Örnek 1.1. · 2018. 9. 25. · akıúkanlar mekaniği i 3 t 2 = 40°c ise β = 38,5 × 10-5 k-1...

Akışkanlar Mekaniği I

1

Örnek 1.1.

Bir kişi, pınardan akan suyun hacimsel debisini hesaplamak için eline bir dereceli silindir ve bir

süreölçer (kronometre) alarak pınarın yanına gitmiştir. Kabı, pınardan akan suyun altına hızlıca sokar

sokmaz süreölçerin düğmesine basmış, belirli bir zaman sonra kabı hızlıca geri çekerken de süreölçeri

durdurmuştur. Süreölçer ile ölçtüğü t =39,56 s süresince dereceli silindirde biriken suyun hacminin =

4,1 L olduğunu görmüştür. Pınardan akan suyun hacimsel debisini m3/dk biriminde hesaplayınız.

Çözüm 1.1.

Hacimsel debi, birim zamanda yer değiştiren hacimdir ve aşağıdaki gibi ifade edilir.

Bunun dışında ölçülen süre dört, hacim ise iki anlamlı basamak taşıdığından nihai sonuç da iki anlamlı

basamak içermelidir. Yani

değil 6,2 × 10

-3

’dır.

Burada dikkat edilmesi gereken bir husus da şudur: Şayet yukarıda yapılan işlem bir ara işlem ise

yuvarlama hatalarının birikerek artmaması için fazladan birkaç basamak daha alınabilir. Ancak nihai

sonuçlar, dikkate alınan basamak sayısı ile yazılmalıdır.

Konuyla ilgili son olarak, anlamlı basamakların sayısının bilinmediği durumlarda, mühendislikte kabul

edilen standart anlamlı basamak sayısı üçtür. Dolayısı ile bir borunun uzunluğu 40 m verildiyse, nihai

sonuçlarda üç anlamlı basamak bulunmasını sağlamak için bu değer 40,0 olarak kabul edilmelidir.

Örnek 2.1.

Deniz seviyesine yakın bir yerde konumlanmış bir evin oturma odasının boyutları 4 m × 5 m × 6

m’dir. İç ortam sıcaklığının 25°C olduğu durum için oda içerisindeki havanın yoğunluğunu elde ediniz ve

tablo verileri ile kıyaslayınız. Oda içerisindeki havanın kütlesini de belirleyiniz.

Çözüm 2.1.

Bu sıcaklık ve basınçta hava ideal gaz olarak ele alınabilir yani P =ρRT denklemi ile yoğunluğuna

erişilebilir. Havanın gaz sabitine tablolardan eriştiğimizde değerinin R=0,287 kPa·m3/kg/K olduğunu

görürüz. Buradan,

ise

olduğundan,

olarak elde edilir. Deneysel veriler de bu şartlardaki havanın yoğunluğunun 1,18 kg/m3 olduğunu

göstermiştir. Sıcaklık birimini ideal gaz denkleminde kelvin olarak kullanmalıyız.


2

Odadaki havanın kütlesi ise

ise olduğundan

= 1,18 kg/m3 (4 m × 5 m × 6 m)

= 141,6 kg olarak elde edilir.

Örnek 2.2.

Bir basketbol topunun içerisinde 0,0115 m3 hacminde ve 0,0155 kg ağırlığında hava

bulunmaktadır. Top içerisindeki basınç iki katına çıkarıldığında, izantropik sıkıştırma yapıldığı

varsayılarak, topun içerisindeki son yoğunluğu tayin ediniz.

Çözüm 2.2.

Topun içindeki havanın ilk yoğunluğu

1,35 kg/m

3

İzantropik sıkışma için

yazılabilir. Bu durumda hava için k değerini 1,4 alırsak

2,21 kg/m

3 olarak elde edilir.

Örnek 2.3.

Hacimsel genleşme katsayısı çok düşük olan bir malzemeden imal edilmiş bir tanker deposu,

belirli bir miktarı boş kalacak şekilde 20°C’deki su ile dolduruluyor.

a) Tankerin geçtiği güzergahtaki hava sıcaklığı 40°C olduğu durumdaki

b) Tankerin geçtiği güzergahtaki hava sıcaklığı 40°C ve depo içi basıncın 100 atm’ye yükseldiği

durumdaki (α=4,80×10-5

atm-1

)

suyun yoğunluğunu hesaplayınız.

