rivera alejo josé enrique algoritmo cuántico grover grasp

7/23/2019 Rivera Alejo Jos Enrique Algoritmo Cuntico Grover Grasp

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TESIS PUCP

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERA

ANLISIS COMPARATIVO ENTRE EL ALGORITMOCUNTICO DE GROVER Y UN ALGORITMO GRASP,

APLICADOS A LA BSQUEDA DE INDIVIDUOS PTIMOS ENLA POBLACIN INICIAL DE UN ALGORITMO GENTICO.

Tesis para optar por el Ttulo de Ingeniero Informtico, que presenta el bachiller:

Jos Enrique Rivera Alejo

ASESOR: Mg. Martin Richard Kong Moreno

Lima, agosto del 2010


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Resumen

Este trabajo trata sobre la aplicacin de dos algoritmos de bsqueda a la

seleccin de individuos ptimos en la poblacin inicial de un algoritmo

gentico, y la consiguiente comparacin entre ambos.

El primero de ellos es el algoritmo meta-heurstico GRASP, y el segundo es el

algoritmo cuntico de Grover.

El algoritmo cuntico de Grover forma parte de una nueva generacin en las

ciencias de la computacin: la computacin cuntica. Y por tanto hace uso deconceptos matemticos y fsicos completamente distintos a los usados en la

programacin clsica.

En esta tesis se presenta un anlisis general de ambos algoritmos, siendo de

especial mencin el anlisis del algoritmo cuntico de Grover, ya que incluye

un modelo matemtico del funcionamiento del mismo. Este modelo ser de

suma importancia para simular la ejecucin del algoritmo de Grover en una

computadora clsica, dada la carencia de una computadora cuntica sobre lacual realizar esto.

Luego, se preparan dos procesos experimentales, los cuales se usarn para

realizar la comparacin de eficacia y eficiencia entre las ejecuciones de los

dos algoritmos.

Posteriormente, se presenta el diseo e implementacin de los algoritmos,

ambos aplicados a la seleccin de individuos de un algoritmo gentico

genrico. Una vez ambos algoritmos se encuentren correctamente

implementados y funcionales, se ejecutarn las pruebas experimentales que

permitan realizar la comparacin entre ellos.

Finalmente se realizan las conclusiones y observaciones del caso en base a

los resultados numricos obtenidos en la fase experimental.


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Dedicado a:

Mis padres.

Los lectores de este trabajo.

Agradecimientos a:

Dios, porque gracias a l todo es posible.

Mi padre, mi madre y mi hermano, quienes me han apoyado en cada

momento de mi vida.

Mi asesor por su apoyo durante el desarrollo de esta tesis.

Mis profesores por sus importantes enseanzas a lo largo de mi vida

acadmica.

Mis amigos por su ayuda, apoyo, nimo y compaa, y especialmente a quien

siempre me dese suerte en todo y a quien me hizo abrir los ojos nuevamente

a la investigacin.

A todos ustedes, muchas gracias.


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Tabla de Contenido

Introduccin.......................................................................................................1

1.

Captulo I: Generalidades...........................................................................4

1.1 Definicin del Problema......................................................................4

1.2 Marco Conceptual del Problema ........................................................ 6

1.3

Estado del Arte .................................................................................12

1.3.1

Investigaciones realizadas............................................................13

1.4 Descripcin y Sustentacin de la Solucin.......................................18

2 Captulo II: Aporte de la Investigacin......................................................21

2.1

Aportes especficos ..........................................................................21

2.2

Desarrollo de la Metodologa............................................................23

2.2.1

Observacin..................................................................................23

2.2.2 Planteamiento de Hiptesis: .........................................................24

2.2.3 Experimentacin ...........................................................................24

2.2.4

Conclusin ....................................................................................25

2.3

Lista de Resultados Esperados........................................................ 26

2.4 Planteamiento de hiptesis...............................................................27

3

Captulo III: Implementacin del Aporte....................................................32

3.1

Definicin de los Experimentos ........................................................ 32

3.1.1

Seleccin de Individuos ptimos (Experimento-1) ........................33

3.1.2 Experimentacin Numrica........................................................... 35

3.2 Definicin de los Algoritmos .............................................................36

3.2.1

Definicin del Algoritmo Gentico.................................................36

3.2.2

Definicin del Algoritmo GRASP...................................................41

3.2.3

Definicin del Algoritmo Cuntico de Grover ................................42

3.3

Diseo de los Algoritmos..................................................................48

3.3.1 Diseo del Algoritmo GRASP ....................................................... 48

3.3.2

Diseo del Algoritmo Cuntico de Grover.....................................50

3.4 Implementacin de los Algoritmos....................................................57

4 Experimentacin Numrica.......................................................................59

4.1

Ejecucin de la Experimentacin Numrica .....................................60

4.1.1

Antes de la ejecucin de la Experimentacin Numrica...............61

4.1.2 Prueba T-Student para dos muestras relacionadas...................... 64

4.2

Resultados........................................................................................64


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5 Observaciones, conclusiones y recomendaciones...................................78

5.1 Contraste de Hiptesis .....................................................................78

5.2

Conclusiones ....................................................................................80

5.3 Observaciones..................................................................................82

5.4

Recomendaciones y trabajos futuros ...............................................84

6 Referencias ..............................................................................................86


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ndice de Figuras

Figura 4.1: Grfica: Factor de Relajacin (alfa) vs Valor de Bondad 62

Figura 4.2: Grfica: Cantidad de Iteraciones vs Valor de Bondad 62

Figura 4.3: Anlisis de Eficacia 73

Figura 4.4: Anlisis de Eficiencia 74

Figura 4.5: Anlisis de Bondad 75

Figura 4.6: Anlisis de Bondad tras ajustes en Ponderacin 77

Figura 5.1: Grfica Valores de Bondad Promedio vs Razn Eficacia-

Eficiencia/Complejidad

83


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ndice de Tablas

Tabla 1.1: Cuadro Comparativo de las Investigaciones Encontradas 17


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1

Introduccin

La computacin cuntica aparece como una nueva rama de las Ciencias de la

Computacin, la cual promete la posibilidad de realizar el procesamiento de

inmensas cantidades de informacin en tiempos millones de veces menores

de lo que son capaces las computadoras clsicas hoy en da.

La computacin cuntica est atravesando una etapa de intensa investigacin

alrededor del todo el mundo, por ejemplo, en los laboratorios de entidades

como IBM, Microsoft, Google y el Instituto Tecnolgico de Massachusetts. Se

perfila como la tecnologa que reemplazar eventualmente a la computacin

clsica tal cual la conocemos hoy en da, gracias a los mltiples beneficios

que supone.

La investigacin en el campo de la computacin cuntica es solo parte de un

campo mucho ms amplio conocido como informacin cuntica. En lo que

respecta a su rama ms cercana a las Ciencias de la Computacin, se puede

afirmar que en la actualidad ya han sido propuestos varios algoritmos de

naturaleza cuntica, los cuales garantizan podrn realizarse operaciones que

hoy en da tomaran miles o millones de aos, en tan solo segundos. Uno de

estos algoritmos, es el algoritmo cuntico de Grover, un algoritmo cuntico de

bsqueda, especialmente til en grandes universos de elementos sin ningn

tipo de ordenamiento a priori.

El algoritmo cuntico de Grover es capaz de resolver bsquedas con una

velocidad mucho mayor que los algoritmos clsicos con los que contamos

hoy. La razn entre ambas velocidades demuestra que la velocidad del

algoritmo de Grover es aproximadamente el cuadrado de la velocidad del

mejor algoritmo clsico de bsqueda en un universo grande de elementos sin

ordenar.

Lo que se plantea en esta tesis es recoger el conocimiento y fundamento

fsico-matemtico del algoritmo de Grover, a fin de poder simular suimplementacin en un entorno clsico, analizar su eficiencia aplicada a un


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caso en particular y compararla con un algoritmo de bsqueda clsico

aplicado al mismo caso.

El caso que se ha decidido tomar como base para la aplicacin (y posterior

comparacin) de ambos algoritmos, es la seleccin de individuos ptimos en

la poblacin inicial de un algoritmo gentico.

Los algoritmos genticos son una clase de algoritmo de la rama de la

computacin evolutiva, los cuales a travs de la simulacin de ciertos

fenmenos de la naturaleza, buscan dar como respuesta final la solucin

ptima (o la ms cercana a la ptima) de un problema. Los problemas que se

tratan de resolver con los algoritmos genticos, son en la mayora de casos

aquellos que son conocidos como problemas NP. Estos problemas se

caracterizan por no tener una solucin exacta, o, en todo caso, porque el

clculo de la solucin exacta requiere un cmputo exhaustivo, el cual tomara

una cantidad excesiva de tiempo en finalizar (desde das hasta incluso miles

de aos).

Una de las fases caractersticas de un algoritmo gentico es la seleccin de

los mejores individuos de su poblacin. Para resumir, un algoritmo gentico

cuenta con un conjunto de posibles soluciones al problema que busca

resolver, este conjunto se conoce como su poblacin, y cada posible

solucin se conoce como individuo. El algoritmo gentico generalmente se

apoya en otros algoritmos de bsqueda y optimizacin para seleccionar los

mejores individuos de un universo y formar una poblacin inicial, la cual ir

mejorando progresivamente y, por tanto, ir acercndose a la mejor solucin.

Uno de los mejores algoritmos clsicos que se usan hoy en da para esta

labor es el que se conoce como algoritmo GRASP (Greedy RandomizedAdaptive Search Procedure o Procedimiento de Bsqueda Adaptativa

Aleatoria y Golosa).

