rndr. jiří kocourek
DESCRIPTION
Výroky, negace, logické spojky. RNDr. Jiří Kocourek. Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé. Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé. Pravdivostní hodnota výroku: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
RNDr. Jiří Kocourek
Výroky, negace, logické spojky
Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.
Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.
Pravdivostní hodnota výroku:Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE)Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE)
Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.
Příklady výroků: „Dnes je 3. září.“ „Číslo 2 je sudé.“ „Úhlopříčky libovolného čtverce jsou navzájem kolmé.“ „Praha je hlavní město Afghanistánu.“ „Na Marsu je život.“ „Pro každé reálné číslo x platí: x2 >0.“
Pravdivostní hodnota výroku:Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE)Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE)
Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.
Příklady výroků: „Dnes je 3. září.“ „Číslo 2 je sudé.“ „Úhlopříčky libovolného čtverce jsou navzájem kolmé.“ „Praha je hlavní město Afghanistánu.“ „Na Marsu je život.“ „Pro každé reálné číslo x platí: x2 >0.“
Příklady vět, které nejsou výroky: „Běž domů !“ „Bude zítra pršet?“ „Úsečka je dlouhá.“ „a2 + b2 = c2“
Pravdivostní hodnota výroku:Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE)Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE)
Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.
Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.
Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok.
Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v
Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.
Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok.
Vyjádření: Negaci můžeme vždy vyjádřit uvedením formulace „Není pravda, že ..“ před původní výrok. Zpravidla se však snažíme o srozumitelnější vyjádření (tedy – co je pravda, když původní výrok neplatí)
Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v
Negace výroku: Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.
Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok.
Vyjádření: Negaci můžeme vždy vyjádřit uvedením formulace „Není pravda, že ..“ před původní výrok. Zpravidla se však snažíme o srozumitelnější vyjádření (tedy – co je pravda, když původní výrok neplatí)
Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬ v
Příklad: Výrok v: „Daný trojúhelník je ostroúhlý“¬ v: „Není pravda, že daný trojúhelník je ostroúhlý“¬ v: „Daný trojúhelník je tupoúhlý nebo pravoúhlý
Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“ ... 30 nebo více, b: „Ve třídě je nejvýše 30 žáků“ ... 30 nebo méně, c: „Ve třídě je právě 30 žáků“ ... přesně 30
Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“ ... 30 nebo více, b: „Ve třídě je nejvýše 30 žáků“ ... 30 nebo méně, c: „Ve třídě je právě 30 žáků“ ... přesně 30
Jejich negace: ¬a: „Ve třídě je méně než 30 žáků“ ... 29 nebo méně, ¬b: „Ve třídě je více než 30 žáků“ ... 31 nebo více,
¬c: „Ve třídě je méně než 30 žáků nebo více než 30 žáků“ ... nejvýše 29 nebo alespoň 31
Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny
Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané
množiny ..... označení
Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny
Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané
množiny ..... označení Existenční (malý) kvantifikátor: výrok platí aspoň pro jeden prvek
dané množiny ..... označení
Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny
Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané
množiny ..... označení Existenční (malý) kvantifikátor: výrok platí aspoň pro jeden prvek
dané množiny ..... označení
Příklady: xR: x2 > x „Pro každé x z množiny R platí ...“
xR: x2 > x „Existuje alespoň jedno x z množiny R, pro které platí ...“
Příklad: Vyslovte negace výroků v: xR: x2 > 0
w: n: n 0
Příklad: Vyslovte negace výroků v: xR: x2 > 0
¬ v: xR: x2 0
w: n: n 0
Příklad: Vyslovte negace výroků v: xR: x2 > 0
¬ v: xR: x2 0
w: n: n 0
¬ w: nN: n > 0
Příklad: Vyslovte negace výroků v: xR: x2 > 0
¬ v: xR: x2 0
Negace výroků s kvantifikátory: Kvantifikátor změníme na opačný a příslušný výrok nahradíme jeho negací.
w: n: n 0
¬ w: nN: n > 0
Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.
Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.
Logické spojky:
„a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň
Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.
Logické spojky:
„a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň
„nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků
Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.
Logické spojky:
„a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň
„nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků
„jestliže ... pak“ (implikace) .... z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého
Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.
Logické spojky:
„a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň
„nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků
„jestliže ... pak“ (implikace) .... z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého
„právě tehdy, když“ (ekvivalence) .... oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu
Konjunkce
Označení: a bČteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
a b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“
Konjunkce
Označení: a bČteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
a b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“
Tabulka pravdivostních hodnot:
a b a b
1 1
1 0
0 1
0 0
Konjunkce
Označení: a bČteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
a b : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“
Konjunkce je pravdivá pouze tehdy, pokud jsou pravdivé oba výroky zároveň.
Tabulka pravdivostních hodnot:
a b a b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Disjunkce
Označení: a bČteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“
Disjunkce
Označení: a bČteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“
Tabulka pravdivostních hodnot:
a b a b
1 1
1 0
0 1
0 0
Disjunkce
Označení: a bČteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“
Disjunkce je pravdivá, platí-li alespoň jeden z výroků (tedy i v případě, že platí oba).
