7/29/2019 RMCS_nr.16

1/38

Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEULCARA-SEVERIN

Nr. 16 , An VII-2006

Editura Neutrino

Reia, 2006 2

2006, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9767

Colectivul de redacie:

Bdescu Ovidiu

Dragomir AdrianaDragomir LucianDidraga IacobGdea VasilicaGolopena MariusMoatr LaviniaPistril Ion DumitruStniloiu Nicolae

andru Mariusuoi Paul

2006, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0724224400www.neutrino.roE-mail: editura@neutrino.ro

7/29/2019 RMCS_nr.16

2/38

3

CUPRINS

Gnduri ... pag. 4 Note , articole

Despre introducerea noiunii de ir cu asertivitate

- partea a II-a (Ion Dumitru Pistril ) pag. 5 Matematica i arta (Amalia Popa ) .. pag. 9 Aspecte metodice privind predarea inegalitilor

algebrice(Ovidiu Bdescu)......................................................pag. 11 Etapa judeean a olimpiadei 2006 ................. pag.18Concursul Interjudeean Traian Lalescu, Ediia a XX-a, Lugoj,24-26 martie 2006(Lucian Dragomir).....................................pag. 21Etapa Naional a Olimpiadei de Matematic, Ediia 57, Iai,

15-21 aprilie 2006(Lucian Dragomir).................................... pag.22Concursul Pitagora(Ovidiu Bdescu)...................................pag.23Probleme rezolvate ....pag.26 Concursul revistei ediia a II-a (regulament , probleme

propuse) .......pag.51 Rubrica rezolvitorilor .......pag.68 Membrii Filialei Cara-Severin a Societii de tiine Matematicedin Romnia (cu cotizaia pltit pe 2006).............................pag. 73

4

Gnduri

i cunoti limitele? Cred c sunt plus i minus infinit.

Am o ncrncenat dorin: stiu pe dinafar tot ce coalanu m-a nvat. Lupt s mi se mplineasc mcar un pic.

Nu numai matematica ne nva c distana cea mai scurtdintre dou puncte e poate drumul cel mai bun.

Munca puin d mult amor propriu, n timp ce mult eforttrezete o nemsurat modestie.

Bucuria, durerea nu au unitate de msur; nici prostia. Nicinelepciunea. Nici dragostea, mai ales. Matematica nu e chiar n

toate. i nici nu e bine s fie.

Probabil c un sfrit numai atunci i d mari satisfacii: cnd unnou nceput te ateapt.

Acelai soare ne ofer n fiecare diminea alte raze.

Probabil c trebuie s arzi o via ca s strluceti mcar ctevaclipe.

n clipele n care nu vei avea nimic deasupra capului te poi gndila igle sau la stele . Depinde de tine ce visezi!

S nu te pierzi niciodat, pentru c te poi regsi n tot i naproape toi ce te-nconjoar.

7/29/2019 RMCS_nr.16

3/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

4/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

5/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

6/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

7/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

8/38

15

Astfel, fie fie ,AB a BC b= = . Fie D mijlocul segmentului

AC2

a bAD

+=

2 2

a b a bBD a

+ = =

Se construiete BE AC i se consider triunghiul dreptunghicEC, iar prin E se duce o dreapt perpendicular pe DE. Fie

BF//DE. Fie2

b aEG

= .Evident FB BE ED DG< < < .

Din EC dreptunghic n E rezult, folosind teorema nlimii cEB ab= . Din AEC dreptunghic n E , folosind cED e

median ,avem :2

a bED

+= . Din BEDFBE obinem

2

FB BE FB aba bBE ED ab

= =+

de unde obinem FB. Deoarece nu

impune nimeni situarea punctului G, alegem G convenabil astfel

nct2 2

2

a bGD

+= , i obinem

2

b aEG

= .

Reinerea inegalitii mediilor folosind interpretarea geometriceste totui destul de dificil, i astfel profesorul se vede nevoit sdea alte metode.

