ristia apriana (teori bilangan)
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
1/63
TEORI BILANGANRISTIA APRIANA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN
TAHUN AJARAN 2013/2014
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
2/63
INDUKSI MATEMATIK
Tujuan UmumMemahami metode pembuktian dengan induksi matematik dan terampil
menerapkannya.
Tujuan KhususDiharapkan mahasiswa dapat:1. Menuliskan algoritma pembuktian dengan induksi matematik.2. Menentukan basis untuk induksi dalam suatu pembuktian.3. Menentukan langkah induksi dalam pembuktian.4. Terampil menggunakan langkah-langkah pembuktian dengan induksi mat
1.1Pembuktian dengan Induksi Matematik Salah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika adalah nduksMetode ini digunakan untuk memberikan teorema-teorema yang berlaku pada bSebagai !ontoh "ika ada bentuk kesamaan sebagai berikut:
#1$21
.....4321 +=+++++ nnn
%pakah penyataan tersebut selalau benar untuk setiap bilangan asli n&
'ara pembuktian kesamaan tersebut dapat dilakukan dengan memandang ruas kideret aritmatika sebagai berikut:
(ada ruas kiri : 1 ) 2 ) 3 ) 4) . . . ) nSuku pertama $a# : **.+eda $b# : . . . . .,umlah n suku pertama $Sn# [ ]bnan #1$22
1 +
[ ]#.....1$.....221 + nn
[ ]1221 + nn
[ ]121 +nn
$Sama dengan ruas kanan#
arena ruas kiri sama dengan ruas kanan/ maka kesamaan tersebut terbukti benaSelain !ara tersebut/ pembuktian dapat dilakukan dengan bukti 0ormal yaitu denmatematik.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
3/63
angkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah:1. Memisalkan suatu kesamaan yang diketahui sebagai suatu pernyataan ata
p$n# yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan n.2. emudian lan"utkan dengan:
angkah i: Tu"ukkan pernyataan tersebut benar untuk n 1 atau p$1# angkah ii: Dimisalkan bahwa p$n# benar/ tun"ukkan bahwa p$n)1# b
,ika langkah i dan ii benar/ dapat disimpulkan p$n# benar untuk setiap bilang
(ada pembuktian dengan induksi matematik/ langkah i disebut basis $dasar# insuksi dan langkah ii disebut langkah indukti0/ yaitu suatu bentuk implikasi " benar maka p$n)1# benar untuk setiap bilangan asli n .
Contoh 1:+uktikan dengan induksi matematik bahwa:
#1$21
.....4321 +=+++++ nnn
+erlaku untuk setiap bilangan asli n.
Bukti:
Dimisalkan p$n# : #1$21
.....4321 +=+++++ nnn
i. ntuk n 1/ p$n# adalah 1 #11$121 +
1 1 ** (benar)
ii. Dimisalkan p$n# benar. Selan"utnya tun"ukkan bahwa p$n)1#/ yaitu#2#$1$
21
#1$...321 ++=++++++ nnnn benar
5al ini ditun"ukkan sebagai berikut:
#......$#2#$1$21
#2$21
#1$
#121
#$1$
#1$#1$21
#1$#...4321$#1$...321
benar nn
nn
nn
nnn
nnnn
++=
++=
++=
+++=
+++++++=++++++
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
4/63
arena i dan ii benar/ maka terbukti p$n# benar.atau
#1$21
.....4321 +=+++++ nnn benar untuk setiap bilangan asli n.
Contoh :+uktikan dengan induksi matematik bahwa:
1#1$1
.....43
132
121
1+
=+
++
+
+ n
nnn
+erlaku untuk setiap bilangan asli n.
Bukti:
Dimisalkan p$n# : 1#1$1
.....43
132
121
1+
=+
++
+
+ n
nnn
i. ntuk n 1/ p$n# adalah11
1
21
1
+
=
21
21 = ** $benar#
ii. Dimisalkan p$n# benar. Selan"utnya akan ditun"ukkan bahwa p$n)1# b
21
#2#$1$
12
#2#$1$1#2$
#2#$1$1
1#2#$1$1
#1$1
.....43
132
121
1
2
++
=
++++
=
++++
=
+++
+=
+++
+++
+
+
nn
nn
nn
nnnn
nnnn
nnnn
ni menun"ukkan bahwa p$n)1# benar.arena i dan ii benar/ maka terbukti p$n# benar
atau
1#1$1
.....43
132
121
1+
=+
++
+
+ n
nnn benar untuk setiap bilangan asli n.
Contoh !:+uktikanlah dengan menggunakan induksi matematik bahwa:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
5/63
1 ) 2 ) 4 ) . . . )2n-1 2n 6 1+erlaku untuk setiap bilangan asli n.
Bukti:
Contoh ":+uktikan untuk setiap bilangan asli n/ 7n 6 2n selalu terbagi habis oleh 8.
Bukti:Dimisalkan p$n# : 7n 6 2n selalu terbagi habis oleh 8.
i. ($1# adalah 71 6 21 terbagi habis oleh lima,adi p$1# benar.
ii. Dimisalkan p$n# benar. Selan"utnya tun"ukkan bahwa p $n)1# benar.
5al ini ditun"ukkan sebagai berikut:7n)1 6 2n)1 7n . 71 6 2n . 21
7n . 7 6 7 . 2n ) 7 . 2n 6 2n . 2
7 .$7n
6 2n
# ) 2n
$7 6 2# 7 .$7n 6 2n# ) 2n . 8Menurut asumsi/ $7n 6 2n# habis dibagi 8/ maka 7 .$7n 6 2n# "uga terbagi habis oleh 8/ dan n.8 "elas terbagi habis oleh 8.,adi 7n)1 6 2n)1 terbagi habis oleh 8 atau p$n)1# benar.
arena i dan ii benar/ maka terbukti p$n# benar atau 7n 6 2n selalu terbagi habis oleh 8/ untsetiap bilangan asli n.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
6/63
Dari !ontoh di atas maka buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku11n 6 4n terbagi habis oleh 7
Bukti:
#atihan Soa$ 1%+uktikan dengan induksi matematika1. a. $am#n amn b. $ab#n an . bn !. 1n 12. 1 ) 2 ) 4 ) *..) 2n-1 2n 6 13. nn 2
121
.....91
41
21 =
4. 1 ) 3 ) 8 ) *.. ) $2n 6 1# n2
8. 2 ) 8 ) 9 ) *.. ) $3n 6 1# 2
#13$ +nn
. $2n . 2n 6 1# terbagi habis 3
1. Notasi SigmaSuatu !ara untuk menulis se!ara singkat dari bentuk pen"umlahan ialah denga
menggunakan notasi ; $sigma#.
Misalnya:= ++++=n
k
ni aaaaa1
321 .....
(ada ruas kiri di ba!a "umlah ai untuk i 1 sampai i n .+ilangan 1 sampai batas bawah/ dan n batas atas pen"umlahan.5impunan
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
7/63
=
+++++=n
k
ni1
...4321
'ontoh-!ontoh lain/ misalnya:1. 2222
1
2 ...321 nk n
k
++++==
2. =
++++=n
k
nk 1
#12$...831#12$
3. =
++++=n
i
ni1
2...:422
Si0at-si0at notasi sigma:1.
=
n
i
a1
diartikan a ) a ) a ) * ) n n . a
=
n
i
a1
n . a
2. ==
=n
j
n
ii aja
11
3. ==
=n
ii
n
ii baba
11
#$
4. ===+=+
n
i i
n
i i
n
i ii baba
111
#$$disebut "umlah monomial#
8. +
+==
= pn
pmii
n
mii paa
Contoh&'ontoh:1. >yatakan dengan notasi sigma dari ?1) ?2) ?3 ) ?4 )?8
,awab:Suku umumnya ?n batas bawah 1 dan batas atas 8,adi/ ?1 ) ?2 ) ?3 )?4 )?8
=
8
1ii x
2. >yatakan dengan notasi sigma dari 1 ) 3 ) 8 ) 7 ) @,awab :Di !ari bentuk umumnya:a1 1 2$1# 6 1a2 3 2$2# 6 1a3 8 2$3# 6 1a4 7 2$4# 6 1
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
8/63
a8 @ 2$8# 6 1suku umumnya an 2n 6 1/ batas bawah 1 dan batas atas 8.,adi/ 1 ) 3 ) 8 ) 7 ) @
=
8
1
#12$i
i
3. Tulislah= +8
1#23$
aa kedalam bentuk pen"umlahan biasa.