Çözüm 2.3.

a) 20°C ve 1 atm’deki suyun yoğunluğu ρ1=998,0 kg/m3’tür. Yukarıda verilen tablolardan, sabit basınç

için 20°C ile 40°C arasında geçerli bir ortalama hacimsel genleşme katsayısı (β) çıkaracak olursak,

T1 = 20°C ise β = 21,0 × 10-5

K-1


3

T2 = 40°C ise β = 38,5 × 10-5

K-1

ise

βort =

× 10

-5 K

-1 = 29,75 × 10

-5 K

-1 olur.

Bu durumda

olur.

b) Her iki faktörü de işin içine karatsak, suyun yoğunluğu

olmaktadır.

Örnek 2.4.

50 cm × 30 cm × 20 cm boyutlarına ve 700 kg/m3 yoğunluğa sahip olan bir katı blok, sürtünme

katsayısı 0,27 olan bir eğik yüzey boyunca 0,8 m/s’lik sabit hızla hareket ettirilecektir (Şekil 28).

a) Yatay yönde uygulanması gereken F kuvvetini belirleyiniz.

b) Katı blok ile yüzey arasında dinamik viskozitesi μ=0,012 Pa·s olan t=0,4 mm kalınlığında bir yağ

filminin bulunduğu durum için, uygulanması gereken kuvvetteki azalmayı belirleyiniz.

Çözüm 2.4.

a) İlk olarak katı bloğun ağırlığını hesaplamamız gerekmektedir.

Şekil 28.


4

Şimdi de serbest cisim diyagramını çizip, sabit hızla hareket eden bloğa etkiyen kuvvetleri tespit

edip, şiddetlerini bulalım.

(ilk denklem)

(ikinci denklem)

(üçüncü denklem)

Üçüncü denklemdeki ’i ikinci denklemde yerine koyarsak,

ise bulunur.

Yatay yönde uygulanması gereken F kuvveti de ilk denklemde bilinenler yerine koyarak bulunur,

olarak bulunur.

b) Katı blok yüzey ile direkt temas ederken sürtünme kuvvetinden bahsedebiliyorduk. Bu

durumda, blok ile yüzey arasında bir akışkan (yağ) filmi olduğu durum, sürtünme kuvveti yerini kayma

kuvvetine bırakacaktır. Şimdi de yeni durumun serbest cisim diyagramını çizip, sabit hızla hareket eden

bloğa etkiyen kuvvetleri tespit edip, şiddetlerini bulalım.


5

(ilk denklem)

(ikinci denklem)

(üçüncü denklem)

Üçüncü denklem direkt çözülebilir olduğundan

Bu değeri ikinci denklemde yerine yazarsak,

= 220,1 N

İlk denklemi de bilinenleri yerlerine yazarak çözersek

Kuvvetteki azalma = olarak bulunur.

Örnek 2.5.

Şekilde de görüldüğü üzere, ince düz bir plaka, araları 3,6 mm kalınlığındaki bir yağ tabakası ile

dolu iki paralel levha arasında 1 m/s hızla yatay olarak çekilmektedir. Üstteki levha sabit olmasına

rağmen alttaki levha ince plakanın çekildiği yönün tersine 0,3 m/s hızla hareket etmektedir.


6

İnce plaka ile her iki levha arasındaki akışın hız profili doğrusal olarak değişmektedir. İnce plakanın

boyutları 18 cm × 18 cm ve aradaki yağın dinamik viskozitesi 0,026 Pa·s olduğu bilindiğine göre,

a) Her bir tabakadaki hız profilini çizerek yağ hızının, plaka ve levha yüzeyleri hariç, sıfır olduğu konumu

bulunuz.

b) Bu hareketi sürdürebilmesi için ince plakaya uygulanması gereken kuvveti bulunuz.

Çözüm 2.5.

a) Hız profili dağılımının doğrusal (lineer) olduğu bizlere verilmiştir. Kaymama koşulunu da göz önünde

bulundurup hız dağılımlarını çizecek olursak,

Burada A noktası, zıt yönlere hareket eden ince plaka ve alt levhadan dolayı hızın sıfır olduğu noktadır. A

noktasının alt levhadan olan yüksekliğini bulabilmek için Thales teoreminden faydalanırsak,

→ bulunur.

b) Plaka ile üst levha arasındaki durum için plakaya etkiyen kuvvet,


7

İnce plakaya etkiyen kuvvetlerin her ikisi de aynı yönde olduklarından, toplam kuvvet

= 0,842 N + 0,421 N = 1,263 N

Örnek 2.6.