Tanto el algoritmo cuntico de Grover como el algoritmo GRASP sern

aplicados a la seleccin de la poblacin inicial de un algoritmo gentico

genrico. No se definir una aplicacin particular al algoritmo gentico, pues

no es parte del objetivo de la presente tesis.

Se usarn los conceptos fundamentales de los algoritmos genticos demanera genrica a fin de que los resultados obtenidos de la comparacin


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3

entre el algoritmo de Grover y el algoritmo GRASP sean vlidos en cualquier

aplicacin concreta del algoritmo gentico.

Por ltimo, esta tesis busca fomentar el deseo de investigacin en la rama de

la computacin cuntica, dentro del pas, demostrando que existe un campo

muy amplio para la aplicacin de los algoritmos cunticos en la resolucin

ms eficiente de problemas ya presentes hoy en da.


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4

1. Captulo I: Generalidades

1.1 Definicin del Problema

En este apartado, primero se presentar el campo de la computacin

cuntica, posteriormente se explicar brevemente qu es un algoritmo

gentico y cul es la fase que se plantea optimizar.

La computacin cuntica es un campo emergente y nuevo en las Ciencias de

la Computacin, el cual hace uso directo de los principios fsicos y

matemticos que rigen la mecnica cuntica para poder lograr procesamiento

de la informacin con mucha mayor eficiencia que la computacin clsica.


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5

La programacin cuntica difiere de la clsica pues usa conceptos inherentes

a la matemtica y fsica de la mecnica cuntica, tales como amplitudes de

probabilidad y superposicin de elementos [1]. Cada uno de estos conceptos

est fuertemente relacionado con la computacin cuntica, desde sus

elementos tangibles como las computadoras cunticas hasta sus elementos

intangibles como los algoritmos cunticos.

El tratamiento de los elementos probabilsticos propios de la mecnica

cuntica est siempre presente en el manejo de algoritmos y programacin

cuntica. Puede tomarse por ejemplo, que en todo momento al trabajar con

qubits (equivalente cuntico de los bits), hay una probabilidad que determina

el estado en el cual se encuentren (si en cero, en uno, o en superposicin).

Otro elemento propio de la computacin cuntica es precisamente la

superposicin de estados (un qubit puede estar en 0 y 1 a la vez) lo cual crea

un paralelismo completamente distinto del manejado por la programacin

clsica [2].

Un algoritmo gentico es un tipo de algoritmo de la familia de la computacin

evolutiva. Su lgica y funcionamiento estn inspirados en la teora de la

seleccin natural, herencia y la evolucin. Los algoritmos genticos son

ampliamente usados en problemas de optimizacin y para buscar soluciones

aproximadas a los problemas del tipo NP, los cuales no cuentan con una

solucin exacta, o, si en caso la tengan, resulta computacionalmente

exhaustivo encontrarla, pues el tiempo necesario est en el orden de hasta

cientos, miles o millones de aos, de acuerdo a la magnitud del problema.

Un elemento propio de los algoritmos genticos es su poblacin de individuos.

En el contexto de un algoritmo gentico, los individuos que conforman supoblacin son posibles soluciones al problema planteado y en las

consiguientes iteraciones se simular una progresiva evolucin de esta

poblacin: los individuos malos (soluciones no-ptimas) son eliminados y los

individuos buenos (soluciones cercanas a las ptimas) generan nuevos

individuos los cuales heredan lo mejor de sus padres, es decir, se vuelven

mejores candidatos de la solucin general.


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Una de las fases cruciales del algoritmo gentico es la seleccin de la

poblacin inicial, es decir, la seleccin de los individuos buenos

discriminando los individuos malos de todo el universo de candidatos. Este

proceso es crtico pues los algoritmos genticos no trabajan directamente con

todo el universo de posibles soluciones, sino que necesitan un subconjunto d

dicho universo, el cual permita que la labor sea menos exhaustiva. Los

algoritmos genticos utilizan en la mayora de casos un algoritmo adicional

para realizar esta seleccin. Uno de los algoritmos que se usan por

excelencia en este tipo de casos, es el algoritmo GRASP, un algoritmo meta-

heurstico.

Sin bien el algoritmo GRASP resulta efectivo al seleccionar una poblacin

inicial de individuos buenos, para que funcione correctamente se requiere

una gran cantidad de iteraciones del mismo. Adems, para que el algoritmo

gentico funcione mejor, lo recomendado es trabajar con grandes

poblaciones. Siendo este el caso nos encontramos con una gran cantidad de

bsquedas en un gran universo de elementos. Esto se traduce en un gran

tiempo computacional, que si bien no demora aos, ni siglos, puede tomar

largas horas y das. Es precisamente esta fase de seleccin la cual se plantea

optimizar a fin de poder conseguir mejores resultados con una mayor

eficiencia. Usando los nuevos conceptos emergentes de computacin

cuntica y algoritmos cunticos ya descritos lneas arriba, se plantear el uso

del algoritmo cuntico de Grover para la seleccin de los mejores individuos

de un universo, los cuales conformarn la poblacin inicial de un algoritmo

gentico genrico. Posteriormente, se compararn estos resultados con los

que se hubieran obtenido si se usara el algoritmo GRASP.

1.2 Marco Conceptual del Problema

Se explicarn las nociones bsicas de la computacin cuntica, enfatizando

en aquellas caractersticas que permitan comprender el funcionamiento del

algoritmo de Grover. Adems se explicar el funcionamiento del algoritmo

gentico y el algoritmo GRASP.


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7

La Computacin Cuntica

La computacin cuntica es una nueva rama tecnolgica y cientfica que

aparece como una poderosa alternativa para realizar procesamiento masivo

de datos en menor tiempo de lo que se consigue con las computadoras que

se usan en la actualidad. El comportamiento de una computadora cuntica

est gobernado por las leyes de la mecnica cuntica [1]

En general, se usa la frase computacin cuntica para describir procesos

computacionales cuya eficiencia depende de las propiedades de la mecnica

cuntica en el manejo de la informacin. [8]

Cmo aparece la computacin cuntica?

La ley de Moore establece que el nmero de transistores presentes en un

microprocesador va duplicndose cada 18 meses. Esto presupone que entre

los aos 2020 y 2030, los circuitos de procesamiento habrn llegado a una

escala atmica. Es aqu donde se plantea la aparicin de computadoras

cunticas, las cuales usarn el potencial de tomos y molculas para realizar

tareas de memoria y procesamiento [7].

Por qu la computacin cuntica es un tema relevante?

Los mecanismos de procesamiento de informacin que se usan en la

computacin cuntica son notablemente ms eficientes que los usados en la

computacin clsica. La capacidad de procesamiento de una computadora

cuntica resulta ser exponencialmente mayor que la de una computadora

clsica. Como se ver ms adelante, el fenmeno de superposicin en lamecnica cuntica permite que las unidades de informacin de la

computacin cuntica (qubits) aumenten exponencialmente la capacidad

presente en las unidades de informacin actuales (bits).

Se puede considerar el siguiente ejemplo: la tarea de factorizar un nmero de

5000 dgitos es una tarea computacionalmente exhaustiva, irrealizable para

una computadora clsica. Usando el mejor algoritmo clsico con el que se

cuenta hasta la fecha, el tiempo de ejecucin estimado es de 5 trillones de

aos. Este tiempo de ejecucin sobrepasa incluso la edad del universo. Sin


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8

embargo, si la misma tarea fuera realizada por el algoritmo cuntico de Shor,

una computadora cuntica se demorara tan solo dos minutos.

El ahorro exponencial de recursos provisto por la computacin cuntica lo

hace un tema sumamente atractivo en la comunidad cientfica mundial y est

siendo investigado activamente por entidades tales como el Massachussets

Institute of Technology (MIT) o IBM Research entre muchas otras.[1]

Conceptos bsicos de Computacin Cuntica

Como ya se mencion antes, la computacin cuntica tiene principios

basados en las leyes de la mecnica cuntica. Algunos conceptos

importantes son:

1. Las probabilidades:

En la computacin cuntica las probabilidades de un hecho deben ser

siempre consideradas, aun si el hecho en cuestin nunca sucede [1].

Tanto una computadora cuntica como un algoritmo cuntico son sistemas

probabilsticos, esto quiere decir que por su propia naturaleza nunca se puede

saber con seguridad cul es el estado del sistema. Sin embargo s se puede

saber la distribucin de probabilidad de dichos estados. Los clculos que se

realizan en la computacin cuntica son probabilsticos. Es por ello que, al

igual que en la mecnica cuntica, nunca puede darse una respuesta cien por

ciento segura, sino una respuesta probabilsticamente aceptable.

El trmino asociado a la probabilidad en la mecnica cuntica (y por tanto en

la computacin cuntica) se denomina amplitud y puede incluir trminos

negativos e incluso imaginarios. [1]

2. La superposicin cuntica:

La mnima unidad de informacin en la computacin clsica es el bit. Un bit

tiene dos estados, puede estar en 0 (apagado) o 1 (prendido), siempre estar

nicamente en uno de estos dos estados.

Por su parte, la computacin cuntica tiene como mnima unidad de

informacin al qubit. Un qubit tambin puede existir en alguno de los dos

estados de la computacin clsica: 0 y 1, sin embargo, tambin puede existiren una superposicin de ambos. [3]


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Esto puede explicarse de la siguiente forma:

Un bit tiene dos estados posibles asociados. Si el bit est prendido, la

probabilidad de que est prendido es evidentemente uno, y la probabilidad de

que est apagado es cero. Notamos que las probabilidades son absolutas.