,awab:[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
.......
17141198
2#8$32#4$32#3$32#2$32#1$3#23$8
1
=
++++=
+++++++++=+=a
a
4. Tentukan hasil dari=
+n
a
a1
2 #1$
,awab:
=
+n
a
a1
2 #1$ 2 ) * ) * ) * ) * *..
Induksi Matematika da$am Notasi Sigma+entuk-bentuk kesamaan yang menggunakan notasi sigma/ dapat "uga dib
dengan induksi matematik/ seperti !ontoh-!ontoh berikut:1. +uktikan bahwa #3$
21
#23$ 21
nnk n
k
==
berlaku untuk setiap bilangan asli n.+ukti:(i) ($1# adalah #1.3$2
1#23$ 2
1
nk n
k
==
#13$21
213 =
1 1,adi p$1# benar
$ii# Dimisalkan p$n# benar untuk suatu bilangan asli n/ yaitu:#3$
21
#23$ 21
nnk n
k
==
Dan ditun"ukkan bahwa p$n ) 1# benar/ yaitu:[ ] #283$
21
#1$#1$321
#23$ 221
1
++=++=+
=
nnnnk n
k
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
9/63
5al ini ditun"ukkan sebagai berikut:
[ ]
#283$21
#2:3$21
#13$#3$2
1
2#1$3#23$#23$
2
2
21
1
1
1
++=
++=
+=++=
+
=
+
=
nn
nnn
nnnnk k
n
k
n
k
Dari $i# dan $ii# disimpulkan p$n# benar untuk setiap bilangan asli n.
'ontoh soal tersebut "uga dapat pula dibuktikan dengan menggunakan si0at-si0asebagai berikut:
#3$21
#433$21
2#1$21
3
23
23#23$
2
2
1
111
nn
nnn
nnn
nk
k k
n
k
n
k
n
k
n
k
=
+=
+=
=
=
=
===
#atihan Soa$ %
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
10/63
1. >yatakan "umlah berikut sebagai "umlah monominala.
=
n
iii ba
1
#83$
b. =
18
1
2 #83$k
k k
!. =
+n
k
k k 1
#12#$3$
d. =
n
k
k 1
2#32$
e. = =
+++1 1
2#1$#13$i
n
i
nn
2. Tulislah "umlah berikut ini dengan satu notasi sigmaa.
= =
+++n
k
n
k
k k 1 1
#23$#23$
b. = =
+n
k
n
k
k k k 1 1
22 #1$#4$
!. = =
++1A
8
7
2
22 #1$#2$n n
nnn
d. = =
++12
7
:
1
22 #3:12$a b
bba
e. = =
+++n
a
n
a
aa1 1
2 #32$#2$
3. Tulislah "umlah berikut ini dengan batas bawah bilangan 1.a. =
28
18k
k
b. =
+:
A
#3$n
n
!. =
12
1
23k
k
d. =
+4
2
2 #$n
nn
e. = +4
2
2
#1$i
i
4. +uktikana.
= = =
+=n
k
n
k
n
k
nk k k 1 1 1
22 44#12$
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
11/63
b. = = =
++=12
:
7
1
7
1
22 1781Ak k k
k k k
1.!. Teo(ema )inomia$
Tujuan Umum
Mahasiswa dapat memahami teorema +inomial dan si0at-si0at yang dituruteorema itu seerta trampil menggunakan si0at-si0at tersebut dalam mem!ahkan permasalahan yang terkait.
Tujuan Khusus
1. Menentukan koe0isien +inomial2. Menurunkan si0at-si0at koe0isien +inomial3. Menerapkan si0at-si0at koe0isien +inomial dalam meme!ahkan masalah y4. Terampil menggunakan si0at-si0at koe0isien +inomial dalam perhitungan
1. *akto(ia$
De+inisi dan notasi *akto(ia$
De+inisi 1.
nB 1.2.3.4. * $n 6 2# $n 6 1#.n
atau
nB n.$n 6 1#$n 6 2# * 3. 2.1
dan
AB 1
Dari de0inisi di atas maka:
3B 3.2.1
4B 4.3.2.1 *..
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
12/63
$n 6 1#B $n 6 1#$n 6 2#$n 6 3# * 3.2.1 maka nB n.$n 6 1#B atau#B1$B
nn
. Pe(mutasia. De+inisi dan Notasi Pe(mutasi(ermutasi dari sekumpulan unsure adalah penyusunan unsur-unsur itu dengmemperhatikan urutannya.Notasi Pe(mutasi+anyaknya permutasi dari n unsur diambil r dinyatakan dengan notasin( r atau nr P atau ($n/ r# atau (n/r
b. ,umus Pe(mutasi(ermutasi dari n unsur diambil r unsure adalah penyusunan r unsure yang dn unsure yang diketahui.
ota sedeiakan r kotak untuk menempatkan unsur-unsur tersebut
otak 1 2 3 4 ke 6 r
otak ke-1 dapat disi dengan n !ara/ kotak ke-2 dapat diisi dengan $n 6 1# !aunsur sudah menempati kotak ke-1. otak ke-3 dapat diisi dengan $n 6 2# !arseterusnya. ,ika proses ini dilan"utkan untuk kotak ke-r yang terakhir dapat diis$n 6 $r 6 1## !ara $n 6 r ) 1# !ara
ntuk r n/ maka n( n ***********************n( n ***********************n( n ***********************
ita tin"au lagi rumusn( r n$n 6 1#$n 6 2# * $n 6 r ) 1#,ika ruas kanan dikalikan dengan #B$
#B$r nr n
didapat:
n( r *******************************.n( r *******************************.n( r *******************************.
,adi n( r ******************.ntuk r n/ maka n( n ************.
(adahal n( n nB,adinB BA
B
#B$
B n
nn
n=
,adi:n( r n$n 6 1#$n 6 2# * $n 6 r ) 1#
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
13/63
Contoh Soa$:1. 5itunglah
a. 3( 3 ****************************** b. 9( 2 ******************************
2. Tentukan n "ikan( 2 12,awab:
!. Kombinasia. De+inisi dan Notasi Kombinasi
,ika ditentukan 3 buah huru0 a/ b/ ! maka permutasi dari 3 huru0 diamdua adalah ab/ ba/ b!/ !b/ a!/ dan !a. banyaknya permutasi ini adalah3( 2
:#B23$
B3 =
ombinasi dari permutasi sekumpulan unsur adalah penyusunan unsitu dengan tidak memperhatikan urutannya. Dari !ontoh di atas kombinasihuru0 a/ b/ ! dengan setiap pengambilan 2 adalah: ab/ b!/ a!.
+anyaknya kombinasi dari 3 unsur dengan setiap pengambilan 2 dindengan notasi3( 2 atau 32C atau '$3/ 2# atau '( )32 .
+erikut ini akan kita lihat apakah ada hubungan antara kombinasi dan permTampak disini untuk setiap kombinasi 2 udiperoleh 2B (ermutasi 2 permutasi. ,ik banyaknya kombinasi 3/ maka banyaknya permutasi adalah 3.2B
+anyaknya permutasi banyaknya kombkali 2B
3( 2 ' ( )32 .2B atau ' ( )32 3( 2C 2B
ombinasi (ermutasi
ab ab/ ba b! b!/ !b
a! a!/ !a' ( ) 332 = 3( 2
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
14/63
Dari !ontoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut1. ombinasi dari n unsur berbeda dengan setiap pengambilan r unsur $r n
susunan yang terdiri dari n unsur yang berbeda yang diambil dari n unsur tidak memperhatikan urutan-urutannya.