Şekilde, silindirik makaralı bir yatağın iç bileziğinden F kuvveti uygulanarak geçirilmeye çalışılan

bir 32 mm çapında bir mil görülmektedir. İç bileziğin kalınlığı 0,3 m’dir. İç bilezik ile mil arasındaki 0,3

mm’lik boşluğu dolduran yağın kinematik viskozitesi 8,0×10-4

m2/s ve bağıl yoğunluğu 0,91’dir.

Boşluktaki hız dağılımının doğrusal olduğunu varsayarak, bu mili 3 m/s ile bu bilezikten geçirmek için

gereken F kuvvetini bulunuz.

Çözüm 2.6.

Yandaki şekilde iç bilezik ile mil arasındaki yağ filminin

hız dağılımı gösterilmektedir. Bu durumda F kuvveti aşağıdaki

gibi hesaplanabilir.

Yukarıdaki denklemi çözebilmemiz için μ’yü bulmamız

gerekecektir. Yağın bağıl yoğunluğu 0,91 olarak verildiğinden,

olarak bulunur. Yoğunluk bilindiğine göre kinematik viskozite formülünden dinamik viskoziteye geçiş

sağlanabilir.

olarak bulunur. Bunu, kuvvet hesapladığımız denklemde yerine yazıp işlemi tamamlarsak,


8

olarak bulunur.

Örnek 2.7.

Bir su filmi, eğimli sabit bir yüzeyden

şekilde verilen hız profili ile 10°C sıcaklıkta

akmaktadır. V=2 m/s ve h=0,1 m olduğu durum için

suyun sabit yüzeye uyguladığı kayma gerilmesinin

şiddetini ve yönünü belirleyiniz.

Çözüm 2.7.

ve

olduklarından,

olarak elde edilir.

Buradaki kayma gerilmesi ile y=0 olan durum kastedildiğinden,

y=0 için

olur ve tablolardan 10°C sıcaklıktaki suyun dinamik viskozitesi

Pa·s olarak elde edildiğinden,

olur ve yönü akış

yönündedir.

Örnek 2.8.

Bir sıvının viskozitesi, yandaki şekilde de

görüldüğü gibi 60 cm boyunda iç içe geçirilmiş eş

merkezli iki silindirden oluşan bir viskozimetre ile

ölçülecektir. Dıştaki sabit silindirin iç çapı Ddış=12,22 cm

olarak verilmiştir ve iki silindir arasındaki boşluk l=0,11

cm’dir. İç silindir 200 dev/dk ile döndüğünde

viskozimetreden ölçülen tork değeri 0,72 Nm olduğuna

göre, silindir alt kısmını hesaba katmadan, ara boşluktaki

sıvının viskozitesini hesaplayınız.

Çözüm 2.8.

Tork formülünden yola çıkarak adım adım problemi çözelim.


9

( olduğundan)

(İki silindir arası mesafenin yeterince küçük olduğu

varsayımından yola çıkarak boşluktaki akışkanın hız

dağılımının doğrusal olduğundan

)

( ve olduğundan)

( olduğundan)

olur ve viskoziteye göre düzenlenecek olursa

haline bürünür.

olduğundan olarak bulunur

ve diğer tüm bilinenler ile birlikte viskozite denkleminde yerlerine yazılırlarsa,

58×10-3

Pa·s olarak bulunur.

Örnek 2.9.

Çapı 30 cm olan bir disk, dairesel bir kap

içerisine şekilde görüldüğü gibi yerleştirilmiştir.

Disk ile kap tabanı arasındaki h=0,25 cm’lik

boşluğa gliserin (μ=1,519 Pa·s) enjekte edilmiş

ve diskin 2 dev/dk ile dönmesi sağlanmıştır. İki

cisim arasındaki akışkanın hız profilinin doğrusal olduğunu varsayarak gerekli torku bulunuz.

Çözüm 2.9.

Şekilde dairesel diskin alt yüzeyi ve yandan bakıldığında

oluşan bir kesit gösterilmiştir. Dönme merkezine r kadar uzaklıkta

bulunan disk yüzeyi üzerindeki dA diferansiyel alanına etkiyen kayma

kuvveti aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Burada diferansiyel alanı ’ye eşittir. Bununla birlikte,

doğrusal hız dağılımına bağlı kayma gerilmesi de aşağıdaki gibi ifade

edilebilir.


