Treca skolska zadaca - rjesenja za grupu A

8.1.2007.

Zadatak1. Domena: R \ {−1, 1}, vertikalne asimptote x = −1 i x = 1. Nultocka: x0 = 0.

Lokalni minimum: za x1 =√

3 dobije se f(x1) =√

33√

2.

Lokalni maksimum: za x2 = −√

3 dobije se f(x2) = −√

33√

2.

Raste na 〈−∞, x2〉 ∪ 〈x1,∞〉, drugdje pada. Tocke infleksije x3 = −3, x0 = 0 i x4 = 3.

4

2

0

-2

x

-4

840-4-8

Zadatak2. Najprije supstitucija t = x2 a zatim parcijalna integracija daju

−1

2(1 + x2)e−x

2

+ C.

Zadatak3. Rastavimo na parcijalne razlomke:

2 − x

x2(x2 + 1)=

−1

x+

2

x2+

x − 2

x2 + 1.

Integracija clan po clan:

− ln |x| − 2

x+

1

2ln(x2 + 1) − 2 arctg(x) + C

Treca skolska zadaca - rjesenja za grupu B

8.1.2007.

Zadatak1. Domena: R \ {2}, vertikalna asimptota x = 2. Nultocka: x0 = 0.Minimum: za x1 = 6 dobije se f(x1) = 3

3√

2.

Raste na 〈−∞, 2〉 ∪ 〈x1,∞〉, drugdje pada. Tocka infleksije x2 = 12.

y

5

10

0

5

0-5

-5

-10

-10

x

1510

Zadatak2. Najprije supstitucija t = x3 a zatim parcijalna integracija daju

−1

3sin(x3) − 1

3x3 cos(x3) + C.

Zadatak3. Rastavimo na parcijalne razlomke:

2x + 6

x2(x2 + 2)=

1

x+

3

x2− x + 3

x2 + 2.

2

Integracija clan po clan:

ln |x| − 3

x− 1

2ln(x2 + 2) − 3√

2arctg(

x√2) + C

3