2. +anyaknya kombinasi dari n unsur dengan setiap pengambilan r unsur dindengan notasin' r atau ' $n/ r# atau ' ( )nr
b. ,umus Kombinasi+anyaknya kombinasi dari n unsure dengan setiap pengambilan r unsur
=
nr
nC
r n$B
B
belum lengkap
Bukti:,ika dari n unsur yang diketahui dibuat kombinasi dari r unsure/ maka ten' r kombinsi yang berbeda.Dari setiap kombinasi tersebut/ yang terdiri dari r unsur/ akan memberik permutasi.,adi/n( r n' r ErB ataun' r Br
P r n
arenan( r #B$Br n
n
/ maka ' ( )n
r #B$BB
r nr
n
,adi darin' r kombinasi akan diperolehn' r ErB permutasi yang berbeda. (adahal dunsur dengan sekali pengambilan r unsur diperolehn( r permutasi.
Contoh Soa$.
1. 5itunglah )@:C
***************************
2. Dengan beberapa !ara suatu panitia terdiri atas 3 orang dipilih dari @ oran,awab:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
15/63
". )inomia$ Ne-ton
(erhatikan ekspensi $perluasan# dari $a ) b#n berikut
$a ) b#A 1
$a ) b#1 a ) b
$a ) b#2 a2 ) 2ab ) b2
$a ) b#3 a3 ) 3a2 b ) 3ab2 ) b3
$a ) b#4 a4 ) 4a3 b ) a2 b2 ) 4ab3 ) b4
$a ) b#8 a8 ) 8a4 b ) 1Aa3 b2 ) 1Aa2 b3 ) 8ab4 ) b8
*********************************.
oe0isien-koe0isien dari perluasan $a ) b#n di atas dapat disusun dalam suatu segitiga (a berikut:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 * * * *1 * * * * 1
* * * * * * *
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
16/63
oe0isien +inomial
Segitiga (as!al mempunyai si0at-si0at sebagai berikut:
1. Tiap baris berawal dan berakhir dengan 1.
2. Tiap bilangan lainnya adalah "umlah kedua bilangan di kiri dan kanan ata3. oe0isien-koe0isien binomial tersebut dapat ditulis dengan menggunakankombinasi sebagai berikut.
( )AA
( )1A ( )11
( )2A ( )21 ( )22
( )3A ( )31 ( )...... ( )......( )...... ( )...... ( )...... ( )...... ( )......
Contoh Soa$:
1. Fkspansikan $a ) b#,awab:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
17/63
2. 'arilah empat suku pertama dari perluasan $2? 6 y#9,awab:
3. Tentukan suku kelima dalam ekspansi( )1A2 y x ,awab:
4. Tentukan suku yang memuat y dari ekspansi $3?y2 6 G2#7,awab:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
18/63
. Teo(ema&teo(emaTeo(ema 1.
,ika n suatu bilangan asli/ maka menurut rumus kombinasi berlaku( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnnnnn 2...321A =++++++ahwa:Si0at-si0at dasar lainnya dari koe0isien +inomial diberikan berikut ini.
( )B#B$
Bk k n
nnn
= dan ( )n k n #B$B
Bk nk
n
Sehingga diperoleh
Teo(ema .( ) ( )n k nnk =
Teorema ini sering disebut si0at simetrik dari koe0isien +inomial.'ontoh 1:( )
B3B8B9
B3#B39$B99
3 == dan ( ) B8B3
B9B8#B89$
B998 =
=
,adi ( ) ( ) .....9893 ==
Teo(ema !.,ika n dan k bilangan-bilangan asli dan n H k/ maka( ) ( ) ( )111 += nk nk nk
Bukti:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
19/63
Contoh:
( ) ( ) .....21@1A1A
21A9 =
== sedangkan
( ( ( ( ..................................@1@2@7@9 =+=+
,adi( ) ....................1A9 =
dan ( ) ......................................1A2 =
Teo(ema ".,ika n/ m/ k bilangan-bilangan asli dan n H k H m/ maka( )( ) ( )( )mn mk nmk mnk =
Bukti:
+uatlah !ontoh yang melibatkan bilangan untuk memper"elas Teorema 4.
Teo(ema .,ika n dan k bilangan-bilangan asli dengan n I k/ maka) )1= n k nnk nk
Bukti:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
20/63
+uatlah !ontoh yang melibatkan bilangan untuk memper"elas Teorema 8.
Teo(ema /.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnk nk nnnn x x x x x ++++++=+ ......1 221A+erlaku untuk setiap bilangan asli n.
Bukti: (gunakan induksi matematik)
SISTEM )I#AN0AN )U#AT
%nggota-anggota dari
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
21/63
De+inisi !. Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan +
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
22/63
3 ? $8 ) 2# ************. ***.$-2# ? $8 ) $- ## **************** ***
&. Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan$a ) b# ? ! $a ? b# ) $b ? !#Contoh:$$-9# ) 8# ? 3 ******************. ***..$7 ) $-2## ? $-4# ****************** ***
'. ntuk setiap a ada dengan tunggal elemen * dalam B sehingga a + * , * + a , a *disebut elemen identitas penjumlahan.
10. ntuk setiap a ada dengan tunggal elemen 1 dan B sehingga a x 1 , 1 x a , a. 1disebut elemen identitas perkalian .
Penjum$ahan )i$angan&)i$angan )u$at
Misalkan ! adalah bilangan bulat yang menyatakan $-a# ) $-b#/ yaitu:
! $-a# ) $-b#
! ) b $$-a# ) $-b## ) b
! ) b $-a# ) $$-b# ) b#! ) b $-a# ) A
$!) b# ) a $-a# ) a
$! ) b# ) a A
! ) $b ) a# A
! ) $a ) b# A
$! ) $a ) b## ) $-$a ) b## -$a ) b#
! ) $$a ) b# ) $-$a ) b### -$a ) b#
! ) A -$a ) b#
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
23/63
! -$a ) b#
karena ! $-a# ) $-b# maka $-a# ) $-b# -$a ) b#
"adi/ "ika a dan b bilangan-bilangan bulat positi0/ maka $-a# ) $-b# - $a ) b#
Menurut de0inisi urutan bilangan-bilangan !a!ah/ a K b berarti ada bilangan aslisedemikian hingga a ) ! b/ dan menurut de0inisi pengurangan bilangan-bilang! b sama artinya dengan b 6 a !. ,adi a ) $-b# a ) $-$a ) !##
a ) $$-a# ) $-!##
$a ) $-a## ) $-!#
A ) $-!#
$-!# karena ! b 6a/ maka
a ) $-b# - $b 6a#
,adi/ "ika a dan b bilangan-bilangan bulat positi0 dengan a K b/ maka a ) $-b#
Contoh 1:
,ika a dan b bilangan-bilangan !a!ah dengan b K a/ buktikan bahwa a ) $-b# a
Bukti:
Pengu(angan )i$angan )u$at
De+inisi ": ,ika a/ b dan k bilangan-bilangan bulat/ maka a 6 b k "ika dan hany b ) k.
-pakah pengurangan bilangan bulat memiliki sifat tertutup
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
24/63
Menurut de0inisi pengurangan a 6 b k "ika dan hanya "ika a b ) k
a ) $-b# $b ) k# ) $-b#
$k ) b# ) $-b#
k ) $b# ) $-b#
k ) A
a ) $-b# k
k a ) $-b# ini menun"ukkan bahwa ada bilangan bulat k sedemikian hingga a
Selan"utnya akan diperlihatkan bahwa bilangan bulat k $yang sama denga
itu tunggal. %ndaikan ada bilangan bulat n dengan n L k sedemikian hingga a arena a b ) k maka b ) n b ) k . "ika kedua ruas kesamaan terakhir masing-ditambah $-b# dan dengan si0at asosiati0 pen"umlahan dan inJers pen"umlahandiperoleh bahwa n k yang bertentangan dengan pengandaian. ,adi bilangan butertentu dengan tunggal sehingga a b ) k.