10

Kayma kuvveti yeniden yazılacak olursa,

=

olarak elde edilir. Açısal hız ’ a eşittir. Bu kuvveti oluşturan tork da aşağıdaki gibi ifade

edilebilir.

olarak bulunur. Her iki

tarafın da integrali alınırsa,

olarak bulunur.


11

Örnek 3.1.

Bir kaba bağlanmış vakum ölçme cihazı, yerel atmosferik basıncın 86,5 kPa olduğu bir yerde 38,7

kPa değerini göstermektedir. Kaptaki mutlak basıncı belirleyiniz.

Çözüm 3.1.

Pvakum = Patm - Pmutlak ise

Pmutlak = Patm - Pvakum = 86,5 kPa – 38,7 kPa = 47,8 kPa

Örnek 3.2.

Tavan yüksekliği 7 m olan bir evin odasının tavanı ile tabanı arasındaki basınç farkını

hesaplayınız (ρHava = 1,205 kg/m3 alınız).

Çözüm 3.2.

Hatta burada P1’i 1 atm olarak düşünürsek P2 ≈ 0,9992 atm olarak elde ederiz ki ikisinin birbirine

çok yakın değerler olduğu açıktır.

Örnek 3.3.

Bir tank içerisindeki gazın basıncını ölçmek için yanda

görülen basit manometre düzeneği kullanılmaktadır. Bu

manometrede kullanılan akışkan cıva ise gazın basıncını veren

ifadeyi türetiniz.


12

Çözüm 3.3.

Gazların ağırlık etkileri ihmal edilebildiğinden (Örnek

3.2’de gösterilmiştir), tank içerisindeki basınç her yerde (A, B,

C,…) ve 1 konumunda yaklaşık aynı değeri alır yani,

olur. İşleme, 1. Kural gereği, sol taraftaki basıncı yazarak

başladık, yani

Karşıya sıçrama yaptığımız için, 3. Kural gereği, ters işlem kullanarak ifadeye eklemelerde

bulunacağız yani

Buradan sonra diğer basınç noktamıza varmış oluyoruz ve 4. Kural gereği bu ifadeyi ’ye

eşitliyoruz.

Örnek 3.4.

Manometreler özellikle belirli iki nokta arasında

yer alan yatay bir akış bölümü boyunca vana, ısı

değiştirici, dirsek veya viskoz kuvvetlerden kaynaklanan

basınç düşüşlerinin ölçümü için çok uygundur. Bu

durumda 1 ve 2 noktaları arasındaki basınç farkını veren

ifadeyi türetiniz.

Çözüm 3.4.

Burada 1 noktası sol tarafta olduğundan onu yazarak işleme başlayalım (1. Kural).

Şimdi 1 noktasından 2 noktasına doğru giderken 1 noktasına bağlı ilk yol aşağı yönde olduğundan bu

ifadeye ekleme yapacağız (2. Kural).

A ile B noktalarındaki basınçlar aynı yatay düzlemde bulunduklarından basınçları eşittir ve sıçrama

sonrasında ters işlem yaparak ifadeye eklemelerde bulunacak olursak (3. Kural)


13

Buradan sonra diğer basınç noktamıza varmış oluyoruz ve 4. Kural gereği bu ifadeyi ’ye

eşitliyoruz.

Örnek 3.5.

Yandaki şekilde yukarıdan aşağıya doğru akan

bir temiz su borusunun A noktasından basıncı

ölçülecektir. B noktasındaki basınç 87 kPa ve tüm

akışkanlar 20°C’de olduğuna göre PA nedir?

Çözüm 3.5.

Gerekli kurallar uygulanarak ifade aşağıdaki gibi elde edilebilir.

Manometrede kullanılan akışkanların 20°C’deki yoğunlukları tablolar yardımı ile bulunup

yerçekimi ivmesi ile çarpılırsa sıvılara ait aşağıdaki özgül ağırlık değerleri elde edilir.

,

,

Bu durumda,

olarak bulunur.

Örnek 3.6.

Bir tank içerisindeki suyun basıncı hava basılarak

belirli bir mertebeye kadar arttırılmıştır. Tank atmosferik

basıncın 85,6 kPa olduğu 1400 m yükseklikteki bir dağda

bulunmaktadır. Suyun, yağın ve cıvanın yoğunluklarını

sırasıyla 1000 kg/m3, 850 kg/m

3 ve 13600 kg/m

3 alarak,

h1=0,1 m, h2=0,2 m ve h3=0,35 m olması durumunda

tanktaki hava basıncını belirleyiniz.