Un qubit tambin tiene dos estados posibles asociados. Sin embargo, un

qubit tiene una probabilidad de estar prendido y otra probabilidad de estar

apagado. Estas probabilidades como se mencion anteriormente, en la

computacin cuntica estn asociadas a elementos denominados amplitudes

y son trminos imaginarios.

As como un qubit puede existir en superposicin de estados. El mismo

principio es aplicable a registros enteros de qubits. Si se tiene un registro de

n qubits, el principio de superposicin de la mecnica cuntica dice que se

podran tener hasta 2nestados a la vez. Dicho de otra forma, un registro de

n qubits es equivalente a 2n registros de n bits. En conclusin, un qubit

tiene una capacidad de procesamiento exponencialmente mayor a la de un bit

convencional gracias al principio de superposicin.

3. Sistemas cunticos:

Al considerar un sistema cuntico de dos qubits donde existen 4 posibles

estados superpuestos a la vez., la notacin cuntica es la siguiente: [1]

Esto quiere decir que el estado del sistema est determinado por la

superposicin de todos los estados posibles. Dos qubits determinan que los

cuatro posibles estados del sistema son: (00), (01), (10) y (11). Cada uno de

estos posibles estados tiene asociada una amplitud i, cuyo valor elevado al

cuadrado determina la probabilidad de que el sistema colapse a dicho estado.

Adems, la suma de las probabilidades de todos los casos posibles en un

sistema debe ser siempre uno. En el sistema cuntico mostrado, la


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probabilidad efectiva de cada caso est dada por el cuadrado del mdulo de

la amplitud asociada. Entonces la suma de los cuadrados del mdulo de cada

amplitud, es uno.

Qu es el algoritmo de Grover?

El algoritmo de Grover es, como su creador, Lov Grover, lo defini: Un

algoritmo mecnico cuntico rpido para bsqueda en base de datos (A fast

quantum mechanical algorithm for database search) [11].

El algoritmo de Grover realiza bsquedas de elementos dentro de un universo

sin ordenar, con una velocidad pasmosa que supera de manera cuadrtica la

velocidad de un algoritmo clsico.

Clsicamente, si se tiene un universo con elementos sin ordenar, la opcin

ms segura que queda es revisar secuencialmente cada uno de los

elementos (podra ser en orden aleatorio) a fin de poder encontrar el elemento

deseado. Si el universo consta de N elementos, clsicamente, en promedio,

se necesitan N/2 intentos para encontrar el elemento deseado.

Sin embargo, el algoritmo de Grover puede realizar bsquedas en un universo

de elementos desordenados en la raz cuadrada de N iteraciones. Es decir,

si el universo es de 10000 elementos, clsicamente se necesitaran en

promedio 5000 iteraciones, sin embargo, usando el algoritmo de Grover solo

son necesarias 100 iteraciones. Y esta diferencia se hace ms evidente al

hacer N un nmero ms grande.

Cmo funciona un algoritmo gentico?

Un algoritmo gentico, como se mencion lneas arribas, est inspirado en los

fenmenos naturales de seleccin natural, herencia y evolucin. Dependiendodel problema que se est tratando de resolver, primero se establecer un

conjunto inicial de soluciones candidatas (individuos de la poblacin inicial).

Todas las soluciones son correctas, sin embargo, algunas son mejores que

otras, el objetivo es buscar la solucin ptima, es decir, el individuo ms

apto de toda la poblacin.

La funcin de fitness, es un indicador que permite distinguir si una solucin

candidata es mejor que otra. La funcin de fitness asigna a cada individuo un

valor numrico el cual determina cun ptimo es dicho individuo, es decir,cuan buena es la solucin. [18]


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11

El algoritmo gentico simula la seleccin natural, discriminando los individuos

con menor valor de funcin de fitness y promoviendo que los individuos con

alto valor de funcin de fitness, tengan hijos, los cuales hereden lo mejor de

sus padres, es decir, se volvern soluciones mejores.

Los algoritmos genticos no trabajan con el universo entero de posibles

soluciones al problema, pues no es parte de sus caractersticas ser

exhaustivos, ya que tomara una mayor cantidad de tiempo computacional. Es

por ello que una fase muy importante en la ejecucin de un algoritmo

gentico, es seleccionar la poblacin inicial, la cual es un subconjunto del

universo total de soluciones. Es ventajoso que los individuos de la poblacin

inicial tengan un alto grado de bondad segn la funcin de fitness.

El objetivo de la fase de seleccin de la poblacin inicial es eminentemente

una bsqueda: El universo son todos los individuos de la poblacin, (los

cuales no se encuentran ordenados), y lo que se est buscando son los

individuos con mayor valor de funcin de fitness.

Es este proceso de seleccin el cual ser simulado utilizando primero un

algoritmo GRASP y luego el algoritmo cuntico de Grover. No es parte del

objetivo de esta tesis simular el proceso evolutivo de la poblacin inicial

seleccionada.

El algoritmo gentico tambin simula otros procesos propios de la naturaleza,

como la eventual aparicin de mutaciones y la eliminacin de aberraciones,

sin embargo la simulacin de estos procesos no forma parte del objetivo de

esta tesis y, por lo tanto, no sern considerados.

Qu es un algoritmo GRASP?

Es un algoritmo meta-heurstico usado generalmente para hallar un conjuntode soluciones candidatas en problemas de optimizacin combinatoria. El

algoritmo GRASP evita realizar una bsqueda exhaustiva de las

combinaciones de elementos que pueden considerarse solucin, y en lugar

de eso, aplica un criterio voraz a la par de un grado de variabilidad en la

seleccin. Esta variabilidad surge como resultado de seleccionar ciertos

elementos del universo de una forma aleatoria, estos elementos

seleccionados al azar son asignados como parte de una solucin.


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Es esta variabilidad la que relaja la voracidad natural del algoritmo a fin de

evitar las desventajas naturales de un algoritmo voraz heurstico, como la

seleccin de mximo locales en lugar del mximo global.

El algoritmo GRASP es ampliamente utilizado en problemas de tipo NP a fin

de obtener un conjunto de posibles soluciones. La eficacia del algoritmo

GRASP aumenta con la cantidad de iteraciones, sin embargo, a la par, el

tiempo de ejecucin tambin aumenta de manera considerable. Esta es una

de las razones por las cuales el algoritmo cuntico de Grover surge como una

alternativa muy atractiva para superar este inconveniente.

1.3 Estado del Arte

Actualmente existen numerosos estudios sobre computacin y algoritmos

cunticos, la mayor parte de ellos son realizados en Estados Unidos y parte

de Europa, si bien en Latinoamrica, Mxico sobresale como uno de los

pases con la mayor cantidad de investigaciones activas realizadas sobre el

tema.

Los estudios realizados sobre las aplicaciones al algoritmo de Grover son

muy variados y han servido de gran apoyo al desarrollo de la presente tesis.

En particular, hay un estudio de la Universidad Politcnica de Timisoara en

Rumania en el cual se propone el modelo de un algoritmo gentico

eminentemente cuntico. El funcionamiento de este algoritmo sigue estando

inspirado en los procesos de evolucin y seleccin natural, sin embargo con

ciertos cambios que lo permitan amoldarse ms a la lgica y principios de la

mecnica cuntica.

Este algoritmo gentico cuntico tiene como motor de bsqueda al algoritmode Grover, el cual sirve para realizar una veloz y eficiente seleccin de las

mejores soluciones en cada iteracin.

Respecto a los algoritmos genticos y a los algoritmos GRASP, las

investigaciones y estudios que se han realizado son bastante amplios y

diversos. Hay una gran cantidad de aplicaciones prcticas a los algoritmos

genticos, desde optimizacin de rutas hasta planeamiento de carteras de

proyectos de inversin.


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13

Las investigaciones que han sido de gran ayuda para la elaboracin de la

presente tesis son aquellos que tratan de computacin cuntica, algoritmos

cunticos, su formulacin, fundamento e implementacin. Fundamentalmente

aquellas que logran una cierta unin entre los algoritmos clsicos y cunticos

en lo que son conocidos como algoritmo hbridos. Dado que en esta tesis se

plantea la implementacin del algoritmo cuntico de Grover en un entorno

clsico, es de mucha ayuda conocer los resultados de investigaciones ya

realizadas, que han intentado y en muchos casos armonizar dos paradigmas

tan diferentes.

1.3.1 Investigaciones realizadas

Implementing Quantum Genetic Algorithms: a Solution based on Grover

Algorithm

Esta investigacin llevada a cabo en la Universidad Politcnica de Timisoara

en Rumania, plantea que es posible una conjuncin amistosa entre dos

ramas de las ciencias de la computacin altamente prometedoras: la

computacin cuntica y los algoritmos genticos. [5]

Para ello se apoyan en lo que se conoce como Programacin Cuntica

Evolutiva (Quantum Evolutionary Programming QEP), la cual viene a ser

una nueva rama en las ciencias de la computacin que engloba e incluye la

lgica y fundamento de los algoritmos genticos en conjunto con los principios

de la mecnica y computacin cuntica. Lo que la investigacin plantea es

que es posible realizar un algoritmo cuntico gentico (Quantum Genetic

Algorithm- QGA), si bien, tambin es descrita como una tarea ardua, pues en

la actualidad no existe ninguna base, ni idea coherente sobre la cual plantear

uno.

En la computacin clsica, la poblacin de individuos (soluciones candidatas)

que se selecciona inicialmente y la cual ir siendo mejorada

progresivamente a lo largo de las iteraciones, es solo una muestra del

universo total de posibles soluciones al problema. Esto es un prerrequisito

indispensable para todo algoritmo gentico ya que, una de los objetivos de

este algoritmo es evitar realizar clculos exhaustivos, por ejemplo, procesar

todas las posibles soluciones al problema. Esto tomara un tiempo


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14

computacional excesivo y el algoritmo perdera su eficiencia que lo

caracteriza resolviendo problemas.