Dengan demikian terbuktilah bahwa pengurangan bilangan-bilangan bulatsi0at tertutup. ,adi a 6 b k a ) $-b#.
Contoh :
+uktikanlah bahwa a 6 $-b# a ) b
Bukti:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
25/63
Contoh !:
+uktikanlah bahwa a 6 $b 6 !# $a ) !# 6 b
Bukti:
Contoh ":
+uktikanlah bahwa $a 6 b# 6 $-!# $a ) !# 6 b
Bukti:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
26/63
Contoh :
+uktikanlah bahwa a 6 b $a 6 !# 6 $b 6 !#
Bukti:
Pe(ka$ian dan Pembagian )i$angan&bi$angan )u$at
Sebelum kita membi!arakan lebih lan"ut tentang si0at perkalian dan pemb bilangan bulat/ terlebih dahulu kita akan membuktikan suatu si0at yang telah disi0at ke-1A.
Si0at kanselasi dari pen"umlahan,ika a/ b dan ! bilangan-bilangan bulat dan a ) ! b ) !Maka a b
+ukti:a ) ! b ) !
$a ) !# ) $-!# $b ) !# ) $-!#a ) $! ) $-!## b ) $! ) $-!##
a ) A b ) A a b
Contoh /:Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan !a!ah/ sehingga a bilangan bulat pos bilangan bulat negati0. %kan diperlihatkan bahwa $a#$-b# -$ab#
angkah 1. a ? $b ) $-b## a ? A Aangkah 2. a ? $b ) $-b## $a ? b# ) $a ? $-b##angkah 3. $a ? b# ) $a ?$-b## A
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
27/63
angkah 4. $a ? b# ) $-$a ? b## Aangkah 8. $a ? b# ) $a ? $-b## $a ? b# ) $-$a ? b##angkah . a ?$-b# -$a ? b#
Mengingat bahwa perkalian bilangan-bilangan bulat bersi0at komutati0/ a? a dan a ? $-b# -$a ? b# maka $-b# ? a -$a ? b# -$b ? a#. begitu pula "ika$-b# -$A ? b# -A A dan $-b# ? A -$A ? b# -A A.
Contoh :+uktikan bahwa $-a# ? $-b# a ? b
Bukti:
Contoh 2:+uktikan bahwa $-a#$b ) $-!## a! 6 ab.
Bukti:
Pembagian )i$angan )u$atDe+inisi . ,ika a/ b dan ! bilangan-bilangan bulat dengan b L A/ maka a : b ! hanya "ika a b!.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
28/63
5asil bagi bilangan-bilangan bulat $a : b# ada $yaitu suatu bilangan bulat#hanya "ika a kelipatan dari b. sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b/ hasitidak selalu ada $merupakan bilangan bulat#. leh karena itu pembagian bilang bulat tidak mempunyai si0at tertutup.
Membagi bahwa $-a#$b# $a#$-b# -$ab#/ maka:1. 6$ab# : a $-b#2. 6$ab# : b $-a#3. 6$ab# : $-a# b4. 6$ab# : $-b# a
Demikian pula karena $-a#$-b# ab/ maka8. ab : $-a# $-b#
. ab : $-b# $-a#
Mengingat de0inisi 8/ yaitu a : b ! "ika dan hanya "ika a b! yang sama ara b ? $a : b# atau a $a : b# ? b/ maka dari pernyataan-pernyataan 1 sampai diturunkan rumus-rumus de0inisi pembagian bilangan-bilangan bulat sebagai b
1. $$-a# : b# ? $b# $-a#2. $a : $-b## ? b $-a#3. $$-a# : b# ? $-b# a4. $a : $-b## ? $-b# a8. $$-a : $-b## ? b a
. $$-a# : $-b## ? $-b# $-a#
Contoh 3:+uktikanlah bahwa $p : $-N## : $-r# p : $N ? r#
Bukti:alimat yang akan dibuktikan yaitu/ p sebagai terbagi
$N ? r# sebagai pembagi
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
29/63
p
Contoh 14:+uktikanlah bahwa $a 6 b# : $-!# $b : !# 6 $a : !#
Bukti:alimat yang akan dibuktikan yaitu/ $a 6 b# sebagai terbagi$-!# sebagai pembagi
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
30/63
rutan bilangan-bilangan bulat ini akan tampak "elas pada garis bilangan brikut
-8 -4 -3 -2 -1 A 1 2 3 4 8
(ada garis bilangan a K b ditun"ukkan bahwa titik yang menyatakan a bersebelah kiri dari titik yang menyatakan b. misalkan $-4# K $-1#/ terlihat pada gitu bahwa titik yang menyatakan $-4# berada di sebelah kiri dari titik yang men
%pabila a/ b/ ! dan d bilangan-bilangan bulat/ maka1. a b maka a ) ! b ) !2. a b maka a ? ! b ? !3. a b dan a ! maka a ) ! b ) d4. a ) ! b ) ! maka a b8. a ? ! b ? ! dengan ! A maka a b
Si+at 1.,ika a/ b dan ! bilangan-bilangan bulat/ maka a K b "ika dan hanya "ika a )
Bukti:$i# dibuktikan "ika a K b maka a ) ! K b ) !
a K b berarti ada bilangan bulat positi0 k sedemikian hinggaa ) k b$a ) k# ) ! b ) !a ) $k ) !# b ) !a ) $! ) k# b ) !$a ) !# ) k b ) ! a ) ! K b ) !
$ii# dibuktikan "ika a ) ! K b ) ! maka a K ba ) ! K b ) ! berarti ada bilangan bulat positi0 p sedemikian hingga$a ) !# ) p b ) !a ) $! ) p# b ) !a ) $p ) !# b ) !$a ) p# ) ! b ) !
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
31/63
Si+at .,ika a dan b bilangan-bilangan bulat dan ! bilangan bulat positi0 serta a K b m
b ? !. Bukti:
Si+at !.,ika a dan b bilangan-bilangan bulat dan ! bilangan bulat positi0 serta a ? ! K
a K b Bukti:
Si+at ".,ika a dan b bilangan-bilangan bulat dan ! bilangan bulat negatiJe serta a K b.
H b ? !. Bukti:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
32/63
Si+at .,ika a dan b bilangan-bilangan bulat dan ! bilnagan bulat negatiJe serta a ? ! H
maka a K b. Bukti:
#atihan Soa$%+uktikanlah pernyataan berikut dan dapat dilakukan dengan menun"ukkan !onto
1. ,ika a/ b dan ! bilangan-bilangan bulat dan a K b maka a ? ! K b ? !.2. ,ika a dan b bilangan-bilangan bulat/ ! bilangan bulat positi0 merupakan 0
bersama dari a dan b/ dan a H b maka a : ! H b : !.3. ,ika a/ b dan ! bilangan-bilangan bulat dengan a ? $-!# K b ? $-!# maka a 4. ,ika a/ b dan ! bilangan-bilangan bulat yang tak nol/ a dan b masing-masin
0aktor dari a dan a K b maka ! : a K ! : b.8. ,ika a dan b bilangan-bilangan bulat/ ! bilangan bulat negatiJe dan a H b m
6 $ b ? !# K A.. ,ika a/ b dan ! bilangan-bilangan bulat dan a K b maka $-a# ? ! K $-b# ? !
7. ,ika a/ b/ ! dan d bilangan-bilangan dengan bulat dengan a K b dan ! K d m b ? d.
9. ,ika a/ b/ ! dan d bilangan-bilangan bulat dengan a H b dan ! K d maka a )
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
33/63
KETE,)A0IAN
De+inisi 1: bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b/ $ditulis aQb# "ika d "ika ada bilangan bulat k sehingga b ak.
Contoh: 1Q14 karena 2k 12 sehingga k 7
-12 dapat dibagi oleh 4/ karena -12 4$-3#
3R1A karena tidak ada bilangan bulat k sehingga 3k 1A
stilah-istilah lain yang mempunyai arti sama dengan aQb adalah:
- a ialah 0aktor b- a ialah pembagi b- b ialah kelipatan a
Teo(ema 1 : "ika aQb dan bQ! maka aQ!.