14

Çözüm 3.6.


olarak elde edilir.

Örnek 3.7.

İki su tankı, yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi birbirlerine eğik borulu bir cıvalı manometre ile

bağlanmıştır. İki tank arasındaki basınç farkı 20 kPa olduğuna göre a ve θ’yı hesaplayınız.

Çözüm 3.7.


Şekle dikkatli bakacak olursak B’deki basınç A’dakinden daha fazladır çünkü cıvayı sol sütunda

yükselmeye zorlamıştır. Bu durumda olur. Denklemi düzenleyecek olursak

(İlk denklem)

elde edilir. Cıvanın yoğunluğu da aşağıdaki ifadeden elde edilir.

→

Bu değer ilk denklemde yerine konulursa

olarak elde edilir.

Şekilde a ile θ arasında aşağıdaki bağıntı bulunduğundan

→

olarak elde edilir.


15

Örnek 3.8.

Yandaki şekilde 500 kg kütleye sahip bir yük, çapı D=1,2

m, et kalınlığı t=3 cm ve yoğunluğu 7990 kg/m3 olan AISI 316

paslanmaz çeliği üzerine dengededir. Kap içerisinde ise

yoğunluğu 780 kg/m3 olan yağ dolu olduğuna göre sağ taraftaki

yağ yüksekliğini bulunuz.

Çözüm 3.8.

AISI 316 paslanmaz çelik diskin hemen alt yüzeyine 1 noktası dersek, bu noktaya etkiyen basınç

iki şekilde hesaplanabilir. Yağ tarafından bu noktada oluşturulan basınç gerekli kurallar uygulanarak

aşağıdaki gibi elde edilebilir.

(ilk denklem)

Diğer yandan, sistem dengede olduğundan üst kısımdaki kütleler ve açık atmosfer basıncı tarafından 1

noktasına etkiyen basınç serbest cisim diyagramı çizilerek aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

(ikinci denklem)

İlk denklem ile ikinci denklem birbirlerine eşitlernirlerse,

olarak bulunur.


16

Örnek 3.9.

Yandaki şekilde dikdörtgen bir levhadan oluşan

kapak 1,524 m genişliğinde olup B noktasından mafsallı ve

A noktasında bir düz duvara dayalı halde durmaktadır. Bu

durumda,

a) Deniz suyu basıncından ötürü kapağa gelen kuvveti

b) Levha ağırlığını ihmal ederek, duvar tarafından kapağa

yatay olarak uygulanan P kuvvetini

c) B noktasındaki mafsala etkiyen reaksiyon kuvvetlerini

hesaplayınız.

Çözüm 3.9.

a) Kapağın yüzey alanı hesaplamak için uzunluğunu (L) bulmak gereklidir.

ise

Kapağın ağırlık merkezi, geometrik şekli dikdörtgen olan homojen bir levha olduğundan, tam orta

noktasıdır. Bu noktanın tabana uzaklığı A noktasının yüksekliğinin yarısı karadır. Bu durumda ağırlık

merkezinin yüzeyden olan derinliği,

Patm kapağın her iki yüzüne de etkidiğinden hesaba katılmaz. Bu durumda, kapak üzerindeki bileşke

hidrostatik kuvvet,

b) Ne yapmamız gerektiğini daha iyi görebilmek için

serbest cisim diyagramını çizelim. Bu durumda P

kuvvetini bulabilmemiz için FR’nin etkidiği noktayı

bulmamız gerekecektir yani yBM .


17

Burada bilinmeyen sadece Ixx’dir. Kapak dikdörtgen olduğundan,

olarak bulunur. Buradaki – işareti, ağırlık merkezi orijin olarak kabul edersek, sadece aşağı yönü belirmek

amaçlıdır. Bu durumda B noktasına göre moment alırsak,

c) Serbest cisim diyagramı yukarıda verilmişti. Bu durumda,

Örnek 3.9.

A noktasından mafsallı 0,8 m yarıçapında ve 1 m

uzunluğunda bir silindir yandaki şekilde görüldüğü gibi

otomatik kapak olarak kullanılmakta olup su seviyesi 5

m’ye ulaştığında kapak A noktasındaki mafsala göre

dönme yaparak açılmaktadır.

a) Kapak açıldığı anda asilindir üzerine etkiyen

hidrostatik kuvveti ve etki çizgisini,

b) Silindir malzemesinin yoğunluğunu

hesaplayınız.