Sin embargo, esta investigacin plantea que un algoritmo gentico cuntico

debe incluir toda la poblacin para poder encontrar de forma efectiva y exacta

la mejor solucin de todas. En este caso, no existe el problema del excesivo

tiempo computacional requerido para seleccionar las mejores soluciones de

toda la poblacin, ya que la eficiencia del algoritmo de Grover logra que

incluso para grandes cantidades de individuos, el ahorro de tiempo

computacional sea notable. Esta diferencia en cuanto al tamao de la

poblacin inicial es una de las diferencias que presenta el algoritmo gentico

cuntico frente a su homlogo clsico [5]

Los objetivos principales de la investigacin fueron:

Plantear un modelo cuntico del algoritmo gentico clsico. [5]

Evaluar la reduccin del algoritmo gentico cuntico a una bsqueda

cuntica con el algoritmo cuntico de Grover. [5]

En el paper se describen principalmente:

Las fases de un algoritmo cuntico gentico cuntico en contraste al

algoritmo gentico clsico.

Pseudocdigo del algoritmo gentico cuntico.

Modelo matemtico del algoritmo gentico cuntico

Formulacin de la funcin orculo que se usar en el algoritmo

cuntico de Grover, el cual forma parte del algoritmo gentico

cuntico.

Finalmente las conclusiones de la investigacin fueron las siguientes:

Es posible reducir cualquier problema que se trate de resolver con el

algoritmo gentico clsico, a una bsqueda cuntica del individuo con

mayor funcin de fitness. Sin destruir la correlacin entre los valores

de fitness individuales [5]


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15

El algoritmo de Grover resulta especialmente efectivo al resolver los

problemas a los cuales est dirigido el algoritmo gentico cuntico. Es

un buen ejemplo de una aplicacin efectiva de bsqueda usando

principios de computacin cuntica [5]

El mtodo cientfico usado por el equipo de la Universidad Politcnica de

Timisoara fue deductivo. En base al conocimiento general sobre el algoritmo

gentico clsico, se plante un nuevo modelo inspirado en el mismo, el cual,

sin embargo, tom principios de la computacin cuntica, a fin de lograr una

mayor eficiencia y mejores resultados a los problemas que se buscaban

solucionar con la aplicacin de los algoritmos genticos clsicos.

Hybrid Quantum-Classical Computing with Applications to Computer

Graphics

Otra investigacin que utiliz los conceptos de computacin cuntica y

computacin clsica de forma conjunta fue la que realizaron Marco

Lanzagorta y Jeffrey K. Uhmann en el Departamento de Ciencias de la

Computacin de la Universidad de Missouri-Columbia.

Esta investigacin plante que un algoritmo clsico poda ser aumentado

para explotar los beneficios de la computacin cuntica.

Particularmente se utiliz el algoritmo cuntico de Grover para incrementar la

funcionalidad de un algoritmo de bsqueda lineal, y luego se describieron las

consideraciones necesarias para aplicar el algoritmo hbrido resultante en

geometra computacional y grficos en computacin. [6]

En esta investigacin no se us un lenguaje de programacin en particular, el

anlisis de los algoritmos fue realizado a nivel abstracto sin llegar a suimplementacin explcita. El paper publicado con los resultados de la

investigacin, se llam Hybrid Quantum-Classical Computing with

Applications to Computer Graphics (Computacin Hbrida Cuntica-Clsica

con Aplicaciones para Grficos de Computadora)[6]

La investigacin de Lanzagorta y Uhmann es relevante en esta tesis pues se

hace uso del algoritmo de Grover para potenciar un algoritmo de bsqueda

clsico, es decir, se hace uso del algoritmo de Grover aplicado a un entornoclsico. Esto es precisamente, ser un aspecto fundamental en la


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16

implementacin del algoritmo de Grover durante la fase de experimentacin

de esta tesis.

El mtodo cientfico utilizado por Lanzagorta y Uhmann fue deductivo. A partir

del conocimiento sobre computacin cuntica y clsica, particularizaron

algoritmos hbridos que contuvieran ciertas caractersticas particulares de

ambas.

Designing and Implementing Small Quantum Circuits and Algorithms

Este estudio realizado por Ben Travaglione del Laboratorio de Computadoras

del Centro para la Computacin Cuntica en la Universidad de Cambridge en

el Reino Unido provee conocimiento necesario para la formulacin de

sencillos algoritmos en pequeas computadoras cunticas que no necesiten

de ms que algunos pocos qubits. [4]

Travaglione public un paper donde expona los resultados del estudio que

realiz, el paper se llam Designing and Implementing Small Quantum

Circuits and Algorithms (Diseando e Implementando Pequeos Circuitos y

Algoritmos Cunticos). [4]

En la investigacin, se plantearon y definieron algunas estructuras de datos

matemticas que permitan guardar la informacin de un sistema cuntica y

cada uno de sus elementos. Los algoritmos que se plantean son realizados

bajo la transicin de los estados de qubits a travs de compuertas lgicas y

operaciones simples basadas directamente sobre las leyes de la mecnica

cuntica. [4]

El mtodo cientfico usado por Travaglione fue deductivo. Concentr parte delconocimiento general de las leyes de la mecnica cuntica y tom

formulaciones matemticas ya existentes para determinar que transiciones

seran las ms adecuadas para plantear un algoritmo sencillo.

En base a la informacin de las tres investigaciones presentadas, se elabor

el siguiente cuadro comparativo donde se resumen las caractersticas

principales de cada uno de los estudios.


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Implementing

Quantum Genetic

Algorithms: A

Solution based

on Grover

Algorithm

Hybrid Quantum-

Classical

Computing with

Applications to

Computer Graphics

Designing and

Implementing Small

Quantum Circuits

and Algorithms

Mtodo

Cientfico

Deductivo Deductivo Deductivo

Herramientasde

programacin

usadas

Pseudo cdigoPseudo cdigo

Pseudo cdigo

Relacin con

la tesis

Hace uso del

algoritmo

cuntico de

Grover para

formular un

algoritmo

gentico anlogo

a su contraparte

clsica, pero con

caractersticas

eminentemente

cunticas. Demanera similar,

en esta tesis se

usar el

algoritmo de

Grover, pero para

potenciar un

algoritmo

gentico clsico.

Plantea algoritmos

que contienen

caractersticas

tanto de la

computacin

clsica como de la

cuntica.

Precisamente

utiliza el algoritmo

de Grover para

potenciar un

algoritmo clsico.De manera similar,

en esta tesis ser

necesario

implementar el

algoritmo de

Grover en un

entorno clsico.

Presenta principios

bsicos en la

formulacin de

algoritmos

cunticos sencillos.

Este conocimiento

ser til, pues

brindar la

perspectiva

necesaria en la

formulacin del

algoritmo deGrover, as como su

implementacin.


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18

El

conocimiento

generado es

reutilizable?

S S S

Presenta

conceptos de

mecnica

cuntica?

S S S

Hace uso

del algoritmo

de Grover?

S S No

Combina el

entorno

clsico y

cuntico?

No S No

Tabla 1.1: Cuadro Comparativo de las Investigaciones Encontradas

1.4 Descripcin y Sustentacin de la Solucin

La solucin que se plantea para mejorar la eficiencia en la seleccin de

individuos ptimos en la poblacin inicial de un algoritmo gentico, es utilizar

el algoritmo cuntico de Grover y, posteriormente realizar una anlisis

comparativo respecto a un algoritmo clsico que se usa hoy en da para el

mismo propsito: el algoritmo GRASP.

Para el desarrollo de esta investigacin se llevarn a cabo los siguientes

pasos:

Se investigar y recopilar informacin sobre los conceptos fsicos y

matemticos propios de la mecnica cuntica que influyen

directamente en las caractersticas y el comportamiento de una

computadora cuntica. En particular, se investigar sobre el


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19

fundamento fsico y matemtico del algoritmo de Grover a fin de poder

implementarlo en un entorno clsico.

Se plantear una hiptesis que relacione y compare las

implementaciones del algoritmo de Grover y el algoritmo GRASP,

ambas aplicadas a la seleccin de individuos ptimos en la poblacin

inicial del algoritmo gentico.

Se disear un experimento que permita la comparacin objetiva entre

ambas implementaciones de los algoritmos. El diseo de este

experimento incluye la determinacin de los factores que se usarn

para realizar el anlisis comparativo y la definicin de la funcin de

fitness del algoritmo gentico genrico.

Una vez se haya preparado la estructura del experimento a realizar, se

proceder a la implementacin de los algoritmos. Este proceso

presupone la definicin de las estructuras de datos necesarias y, en el

caso del algoritmo de Grover, el modelo matemtico del mismo. Antes

de realizar la implementacin se proceder al diseo en pseudocdigo

de ambos algoritmos. Cuando el diseo de los dos algoritmos hayaterminado, se proceder a la eleccin del lenguaje de programacin, y,

finalmente, se proceder a la implementacin propiamente dicha.

Tras culminar las implementaciones del algoritmo cuntico de Grover y

del algoritmo GRASP, se proceder a la ejecucin del experimento

diseado. A partir de los resultados obtenidos se realizar la

experimentacin numrica, el anlisis comparativo entre ambas

implementaciones y las conclusiones finales sobre las caractersticasde complejidad, eficacia y eficiencia de dichas implementaciones.

El desarrollo de esta investigacin permitir explicar de forma terica y

prctica, gracias al diseo e implementacin de un algoritmo cuntico en un

entorno clsico, cmo es el funcionamiento y cules son las caractersticas de

un algoritmo cuntico (en este caso el algoritmo de Grover), resaltando las

diferencias entre ste y un algoritmo clsico (en este caso, un algoritmoGRASP).


