1

Rijit

Cisimlerin Dengesi

2

•

Bu bölümde, rijit

cisim dengesinin temel kavramları

ele alınacaktır:

–

Rijit

cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması

–

Rijit

cisimler için serbest cisim diyagramı çizilmesi

–

Denge denklemlerini kullanarak, rijit

cisimlerin denge problemlerinin çözülmesi

Rijit

Cisimlerin Dengesi

3

Rijit

cisim denge koşulları•

Şekilde cisme, kuvvet ve moment (kuvvet çifti) vektörleri etkimektedir.

•

Bu kuvvetler, yerçekimi, elektriksel, manyetik veya temas kuvvetlerinden dolayı

olabilir. •

İç

kuvvetlerin toplamı

sıfırdır, çünkü

cisim içindeki parçacıklar arasındaki iç

kuvvetler, Newtonun üçüncü

kanununa göre eşit,

fakat zıt yönlü

doğrusal çiftler şeklindedir, yani dengededir.

4

•

Bir önceki bölümde anlatılan yöntemle, bir cisme etki eden kuvvet ve moment çifti sistemi, cismin herhangi bir O noktasına eşdeğer bir bileşke kuvvet ve bileşke moment çiftine indirgenebilir. Bu bileşke kuvvet ve moment çiftinin ikisi de sıfıra eşitse, cismin dengede olduğu söylenebilir.

0)(

0

OOR

R

MM

FF

5

İki Boyutta Denge

•

Bu bölümde aynı

düzlemdeki kuvvetlerden ve bu düzleme dik momentlerin dengesi incelenecek.

•

Bu tür sistemlere iki boyutlu kuvvet sistemleri denir. •

Şekildeki uçak, merkezden geçen eksene göre simetrik olduğu için, tekerleklerde oluşan kuvvetler T ve T, 2T olarak gösterilmiştir.

6

Serbest Cisim Diyagramları•

Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması

için, cisim üzerine

etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış

kuvvetlerin cisim üzerinde gösterilmesi gerekir. Bunun için serbest cisim diyagramı

çizilmelidir.

Bu diyagram cismi, çevresinden izole edilmiş

veya serbest kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir “serbest cismi”

gösteren bir

taslaktır. Serbest cisim diyagramını

çizmek için:

1)

Cisim üzerine etkiyen dış

kuvvetler, bilinen ve bilinmeyen tüm kuvvetler cisim üzerinde gösterilir. Bu kuvvetler: cisme etkiyen dış

kuvvetler, reaksiyon/mesnet kuvvetleri ve cismin ağırlığıdır.

2)

Bilinen kuvvetler/momentler bilinen şiddet ve yönleriyle gösterilmelidir. Bilinmeyen kuvvetler/momentlerin yön ve şiddetleri harflerle gösterilmelidir

3)

Bir x-y koordinat eksenleri oluşturulmalı

ve bilinmeyen kuvvetler, bu eksenlerdeki bileşenlerine ayrılarak gösterilmelidir.

4)

Cismin boyutları

belirtilmelidir, bu boyutlar momentler bulunurken kullanılacaktır.

7

Mesnet Reaksiyonları•

Genel kural: bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini engelliyorsa, cisim üzerinde sözkonusu

doğrultuda bir kuvvet ortaya

çıkar. Aynı

şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde bir kuvvet çifti momenti uygulanır.

•

Örneğin, bir kirişte görülen üç

mesnet türüne bakalım: –

Kayar mesnet: sadece kirişin düşey doğrultuda ötelenmesini önler, tekerlek kiriş

üzerinde sadece bu doğrultuda bir kuvvet

uygular.

Kuvvet mesnetten kirişe etkiyor şeklinde gösterildi (yani cisim üzerinde)Mesnet serbestçe döndüğü

için ve yatay yönde hareket edebildiği için o

yönlerde mesnet kuvvetleri oluşmaz.

8

–

Basit mesnet (pimli mesnet): kiriş şekildeki gibi, bir pim kullanılarak daha kısıtlayıcı

bir şekilde mesnetlenebilir. Pim yere

tutturulmuş

iki elemandan ve kirişteki bir delikten geçer. Pim kirişin herhangi bir doğrultusunda, ötelenmesini önler ve bu yüzden pim kiriş

üzerinde bu doğrultuda bir F kuvveti

uygulamalıdır. Bu etkiyi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade etmek daha kolaydır. Hem düşey hem yatay yönde hareket engellenmiştir, dolayısıyla reaksiyon kuvvetleri bu iki yönde oluşur. Kiriş

sadece

serbestçe dönebilir.

9

–

Ankastre mesnet: Kirişi mesnetlemenin

en kısıtlayıcı

yolu, şekildeki gibi bir sabit mesnet (ankastre mesnet) kullanmaktır. Bu mesnet kirişin hem ötelenmesine, hem de dönmesine engel olur. Bu durumda, mesnette x ve y yönlerinde kuvvetler ve z ekseni doğrultusunda (moment ekseni) moment oluşacaktır. Kuvvet mafsallı

mesnette olduğu gibi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade

edilir, ve bu kuvvetler bilinirse açısı

da kolaylıkla bulunur. Kirişin bir noktadan her yöndeki hareketi sınırlanmıştır.

10

Diğer Rijit

Cisim Mesnet Türleri•

Tabloda, sıklıkla kullanılan diğer mesnet türleri verilmiştir. Tüm durumlarda

açısının bilindiği kabul edilmiştir.

Kablo: 1 bilinmeyen, tepki kablo doğrultusunda elemandan uzaklaşan yönde etkiyen bir çekme kuvveti

Ağırlıksız çubuk; 1 bilinmeyen, tepki bağlantı

çubuğu ekseni boyunca iki yönlü

kuvvet

Kayar mesnet: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir.

11

Sürtünmesiz yuva içinde kayar mesnet: 1 bilinmeyen, tepki yuvaya dik etkiyen bir kuvvettir.

Sallanan mesnet: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir.

Mafsallı

kayar eleman: 1 bilinmeyen, tepki elemana dik etkiyen bir kuvvettir.

Sürtünmesiz yüzey: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir.

12

Mafsallı

sabit mesnet: İki bilinmeyen, kuvvetin iki bileşeni veya bileşke kuvvetin büyüklüğü

ve

doğrultusu.

Ankastre kayar mesnet: iki bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve çubuğa dik etkiyen bir kuvvet

Ankastre mesnet: üç

bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve iki kuvvet bileşeni veya kuvvet çifti momenti ve bileşke kuvvetin büyüklüğü ve doğrultusu.

13

Kayar mesnet Sürtünmesiz

yüzey

ankastreSabit mesnet

kablo

14

Dış

ve İç

kuvvetler

•

Bir rijit

cisim parçacıkların birleşimi olduğundan, üzerine hem dış hem de iç

yükler etki eder. Ancak cismin serbest cisim diyagramında

iç

kuvvetler gösterilmez. İç ve dış

kuvvetler daima eşit, fakat zıt yönlü

doğrusal çiftler şeklinde ortaya çıkar ve bu nedenle cisim

üzerindeki net etkileri sıfırdır.

Motora etkiyen tüm iç

kuvvetler ( bulon, vida vb. kuvvetleri) birbirlerini dengeler. Sadece zincir kuvvetleri ve motor ağırlığı

serbest cisim diyagramında gösterilir.

15

Ağırlık ve Ağırlık Merkezi

•

Cismin ağırlığı

önemli mertebedeyse bu sorularda belirtilir. Ayrıca cisim üniformsa

(aynı

malzemeden yapıldıysa) ağırlık merkezi cismin geometrik merkeziyle çakışır. Cisim üniform

değilse, veya karmaşık bir geometriye sahipse bu durumda ağırlık merkezi verilecektir.

16

İdealize edilmiş

modeller

Herhangi bir sistemin kuvvet analizi yapılacağı

zaman, gerçek duruma en yakın analitik veya idealize modeli düşünülmelidir. Bunun için mesnet tipleri, malzeme davranışı

ve cismin boyutları

uygun bir şekilde seçilmelidir.

Kompleks durumlarda birden fazla modelin analiz edilmesi gerekebilir.

17

Örnek 21

•

Şekildeki üniform

kirişin serbest cisim diyagramını

çiziniz. Kirişin kütlesi 100 kg’dır.

18

Örnek 22

300’er kg kütleli iki sürtünmesiz boru şekildeki görüldüğü

gibi traktörle taşınmaktadır. Serbest cisim diyagramını

her boru için ve birlikte çiziniz.

19

20

Örnek 23

Şekilde gösterilen sistemin matematiksel modelini kurun ve serbest cisim diyagramını

çiziniz.

21

Denge denklemleri

00 0MveF

Rijit

bir cismin dengesi için gerekli ve yeterli olan iki koşul:

Cisim x-y düzleminde yer alan bir kuvvetler sistemine maruzsa, kuvvetler x ve y bileşenlerine ayrılabilir.

0

0

0

O

y

x

M

F

FCisim üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin toplamı

Kuvvet çifti momentleri ile tüm kuvvet bileşenlerinin x-y düzlemine dik olan ve cismin üzerinde veya dışındaki keyfi bir O noktasından geçen bir eksene göre momentlerinin toplamı

22

Alternatif Denge Denklemi Setleri

0

0

0

O

y

x

M

F

F denklemleri düzlemsel denge problemlerinin çözümünde sıklıkla kullanılmakla birlikte üç

bağımsız denklemden oluşan

iki alternatif denklem seti de kullanılabilir:

0

0

0

B

A

x

M

M

F Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A ve B moment noktalarının, x eksenine dik bir doğru üzerinde yer almamaları

gerekir. Aksi durumda denklemler birbirinden

bağımsız olmaz.

1

0

0

0

C

B

A

M

M

M2

Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A, B ve C'nin

üçü birden aynı

doğru üzerinde olmamalıdır.

23

Analizde İzlenecek yol:

Serbest Cisim Diyagramının çizilmesi:

Cisim üzerine etkiyen tüm dış

kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinin gösterilmesi gereklidir. Bu vektörlerin büyüklükleri ve oluşturulan bir x-y eksen takımına göre belirlenen doğrultuları

belirtilmelidir. Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanması

için

gerekli olan cismin boyutları

da serbest cisim diyagramına dahil edilir. Bilinmeyenler belirlenir. Etki çizgisi bilinen ancak büyüklüğü

bilinmeyen bir kuvvet

veya kuvvet çifti momentinin yönü

varsayım ile belirlenebilir.

Denge denklemlerinin uygulanması:

Bütün denklemleri aynı

anda çözmek zorunda kalmamak için iki bilinmeyen kuvvetin etki çizgilerinin kesişme noktasında yer alan bir O noktasına göre M0

=0 moment denklemi uygulanır (ki bu bilinmeyen kuvvetlerin O noktasına göre momentleri sıfır olsun). Oluşturulan x-y eksenleri kullanılarak Fx

=0 ve Fy

=0 denge denklemleri uygulanır. Denge denkleminin çözümü

sonucunda negatif bir

skaler

çıkarsa, sözkonusu

kuvvet veya momentinin yönünün, serbest cisim diyagramında varsayılanın tersine olduğu anlaşılır.

24

Örnek 24

Şekildeki yüklemeye maruz kalan kirişteki mesnet kuvvetlerini bulunuz.

A: kayar mesnet

B: basit mesnet

25

1-

Serbest cisim diyagramı

* Bilinmeyen reaksiyon kuvvetleri mesnet noktalarına, yön kabuluyle

etki ettirildi.

26

2-

Denge Denklemleri

kontrol

27

Örnek 25

750 N

2 m

3 m3 m

750 N

3 m3 m

2 m

A ve B noktasında oluşan reaksiyon kuvvetlerini bulunuz.

A: basit mesnet

B: kayar mesnet

28

NB reaksiyonunu bulmak için A noktasına göre moment alınır:

NAy

NNAyFyNAx

NAxFx

NNmNmNmN

M

B

BB

A

286

075030cos)2.536(0268

030sin)2.536(0

2.5360)3.(750)2.(30sin)6.(30cos

0

750 N3 m3 m

2 m

Denge Denklemleri

29

Örnek 26

Şekildeki sistemin mesnet reaksiyonlarını

bulunuz.

Not: A noktası

düşey yönde hareket edebiliyor

A: mafsallı

kayar eleman

B: kayar mesnet

30

SERBEST CİSİM DİYAGRAMI

31

DENGE DENKLEMLERİ

Ax

ve NB

kuvvet denklemlerinin dengesinden bulunabilir:

daha sonra A noktasına göre moment alınır:

veya

32

Örnek 27

A noktasından mafsallı eleman B noktasında

sürtünmesiz bir mesnetle desteklenmiştir. A mafsalındaki mesnet kuvvetlerini bulunuz.

A: sabit mesnet

B: sürtünmesiz mesnet

33

34

Örnek 28

A mesnedinde oluşan reaksiyon kuvvetlerini bulunuz.

A: ankastre mesnet

kNmM

MM

NAAF

NAAF

A

AA

yyy

xxx

90.30)60sin3(30cos.400)5.4(30sin.400

)5.4(200)5.3(200)5.2(2000

800030sin.4002002002000

346030cos.4000

35

Ödev 12

Mesnet tepkilerini ve C noktasında oluşan kuvveti bulunuz.

11.31 kN

36

Şekilde görülen 200 kg ağırlığındaki kasa AB ve AC halatları

ile taşınmaktadır. Her

halat kopmadan en fazla 10 kN’luk

yük taşıyabilmektedir. AB

halatının yatay pozisyonda olması koşuluyla, halatlardan biri

kopmadan kasanın dengede kalması

için gerekli en küçük

açısını

hesaplayınız.

Çalışma sorusu-1

37

Çözüm

38

AB, AC ve AD kablolarında oluşan kuvvetleri bulunuz.

300 N

Çalışma sorusu-2

39

300 N

Çözüm

40

Hatırlatma: Bir vektörün kartezyen bileşenleri

•

Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını

iki kez ard

arda uygulayarak;

zyx

yx

z

AAAA

AAA

AAA

41

Kartezyen birim vektörler•

Üç

boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen

birim

vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir.

42

Kartezyen vektör gösterimi

•

Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden

yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve yönünü

belirtir.

kAjAiAA zyxˆˆˆ

43

Kartezyen vektörün yönleri•

A vektörünün doğrultusu, A’nın başlangıç noktası

ve bu

noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen (alfa), (beta), (gama) doğrultu açıları

ile tanımlanır.

Bu açılar 0

ile 180 arasındadır.

•

,

ve ’yı

belirlemek için A’nın

x, y, z eksenleri

üzerindeki izdüşümleri kullanılır.

44

Yön kosinüsleri

45

•

A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır.

** Eğer bir vektörün şiddeti ve yön

kosinüsleri biliniyorsa, A vektörü

kartezyen

koordinatlarda ifade edilebilir.