18

Çözüm 3.9.

Silindir yüzeyini ve bunun yatay ve düşey izdüşümleri

ile sınırlandırılan sıvı bloğunun serbest cisim diyagramı yanda

verilmiştir. Düşey ve yatay düz yüzeylere gelen hidrostatik

kuvvetler şu şekilde hesaplanır.

Yan yüzeye etkiyen yatay kuvvet bileşeni

Alt yüzeye etkiyen düşey kuvvet bileşeni

Akışkan bloğunun ağırlığı

Bileşke hidrostatik kuvvetin yatay bileşeni

Bileşke hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni

Bileşke hidrostatik kuvvet

b) Konu içerisinde, şayet eğrisel yüzey tam ya da belirli bir kısım olarak çember profiline sahip ise, ona

etki eden bileşke hidrostatik kuvvetin çember merkezinden geçeceğini belirtmiştik. Bu durum göz önünde

bulundurulup A noktasına göre moment alıp sıfıra eşitlersek,


19

ve

Örnek 3.10.

Dikdörtgenler prizması şeklindeki bir depo farklı

hacimlere sahip cıva (γ=132900 N/m3), su (γ=9800 N/m

3)

ve yağ (γ=8640 N/m3) ile dolduruluyor. Deponun uzun ve

kısa kenarlarının uzunlukları sırasıyla 6,5 m ve 2,15 m’dir.

Tankın sağ yanına etki eden toplam hidrostatik kuvveti ve

onun basınç merkezini hesaplayınız.

Çözüm 3.10.

Duvarı sıvı katmanlarının kapsadığı üç parçaya bölerek işlemlerimizi yapacağız. Patm, duvarın her

iki yüzeyi atmosfere açık olduğundan ihmal edilecektir. İşe ilk olarak her bir katman yüzeyinin ağırlık

merkezlerine etkiyen basınçları hesaplamakla başlayalım.

Her bir katman yüzeyine düşen bileşke hidrostatik kuvvetleri hesaplayalım.


20

olmaktadır. Buradan toplam hidrostatik bileşke kuvvetimizi,

Bu bileşke hidrostatik kuvvetin basınç merkezini bulabilmek için her bir katmandaki yüzeylere

etkiyen bileşke hidrostatik kuvvetlerin basınç merkezlerini bulmak gerekecektir. Atalet momentleri

dikdörtgen için,

ve olduklarından,

Serbest yüzey ile duvar arasındaki açı da θ=90°’dir (sin90°=1). Bu durumda basınç merkezi ( ve

serbest yüzeyin basınç merkezinden olan yüksekliği ( ),

ve

olarak hesaplanabilmektedir. Bu durumda,

Yandaki şekilde gösterildiği gibi hariç bütün diğer parametreler hesaplanmıştır. Bu

durumda, serbest yüzeye göre moment alarak işlem yapacak olursak,


21

Örnek 3.11.

Bir vinç, su altı projesinde kullanılmak üzere denize, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, beton

bloklar indirmektedir. Yoğunlukları 2400 kg/m3 olan beton blokların boyutları da 0,8 m × 0,8 m × 1,2

m’dir. Halatların ağırlığı 200 N’dir. Blok havada (ρhava=1,22 kg/m3) sabit iken vinç halatında oluşan

kuvvet, bloğun tamamen deniz suyunun (ρsu=1025 kg/m3) içerisinde sabit olduğu duruma nazaran oluşan

kuvvetten ne kadar daha fazladır.

Çözüm 3.11.

Beton bloğa etkiyen kuvvetleri serbest cisim diyagramı ile

gösterelim. Blok hem hava hem de suyun içerisinde sabit durmaktadırlar bu

yüzden toplam kuvvet 0’a eşittir. Düşey yöndekini yazacak olursak,

Şimdi denklemdeki bilinmeyen kuvvetleri hesaplayalım.


22

ise

olduğundan farkları

(Blok suya tamamen batırıldığında, vincin kaldırması

gereken kuvvette %42’lik bir düşüş sağlanmıştır)

Buradaki şu sonuç bizim için önemlidir. Havanın, içerisinde yer alan bir cisme uyguladığı

kaldırma kuvveti hesaba katılmayacak kadar küçüktür.


23

Örnek 4.1.