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20

La comprensin de las leyes que rigen el funcionamiento de un algoritmo

cuntico servir de ayuda didctica a toda persona interesada en una

introduccin al campo de la computacin cuntica.

Finalmente, la aplicacin del algoritmo cuntico de Grover a un algoritmo

gentico genrico, deja la puerta abierta a futuras optimizaciones del propio

algoritmo gentico, o, ms all, tratar de replantear su fundamento, como por

ejemplo est haciendo la nueva rama de la Programacin Cuntica Evolutiva.

Permitir adems ampliar la perspectiva del lector y sugerir el posible diseo

de un modelo hbrido entre la programacin clsica y la programacin

cuntica a fin de resolver problemas que, hoy en da, solo son enfocados

desde el punto de vista clsico.


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2 Captulo II: Aporte de la Investigacin

2.1 Aportes especficos

El presente proyecto de tesis presenta los siguientes aportes especficos:

Recopila y explica de manera resumida y sucinta los conceptos fsicos

y matemticos que rigen el funcionamiento de una computadora

cuntica. Siendo la computacin cuntica una rama de las Ciencias de

la Computacin que se encuentra en pleno desarrollo, esta tesis se

presenta como un primer apoyo para toda persona que se encuentre

interesada en dedicarse a esta rea. Dado que los conceptos de la

mecnica cuntica son altamente complejos y abstractos, resultan dedifcil comprensin para un lector que est comenzando a adentrarse


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2.2.2 Planteamiento de Hiptesis:

Segunda fase del proyecto de tesis. Una vez que se ha recopilado

conocimiento sobre computacin cuntica puede plantearse una hiptesis la

cual ser contrastada despus de realizar la experimentacin y a partir de la

verdad o falsedad de esta hiptesis generar nuevo conocimiento debidamente

sustentando. Consta del siguiente proceso:

Formulacin de la hiptesis:

En este proceso, se propondr una hiptesis o supuesto que responder

de forma parcial la interrogante propuesta. Ser despus en la fase de

conclusin cuando la hiptesis, si es aceptada, responder la interrogante

de forma total.

2.2.3 Experimentacin

Tercera fase del proyecto de tesis. Constituye a la vez la etapa de mayor

duracin y complejidad durante el desarrollo del proyecto. Es en esta etapa

donde se aplicar todo el conocimiento recogido en las dos etapas anteriores

para disear e implementar el algoritmo cuntico de Grover y el algoritmo

GRASP. Consta de los siguientes procesos:

Diseo del proceso Experimental

En este proceso se determinarn las caractersticas del experimento a

realizar que permitir obtener los datos necesarios para llevar a cabo la

experimentacin numrica. Este experimento est relacionado con el

proceso de seleccin de la poblacin inicial del algoritmo gentico.

Adems, se definir el mtodo estadstico adecuado que permita

contrastar los resultados obtenidos del experimento.

Tambin se definir la funcin de fitness del algoritmo gentico genrico al

cual se aplicarn el algoritmo de Grover y el algoritmo GRASP. Por ltimo,

en este proceso tambin se determina qu caractersticas de los


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algoritmos (ya implementados) pueden ser usadas como factores de

comparacin.

Diseo e Implementacin de los Algoritmos

En este proceso se definen las estructuras de datos que se usarn en eldiseo e implementacin de los algoritmos. En el caso del algoritmo

cuntico de Grover se cuenta con un paso adicional: es necesario analizar

su modelo fsico-matemtico.

Luego se realizar el diseo de cada uno de los algoritmos usando

pseudocdigo, en el caso del algoritmo cuntico de Grover, este diseo

debe considerar su inclusin en un entorno clsico. Por ltimo, ambos

diseos sern implementados (codificados) utilizando un mismo lenguaje

de programacin.

Ejecucin de los Experimentos:

En este proceso, una vez que ya se tienen los algoritmos implementados,

se siguen los pasos definidos en el experimento principal. Tras la

ejecucin de este, se recopilarn y almacenarn los resultados exactos,

tal cual fueron obtenidos del experimento. Con estos datos se ejecuta la

experimentacin numrica.

2.2.4 Conclusin

ltima fase del proyecto de tesis. Es la etapa de mayor anlisis deductivo en

base a los resultados obtenidos de la experimentacin. Los resultados son

empleados como datos de entrada del experimento numrico que permitir

contrastar los datos reales con los datos supuestos de la hiptesis inicial.

Adems se realizar el anlisis comparativo de las implementaciones y se

determinarn las conclusiones finales del proyecto de tesis.

Consta de los siguientes procesos:

Anlisis de los resultados obtenidos de la experimentacin numrica:

Este proceso involucra un anlisis completo y exhaustivo de los resultados

que devuelva la experimentacin numrica


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Anlisis comparativo de las Implementaciones:

Este proceso consta de un anlisis basado en las experiencias que hayan

sucedido durante el desarrollo de la investigacin, y los resultados

numricos obtenidos tanto del experimento principal como de la

experimentacin numrica. El anlisis comparativo tiene como objetivo

contrastar las implementaciones de los dos algoritmos.

Redaccin de las conclusiones de la investigacin:

Esto incluye los resultados del anlisis comparativo y la aceptacin o

rechazo de la hiptesis.

2.3 Lista de Resultados Esperados

Durante el progresivo avance del proyecto de tesis se obtendrn una serie de

resultados que en conjunto permitirn cumplir los objetivos propuestos

inicialmente. Cuando el proyecto de tesis haya finalizado, se espera haber

obtenido los siguientes resultados:

A. Definicin de la poblacin inicial del algoritmo gentico.

B. Definicin de la funcin de fitness del algoritmo gentico.

C. Diseo en pseudocdigo de un algoritmo GRASP aplicado a la

seleccin de individuos ptimos en la poblacin del algoritmo gentico.

D. Implementacin del algoritmo GRASP.

E. Modelo Matemtico del algoritmo cuntico de Grover aplicado a la

seleccin de individuos ptimos en la poblacin del algoritmo gentico.

F. Diseo en pseudocdigo del algoritmo cuntico de Grover en un

entorno clsico.

G. Implementacin del algoritmo cuntico de Grover en un entorno

clsico.

H. Definicin de factores de comparacin entre las implementaciones de

los dos algoritmos.

I. Resultados de la Experimentacin Numrica.

J. Conclusiones de la idoneidad del uso del algoritmo cuntico de Grover

en la seleccin de individuos ptimos de la poblacin de un algoritmo

gentico genrico.


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2.4 Planteamiento de hiptesis.

La computacin cuntica presenta una serie de novedosas caractersticas las

cuales la hacen una opcin sumamente atractiva en lo que respecta a

procesamiento de grandes cantidades de informacin y bsqueda de

soluciones a problemas altamente complejos.

Dada la notable eficiencia lograda por el algoritmo de Grover en bsquedas

dentro de un universo con una gran cantidad de elementos, surge la pregunta

Puede aplicarse el algoritmo cuntico de Grover para realizar bsquedas

que a travs de la computacin clsica toman un tiempo considerablemente

alto, el cual puede incluso considerarse absurdo? Puede el algoritmo

cuntico de Grover usarse en problemas clsicos?

Como respuesta para estas dos preguntas, se propone en esta tesis, aplicar

el algoritmo cuntico de Grover para realizar la seleccin de individuos

ptimos en la poblacin inicial de un algoritmo gentico. Este procedimiento,

al formar parte de un algoritmo gentico, tiene de forma inherente un contexto

clsico al cual debe adaptarse el algoritmo de Grover. Surge entonces unanueva duda, el algoritmo cuntico de Grover puede aplicarse de forma

efectiva en un entorno clsico como el de un algoritmo gentico?

Por ello plantearemos la siguiente hiptesis:

Hiptesis 1: Es posible la implementacin del algoritmo cuntico de Grover en

un entorno clsico, de tal forma que pueda aplicarse de forma efectiva en un

algoritmo clsico, como es un Algoritmo Gentico.

Asumimos esta hiptesis por verdadera, dado que existen investigaciones

realizadas anteriormente donde, en efecto, se pudo lograr el diseo de

modelos de programacin hbridos, los cuales usaban lo mejor tanto del

paradigma de programacin clsica, como del paradigma de programacin

cuntica. (Seccin 1.4 - Estado del Arte).


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Dado que la hiptesis 1 es asumida como verdadera, surge la siguiente

pregunta: Si en realidad el algoritmo cuntico de Grover puede aplicarse en

un entorno clsico (en este caso, un algoritmo gentico), Es el algoritmo

cuntico de Grover ms eficiente que los algoritmos clsicos de

bsqueda usados por un algoritmo gentico? A raz de esta pregunta, es

necesario realizar una comparacin, y antes que eso, es necesario elegir el

algoritmo clsico contra el cual se realizara la comparacin.

Se eligi como candidato para la comparacin a un algoritmo GRASP. Esto

debido a que el algoritmo GRASP ha sido durante mucho tiempo (hasta la

fecha) uno de los que han dado resultados ms exitosos en lo que respecta a

su aplicacin en la seleccin de poblacin de un algoritmo gentico.

Por tanto, para poder realizar esta comparacin, es necesario definir las

caractersticas con las cuales sern comparados los dos algoritmos. Los

factores de comparacin generales que se proponen son los siguientes:

La eficaciadel algoritmo cuntico de Grover y del algoritmo de GRASP en la

seleccin de individuos ptimos de la poblacin del algoritmo gentico. La

funcin de fitness que se definir para el algoritmo gentico genrico nos

permitir cuantificar qu individuos seleccionados por los algoritmos son

efectivamente los mejores. Por lo tanto, el algoritmo que seleccione los

mejores individuos tendr el mayor grado de eficacia.