Bukti:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
34/63
Teo(ema : "ika aQb dan aQ! maka aQ$b ) !#
Bukti:
Teo(ema !: "ika aQb maka aQ!b untuk bilangan bulat ! sembarang
Bukti:
Teo(ema ": "ika aQb dan aQ! maka aQ$bm ) !m# untuk sembarang bilangan-bil bulat m dan n.
Bukti:
Teo(ema : "ika aQb dan bQa maka a b atau a -b Bukti:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
35/63
Teo(ema /: "ika aQb dengan a dan bilangan-bilangan bulat posti0/ maka a K b.
Bukti:
aQb berarti ada bilangan bulat k sehingga b ak
karena a H A dan b H A maka k H A
"ika k 1 berarti a 6 b dan "ika k H 1 maka b H a
"adi a b.
#atihan Soa$%
1. ,ika aQb dan !Qd maka a!Qbd. +uktikanB2. Tun"ukkan bahwa "ika a H b maka a R b suatu pernyataan yang salah.3. +uktikan bahwa "ika dQa dan dQb maka dQ$a 6 b#
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
36/63
*AKT5, PE,SEKUTUAN TE,)ESA, 6*P)7
De+inisi 1: ,ika a/ b sebarang maka d dikatakan pembagi persekutuan dari a d "ika dQa
dan dQb.De+inisi : ,ika a atau b bilangan-bilangan bulat yang tidak nol/ d adalah 0a!tor persekutuan terbesar
dari a dan b ditulis $a/ b# "ika dan hanya "ika d 0aktor persekutuan dar! 0aktor persekutuan a dan b maka ! d.
Dari de0inisi 1 dan 2 dapat dinyatakan sebagai berikut:d $a/ b# "ika dan hanya "ika $i# dQa dan dQb
$menyatakan bahwa d adalah 0aktor persekutuan dari $ii# !Qa dan !Qb maka ! d $menyatakan bahwa d adalah 0a!tor persekutuan terbe
Contoh 1:(embagi positi0 dari -12 adalah 1/ 2/ 3/ 4/ / 12. (embagi positi0 dari 3A adal
/ 1A/ 18/ 3A. (embagi persekutuan dari -12 dan 3A adalah 1/ 2/ 3/ . (+ $-(+ $-8/ 8# 8/ (+ $9/ 17# 1/ (+ $-9/ -3 # 4.
Teorema 7: ,ika $a/ b# d maka $a:d/ b:d# 1+ukti:Misal: $a:d/ b:d# ! U ! 1Sehingga harus ditun"ukkan ! 1 dan ! I 1$i# ! I 1 karena ! adalah (+ maka sudah pasti ! I 1$ii# ! 1
$a:d/ b:d# ! maka !Q$a:d# !Q$b:d#!Q$a:d# berarti !k a:d
a $!k# d a $!d# k
!Q$b:d# berarti !k b:d
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
37/63
b $!k# d b $!d# k
karena $i# dan $ii# dapat disimpulkan bahwa $!d# adalah 0aktor perekrutan dari a damaka $!d# d. arena d bilangan bulat positi0 maka ! 1 TE,)UKTI
Contoh :(+ $3A/ 78# *..
3A 78 ,adi (+ $3A/ 78# adalah$3A:18/ 78:18# $2/ 8# 1
Teo(ema 2: untuk bilangan-bilangan bulat positi0 a dan b ada tepat satu pa bilangan-
bilangan bulat N dan r sehingga b Na ) r dengan A r K a.
Contoh !:a 21/ b 78 maka N 3/ r 12karena 78 321 ) 12terlihat bahwa $78/ 21# 3 dan $21/ 12# 3
Teo(ema 3: ,ika b Na ) r maka $b/ a# $a/ r# Bukti:
$b/ a# d U dQa dan dQb U dQ$b 6 Na# U dQr U d pembagi persekutuanr.! pembagi persekutuan dari a dan r U !Qa dan !Qr U !Q$Na ) r# U !Qa U ! pembagi persekutuan dari a dan b U ! d U $b/ a# $a/ r#
Contoh ":5itunglah $878 / 4483# **87 7 4483 E1 ) 13144483 1314 E 3 ) 8111314 811 E 2 ) 2@2811 2@2 E 1 ) 21@2@2 21@ E1 ) 7321@ ! E 3 ) A,adi (+ $87 7/ 4483# 73
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
38/63
Teo(ema 14: ,ika $a/ b# d maka bilangan bulat ? dan y sehingga a? ) by Contoh :Ditentukan a 247 dan b 2@@. Dengan algoritma pembagian berkali-kal
2@@ 247 E1 ) 82
247 82 E4 ) 3@ 82 3@ E 1 ) 13 3@ 13 E 3
Menurut teorema 1A maka ada bilangan-bilangan bulat ? dan y sedemikian h13 82 - 3@E1 82E4 ) 3@
82 E 8 6 247 $2@@ 6 247#8 6 247
13 2@@ E 8 6 247 E
,adi/ ? - dan y 8 agar 13 247? ) 2@@yTeo(ema 11: ,ika dQab dan $d/ a# 1 maka dQb Bukti:$d/ a# 1 maka ada ? dan y sehingga d? ) ay 1,ika kedua ruas dari persamaan ini dikalikan b/ maka b$d?# ) b$ay# bd$b?# ) $ab#y bkarena dQab U dQ$ab#y dank arena dQd$b?# U dQb TE,)UKTI
Teo(ema 1 : ,ika !Qa dan !Qb dengan $a/ b# d maka !Qd Bukti:$a/ b# d U d a? ) by
arena !Qa maka !Qa?/ karena !Qb U !Qby(ada persamaan d a? ) by/ !Qa? dan !Qby U !Qd TE,)UKTI
#atihan Soa$%1. 5itunglah
a. (+ $314/ 18@# b. (+ $1AA@/ 4AA1#2. +uktikan bahwa !Qab dan $!/ a# d maka !Qbd.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
39/63
KE#IPATAN PE,SEKUTUAN TE,KECI# 6KPK7
De+inisi 1: +ilangan-bilangan bulat a1/ a2/ a3/ */ an masing-masing tidak nol memilikikelipatan
persekutuan b/ "ika aiQb untuk setiap 1/ 2/ 3/ */ n.
De+inisi : %pabila a1/ a2/ a3/ */ an adalah bilangan-bilangan bulat yang tidak nol/ mkelipatan
persekutuan terke!il $ ( # dari bilangan bulat positi0 terke!il di antkelipatan-
kelipatan persekutuan a1/ a2/ a3/ */an.
Teo(ema 1!: ,ika b suatu kelipatan persekutuan dari a1/ a2/ a3/ */ an maka Oa1/ a2/ a3/ */anPQb.
Bukti:Misalkan Oa1/ a2/ a3/ */ anP hMaka akan di tun"ukkan bawha hQb.%ndaikan hQb/ maka ada N dan r sehingga b hN ) r dengan A K r K h.
arena b suatu kelipatan persekutuan a1/ a2/ a3/ */ an maka aiQb untuk setiap 1/ 2/ 3/ *n.h Oa1/ a2/ a3/ */ anP maka aiQh untuk setiap i 1/ 2/ 3/ */ ndari b hN ) r dengan A K r K h/ karena aiQb dan aiQr/ yaitu r kelipatan persekutuan dari 1/a2/ a3/ */ hal ini bertentangan dengan r K h/ karena h kelipatan persekutuan terke pengandaian tersebut salah berarti hQb yaitu r kelipatan persekutuan dari a1/ a2/ a3/ */ an.hal ini bertentangan dengan r K h/ karena h kelipatan persekutan terke!il/ maka tersebut salah/ berarti hQb yaitu Oa1/ a2/ a3/ */ anPQb.
