1
2
Sl.
Ako je pozitivan broj (n = 10) tada za
možemo uzeti broj 1 jer je
,
za svaki
Ako je pozitivan broj (n= 100) tada za
možemo uzeti broj 101 jer je
,
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
5
za svaki
OPĆENITO:
Ako je ma kako malen zadan pozitivan broj.
Nejednakost
vrijedi za svaki ,
gdje je bilo koji prirodan broj veći od ( ).
Što je manji, to je veći !
Primjer 2: Pokažimo da je:
Prema definiciji:
Uvrštavanjem vrijednosti za an i a dobivamo:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
6
Ocijenivši tu diferenciju prema apsolutnoj vrijednosti dobivamo:
(2)
Prema tome, za svaki pozitivni broj postoji takav broj
da za n>N vrijedi nejednadžba (2). Iz toga slijedi da je broj 2 limes niza
, a zadana formula (1) je ispravna.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
7
2.4.2 TEOREMI O LIMESIMA-OPERACIJE SA LIMESIMA
Neka su zadana dva konvergentna niza an i bn s limesima a i b tada
vrijedi:
A) TEOREM O LIMESU ZBROJA (RAZLIKE)
ZBROJ (RAZLIKA) LIMESA I KONSTANTE
(KONSTANTNI NIZ svi članovi niza jednaki istom realnom
broju c)
B) TEOREM O LIMESU UMNOŠKA
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
8
UMNOŽAK KONSTANTE I LIMESA
(KONSTANTNI NIZ-svi članovi niza jednaki istom realnom
broju c)
EOREM O LIMESU KVOCIJENTA
C) TEOREM O LIMESU POTENCIJE
Ako je
onda je:
LIMES m-tog KORIJENA
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
9
D) TEOREM MONOTONOST LIMESA
Ako je ili za svaki n, onda je:
2.4.3. NEKI ZNAČAJNI LIMESI
1) Nul niza je onda i samo onda kada niz apsolutnih
vrijednosti teži nuli. Apsolutna vrijednost člana niza je
udaljenost koja po volji može biti malena
Primjeri nul-nizova: , ,
Ako je
onda vrijedi
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
10
Općenito:
2)
3)
4) Broj e-baza sistema prirodnog logaritma
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
11
Broj C-Eulerova konstanta (niz minus funkcija)
2.4.3.1 Riješeni zadaci
Vježbe:
1) Zadan je složeni niz limes nije jednostavno
izračunati po definiciji nego koristimo teoreme o limesima i nul
niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,B i D).
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
12
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
13
3) Složeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza.
Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima
(pod A,C).
za brojnik:
za nazivnik:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
14
4) Složeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza.
Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima
(pod A,C).
I način:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
15
II način:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
16
5)
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
17
6)
7)
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
18
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
19
8)
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
20
Zadaci:
1. Odredi limes niza čiji je opći član:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
21
7)
8)
9)
10)
2. Odredi:
a)
b) Ako a = b, onda je limes jednak a.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
22
c) Ako je a > b, onda je , u tom slučaju brojnik i
nazivnik podijeliti sa . Limes je a.
d) Ako je a < b, brojnik i nazivnik podijeliti sa .
Limes je b.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
23
b)
c)
d)
e)
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
24
f)
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
25
3. Odredite limese nizova:
1.
a)
R: 0
b)
R: 1
c)
Uputa:
R: 2
d)
R:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
26
2.
R: 1
3.
R: 1
4.
R:
5.
R: 8
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
27
2.4.4 LIMES GEOMETRIJSKOG NIZA
e) za q > 1
f) za q = 1
g) za -1 < q < 1
h) za q
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
28
2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA
2.5.5 Monotoni nizovi
2.5.1.1 Riješeni zadaci
2.5.6 Omeđeni nizovi
2.5.2.1 Riješeni zadaci
2.5.7 Limes monotonih nizova
2.5.3.1 Riješeni zadaci
2.5.8 Baza prirodnog logaritma – broj e
2.6. GEOMETRIJSKI RED
2.6.1 Definicija reda
2.6.2 Geometrijski red
2.6.3 Riješeni zadaci
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
29
2.5.1 Monotoni nizovi
Niz realnih brojeva-beskonačan.
… oznaka za sam niz
… oznaka za opći ili n-ti član niza
Monotoni nizovi su jedini nizovi koji su:
rastući
ili
padajući
Niz je monotono rastući ili uzlazan ako za svaki n vrijedi:
Niz je monotono padajući ili silazan:
Kako dokazati da je zadani niz monoton?
1. Ispitati da li je niz rastući ili padajući
Slijedeći član niza je veći ili manji od prethodnog.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
30
Primjer 1: Ispitajte nizove:
a)
1, 2, 3, …, n, …
Niz je monotono rastući .
Provjera:
1, 2, 3, …, n, …
Niz je monotono rastući .
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
31
b)
Niz je monotono rastući .
Provjera:
Niz je monotono rastući .
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
32
c)
Niz je monotono padajući ili silazan
Provjera:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
33
Niz je monotono padajući ili silazan.
d)
Niz je monotono rastući .