La eficiencia de los algoritmos tambin jugar un papel importante en la

comparacin. Si la eficacia de ambos algoritmos puede llegar a considerarse

equiparable, ser la eficiencia el factor decisivo en la comparacin de ambos.

Para la comparacin de la eficiencia de ambos algoritmos, se considerar la

cantidad de operaciones (clsicas para el algoritmo GRASP y cunticas parael algoritmo de Grover) necesarias para terminar la ejecucin efectiva de cada

uno de ellos. A fin de, evitar detalles innecesarios en cuanto el tiempo de

ejecucin de ambos algoritmos, se plantea la siguiente hiptesis:

Hiptesis 2: El tiempo de ejecucin de una operacin cuntica del algoritmo

de Grover es igual al tiempo de ejecucin de una operacin clsica del

algoritmo GRASP.


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29

Esta hiptesis es necesaria aceptarla como verdadera, debido a la carencia

de una computadora cuntica sobre la cual ejecutar el algoritmo de Grover.

La complejidad de la implementacin de los algoritmos, es decir, cun difcil

resulta ser la realizacin del proceso. Cada uno de los algoritmos tiene tras de

s una serie de fundamentos inherentes los cuales pueden hacer ms o

menos difcil su diseo e implementacin. De forma aparente, un algoritmo

GRASP es menos complejo de integrar en un algoritmo gentico, dada la

cantidad de veces que esta integracin ha resultado exitosa en numerosos

estudios y casos de aplicacin. De forma contraria, la integracin del

algoritmo de Grover y un algoritmo de Grover es compleja dado el escaso

estudio al respecto y la nulidad de casos prcticos del tema. Sin embargo, se

cuantificar la complejidad tanto del algoritmo GRASP como del algoritmo

cuntico de Grover, a fin de poder considerar este factor dentro del proceso

de comparacin. Esta cuantificacin estar basada fundamentalmente en la

experiencia de la implementacin que se seguir en esta tesis

Entonces cada uno de los tres criterios mencionados tendrn asociados un

factor por cada uno de los algoritmos, estos factores permitirn hacer la

comparacin entre los dos algoritmos a utilizar. Es decir, se definen:

Reficacia: Factor de eficacia de la aplicacin del algoritmo GRASP.

Reficiencia: Factor de eficiencia de la aplicacin del algoritmo GRASP.

Rcomplejidad: Factor de complejidad de la implementacin del algoritmo

GRASP.

Geficacia: Factor de eficacia de la aplicacin del algoritmo cuntico de Grover.

Geficiencia: Factor de eficiencia de la aplicacin del algoritmo cuntico de

Grover.

Gcomplejidad: Factor de complejidad de la implementacin del algoritmo

cuntico de Grover.


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Y se definen adems dos factores que representan en conjunto el grado de

bondad de cada una de las implementaciones de los algoritmos:

RB: Factor de bondad de la implementacin del algoritmo GRASP.

RB=Reficacia+ Reficiencia- Rcomplejidad

GB: Factor de bondad de la implementacin del algoritmo cuntico de Grover.

GB =Geficacia+ Geficiencia- Gcomplejidad

Por tanto, estos sern los factores que indicarn si un algoritmo (y por

extensin, su implementacin) es mejor que otra. Lo cual lleva al

planteamiento de la siguiente hiptesis:

Hiptesis 3: El grado de bondad de la aplicacin del algoritmo cuntico de

Grover es igual al grado de bondad de la aplicacin del algoritmo GRASP,

ambos aplicados a la seleccin de individuos ptimos de la poblacin inicial

de un algoritmo gentico.

RB = GB

Del planteamiento de esta hiptesis podra surgir la duda: Por qu asumir

que ambos algoritmos tendrn un igual grado de bondad? Esto tiene su

razn en que, a este punto, an no se han llevado a cabo las

implementaciones de los algoritmos, y tampoco se han aplicado ambos a la

seleccin de individuos de la poblacin de un algoritmo gentico. No se puede

asegurar, por tanto, precipitadamente que un algoritmo ser necesariamente

mejor que el otro. Por ello resulta ms sensato determinar que inicialmente

ambas implementaciones tienen igual grado de bondad, y, tras realizar la

experimentacin numrica, si esta hiptesis llega a ser descartada, se sabr


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en efecto que una es mejor que otra, lo cual llevar a la formulacin de una

nueva hiptesis. Sin embargo es necesario recordar que podr plantearse esa

nueva hiptesis si y solo si en el caso la Hiptesis 3 es rechazada.

Las tres hiptesis planteadas en esta seccin sern asumidas por ciertas

hasta la fase de Conclusin. En esta fase, los resultados de la

experimentacin numrica permitirn corroborar la verdad de estas hiptesis

o la falsedad de las mismas.


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seleccin. La eficacia dada por el valor de la funcin de fitness de los

individuos seleccionados, y, la eficiencia hallada a partir de la cantidad de

operaciones que se necesitaron.

Posteriormente, se realizar la experimentacin numrica. Se usar una

prueba estadstica T-Student para contrastar los resultados numricos de las

ejecuciones del experimento, primero usando el algoritmo de Grover y luego

el algoritmo GRASP. El objetivo de la experimentacin numrica es

determinar qu algoritmo es el mejor de ambos. La experimentacin numrica

cuenta con dos fases:

En la primera fase, se plantea como hiptesis que el valor de bondad

de los individuos seleccionados por ambos algoritmos es el mismo. Es

decir que ningn algoritmo es mejor. Si se logra rechazar esta

hiptesis, se procede con la fase 2. Si no se logra rechazar la

hiptesis, se debe concluir que ningn algoritmo es mejor que el otro.

Se llega a la segunda fase de la experimentacin numrica, si es que

en la fase 1 se garantiz que efectivamente un algoritmo es mejor que

el otro. En este caso, se compararn las medias de los grados de

bondad obtenidos por cada algoritmo a fin de determinar cul es el

mejor.

A continuacin se detallar la estructura de cada uno de estos experimentos:

3.1.1 Seleccin de Individuos ptimos (Experimento-1)

Este ser el experimento principal de la investigacin. Este experimento ser

aplicado a la fase de seleccin de la poblacin inicial del algoritmo gentico.


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Seleccin de la poblacin inicial

Todo algoritmo gentico cuenta con una poblacin, es decir un conjunto de

individuos, siendo cada uno de estos una solucin potencial al problema que

se busca resolver.

Todo problema que busca resolver un algoritmo gentico tiene un universo

general de soluciones, las cuales son generalmente combinaciones de una

serie de elementos dados. La evaluacin de cada una de las posibles

combinaciones es una tarea excesiva que ocupara una cantidad de tiempo

irracional en la mayora de casos. Es por eso que los algoritmos genticos

cuentan con una poblacin inicial, es decir, un subconjunto del universo desoluciones, de preferencia, un subconjunto que incluya las mejores soluciones

candidatas. De ah la importancia en la fase de seleccin de la poblacin

inicial de un algoritmo gentico.

Esta fase de seleccin resulta ser un excelente caso en el cual aplicar el

algoritmo cuntico de Grover y el algoritmo GRASP, es por ello que el

experimento principal fue diseado con el objetivo de seleccionar la poblacin

inicial a partir del universo total de soluciones candidatas.

Ahora es necesario definir cada individuo para poder definir, eventualmente,

el universo total de soluciones candidatas.

Cada individuo del universo contiene lo que se conoce como un cromosoma,

y un cromosoma viene a ser un conjunto de genes. A su vez, cada gen

contiene parte de la informacin del individuo, informacin vital para

determinar si el individuo es en realidad una posible solucin al problema y si

es as, para determinar cun buena es su solucin. [13]

Para facilitar la formulacin del algoritmo gentico, se tratar de hacer de esta

tarea lo ms genrica posible.

Se define que un individuo cuenta con un cromosoma que incluye N genes y

tiene la siguiente estructura:

Gen1 Gen2 Gen3 Gen4 Gen5 Gen6 .., Gen N


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Ahora toca decidir la estructura que tendr cada gen. La estructura inicial

propuesta por John Holland (conocido como el padre de los algoritmos

genticos) estaba dada por cadenas de bits [14]. Se usar una representacin

anloga, cada gen ser un bit, el cual podr tener el valor cero o uno. El valor

cero indica que el gen se encuentra apagado, es decir, no proporciona

informacin al cromosoma, por el contrario, si el valor es uno, el gen se

encuentra prendido y s contribuye a la informacin total del cromosoma.

Cada gen tambin tendr cierta informacin adicional, inherente a cada uno

de ellos. Se define lo siguiente:

Definicin 1:

Cada uno de los genes de un cromosoma tiene asociado una triada de

tres valores: un factor positivo, un factor negativo y un factor de

ponderacin.

Estos valores sern hallados de forma aleatoria pues no hay forma de

asignarles valores exactos sin el contexto de una aplicacin real. Adems la

naturaleza aleatoria de estos valores permitir obtener resultados ms

objetivos en el experimento. Cabe resaltar que tanto el factor positivo y el

factor negativo sern reales dentro de un rango especfico, mientras que el

factor de ponderacin ser siempre un nmero real entre cero y uno.

Tambin se define lo siguiente:

Definicin 2:

Existe una funcin matemtica F, la cual dado el valor de los genes de

un cromosoma, as como los factores positivos, negativos y de

ponderacin de cada gen, puede calcular el grado de bondad del

cromosoma. Esta funcin ser llamada: funcin de fitness

Adems, el grado de bondad de un cromosoma es un valor numrico exacto

que determina cun bueno es el individuo, es decir cun buena es susolucin.


