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1UNCP REGULAR 2009 - II TEMA 7 / RAZ. MATEMTICO

PLANTEO DE ECUACIONES II -

MVILES - CRONOMETRA

RAZONAMIENTO MATEMTICO - TEMA 7

Cinco hombres y un mononaufragan en una isla desierta,Los hombres pasan todo elprimer da recogiendo cocos. Porla noche uno de ellos despiertay desconfiado, decide separar suparte. Dividi los cocos en 5montones y como sobraba uncoco, se lo dio al mono. Pocodespus el segundo naufragodespierta y hace lo mismo. Aldividir los cocos en cinco

montones volvi a sobrar uncoco y tambin se lo dio almono: Uno tras otro el tercero,cuarto y quinto nufrago hacenlo mismo. Al da siguiente por lamaana, dividieron los cocos encinco montones, sin que sobraraninguno. Cuntos se habanrecolectado inicialmente?

I. ECUACIN DIOFNTICASe llama ecuacin diofntica a cualquier ecuacinalgebraica, generalmente de varias variables, planteadasobre el conjunto de los nmeros enteros o losnmeros naturales , es decir, se trata de ecuacionescuyas soluciones son nmeros enteros.

Ejemplo:

Un ejemplo de ecuacin diofntica es: x + y = 5Esta ecuacin tiene infinitas soluciones en los nmerosreales. Como regla general, sin embargo las ecuaciones

que aparecen en los problemas tienen restricciones quenos ayudan a limitarnos a un pequeo nmero de casose incluso a una nica solucin. Por ejemplo; en nuestraecuacin, si restringimos los posibles valores de x e y alos enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x; y):(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1).

II.ECUACIN DIOFNTICA LINEALLa ecuacin diofntica ax + by = c tiene solucin en los

enteros si y slo si d = mcd (a,b) es un divisor de c. Pararesolver una ecuacin diofntica se utilizan diversos criteriosdesde un simple tanteo hasta criterios de multiplicidad.

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2TEMA 7 / RAZ. MATEMTICO UNCP REGULAR 2009 - II

IDEAS FUERZA

m Al resolver una ecuacin diofntica lo primero que se obtiene es

el menor de los valores de la variable que qued en la ecuacin.

Para las soluciones encontradas tenemos:

III.MULTIPLICIDAD

1. Si N es mltiplo de n

Si N = N nk;k n = o

; no : se lee mltiplo de n

Ejemplo:

Si N=5o

N = 5k = {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....))

Si N = 8o

N = 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}}

2. Si N no es mltiplo de n

d eN n r N n r= + = o o

donde: d er r n+ =

dr : residuo por defecto; er : residuo por exceso

Ejemplo:

20 no es mltiplo de 6 (20 6)o

2061832

206244-4

20 6 2 20 6 4 = + =

o o

Donde: 2 + 4 = 6

Aplicacin: Si N 9 3 N 9 6= + = o o

Si N 12 1 N 12 11= = +o o

IV.PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD1. n n n ... n n+ + + + =

Ejemplo: 8 8 8 8+ + =o o o o

15 15 15 15 15+ + + =o o o o o

2. n n n+ =o o o

Ejemplo: 7 7 7 =o o o

14 14 14 =o o o

3. k n n;k Z= o

Ejemplo: ( )2 7 7=o o

( )0 10 10=o o

V. PRINCIPIO DE ARQUMEDESSea A x B = n

Si A n B n = ; Si B n A n =

Ejemplo: 4x 5=

4 5 x 5 =

m Dado : 3x + 5y = 82, t enemos 2 posibilidades:

Pasarlo todo a 3

o

Pasarlo todo a

o

5 o o3 + 2 y = 3 + 1

o o

3 x + 5 = 5 + 2

IDEAS FUERZA

El ser humano, tan gil al lado del caracol o de la tortuga, noes tan gil cuando sus movimientos son comparados conotros seres que nos rodean, aunque estos no sean muyrpidos. El movimiento de los cuerpos, independientementede las causas que lo originan, es estudiado por la cinemtica,parte de la Mecnica, la cual integra la fsica.Podramos decir, en grosso modo, que mviles el cuerpo opartcula que est en movimiento.Se dice que un cuerpo est en movimiento relativo respetode otro. Pero cuando su posicin relativa al segundo cuerpoest cambiando con el tiempo. Pero, si la posicin relativa nocambia con el tiempo, se dice entonces que el cuerpo esten un reposo relativo.Actualmente se considera que el reposo y el movimientoson conceptos relativos, que dependen de la condicin delcuerpo en relacin con el objeto que sirve como referencia.Por ejemplo, en estos momentos ests tal vez sentado orecostado, leyendo este libro, en un reposo respecto de

nuestro planeta Tierra, pero en movimiento relativo respectodel sol. Cada da, al movilizarnos, viajamos en autobs y cuandoeste pasa frente a un grifo decimos que el bus est en

movimiento relativo respecto del grifo, pero un pasajero enel bus podra afirmar que es el grifo el que est en movimientorelativo respecto del autobs, movindose en sentidoopuesto. Fsicamente hablando, se dice que un mvil esten movimiento cuando su vector posicin respecto a unsistema de ejes determinados. Por el contrario, si el vectorposicin del mvil no cambia con el tiempo, se dice quedicho mvil est en reposo relativo. La trayectoria es la lnea recta o curva que describe el

mvil en movimiento. El desplazamiento (d)

res la variacin entre dos vectores

en posicin, aunque, en trminos ms sencillos,podemos decir, tambin, que es el vector que une elpunto de partida con el punto de llegada.