16

O prim idee ar fi considerarea a dou numere pozitive, 2 i 8 spre

exemplu i atunci media lor armonic ar fi2 2 16

1 1 5 52 8 8

= =

+

, media

geometric este 2 8 4 = , media aritmetic2 8

52

+= iar cea

ptratic4 64

342

+= de unde se vede imeadiat ordonarea ntre

medii.O alt idee ar fi considerarea cuvntului ar_ g _at care sugereaz

exact ordinea armonic, aritmetic respectiv geometric.Se deduc sau se dau tem inegaliti de tipul:

1) *, ,2 2

a b a ba b R+

+ + ; 2)

2 2*, ,

a ba b a b R

b a ++ +

3) *2, ,a b

a b Rb a +

+ care nu sunt altceva dect aplicri brute ale

inegalitii mediilor. Nu ntotdeauna aplicarea inegalitii mediilor

este aa de direct, aa cum arati exemplul urmtor:Exemplul 1.2.2. Artai c , ,a b c R avem inegalitatea2 2 2a b c ab bc ca+ + + +

Soluie: Folosind inegalitatea dintre media geometrici

media ptratic avem:2 2 2 2 2 2

, ,2 2 2

a b b c c aab bc ca

+ + + , prin

adunare obinem inegalitatea cerut. Avem egalitate cnd

, ,a b b c c a a b c= = = = = Se pune firesc problema generalizrii, i pentru aceasta se face

analogie cu media aritmetic a mai multor numere, i se ajunge ladefiniia mediei armonice, i a celei ptratice pentru mai multenumere. Netiind deocamdat radicalii de ordin superior, evitmmedia geometric. Pentru a cerceta dac este adevrat inegalitateamediilori n cazul a trei numere, facem un tabel asemntor celuide mai sus

7/29/2019 RMCS_nr.16

9/38

17

a b c 31 1 1

a b c

+ +

3

a b c+ +

2 2 2

3

a b c+ +

Dnd diferite exemple ajungem la concluzia c probabil inegalitateamediilor este adevrati n cazul a trei numere, i atunci probabilva fi adevrat n cazul a n numere pozitive. Demonstraia acestuifapt depete nivelul de predare la clas, ns cititorii interesai opot gsi n primul capitol al acestei lucrri.

Ca i aplicaii se pot rezolva exerciii de tipul:

Problema 1.2.2.1. Dac , , ,a b c d R i 1a b c d + + + = ,artai c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + + + + + + + + +

(Etapa local, Buzu, 2001)Problema 1.2.2.2. S se demonstreze inegalitatea:

( ) ( ) ( )( )

5, , ,

3 3 3 6

x y z y z x z x yy z x y z R

+ + ++ + + +

(G.M. 1/ 1992)Bibliografie:[1] Ovidiu Bdescu Metodica predrii inegalitilor algebrice nclasele V-IX, Lucrare de gradul I

18

Etapa judeean a olimpiadei de matematic

11. 03. 2006 , ReiaComisia de concurs

Prof. Boris Vatzulik-Inspectorcolar General Adjunct, PreedinteProf. Drd. Paul uoi-Inspector de specialitate, VicepreedinteProf. Marius andru, responsabil comisie gimnaziuProf. Lucian Dragomir, responsabil comisie liceuProf. Cristian Alin Nicola, secretar

Prof. Anca Goa, comisia de contestaiiProf. Loreta Ciulu, comisia de contestaiiProf. Pavel Ghimboa, comisia de contestaiiProf. Mircea Iucu, comisia de contestaiiclasa a V-a Prof. Vasilica Gdea, responsabilProf. Claudia Buzil, Prof. Dana Schiha, Prof. Dorina Humia, Prof.Mariana Iancuclasa a VI-a Prof. Lavinia Moatr, responsabilProf. Susana Simulescu, Prof. Sebastian Corci, Prof. Marioara

Radosavlevici, Prof. Pavel Rncuclasa a VII-a Prof. Vasile Chi, responsabilProf. Maria Socol, Prof. Camelia Coand , Prof. Carina Corci, Prof.Marian Bdoiclasa a VIII-a Prof. Irina Avramescu, responsabilProf. Mariana Drghici, Prof. Lenua Dicu, Prof. Adriana Mara, Prof.Delia Dragomir, Prof. Maria Mirulescu, Prof. Janet Miua, Prof. CameliaPrvu, Prof. Radu Cocoralclasa a IX-a Prof. Iacob Didraga, responsabil

Prof. Antoanela Buzescu, Prof. Otilia Bejan, Prof. Petrior Neagoe, Prof.Nicolae Stniloiuclasa a X-a Prof. Prof. Ion Dumitru Pistril, responsabilProf. Prof. Diana Hurduzeu, Prof. Marius Golopena, Prof. Mircea Buzilclasa a XI-a Prof. Stana Murg, responsabilProf. Matei Avram, Prof. Ovidiu Bdescu, Prof. George Pascariuclasa a XII-a Prof. Rodica Iatan, responsabilProf. Dana Mihailovici, Prof. Ciprian Clin, Prof. Iosif Gin

7/29/2019 RMCS_nr.16

10/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

11/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

12/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

13/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

14/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

15/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

16/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

17/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

18/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

19/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

20/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

21/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

22/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

23/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

24/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

25/38

49

XII.026 Fie ),,( +A un inel i a, b A cu proprietile:

(i) Exist m, m 2 astfel nct am = am+1;(ii) a + b = 1.

Artai c 1 ab este inversabil.Prof. D.M.Btineu-Giurgiu, Bucureti

Soluie: Urmrii soluia problemei XI.025 .

XII.027 Fie f : o funcie derivabil cu proprietile:a) Exist lim '( )

xx f x

= L;

b) Dac F este o primitiv a lui f , atunci 1)(

lim = x

xFx

Calculai L i )(lim xfx .Prof.Mihai Blun, Gazeta Matematic

Soluie: mai ateptm.

XII.028 Calculai integrala : 2ln

0

)1( dxearctg x .

Prof.D.M. Btineu-Giurgiu, Bucureti

Soluie: 2ln

8

.

XII.029 Calculai integrala: dxe

xx

+

1

1

2

1

Prof.Lucian Tuescu, CraiovaSoluie: Facem, de exemplu, schimbarea de variabil t= i integrala

dat va fi egal cu Jdte

tedt

e

tI

t

t

t=

+

=+

=

1

1

21

1

2

1)1(

1calculm acum

312

32 ===+ IIJI .

XII.030 Fie ( ),G un grup multiplicativ comutativ i a G. Dacfuncia f : G G are proprietatea c axffxf = ))(()( D ,xG,artai c f este injectiv daci numai dac este surjectiv .

Prof.D.M. Btineu-Giurgiu, BucuretiSoluie: mai ateptm.

50

XII.031 Calculai integrala : dxxx

x ++2

0 cossin1

Prof. Drd.Manuela Prajea, Drobeta Tr.Severin

Soluie: Schimbarea de variabil: tx =2

; obinem n final: 2ln

4

.

XII.032 Fie ),( G un grup multiplicativ i H un subgrup al su astfelnct dac M este subgrup al lui G i M este izomorf cu H, atunci M = H.

Artai c g G i h H 1ghg H.Prof.Florin Nicoar, Oradea

Soluie: Fie g

; ncercm s artm c HgHg =

1

unde}/{ 11 HxgxggHg = . Deoarece11111 )())(( == gabggbggaggbggag i ab H, deducem c

1gHg este un subgrup al lui G. E suficient acum s observm c funcia1: gHgHf , 1)( =ghgxf este un izomorfism.

XII.033 Pentru ce valoare a lui m > 0 aria mulimii

+ 0; obinem m = 1 punctde minim.

7/29/2019 RMCS_nr.16

26/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

27/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

28/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

29/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

30/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

31/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

32/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

33/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

34/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

35/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

36/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

37/38

7/29/2019 RMCS_nr.16

38/38