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Ahora que ya se tienen definida la estructura de los cromosomas y genes, es

necesario resolver una pregunta de suma importancia que ha quedado

pendiente desde el principio: Cul es el problema que se est tratando de

resolver?

Como se ha venido mencionando, no existe un problema real al cual se est

aplicando el algoritmo gentico, de ah que se le agregue el adjetivo genrico.

Por tanto plantearemos el problema como: Cul es el cromosoma que

tiene el mayor grado de bondad?

Sin embargo se colocar una restriccin a todos los candidatos para ser una

solucin real. Si no existiera esta restriccin, sera fcil hallar la mejor

solucin, sera simplemente la suma de todos los genes con mayor factor

positivo. La restriccin que se colocara es: la suma de los factores de

ponderacin de los genes que tengan valor uno, no puede exceder el valor

promedio de factores de ponderacin de los N genes. El promedio de factores

de ponderacin se halla fcilmente, dado que el menor valor posible es que

todos los genes tengan factor de ponderacin igual a cero, y el mayor valor,

que todos los factores de ponderacin sean igual a uno, el valor promedio de

factores de ponderacin es el siguiente:

Valor promedio de factores de ponderacin= (1 x N + 0 x N) / 2 = N/2

En resumen, la restriccin a toda verdadera solucin del problema en

cuestin, es que la suma de todos los factores de ponderacin de los genes

prendidos (con valor en uno), no exceda en valor a la mitad de la cantidad

total de genes.

Como puede verse, el valor de N determina la cantidad de posibles

soluciones y por tanto el tamao del universo a considerar. Precisamente este

valor N es el parmetro que se defini en el experimento principal para

delimitar el tamao del universo sobre el cual trabajarn tanto el algoritmo

GRASP como el algoritmo de Grover.


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3.2.2 Definicin del Algoritmo GRASP

En este apartado se definirn las principales caractersticas del Algoritmo

GRASP que se utilizar para calcular la poblacin inicial del algoritmo

gentico. Tomando en cuenta las definiciones del algoritmo gentico, toca

establecer las estructuras de datos a utilizar en el diseo y posterior

implementacin del algoritmo GRASP.

En lo sucesivo el Algoritmo GRASP ser identificado con las siglas AGR.

El algoritmo GRASP consta de una serie continua de iteraciones, en las

cuales trata de seleccionar una buena solucin al problema. Para no dejarse

llevar por lo que se conoce criterio goloso y elegir equvocamente un

mximo local, el algoritmo GRASP crea una lista restringida de candidatos

usando un factor aleatorio. Es precisamente esta aleatoriedad la que hace del

algoritmo GRASP una alternativa con superior eficacia respecto a una gran

cantidad de algoritmos heursticos.

La cantidad de iteraciones n que se realizarn con el algoritmo GRASP ser

determinada antes de la ejecucin del experimento principal. Se realizar un

proceso de calibracin del algoritmo GRASP, esto supondr la ejecucin del

algoritmo GRASP varias veces, cada una con un diferente valor de n hasta

determinar en promedio, qu valor halla buenos resultados y en un tiempo

aceptable.

El algoritmo GRASP tambin hace uso de un parmetro importante en la

creacin de la lista restringida de candidatos. Este parmetro estsimbolizado por la letra griega y se le conoce como factor de relajacin.

El valor de este parmetro tambin ser hallado con un proceso de

calibracin previo al experimento principal de la investigacin, pero se tendr

en cuenta valores previos utilizados en aplicaciones similares a la presente.

Finalmente, es necesario determinar las estructuras de datos que se

necesitarn para la implementacin del algoritmo GRASP, estas estructuras

de datos podrn tambin ser utilizadas por el Algoritmo Cuntico de Grover.


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Definicin de las Estructuras de Datos

Para el correcto diseo e implementacin del algoritmo GRASP, es necesario

contar con las siguientes estructuras de datos:

a) Una estructura de Datos para representar los Genes. Esta es la

estructura de datos primaria y de ms bajo nivel. La entidad u objeto

Gen deber contar con los siguientes atributos: Nmero de Gen

(nmero entero), Valor (binario) y Grado de Bondad del Gen (un

nmero real).

b) Una estructura de Datos para representar los Cromosomas: Estaentidad representar cada individuo y simboliza una posible solucin.

La entidad u objeto Cromosoma deber contar con los siguientes

atributos: Una lista de Genes y el Grado de Bondad del Individuo (un

nmero real).

c) Una estructura de Datos para los datos de la triada de cada Gen: Esta

entidad tendr los valores de los factores de la triada para cada Gen.

Esta estructura ser constante por cada ejecucin completa del

algoritmo GRASP y ser generada cada vez que se forme un nuevo

universo de soluciones. Esta estructura de datos, ser una lista de N

(nmero de genes) objetos Triada. Cada objeto Triada tendr los

atributos: Factor positivo, Factor Negativo y Factor de Ponderacin,

siendo todos, valores reales.

Estos son los factores necesarios para la futura formulacin del diseo en

pseudocdigo del algoritmo GRASP.

3.2.3 Definicin del Algoritmo Cuntico de Grover

En este apartado se definirn las principales caractersticas del Algoritmo

Cuntico de Grover, el segundo algoritmo candidato a utilizar para la

seleccin del a poblacin inicial del algoritmo gentico. A partir de las

definiciones del algoritmo gentico establecidas en el apartado anterior, se

definir el modelo matemtico del algoritmo cuntico de Grover y las


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43

estructuras de datos necesarias para su diseo e implementacin en un

entorno clsico.

En lo sucesivo el Algoritmo Cuntico de Grover ser identificado con las

siglas ACG.

El ACG tiene un fundamento completamente diferente al del Algoritmo

GRASP. En esta seccin se comprender los aspectos ms importantes que

se usarn en su diseo e implementacin.

Tanto en el AGR como en el ACG se parte de un universo total de posibles

soluciones. El objetivo es encontrar la mejor solucin, es decir realizar una

bsqueda en todo ese universo hasta encontrar un nico resultado. Para

llevar a cabo esto, el algoritmo de Grover usa lo que se conoce como el

orculo.

Por el momento, lo ms adecuado es considerar al orculo como una caja

negra, que de una forma u otra, es capaz de identificar la solucin ptima al

problema [15].

Se defini antes que se tendr una cantidad de N genes en el cromosoma de

cada individuo, y que cada uno de esos genes poda tomar el valor de cero o

uno, y, por ello, el universo total de posibles soluciones era de 2N elementos.

Utilizando algunos conceptos claves de computacin cuntica se puede

definir lo siguiente:

Definicin 4:

Si se tiene un universo de 2Nelementos, es posible formular un sistema

cuntico que lo represente. Este sistema cuenta con una superposicin

de N estados, cada uno de los cuales es un qubit.

Adems es necesario definir formalmente como se considerar un qubit. Se

tomar la definicin ms general, encontrada en el libro de Nielsen y Chuang

[15]


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Definicin 5:

Un qubit es un estado cuntico que puede tomar el valor de cero o uno.

Usando la notacin de Dirac, un qubit puede estar en el estado |0> en

el estado |1>.

Entonces, si por ejemplo, N tuviera el valor de 2, se tendran 4 elementos,

representados de la siguiente forma:

|n0> = |0>|0>

|n1> = |0>|1>

|n2> = |1>|0>

|n3> = |1>|1>

Una representacin bastante similar a la que se hara con conceptos de

computacin clsica, la nica diferencia est en la concepcin de qubits como

estados, en vez de bits convencionales.

Usando las definiciones anteriores, ahora es posible describir mejor la

naturaleza del orculo:

Definicin 6:

Cada estado |ni> tiene asociado un orculo Oital que:

Oi|ni> = - |ni>

Oi|nj> = +|nj>, donde i j

Es decir, si se aplica el orculo a su estado correspondiente, el orculo

provoca un cambio de fase en dicho estado. Podemos considerar que este

cambio de fase se manifiesta como un cambio de signo.

Por otra parte, si se aplica el orculo a algn otro estado, el orculo no causa

ningn cambio.


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Con todos los conceptos mencionados anteriormente podemos establecer la

siguiente afirmacin:

Si se quiere buscar el estado |n i> y se conoce su funcin orculo Oi, es

posible encontrarlo aplicando dicho orculo en cada estado del universo total,

dado que solamente el estado |ni> presentar un cambio de fase.

En consecuencia, en el problema de bsqueda de individuos del algoritmo

gentico, si se conoce la funcin orculo del mejor individuo, es posible

determinar cul es el mejor individuo aplicando esa funcin orculo a cada

elemento del Universo.

Entonces, hasta ahora, surgen dos inconvenientes al seguir el camino

cuntico en la bsqueda de individuos, el primero, que es necesario calcular o

definir la funcin orculo del mejor individuo antes de proceder a buscarlo. Y

el segundo inconveniente radica en que no se est logrando ninguna ventaja

en comparacin con el camino clsico: an si se tiene definida la funcin

orculo del mejor individuo, es necesario aplicar dicha funcin orculo a

todos los elementos del universo hasta ver cul de ellos presenta un

cambio de fase.

Es aqu donde aparece el Algoritmo Cuntico de Grover para evitar aplicar la

funcin orculo a cada uno de los elementos del Universo, y, en cambio,

realizar una bsqueda sumamente ms eficiente. Grover plantea una serie de

pasos, a travs de los cuales, el nmero de iteraciones necesarias para hallar

la respuesta, es del orden de N .