El mdulo de desplazamiento es denominado distancia. Ahora s i un cuerpo en mov im iento , cambia

constantemente de posicin, entonces se puede llamarvelocidad (v)

ra aquella magnitud vectorial cuyo mdulo

(V) nos indica la rapidez con que se mueve un cuerpode un lugar a otro. Cuando la rapidez es constante, seconsidera el movimiento como uniforme.

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Por ejemplo, si un mvil recorre una trayectoria cualquieracon una rapidez constante de 5 m/s, significa que en cadasegundo de su movimiento recorre 5 m.Es importante tener presente que en el captulo trataremos,principalmente, acerca de problemas que involucran elmovimiento uniforme.

Ilustramos

Un automvil recorre, con rapidez constante del punto Ahacia B, 2m/s.

(Por cada segundorecorre 2 m)

2 m/s

A

Punto inicial

BPunto final

d

8 m

Desplazamiento

Trayectoria

10 m

(Recorrido = 10 m)

Ntese aqu que la trayectoriay el desplazamiento delmvil son diferentes.

CRONOMETRA

m Cuando el movimiento es en lnea recta (es decir, elmovimiento es rectilneo y uniforme), el desplazamiento

y la trayectoria coinciden, lo cual implica que el recorridoy la distancia son iguales.

SUGERENCIAS

I. TIEMPO DE ENCUENTROEjemplo:

Si una distancia de 1800 m separa de dos mviles queen direcciones contrarias van al encuentro uno del otro,en cunto tiempo se encontrarn?

IDEAS FUERZA

encuentroA B

dt

V V=

+ alcance

A B

dt

V V=

Resolucin:

BA d = 1800 m

20 m/s40 m/s

Por cada segundo, los dos mviles se aproximan:40 + 20 = 60 m (VA+VB). Por lo tanto, para que seencuentren deben aproximarse en total 1800 m(e total), lo que significa que el tiempo por emplear ser:

encuentro1800 1800t 30 s

40 20 60= = =

+

II. TIEMPO DE ALCANCEEjemplo:El mvil "A" persigue al mvil "B", separado de l 200 m,con la rapidez indicada en el grfico adjunto. En cuntotiempo lo alcanzar?

Resolucin:

Segn la velocidad por cada segundo transcurrido, elmvil A descontar 60 20 = 40 m; luego, el tiempototal para alcanzarlo ser:

200

5s40 = = = alcance200 200

t 40 60 20

I. PROBLEMAS SOBRE NGULOS QUEFORMAN EL MINUTERO Y EL HORARIO

Anlisis del recorrido delas agujas (horario yminutero).

Veamos cuantos gradossexagesimales recorrenlas agujas cuandotranscurre un tiempo

determinado en minutos(a partir de las 4 enpunto):

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Se observa que son las 4 y algunos minutos ms,entonces: 4: x min

Grafique la posicin de las agujas y el recorrido hecho por elhorario en los siguientes casos:

a) 7:30

b) 9:40 Ahora Tu!

6

9

121

2

3

4

57

8

10

11

m=

H=

Se observa tambin una relacin entre espacios recorridosy las manecillas en un momento determinado.

m Para dominar la relacin de las manecillas debemospracticar con casos reales.

(Ejemplo 1 hora 60')

5DivEH EH 1K EM 60Div EM 12K

= =

II.CLCULO DEL NGULO MEDIANTEFRMULA

a) Cuando el horario adelanta el minutero

1130H m2

=

Ejemplo:

Qu ngulo forman el horario y el minutero a las4:10?

Resolucin:

H = 4

M = 10

1130(40) (10)2

= =

65 =

b) Cuando el minutero adelanta el horario

1130H m2 = +

Ejemplo:Qu ngulo forman las agujas de un reloj, a las 4:40?

Resolucin:

H = 4

M = 40

11 (40) 30(4)2

=

110 =

m Las 12 h se consideran como las 0 horas.

m Se puede reconocer cuando se utiliza la frmula, dado

que de las 3 variantes (a,H y m), 2 son datos y el restante

es la incgnita.

m Es positiva aquella manecilla que esta mas alejada de

la marca de las 12 m en sentido horario ( ).

m Para calcular la hora o el ngulo que forman las manecillas

debemos tomar como punto de partida la hora exactams prxima pero anterior a la hora indicada como dato.

SUGERENCIAS

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1. En 2 habitaciones hay un total de90 focos de los cuales hay un ciertonmero de focos prendidos. Luegose prenden tantos focos como elnmero de focos prendidos excedeal de los apagados, resultando elnmero de focos prendidos el doblede los apagados. Cuntos estabanprendidos inicialmente?

A) 50 B) 55C) 45 D) 60E) 65

Problema 1

Se dispone de S/. 150 para comprar60 artculos de S/. 2, S/. 5 y S/. 9 porunidad, comprndose por los menosuno de cada precio. Cuntos artculosde S/. 2 se compraron?

Resolucin:

Nos piden "x"Del enunciado:

x y z 60 ....(1)

2x 5y 9z 150...(2)

(1)x2:...2x 2y 2z 120Restando:3y 7z 30....(3)

+ + =

+ + =

+ + =

+ =

Aplicamos multiplicidad por 3:

( )3 3 1 z 3;7z 30+ + =