Teo(ema 1": ,ika m H A maka Oma/ mbP mOa/ bP Bukti:Misal: Oa/ bP d maka aQd dan bQd $semua dikalikan dengan m/ dimana m ,adi/ dapat dikatakan dm adalah kelipatan persekutuan dari am dan bm. Maka Odapat dikatkan kelipatannya m/ sehingga Oma/ mbP mOa/ bP
Contoh1:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
40/63
O2E3/ 2E8P 2O3/ 8PO / 1AP 2O18P
Teo(ema 1 : ,ika a dan b bilangan- bilangan bulat positi0 maka Oa/ bP$a/b# ab
Bukti:$a/ b# 1 maka Oa/ bP abMisal: $a/ b# d U $a:d/ b:d# 1Maka di peroleh Oa:d/ b:dP $a:d/ b:d#
arena Oa:d/ b:dPE1 $a:d/ b:d#Oa:d/ b:dP$a:d/ b:d# $a:d/ b:d# $semua dikalikan dengan d2/ dimana d bilangan bulat#,adi/ Oa/ bP $a/ b# abContoh :$ / -1A# 2
elipatan persekutuan dan -1A */ - A/ -3A/ A/ 3A/ A/ *O / -1AP 3AO / -1AP$ / -1A# 3AE2 A
#atihan Soa$%1. 5itunglah O12 / 12AP2. +erikan satu !ontoh yang seperti teorema 18.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
41/63
KEK5N0,UENAN
Tujuan umum:
Mahasiswa dapat memahami konsep kekongruenan dan si0at-si0at smenerapkannya untuk meme!ahkan masalah dalam mata kuliah ini dan dalamsehari-hari. Selain itu/ mahasiswa dapat memahami dan menyelesaikan pekongserta meme!ahkan soal-soal terapan yang berkaitan dengan pekongruenan.
Tujuan khusus
1. Menuliskan konsep kekongruenan2. Membuktikan beberapa si0at kekongruenan3. Menentukan banyaknya solusi pekongruenan linear 4. Menyelesaikan pekongruenan linear 8. Menyelesaikan persamaan linear Diophantus
. Menyelesaikan sistem pekongruenan linear
Mate(i
)i$angan )u$at Modu$o M
onsep keterbagian dan si0at-si0atnya pada himpunan bilangan bulat dlebih dalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. ekongruenan!ara lain untuk menelaah keterbagian pada himpunan bilangan bulat. Suatu keadalah suatu pernyataan tentang keterbagian.
Definisi 1
,ika m suatu bilangan bulat positi0 membagi a 6 b maka dikatakan a terhadap b modulo m dan ditulis a V b $mod m#.
Pemahaman definisi:%ndaikan diketahui a 13/ b 8. +erdasarkan de0inisi terebut dapat dinyataka ***********************************
***********************************
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
42/63
,ika m tidak membagi a 6 b maka dikatakan a tidak kongruen terhadap bdan ditulis a L b $mod m#.
Pemahaman definisi:
%ndaikan diketahui a 13/ b 3/ m 7. +erdasarkan de0inisi tersebut dapa bahwa: ************************************
************************************
,ika m H A dan mQ$a 6 b# maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a 6 b V m
Dengan demikian aQb dapat dinyatakan sebagai a 6 b mk/ atau beda antmerupakan kelipatan m/ atau a b ) mk/ yaitu a sama dengan b ditambah kelipa
Pemahaman:
%ndaikan diketahui a 12/ b 2/ m 8/ berdasarkan pen"elasan di atas dapa bahwa:
************************************
Demikian "uga "ika diketahui a 2 dan b 12/ maka aQb atau 2Q12 dapasebagai 2 - 12Ek $untuk k -2#.
ita telah melihat bahwa "ika m H A dan a bilangan bulat maka a dapat dinyata
a mN ) r dengan A r K m. $%lgoritma pembagian#
ini berarti bahwa a 6 r mN/ yaitu a V r $mod m#. karena A r K m maka adauntuk r yaitu A/ 1/ 2/ . . ./ m 6 1.
,adi tiap bilangan bulat akan kongruen modulo m terhadap salah satu dari mkhususnya "ika mQa maka a V A $mod m#.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
43/63
Definisi 2
(ada a V r $mod m#/ r disebut sebagai residu a modulo m.
Sedangkan himpunan bilangan bulat A/ 1/ 2/ 3/ . . ./ m 6 1/ yaitu
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
44/63
2. Tun"ukkan apakah
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
45/63
b. A/ 48 ,awab: ************************...
!. 2/ @@ ,awab: ************************...
d. -1/ 9 ,awab: ************************...e. -@/ 8 ,awab: ************************...
0. -1/ @@ ,awab: **********************...........3. ntuk bilangan bulat m positi0 yang manakah agar setiap pernyataan beri
benar&a. 27 V 8 $mod m# ,awab: m ********************...
b. 1AAA V 1 $mod m# ,awab: m ********************...
!. 1331 V A $mod m# ,awab: m *********************4. Tun"ukkan bahwa:
a. ,ika a adalah bilangan bulat genap/ maka a2 V A $mod 4#,awab:
b. ,ika b adalah bilangan bulat gan"il/ maka b2 V 1 $mod 4#,awab:
8. 'arilah residu nonnegati0 terke!il yang kongruen modulo 13 untuk bilanga berikut.a. 22 ,awab: r adalah ************************. b. 1AA ,awab: r adalah ************************.
!. 1AA1 ,awab: r adalah *************************
d. -1 ,awab: r adalah ************************.
e. -1AA ,awab: r adalah ************************..
0. -1AAA ,awab: r adalah ************************..
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
46/63
Teo(ema Kekong(uenan
ekongruenan modulo suatu bilangan bulat positi0 m sebetulnya menand bilangan bulat a dengan suatu bilangan bulat lain yaitu b. karena suatu pemadasuatu relasi/ bahkan ia suatu relasi ekiJalen/ seperti halnya relasi kesamaan. Sudisebut relasi ekiJalen atas suatu himpunan bilangan % "ika untuk a/ b dan ! un berlaku:
1. Si0at re0leksi0/ a a/ suatu bilangan a memiliki relasi terhadap bil sendiri.
2. Si0at simetris/ a b "ika dan hanya "ika b a. 3. Si0at transiti0/ a b dan b ! berakibat a !. 4. ekongruenan modulo suatu bilangan bulat positi0 m adalah suatu rela
pada himpunan bilangan bulat.Teo(ema 1
ntuk bilangan bulat sebarang a dan b/ a V b $mod m# "ika dan hanya "ika a dsisa yang sama "ika dibagi m.
+ukti:
(andang a V b $mod m#.
ni berarti a b ) km/ dengan k bilangan bulat.Menurut algoritma pembagian/ b Nm ) r dengan A r K m.Maka a b ) km $Nm ) r# ) km $N ) k# m ) r
ni berarti a seperti b/ memiliki sisa r/ "ika dibagi m.%ndaikan a N1m ) r dan b N2m ) r dengan r yang sama A r K m.Maka a 6 b $N1 6 N2#mXang berarti mQa 6 b. ini berarti a V b $mod m#
+uatlah !ontoh yang melibatkan bilangan untuk memper"elas teorema 1.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
47/63
Teo(ema ekongruenan sebagai relasi ekiJalen.ntuk m bilangan bulat positi0 dan a/ b dan ! bilangan bulat berlaku:
1. a V a $mod m#
2. a V b $mod m# "ika dan hanya "ika b V a $mod m#3. "ika a V b $mod m# dan b V ! $mod m# maka a V ! $mod m#+ukti 6 bukti:1. +uktikan a V a $mod m#
+ukti:
2. +uktikan a V b $mod m# "uka dan hanya "ika b V a $mod m#+ukti:
3. +uktikan "ika a V b $mod m# dan b V ! $mod m# maka a V ! $mod m#+ukti:
ekongruenan modulo suatu bilangan bulat positi0/ dapat dikombinasikan denghampir sama seperti pada persamaan.
Teo(ema !
,ika a V b $mod m# dan ! V d $mod m# maka a ) ! V b ) d $mod m#
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
48/63
+ukti:
+uatlah !ontoh yang melibatkan bilangan untuk memper"elas teorema 3.
Teo(ema "
,ika a V b $mod m# dan ! V d $mod m# maka a? ) !y V b? ) dy $mod m#
+ukti:
+uatlah !ontoh yang melibatkan bilangan untuk memper"elas teorema 4.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
49/63
Teo(ema
,ika a V b $mod m# dan ! V d $mod m# maka a! V bd $mod m#
+ukti:
+uatlah !ontoh yang melibatkan bilangan untuk memper"elas teorema 8.
Teo(ema /
,ika a V b $mod m# maka ka V kb $mod m# untuk k bilangan bulat sebarang.
+ukti:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
50/63
+uatlah !ontoh yang melibatkan bilangan untuk memper"elas teorema .
#atihan :
1. residu terke!il modulo 9 dari 128 adalah**..2. periksalah apakah
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
51/63
Mate(i1. Kekongruenan mod 9
ekongruenan modulo @ dapat digunakan untuk memerikasa kebenaran per "umlah bilanganAbilangan bulat. ita mengetahui bahwa:
1A.AAA 6 1 @.@@@ @ k1 sehingga 1A.AAA V 1 $mod @#1.AAA 6 1 @@@ @ k2 sehingga 1AAA V 1 $mod @#1AA 6 1 @@ @ k3 sehingga 1AA V 1 $mod @#
Selan"utnya akan ditun"ukkan bahwa setiap bilangan bulat kongruen modulo "umlah angka-angkanya.
Contoh:9234 V $9AAA ) 2AA ) 3A ) 4# $mod @# V $9$1AAA# ) 2$1AA# ) 3$1A# ) 4# $mod @#
V9$1# ) 2$1# ) 3$1# ) 4 $mod @# V 17 $mod @#Selan"utnya dengan !ara yang sama17 V 1A ) 7 $mod @# V 1 ) 7 $mod @# V 9 $mod @#,adi 9.234 V 9 $mod @#
Teorema 11An V 1 $mod @# untuk n A/ 1/ 2/ 3/ . . . .
Bukti:1An 6 1 @@@*@ $n angka semuanya @# terbagi oleh @,adi 1An V 1 $mod @#
Teorema 2Setiap bilangan bulat kongruean modulo @ dengan "umlah angka-angkanya.
Bukti:
%mbil sembarang bilangan bulat n dan angka-angkanya se!ara berurutan an dk dk 6 1dk 6 2 . . . d2 d1 dA dann dk1Ak ) dk 6 11Ak- 1 ) dk 6 21Ak 6 2 ) . . . ) d21A2 ) d11A ) dAmenurut teorema 11An V 1 $mod @# untuk n A/ 1/ 2/ 3/ . . .Sehingga
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
52/63
n dk$1# ) dk 6 1$1# ) dk 6 2$1# ) . . . ) d2$1# ) d1$1# ) dA $mod @#,adi bilangan bulat n kongruen modulo @ dengan "umlah angka-angkanya.(erhatikan sekarang/ misalkan a ) b !
Maka tentukanlah a ) b V ! $mod @#
,ika a V m $mod @#/ b V n $mod @# dan ! V p $mod @#Maka dari a ) b V ! $mod @#Dapat disimpulkan bahwa m ) n V p $mod @#
(rinsip-prinsip dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran suatu pen"umlahan pengurangan bilangan-bilangan bulat.
Menguji Penjum$ahanContoh:
(eriksalah kebenaran pen"umlahan berikut ini dengan prinsip di atas.249 ) 324 ) 72 1244,awab:
,adi/ 249 ) 324) 72 V
V
V . . . . . $i#
Sedangkan/ 1244 V
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
53/63
V
V
V V . . . . . $ii#
Dari kekongruenan $i# dan $ii# berarti 249 ) 324 ) 72 1.244 $benar#
#atihan Pemahaman:Masing-masing memuat pen"umlahan tiga bilangan dengan digit berbeda. aku penge!ekan dengan konsep modulo @.
Menguji Pe(ka$ian,ika a V b $mod @# dan ! V d $mod @# maka a! V bd $mod @#(rinsip ini dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran suatu perkalian.
Contoh:+enarkah 94 ? 429 38.@8 &,awab:94 V429 VMaka 94 ? 429 V
V V . . . . . $i#
Sedangkan/ 38.@82 V 3 ) @ ) 8 ) 2 24 V $mod @# . . . . . $ii#
Dari $i# dan $ii# dapat disimpulkan bahwa 94 ? 429 38.@82 $+F>%W#.
#atihan Pemahaman:
Masing-masing memuat perkalian dua bilangan dengan digit berbeda $minimalakukan penge!ekan dengan konsep modulo @.
Contoh:+enarkah 1A ) 11 3A
ita mengetahui bahwa 1A ) 11 V 3 $mod @#3A V 3 $mod@#
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
54/63
Menurut !ara pemeriksaan di atas 1A ) 11 3A benar/ tetapi kita mengetahui ba 3A salah.
Selain itu kekongruenan modulo @ dapat digunakan untuk mengu"i keterbagian
bilangan bulat oleh @.Suatu bilangan terbagi oleh @ bila dan hanya bila sisa pembagian itu nol.n V a $mod @# bila dan hanya bila n dan a masing-masing mempunyai sisa yandibagi @.,adi/ "ika n V a $mod @# maka n terbagi oleh @/ bila dan hanya bila a terbagi on kongruen modulo @ dengan "umlah angka-angkanya.,adi suatu bilangan terbagi oleh @ bila dan hanya bila "umlah angka-angkanya @.
Contoh:1. 7. 897 V 7 ) 8 ) 9 ) 7 V @ $mod @#
arena @Q@ maka @Q78972. 47. 23 V 4 ) 7 ) ) 2 ) 3 V22 V 4 $mod@#
arena @ R 4 maka @R 47.723
#atihan Pemahaman:Masing-masing membuat !ontoh dua bilangan dengan 8 dan digit yang dapat
tidak dapat dibagi @. -pakah bilangan yang terbagi !leh ' akan tebagi juga !leh
Misalkan @Qn dan 3Q@ dengan si0at transiti0 diperoleh 3Qn. karena n t bila dan hanya bila angka-angkanta terbagi oleh @/ maka n terbagi oleh 3hanya bila "umlah angkanya terbagi oleh 3.
Contoh:1. 12.48 V 1 ) 2 ) 4 ) 8 ) V 19 V @ $mod @#
arena 3Q@ maka 3Q12.482. 42. 41 V 4 ) 2 ) ) 4 ) 1 V 17 V 9 $mod @#arena 3 R 9 maka 3 R 42. 41
2. Bilangan terbagi 2, 4 atau 8 Bagaimana menguji bilangan terbagi !leh 2 " atau &
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
55/63
+ilangan terbagi oleh 2/ bila bilangan itu genap.'oba buktikan pernyataan itu dengan menggunakan kekongruenan mod 2.
Bukti:%mbil n/ bilangan yang dinyatakan oleh n ak ak 6 1 . . . a1 aA dengan A ai K @ untuk 1/
3*n ak ak 6 1 . . . a1 aA ak1Ak ) ak 6 1 1Ak 6 1 ) . . . ) a2 1A2 ) a 1A ) aAterlihat bahwa suku-suku ruas kanan pada persamaan ini terbagi oleh 2 ke!ulai aA.%pabila n terbagi oleh 2/ maka aA pun terbagi oleh 2.aAadalah angka terakhir dari bilangan n. "adi suatu bilangan terbagi oleh 2 bila dan hanya bila angka terakhirnya terbagi
-pakah 1* 2 1* 1*" masing/masing terbagi !leh "+agaimana mengu"i suatu bilangan terbagi oleh 4.
Misalkan n ak ak -1. . . a2 a1 aA ataun ak 1Ak ) ak 6 1 1Ak 6 1 ) . . . ) a2 1AA ) $a11A ) aA#setiap suku pada ruas kanan dari persamaan itu/ ke!uali dua suku terakhir/ yaitu11A dan aA terbagi oleh 4.,adi n terbagi oleh 4 bila dan hanya bila $a11A ) aA# terbagi oleh 4.