Provjera:
Niz je monotono rastući .
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
34
e)
Niz je monotono padajući ili silazan.
Provjera:
Niz je monotono padajući .
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
35
f)
Niz je monotono padajući jer je .
Niz je monotono padajući jer je .
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
36
g)
Svi članovi niza monotono ne padaju niti monotono ne rastu prva
dva člana rastu, a druga dva padaju (ponavlja se).
Zaključujemo da niz nije monoton.
Provjera:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
37
Niz nije monoton .
h)
Zaključak: Niz nije monoton.
Zašto?
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
38
Niz nije monoton.
i)
Zaključak: Niz nije monoton.
Zašto?
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
39
Niz nije monotono.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
40
Primjer 2: Dokažite da je niz (an), padajući.
Niz je monotono padajući ili silazan:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
41
Niz (an), je padajući kada je n ≥ 1.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
42
Zadci 2.5 :
2. Je li niz monoton?
Monoton niz jedini je od nizova rastući ili padajući.
1. Da li od prve možemo uočiti da li je niz rastući ili
padajući?
Da, ali moramo prvo srediti zadani n-ti član niza.
U n-tom članu niza uočavamo minus i n u nazivniku pa je
, a niz je monotono rastući.
2. Koji je najmanji član niza?
za n = 1 vrijedi:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
43
5. Koji su od sljedećih nizova monotoni:
1)
Rješenje:
1. Da li od prve možemo uočiti da li je niz rastući ili
padajući?
Da, niz je monoton odnosno monotono rastući .
Provjera za n = 1:
Za n=2:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
44
0 < .
1)
Rješenje:
Da, niz je monoton odnosno monotono rastući .
Provjera za n = 1:
Za n=2
1.5 < 2.25
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
45
5)
Rješenje:
Da, niz je monoton odnosno monotono padajući .
Provjera za n = 1:
Za n=2:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
46
1 > 0.5
6)
Rješenje:
Niz nije monoton jer je u brojniku potencija od negativnog broja.
Napravite provjeru:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
47
1. Od kojeg je član niza , ispunjena
nejednakost ?
Rješenje:
Riješite samostalno!
Kako ste zaključili da je nejednakost ispunjena od člana ?
Provjera:
Za :
Za
Za
Za
Za
Za
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
48
Za
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
49
2.5.2 Omeđeni nizovi
Kod omeđenih nizova postoji donja i gornja međa granica odnosno
realan broj m i M tako da za svaki član niza n vrijedi:
donja međa ili dolje ograđen
donja međa ili dolje ograđen
Primjer 1: Dokaži da je niz
omeđen i odredite donju i gornju među.
Rješenje:
U brojniku n-u pribrajamo jedinicu (n+1),a nakon provedenog
množenja broja 2 s svakim članom u zagradi dobivamo:
S kojim brojem moramo izraz 2n + 2 u brojniku na desnoj strani
zbrojiti ili oduzeti kako bi odgovarao brojniku na lijevoj strani?
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
50
Za svaki prirodni n vrijedi:
1. Određivanje gornje međe M=?:
M = 2 gornja međa zadanog niza
2. Određivanje donje međe m=?:
Za vrijedi:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
51
donja međa zadanog niza
Zadaci 2.5.
25. Koji su od sljedećih nizova omeđeni? Za svaki omeđeni
niz navedi interval unutar kojeg se nalaze svi članovi niza
1)
Opći član niza:
Za svaki prirodni n vrijedi:
1. Određivanje gornje međe M=?:
M = 1 gornja međa zadanog niza
1. Određivanje donje međe m=?:
Za vrijedi:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
52
donja međa zadanog niza
Interval unutar kojeg se nalaze svi članovi niza je:
[0, 1›
3)
Rješenje: Nije omeđen.
4)
Rješenje: Da omeđen je i svi se članovi niza nalaze unutar
intervala:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
53
6)
Rješenje: Nije monoton ali je određen.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
54
2.5.3 Limes monotonih nizova
Monotoni nizovi2 ponašaju se na dva način:
1. Kada niz NIJE OMEĐEN tada neograničeno raste ili pada vrijedi:
2. Kada je niz OMEĐEN postoji gornja M i donja međa m koje ne
može preči nijedan član niza. Svi članovi niza teže nekom broju.
Kada je niz rastući teži najmanjoj gornjoj međi L odnosno
supremum niza (broju), a kada je niz padajući teži najmanjoj
donjoj međi odnosno infimumu niza.
Limes rastućeg monotonog niza jednak je supremumu skupa
Limes padajućeg monotonog niza jednak je infimumu skupa
Za bilo koji L je najmanja gornja međa.
Broj L – nije gornja međa skupa S.
Postoji član niza a koje vrijedi:
2 Jedini nizovi koji su rastući i padajući.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
55
an - L = L - an < L - an0 <
anan0
-okolina
najmanjagornjameđa-limes
L M
Gornjemeđe
slika 1
Iz dviju činjenica da je niz rastući za svaki i
omeđen, a gornja granica je L pa je za svaki n i izvodimo
zaključak da se za svaki članovi niza nalaze se unutar
(uklopnjeni) su između i L za koje vrijedi:
Pošto svaki član OMEĐENOG MONOTONOG niza teži nekom
određenom broju3 niz je KONVERGENTAN, a L je limes niza (an) (vidimo
iz slike 1).