Yandaki şekilde, bir su deposuna bağlı 5 adet boru ve bu

borulardaki suların akış yönleri gösterilmektedir. Boru çapları ve

borulardaki suların ortalama hızları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Her borudaki su sıcaklığı 10°C ve KH içerisindeki akış daimi

olduğuna göre 4 nolu borudaki ortalama hızı hesaplayınız.

Boru no 1 2 3 4 5

Vort (m/s) 4,5 7 8 ? 7

D (cm) 5 6 4 12 9

Çözüm 4.1.

Sabit bir kontrol hacmi için genel kütlenin korunumu denklemi

olarak ifade edilebilir. Daimi akış durumundan ötürü soldan ilk terim 0 olur.

Böylece denklem,

halini alır. KH’den her yerde akışa dik yönde seçildiğinden ve hız ortama olarak ifade edildiğinden denklem

veya

şeklinde ifade edilebilir. KH’den, 1 ve 4 nolu borulardan çıkış; KH’ye 2, 3 ve 5 nolu borulardan giriş olmaktadır.

Böylece aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

Su sıkıştırılamaz bir akışkan olduğundan tüm yoğunluk ifadeleri birbirine eşit olur ve denklemden silinir. Bu

durumda denklem aşağıdaki gibi yazılabilir.

Şimdi her borunun kesit alanlarını bulalım.


24

Örnek 4.2.

Bir saç kurutma makinesi aslında içine birkaç sıra halinde elektrik rezistansı yerleştirilmiş bir veya birkaç

bağlantılı kanaldan meydana gelmektedir. Bu boruların en arka kısmında yer alan ufak bir fan havayı kanal

içerisine emer. Rezistanslardan geçerken ısınan bu hava makine ağız kısmından dışarı çıkar. Aşağıda şematiği

verilen sisteme giriş ve çıkış yapan hava yoğunlukları sırasıyla 1,22 kg/m3 ve 1,06 kg/m

3; makinenin giriş

kısmındaki açıklığın çapının ve çıkış kısmındakine oranı da 1,62 olduğuna göre bu makineden geçen havanın

ortalama hızındaki yüzde artışı, daimi akış koşullarını göz önünde bulundurarak, belirleyiniz.

Çözüm 4.2.

Sabit bir kontrol hacmi için genel kütlenin korunumu denklemi


Böylece denklem,

halini alır. Saç kurutma makinesinin iç yüzeyini aşağıda görüldüğü gibi KH olarak seçelim. Giriş ve çıkış

yüzeylerinin normalleri giriş ve çıkış hızları ile çakıştığından uygun bir KH seçmişiz demektir.


25

Hız da ortama olarak ifade edildiğinden denklem

veya

şeklinde ifade edilebilir. Denklemi bizden istenen duruma indirgersek,

Örnek 4.3.

Üstteki şekilde de görüleceği üzere R yarıçapına sahip düz bir boru içerisinde daimi, laminer, sıkıştırılamaz

akış gelişmektedir. Giriş yüzeyindeki hız üniform dağılıma sahiptir. Hız her yerde boru eksenine paraleldir ve

değeri u1=U ’dur. Diğer yandan çıkış yüzeyindeki hız ise eksenel simetrik dağılıma sahiptir. Hız yine her yerde

boru eksenine paralel olmak kaydı ile boru cidarı üzerinde sıfır (u2 = 0), boru merkezinde ise maksimum değerine

(u2 = umaks) erişmektedir. Bu durumda U ile umaks arasındaki ilişkiyi ifade ediniz.

Çözüm 4.3.

Kontrol hacmi zaten soru içerisinde, kesikli çizgili hacim olarak bizlere verilmiştir. Bu KH için genel

kütlenin korunumu denklemi



26

Böylece denklem,

halini alır. Giriş yüzeyindeki hız üniform olduğundan yani yüzey alanına göre bir değişim sergilemediğinden yani

bu tarz bir tanımlamanın o yüzeydeki ortalama hızı ifade ettiğinden (u1=U ) giriş kısmı direkt integral dışına

çıkabilir. Yani

Diğer yandan çıkış hızı için ortalama bir hız değeri elde edebilmek için yüzey alanı boyunca hızı integre

etmemiz gerekecektir. Tek çıkış olduğundan yukarıdaki ifade de aşağıdakine dönüşür.

Örnek 4.4.