Sehingga dapat disimpulkan:Suatu bilangan terbagi oleh 4 bila dan hanya bila bilangan yang ditanyakan olehterakhir dari bilangan itu terbagi oleh 4.
Contoh:8.132.21 terbagi oleh 4/ sebab 1 $dua angka terakhir # terbagi oleh 4.
Dengan !ara yang mirip dengan keterbagian oleh 4/ maka berikut aturan keterba bilangan oleh 9.Suatu bilangan terbagi oleh 9 bila dan hanya bila bilangan yang dinyatakan olehterakhir dari bilangan itu terbagi oleh 9.
Contoh:17.28 terbagi oleh 9 karena 28 @tiga angka terakhir# terbagi oleh 9.
!. )i$angan te(bagi o$eh / dan 11 Bagaimanakah menguji bilangan terbagi !leh $
2Qn dan 3Qn bila dan hanya bila Qn. +uktikanlah pernyataan itu.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
56/63
'oba selesaikan dengan kekongruenan modulo 7.
#ATI8AN%+enar atau salahkah pernyataan berikut iniB ,ika benar/ buktikan dan tun"ukkansalah berikan alas an atau !ontoh kontranya.
1. ,ika angka terakhir dari bilangan n adalah 4/ maka n2 V $mod 1A#
2. Selisih pangkat tiga dari dua bilangan berurutan selalu tidak terbagi oleh 3
3. Sisa 2n
dibagi oleh 7 adalah salah satu di antara 1/ 2/ atau 4 utnuk setiap bil bulat positi0 n.
4. 234.8 7.7 8.432 terbagi oleh 11
8. 97 .843.212. 79 terbagi oleh 11
. Sisa 417 dibagi 7 adalah
7. %pabila n bilangan gan"il/ maka n2 V 1 $mod 9#
9. ,ika suatu bilangan terbagi oleh 3/ maka bilangan itu terbagi oleh @.@. ,ika suatu bilangan terbagi oleh 12 maka bilangan itu terbagi oleh 2 dan
4 sehingga bilangan itu terbagi oleh 9
1A.31418 ? @2 8 2.@1A. @3.@@8
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
57/63
PE,K5N0,UENAN #INEA,
Tujuan UmumMahasiswa dapat menyelesaikan perkongruenan linear serta meme!ahkan
terapan yang berkaitan dengan perkongruenan.
Tujuan KhususDiharapkan mahasiswa dapat:
1. Menentukan banyaknya solusi perkongruenan linear.2. Menyelesaikan perkongruenan linear.3. Menyelesaikan persamaan linear Diophantus.4. Men!irikan ada tidaknya solusi suatu pekongruenan linear.8. Menyelesaikan system perkongruenan linear.
Pe(samaan #inea( Dio9hantus(ersamaan linear diophantus yaitu persamaan linear yang berbentuk a? ) by !/ b/ ! bilangan bulat.
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
58/63
Pen e$esaian Pe(samaan #inea( Dio9hantus(ersamaan a? ) by ! berarti a? V ! $mod b#
atau by V ! $mod a#dari bentuk tersebut/ menun"ukkan bahwa persamaan linear dalam bentuk a? ) b
diselesaikan dengan perkongruenan.Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari @? ) 1 y 38
Penyelesaian:
@? ) 1 y 38
+erarti
>ilai y disubstitusikan pada @? ) 1 y 38
Memberikan
5impunan penyelesaian dari @? ) 1 y 38 adalah:
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
59/63
Sehingga $-8/8# merupakan penyelesaian @? ) 1 y 38.
+erdasarkan uraian di atas terlihat bahwa apabila $?A/ yA# suatu penyelesaian persamaanlinear Diphantus a? ) by !/ maka solusi lainnya adalah $?A ) bt/ yA 6 at# untuk stiap bilangan bulat t.
So$usi Pe(samaan #inea( Di9hantus
(ersaman linear Diphantus a? ) by ! dengan a/ b L A/
1. Mempunyai solusi "ika $a/ b# Q!2. Tidak mempunyai solusi "ika $a/ b# R !
ngat !ara menentukan (+ dua bilangan.
Dapat dilakukan dengan berbagai !ara/ di antaranya:
1. (ohon 0aktor 2. %lgoritma pembagian
Coba$ah bebe(a9a soa$ be(ikut:
Tentukan (+ nya:
a. $3A/ 1A8# b. $29/ 12# !. $2/ 7# d. $247/ 2@@# e. $87 7/ 4483#
Contoh :
1. Tentukan solusi dari persamaan linear Diophantus2? ) 4y 8 Penyelesaian:
arena $2/ 4# 2 dan 2 R 8 maka persamaan linear tersebut tidak mempunya(en"elasan:
248 t
x
=
%ndaikan y t/ maka
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
60/63
ntuk setiap bilangan bulat t/ maka $8 6 4t# merupakan bilangan gan"il.Sehingga
248 t
x
= bukan merupakan bilangan bulat.
2. Tentukan solusi dari persamaan linear Diophantus7? ) 18y 81/ dengan ? dan y bulat positi0.(enyelesaian:
arena $7/ 18# 1 maka persamaan linear tersebut mempunyai solusi.
Substitusi:
arena ? bulat positi0 dan t !a!ah/ maka ? 3 yaitu untuk t A sehingga y ,adi ? 3 dan y 2.3. Tentukan solusi dari persamaan linear Diophantus
2? ) y 2A(enyelesaian:
arena $2/ # 2 dan 2Q2A maka persamaan linear tersebut mempunyai sol(en"elasan:2? ) y 2A
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
61/63
Substitusi :
5impunan penyelesaian dari persamaan 2? ) y 2A adalah*************...................
Pe(kong(uenan #inea(
(engkongruenan linear adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekoContoh !:
3? V 4 $mod 8#?2 ) 3? 6 3 V A $mod 31#
(engkongruenan yang Jariabelnya berpangkatan paling tinggi satu disebut pengkongruenan linear.+entuk umum pengkongruenan linear adalah:
a? V b $mod m# memiliki penyelesaian "ika dan hanya "ika ada bilangayang memenuhi persamaan: a? b ) km
Misalkan r memnuhi pengkongruenan linear a? V b $mod m# berarti ar V b $m
Maka setiap bilangan bulat
$r ) m#/ $r ) 2m#/ $r ) 3m#/ */ $r 6 m#/ $r 6 2m#/ $r 6 3m# memenuhi pengkontersebut.
Sebab:
a$r ) km# ar b $mod m# untuk setiap bilangan bulat k/ diantara himpu bulat $r ) km#/ dengan k 1/ 2/ 3/ 4/ */ -1/ -2/ -3#/ ada tepat satu dan hanydengan A s m/ sebab suatu bilangan bulat mesti terletak di antara dua kyang berurutan. ,adi "ika r memenuhi a? V b $mod m#/ dan km r $k ) suatu bilangan bulat k/ maka A $r 6 km# m. "adi s r 6 km suatu bilan
(ernyataan tersebut menun"ukkan s adalah residu terke!il modulo m yang memn perkongruenan a? V b $mod m#. selan"utnya/ s disebut solusi dari pengkongru
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
62/63
Contoh ":
Tentukan penyelesaian dari 2? V 4 $mod 7# Penyelesaian: >ilai ? yang memnuhi : */ -1@/ -12/ -8/ 2/ @/ 1 / *Wesidu terke!il $yang kurang dari 7# dari modulo 7 yang memenuhi adalah 2.,adi penyelesaian 2? V 4 $mod 7# adalah ? 2.
So$usi 9e(kong(uenan a; < b 6mod m7
(ada persamaan a? b/ dengan a I A memiliki satu solusi. Sedangkan solusi ben
$mod m# dapat berupasatu solusi, banyak solusi dan tidak banyak solusi
#atihan soa$%
Tentukan solusi dari soal-soal berikut:
1. 3? V $mod 7#2. 2? V 1 $mod 4#3. 2? V 4 $mod #
-
7/25/2019 Ristia Apriana (Teori Bilangan)
63/63