3 Za niz brojeva a1, a2, a3, …, an, … kažemo da konvergira ili teži prema realnom broju a ako i
samo ako za svaki član (ma kako malen) pozitivni broj ɛ (ɛ > 0) postoji prirodan broj n0 = N = N (
tako da za svaki n > n0 ili n > N vrijedi:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
56
Zadci 2.5 :
9. Nađi najmanji i najveći član niza .
Za n = 1 vrijedi:
1. Do kada niz pada i zašto?
Niz pada sve dok je u općem članu
3n - 19 = 0
3n = 19 →
2. Koji je to član niza i koliko iznosi?
Šesti član niza .
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
57
1. Što se zbiva s nizom kada je
2. Koliko iznosi prvi veći član koji zadovoljava gornji uvjet
n > 6 i ispitajte da li niz dalje pada?
3. Koliko iznose slijedeći članovi niza kada je n > 6 i prema
čemu teži zadani niz?
Pošto je nazivnik pozitivan niz dalje pada i teži prema 1.
Najmanji član niza je:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
58
Najveći član niza je:
15. Niz je monoton i omeđen. Dokaži to!
Odredi prirodni broj takav da je za sve
, ako 1) 2) 3)
Rješenje: 1) 2) 3)
17. Dokaži da je niz omeđen ako je:
Rješenje:
Niz je monotono padajući.
Rješenje:
Uputa: Prvo treba provesti racionalizaciju.
Rješenja:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
59
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
60
2.5.4 Baza prirodnog logaritma – broj e
Niz ima široku primjenu u različitim primjenama.
Niz je rastući4, omeđen
5. i konvergira
6.
Limes niza definira bazu prirodnog logaritma broja e.
e- iracionalni broj čija je vrijednost
Za svaki realni broj a vrijedi:
4 monotono rastući .
5 Kada je niz OMEĐEN postoji gornja M i donja međa m koje ne može preči nijedan član
niza. Svi članovi niza teže nekom broju. Kada je niz rastući teži najmanjoj gornjoj međi L
odnosno supremum niza (broju), a kada je niz padajući teži najmanjoj donjoj međi odnosno
infimumu niza.
6 Pošto svaki član OMEĐENOG MONOTONOG niza teži nekom određenom broju niz je
KONVERGENTAN, a L je limes niza (an)
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
61
2.6. GEOMETRIJSKI RED
2.6.1 Definicija reda
Red nastaje zbrajanjem članova niza odnosno red je niz
parcijalnih suma - zbrajanje se nastavlja u beskonačnosti.
Označava se:
Kako nastaje red (postupak)?
Zbrajanjem članova niza dobivamo niz parcijalnih suma
Postupak zbrajanja nastavlja se u beskonačnosti:
n-ta parcijalna suma:
Red je KONVERGENTAN kada je niz parcijalnih suma konvergentan.
Limes niza parcijalnih suma je SUMA KONVERGENTNOG REDA.
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
62
2.6.1 Geometrijski red
Geometrijski red ima oblik:
… zadani realni brojevi različiti su od nule.
Količnik ili kvocijent geometrijskog niza
Opći član geometrijskog niza
n-ta parcijalna SUMA GEOMETRIJSKOG NIZA:
Limes geometrijskog niza
ne postoji limes niza jer geometrijski niz
ne konvergira-nego je divergentan nije omeđen.
Limes niza:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
63
2. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konačan- red
divergira, zapisujemo ga u obliku:
Limes niza ne postoji.
3. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konačan-red
divergira, a red zapisujemo u obliku:
Limes niza ne postoji.
Niz parcijalnih suma konstantnog geometrijskog niza:
4.
Postoji limes niza koji je jednak nuli.
Limes niza:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
64
Zadaci 2.6.:
1. Odredi zbroj članova beskonačnog niza:
1)
Količnik ili kvocijent geometrijskog niza:
ili
Suma geometrijskog niza:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
65
5)
Količnik ili kvocijent geometrijskog niza:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
66
Suma geometrijskog niza:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
67
4. Zapiši u obliku razlomka:
1)
Beskonačni decimalni prikaz racionalnog broja pomoću geometrijskog
reda pretvaramo u standardni prikaz u obliku razlomka.
Dobili smo geometrijski red :
prvi član je
kvocijent je .
Suma konvergentnog geometrijskog reda:
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
68
Dobili smo geometrijski red
prvi član je
kvocijent je
Suma geometrijskog reda:
3)
Rješenje: 2
Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:
- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED
Razred:IV
69
21. Nad polovinom dijagonale kvadrata kao stranicom
konstruiran je kvadrat, nad polovinom dijagonale ovoga
ponovno se konstruira kvadrat itd. Koliki je zbroj površina svih
tako konstruiranih kvadrata ako je stranica prvog kvadrata
duljine a?
Količnik ili kvocijent geometrijskog niza:
Suma geometrijskog reda:
Dalje samostalno riješite!
Rješenje: