Polinomio

Monomio Scomposizioni

MONOMI

• Definizione

• Grado di un monomio

• Simili;uguali;opposti

• Operazioni

• M.C.D. & m.c.m.

DefinizioneSi chiama monomio un’espressione algebrica che consiste in un

prodotto di fattori numerici e di potenze a base letterale con esponente naturale

Es: -5; a²b; 4xy sono monomi

7a+ 3b; 15a-²b non sono monomi

GradoDato un monomio non nullo scritto in forma

normale si dice:

-grado rispetto a una sua lettera l’esponente che questa lettera ha nel monomio

-grado complessivo la somma degli esponenti di tutte le sue lettere

AL MONOMIO NULLO NON SI ATTRIBUISCE ALCUN GRADO Es: 9a²x³y :è di grado 2 rispetto ad a

è di grado 3rispetto a x

è di grado 1 rispetto a y

è di grado 0 rispetto a t,s,b,.. è di grado complessivo 6

SIMILI-UGUALI-OPPOSTI• Simili se hanno la stessa parte letterale,cioè le

stesse lettere con gli stessi esponenti. Es: 3axy

& 5 xay

• Uguali se hanno la stessa parte letterale(cioè

sono simili)e hanno lo stesso coefficiente. Es:

5a³b & 5a³b

• Opposti se hanno la stessa parte letterale(cioè

sono simili)e hanno coefficienti opposti.

• Es. 2bc & -2bc

OPERAZIONIMoltiplicazioni con i monomi

il prodotto di due,o più, monomio non nullo è un monomio che

ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi dati e

come parte letterale il prodotto delle parti letterali

Se uno dei monomi è nullo, il prodotto è il monomio nullo

Divisione di monomi

Il quoziente di due monomi, non nulli e divisibili, è un monomio

che ha come coefficiente il quoziente dei coefficienti dei due

monomi dati e come parte letterale quella formata da tutti i fattori

letterali del dividendo, ciascuno elevato alla differenza degli

esponenti che esso ha nel dividendo e nel divisore. Potenze dei monomi

Per elevare alla potenza nma un monomio,con n intero positivo, si

eleva a quella stessa potenza il coefficiente e si moltiplicano per n

gli esponenti dei fattori letterali.

M.C.D. – m.c.m.• Si chiama massimo comun divisore di due o più

monomi ogni monomio di grado massimo che

divida contemporaneamente tutti i monomi dati

• Si chiama minimo comune multiplo di più

monomi ogni monomio di grado minimo che sia

divisibile contemporaneamente per tutti i

monomi dati

ES 6a²b², 3 a²b³c, 12 a4bc3

M.C.D.= 3a2b

m.c.m.=12 a4b3c3

POLINOMIO

• Definizione

• Terminologia

• Grado

• Omogeneo – ordinato – completo

• Addizione algebrica di polinomi

DEFINIZIONESi chiama polinomio ogni somma algebrica di più

monomi.

I monomi che compongono il polinomio si dicono

termini del polinomio

3ab+5x³y-b²c è un polinomio

TERMINOLOGIA• Un polinomio ridotto a forma normale si

dice : Nullo se tutti i suoi termini sono monomi nulli: 0ab+0xc-0xy

Monomio se contiene un solo termine: 3ab²

Binomio se contiene solo due termini (non nulli): 5x-8b

Trinomio se ha tre termini (non nulli): 6ab+8x-bc

Quadrinomio se ha quattro termini (non nulli): 5b+3x -7a+8b

GRADO• Dato un polinomio non nullo ridotto a forma

normale, si diceGrado rispetto a una lettera il massimo grado dei suoi termini

rispetto a quella lettera

Grado complessivo il massimo grado dei suoi termini

Termine noto il termine,se esiste,di grado zero(cioè il termine

senza parte letterale)

OMOGENEO-ORDINATO-COMPLETO• Omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado

ES: 6b³-5a²b+4c³-9xy² tutti I suoi termini sono di

grado 3

• Ordinato secondo le potenze decrescenti (o crescenti) di una

lettera ,se,leggendolo da sinistra a destra, gli esponenti di

quella lettera vanno diminuendo (o crescendo)

• Completo rispetto a una lettera, quando contiene tutte le

potenze di quella lettera da quella di grado più elevato a quella

di grado zero.

SOMME ALGEBRICHE DI POLINOMI

La somma algebrica di più polinomi è un polinomio i cui termini si

ottengono togliendo le parentesi ed il segno che precede

ciascuna di esse, e scrivendo i monomi che vi erano racchiusi:

Con i segni invariati se le parentesi che si tolgono è preceduto

dal segno «+»

Con I segni contrari se la parentesi che si toglie è preceduta

dal segno «-»

Infine, nel polinomio ottenuto, si riducono gli eventuali termini

simili

ES:(10a-2b+4b²)+(25a²-16b)-(-4a²-8a+12b²)+(-7b+a)

10a -2b+4b²+25a² -16b +4a²+8a+12b² -7b+a

(25+4)a²+(10+8+1)a+(-2-16-7)b+(4-12)b²

29a²+19a-25b-8b²

SCOMPOSIZIONI

• Scomposizioni mediante i prodotti notevoli

• Trinomio notevole

• Raccoglimenti

• Regola di Ruffini

PRODOTTI NOTEVOLI

(A+B)*(A-B)=A²-B²

Differenza di

quadrati

(A+B)²=A²+2AB+B²

Quadrato di un

binomio

Quadrato di un

trinomio

(A+B+C)=A²+B²+C²+2AB+2AC+”BC

Cubo di un

binomio

(A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³

Somma e

differenza di

due cubi

(A+B)(A²-AB+B²)=A³+B³ (A-B)(A²+AB+B²)=A³-B³

TRINOMIO NOTEVOLE

Un trinomio del tipo : x²+7x+12

Essendo: 3+4=7 e 3*4=12, si ha

x²+7x+12=(x+3)(x+4)

Oppure: x²+x-12

Essendo 4+(-3)=1 e 4(-3)=12, si ha: x²+x-

12=(x+4)(x-3)

RACCOGLIMENTI •Raccoglimento a fattore comuneIn questo caso, si applica l’inversa della proprietà distributiva della

moltiplicazione rispetto all’addizione

ES: ma+mb+mc=m(a+b+c)

• Raccoglimento a fattore comune totale o parziale 2ax+2bx+3ay+3by

Questo polinomio può essere considerato come somma algebrica di due polinomi

(2ax+2bx)+(3ay+3by)

Raccogliendo a fattor comune 2x nel primo e 3y nel secondo, si ottiene 2x(a+b)+3(a+b)

Da cui,mettendo in evidenza (a+b)si ottiene la frazione di A

(a+b)(2x+3y)

REGOLA DI RUFFINIP(x)=x³- 2x²-5x+6

Troviamo tutti I possibili divisori interi del termine noto

+6: ±1,±2,±3,±6

Verifichiamo se I questi valori costituiscono degli

zeri(razionali)per il polinomio

Procediamo con la divisione tenendo presente che, se a

è uno zero razionale del polinomio,allora il polinomio è

divisibile per x-a il polinomio dato è divisibile per (x-1)e

(x+2). Ora applichiamo la regola di Ruffini 2 volte