Usando los conceptos descritos podemos enunciar el modelo matemtico delalgoritmo Grover en el cual se describen los elementos que usa y la relacin

entre estos:

Modelo Matemtico del Algoritmo de Grover:

Sea M la cantidad de elementos del universo, tal que:

xM x ,2


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Sea N la cantidad de qubits necesarios para representar el universo, donde:

)(log2 MN

Sea | > el estado inicial del universo:

12

0

|2

1|

N

i

iNn

El sistema est en una superposicin con mxima probabilidad: puedecolapsar con igual probabilidad a cualquier estado.

Sea G, el operador de Grover:

kOIG )||2(

Donde I es la matriz identidad y Okla funcin orculo de elemento buscado.

Cada aplicacin de la funcin orculocrea un desfase en el estado |nk>. Por

tanto el estado del universo quedara como:

12

01 |

2

1|

2

12||

N

kii

kNiN

N

k nnO

El nuevo estado del universo est dado entonces por:

|)1||2(|| ' kOG

Reemplazando | 1>:

1' |)1||2(|


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11' |||2|

Dado que el producto interno de es un escalar, sea:

1| C

Entonces:

1' ||2| C

)|2

1|

2

12(|

2

2|

12

0

12

0

'

NN

kii

kNiN

N

i

iNnnn

C

)|2

12(|

2

122|

12

0

'

kN

ki

i

iN

N

nC

nC

N

Como se puede apreciar, la amplitud de todos los estados distintos al

buscado ha disminuido. Por el contrario la amplitud del elemento buscado ha

aumentado.

Conclusin: Sucesivas aplicaciones del operador de Grover hacen que la

amplitud del estado buscado |nk> siga creciendo y que, por tanto, sea el valor

ms probable de obtener al hacer una medicin al sistema.

En cuanto a las estructuras de datos necesarias para la implementacin del

Algoritmo Cuntico de Grover, una estructura indispensable es la que

represente un estado cuntico (qubit). Una alternativa inicial ser usar valores

binarios (cero o uno), dado que es imposible representar superposicin real

en una computadora clsica, se tratar de simular este comportamiento

durante la implementacin del algoritmo.


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Queda pendiente tambin, la formulacin de la funcin orculo del mejor

individuo en el universo completo de soluciones candidatas.

3.3 Diseo de los Algoritmos

En este apartado, se proceder a realizar la formulacin en pseudocdigo del

Algoritmo GRASP y el Algoritmo Cuntico de Grover. En el caso del Algoritmo

Gentico, no es necesario realizar un diseo, dado que los conceptos que se

utilizarn del mismo ya han sido definidos en el apartado anterior.

En el caso del algoritmo GRASP, su diseo ser bastante directo al no existir

mayor complicacin. Sin embargo, en el caso del Algoritmo Cuntico de

Grover, ser necesario presentar primero una formulacin cuntica del

algoritmo, y, luego, analizar la forma correcta de realizar una simulacin

clsica.

3.3.1 Diseo del Algoritmo GRASP

En el caso del Algoritmo GRASP, no existe ninguna consideracin en

particular a la cual atenerse. Es posible realizar la formulacin en

pseudocdigo partiendo de la propia definicin del Algoritmo GRASP y losconceptos establecidos en la definicin del Algoritmo Gentico y del Algoritmo

GRASP de esta tesis.

La formulacin en pseudocdigo sera como sigue:

N: nmero de genes

ListaFactoresBondadxGen: Lista con el valor resultante del siguiente clculo:

(Fpositivo + Fnegativo)*Fponderacin, por cada gen. El tamao de esta listaes N.

Inicio Algoritmo GRASP

1. Inicializa_ListaFactoresBondadGen()

2. PoblacionInicial= Lista_Vacia_Cromosomas()


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3. Para i=0 hasta i=NumTotalDeIteraciones

a. SumaFactorPonderacin=0

b. Inicializa_Nuevo_Cromosoma(cromosoma)

c. Mientras (SumaFactorPonderacion < N/2)

i. Ordenar_ListaFactoresBondadxGen()

ii. IndiceSuperior= N-1

iii. IndiceInferior= 0

iv. IndiceRCL= (Aleatorio() * ( IndiceInferior + Alfa *

(IndiceSuperior IndiceInferior) ) + IndiceInferior

v. ElementoSeleccionado=ListaFactoresBondadGen

[IndiceRCL]

vi. Cromosoma.ActivaGen(ElementoSeleccionado)

vii. SumaFactorPonderacion+=

ElementoSeleccionado.FactorPonderacion

viii. ListaFactoresBondadGen.Remover( IndiceRCL)

d. Fin Mientras

e. Si (SumaFactorPonderacion > N/2)

i. Cromosoma.ApagaGen( IndiceRCL)

f. Fin Si

g. PoblacionInicial.Agregar(Cromosoma)


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4. Fin Para

5. EliminarRepetidos (PoblacionInicial)

Fin Algoritmo GRASP

3.3.2 Diseo del Algoritmo Cuntico de Grover

Ahora toca realizar el diseo del Algoritmo Cuntico de Grover. Esta es quiz

la parte ms compleja de esta investigacin pues comprende la simulacin de

un algoritmo eminentemente cuntico a un entorno clsico, en el cual podr

ser implementado.

Primero se describir el Algoritmo Cuntico de Grover desde la perspectiva

cuntica, y luego se plantear un enfoque clsico aceptable.

Formulacin Cuntica del Algoritmo de Grover

En el apartado de la definicin del Algoritmo Cuntico de Grover se

plantearon algunos conceptos bsicos del funcionamiento de una bsqueda

cuntica estndar. Se propuso representar el universo de soluciones como

una superposicin de distintos qubits. Cada una de estas posibles soluciones

tiene asociada una funcin orculo, y esta funcin orculo solo reacciona con

el estado al cual est asociada, esta reaccin, como se mencion antes, se

manifiesta en un cambio de fase, lo cual se visualiza en un cambio de signo

en el estado de dicha solucin candidata.

Sin embargo, hasta estos momentos, la bsqueda cuntica no representa

ninguna mejora respecto a un algoritmo clsico, dado que de todas formas es

necesario aplicar la funcin orculo del mejor individuo a todos los candidatos

del universo completo. El algoritmo de Grover proporciona una serie de

pasos, para realizar esta bsqueda en una cantidad mucho menor de

iteraciones.

Los pasos del algoritmo de Grover son los siguientes:

Sea |nk> el estado de la solucin con mayor valor de funcin de fitness


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Inicio del Algoritmo de Grover

1. Inicializar un estado base como una superposicin de todas las posibles

soluciones:

12

0

|1

|

N

i

in

N

2. Repetir N veces

a. Se aplica el operador de Grover (G) al estado base:

kOIG )||2(

Donde I es la matriz Identidad y Okes el operador Orculo del estado que

se busca.

3. Realizar una medicin del sistema y se obtendr el estado |nk> buscado.

Fin Algoritmo Grover.

Sin embargo, aqu surge el problema de que no es posible formular la funcin

orculo de la mejor solucin candidata, porque simplemente no se conoce

este valor. Entonces, es necesario buscar una solucin alternativa para hallar

el mejor candidato a solucin ptima, utilizando el algoritmo de Grover.

Gracias a los estudios realizados en [16] y [17], podemos formular un

algoritmo ms completo, que presupone la ejecucin del algoritmo de Grover

una determinada cantidad de veces, lo cual reducir el grado de eficiencia,

pero, sin embargo, garantiza un alto nivel de eficacia.

Inicio Bsqueda Cuntica

1. Elegir de forma aleatoria un ndice m entre 0 y 2

N

-1. Este valor ser unndice tentativo del estado con mayor valor de funcin de fitness.


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2. Repetir N veces

a. Ejecutar el algoritmo de Grover usando la siguiente funcin

orculo

-1, si f(i) > f(m)

Om(i) =

1, caso contrario

b. Reemplazar m con el ndice hallado por el algoritmo cuntico de

Grover en el paso a)

3. El ltimo valor de m tras las iteraciones del algoritmo de Grover es la

mejor solucin.

Fin Bsqueda Cuntica

Resumiendo, el funcionamiento del algoritmo de bsqueda cuntica

propuesto es como sigue: En cada iteracin se buscar usando el algoritmo

de Grover, un candidato a solucin mejor que el candidato anterior (el primer

candidato a solucin se selecciona de forma aleatoria). Finalmente, tras N

ejecuciones del algoritmo, se podr obtener la mejor solucin con una altsima

probabilidad (en mecnica cuntica no existen resultados cien por ciento

certeros, sino con altas probabilidades). Esto puede explicarse de la siguiente

forma:

Inicialmente todos los elementos del universo tienen asociada una misma

probabilidad, sin embargo al aplicar sucesivamente el operador de Grover, los

elementos ms cercanos en valor al elemento buscado adquieren un mayor

valor de probabilidad, y, en consecuencia, los elementos que se encuentran

lejos del valor buscado adquieren un valor de probabilidad menor (como se

dijo, la suma de probabilidades siempre debe mantenerse constante en 1).


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Tras todas las iteraciones, el elemento buscado tiene el valor de probabilidad

ms alto en todo el sistema, de forma que al realizar una medicin cuntica,

este elemento sea muy probablemente el encontrado.

Como no se sabe con exactitud cul es el valor buscado, la funcin orculo

plantea que el valor que se busca es simplemente un valor mayor al de la

conjetura inicial. Una vez que se termina una ejecucin del algoritmo Grover,

el valor que se obtenga al medir el sistema pasa a ser la nueva conjetura y

as sucesivamente.

Con esto quedara terminada la formulacin del Algoritmo Cuntico de

Grover, t

rivera alejo josé enrique algoritmo cuántico grover grasp

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