Tabulka pravdivostních hodnot:
a b a b
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Implikace
Označení: a bČteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“
Implikace
Označení: a bČteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“Tabulka pravdivostních hodnot:
a b a b
1 1
1 0
0 1
0 0
Implikace
Označení: a bČteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“
Implikace je nepravdivá, pouze v případě, že první výrok platí a druhý neplatí.
Tabulka pravdivostních hodnot:
a b a b
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Ekvivalence
Označení: a bČteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“
Ekvivalence
Označení: a bČteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“Tabulka pravdivostních hodnot:
a b a b
1 1
1 0
0 1
0 0
Ekvivalence
Označení: a bČteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“
Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“
ab : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“
Ekvivalence je pravdivá, pokud oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu.
Tabulka pravdivostních hodnot:
a b a b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Negace složených výroků:
Konjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“
Negace složených výroků:
Konjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“
„Neplatí výrok a nebo výrok b.“
Negace složených výroků:
Konjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“
„Neplatí výrok a nebo výrok b.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b
1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
Negace složených výroků:
Konjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“
„Neplatí výrok a nebo výrok b.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1
Negace složených výroků:
Konjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“
„Neplatí výrok a nebo výrok b.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1
Negace složených výroků:
Konjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“
„Neplatí výrok a nebo výrok b.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1
Výrok ¬(a b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a ¬b.
Negace složených výroků:
Disjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“
Negace složených výroků:
Disjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“
„Neplatí výrok a ani výrok b.“
Negace složených výroků:
Disjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“
„Neplatí výrok a ani výrok b.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b
1 1 0 0 1
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0
Negace složených výroků:
Disjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“
„Neplatí výrok a ani výrok b.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1
Negace složených výroků:
Disjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“
„Neplatí výrok a ani výrok b.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1
Negace složených výroků:
Disjunkce
¬ (a b)„Není pravda, že platí výrok a nebo b.“
„Neplatí výrok a ani výrok b.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) ¬a ¬b
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1
Výrok ¬(a b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a ¬b.
Negace složených výroků:
Implikace
¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“
Negace složených výroků:
Implikace
¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“
„Výrok a platí a výrok b neplatí.“
Negace složených výroků:
Implikace
¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“
„Výrok a platí a výrok b neplatí.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) a ¬b
1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
Negace složených výroků:
Implikace
¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“
„Výrok a platí a výrok b neplatí.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) a ¬b
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0
Negace složených výroků:
Implikace
¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“
„Výrok a platí a výrok b neplatí.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) a ¬b
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0
Negace složených výroků:
Implikace
¬ (a b)„Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“
„Výrok a platí a výrok b neplatí.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b) a ¬b
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0
Výrok ¬(a b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok a ¬b.
Negace složených výroků:
Ekvivalence
¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
Negace složených výroků:
Ekvivalence
¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
Negace složených výroků:
Ekvivalence
¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b)a ¬b
¬a b1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
Negace složených výroků:
Ekvivalence
¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b)a ¬b
¬a b1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0
Negace složených výroků:
Ekvivalence
¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b)a ¬b
¬a b1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0
Negace složených výroků:
Ekvivalence
¬ (a b)„Není pravda, že výroky a a b mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
„Výroky a a ¬b (případně ¬a a b) mají stejnou pravdivostní hodnotu.“
a b ¬ a ¬ b a b ¬(a b)a ¬b
¬a b1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0
Výrok ¬(a b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok a ¬b i výrok ¬a b.
Negace složených výroků:
Přehled:
Výrok Jeho negace
a b ¬ a ¬ b
a b ¬ a ¬ b
a b a ¬ b
a b ¬ a b ; a ¬ b
Obrácená implikace, obměna implikace:
a b ¬ a ¬ b a b ba(obrácená)
¬ b ¬a(obměna)
1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
Implikace ¬ b ¬a se nazývá obměna implikace a b
Implikace ba se nazývá obrácená implikace k implikaci a b
Obrácená implikace, obměna implikace:
a b ¬ a ¬ b a b ba(obrácená)
¬ b ¬a(obměna)
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1
Implikace ¬ b ¬a se nazývá obměna implikace a b
Implikace ba se nazývá obrácená implikace k implikaci a b
Obrácená implikace, obměna implikace:
a b ¬ a ¬ b a b ba(obrácená)
¬ b ¬a(obměna)
1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1
Implikace ¬ b ¬a se nazývá obměna implikace a b
Implikace ba se nazývá obrácená implikace k implikaci a b
Obrácená implikace, obměna implikace:
a b ¬ a ¬ b a b ba(obrácená)
¬ b ¬a(obměna)
1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1
Implikace ¬ b ¬a se nazývá obměna implikace a b
Implikace ba se nazývá obrácená implikace k implikaci a b
Obměna implikace má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako původní implikace.
Obrácená implikace může mít jinou pravdivostní hodnotu než původní implikace.