0,92 m çapında, 1,35 m yüksekliğinde, üstü atmosfere açık

silindirik bir tank başlangıçta ağzına kadar su ile doludur. Tankın

taban kenarında yer alan 1,20 cm çapındaki boşaltım borusunun

tapası çekilerek suyun boşalması sağlanıyor. Boşalan suyun

ortalama hızı bağıntısıyla verilmektedir. Burada h,

tank içerisindeki suyun delik merkezinden olan yüksekliği, g ise

yerçekimi ivmesidir. Tank içerisindeki su seviyesinin 0,7 m’ye

düşmesi için geçecek olan süreyi hesaplayınız.


27

Çözüm 4.4.

Suyun, ilk anda kapladığı hacmi KH olarak belirleyelim. Su seviyesi azaldıkça KH’nin küçüldüğünü, yani

değişken bir KH olduğunu kabul edelim. Bu durumda, bir KH için genel kütlenin korunumu,

olarak yazabiliriz. Giren bir akışkan olmadığından

olarak ifade edilebilir. Toplam çıkan ifadesindeki çıkış sayısı bir, cosθ=cos0°=1 ve ortalama hız cinsinden V

ifadesi verildiğinden dolayı genel ifade aşağıdaki forma dönüşür.

KH içerisindeki suyun yoğunluğu, suyun sıkıştırılamaz olmasından dolayı sabit olduğundan yoğunluklar birbirini

götürür ve geriye aşağıdaki ifade kalır.

Her iki tarafın integralini alırsak, zaman

olarak elde edilir. Gerekli değerleri yerlerine yazarsak suyun 0,7 m’ye düşmesi için gereken zaman

Örnek 4.5.

Bir uçak şekilde de gösterildiği gibi 971 km/sa sabit hızıyla ilerlemektedir. Sol kanat alt kısmında yer alan

jet motorunu göz önüne aldığımızda, bu motor 0,80 m2 giriş alanına sahiptir ve 0,736 kg/m

3 havayı içine doğru


28

çekmektedir. Durağan bir gözlemci yeryüzünden uçağa baktığında, uçağın jet motorundan çıkan egzoz gazlarının

hızının 1050 km/sa olduğunu tespit ediyor. Motordan çıkış yüzey alanı 0,558 m2 ve çıkan egzoz gazının yoğunluğu

da 0,515 kg/m3 olduğuna göre jet motoruna gönderilen yakıtın kütlesel debisini tayin ediniz.

Çözüm 4.5.

Kontrol hacmi zaten soru içerisinde, kesikli çizgili hacim olarak bizlere gösterilmiştir. Burada dikkatli

olunması gereken husus, KH her ne kadar sabit bir hacme sahip olsa da hareketlidir. Bu durumu göz önünde

bulundurup analiz yaptığımızda sonuçlar aşağıdaki gibi olmaktadır.

Bu durum için genel kütlenin korunumu denklemi

olarak ifade edilebilir. Uçak sabit bir hızla ilerlediğinden, bu itkiyi yaratmak için jet yani KH içerisinde gerçekleşen

prosesler de sabit bir hızla gerçekleşmektedir diyerek daimi akış kabulü yapabiliriz. Bu kabulle birlikte soldan ilk

terim 0 olur.

Böylece denklem,

halini alır. Giriş ve çıkış yüzeylerindeki hızları, hız değerleri çok yüksek olduğundan ortalama hızmış gibi kabul

edebiliriz. Bunun dışında seçilen KH’nin giriş ve çıkış yüzey normalleri ile hız vektörlerinin çakıştığını da

yukarıdaki şekilden açıkça görebilirsiniz. Bu durumda yukarıdaki denklem aşağıdaki denkleme dönüşür.


29

Örnek 4.6.

Pitot ve piyezometre tüpleri (ya da statik basınç

portu), akış hızını ölçmede çokça kullanılan

ekipmanlardandır. İkisi tek bir sistem üzerine monte

edilirse Pitot-statik tüp elde edilir. Yolcu taşıma ve savaş

uçaklarının seyir hızları da farklı yerlere yerleştirilmiş

Pitot tüpleri ve statik basınç portları ile ölçülür fakat

yüksek hızlarda Pitot tüpü ucunda (yandaki şekil) oluşan

şok dalgaları yanlış ölçüm yapmamıza sebebiyet verir.

Şok dalgaları için çıkarılmış düzeltmeleri Bernoulli denklemine

uygularsak, bu bizlere Pitot tüpleri ile yüksek hızlı uçaklarda da

hız ölçümü yapabilme olanağı verir.

Bir piyezometre ve Pitot tüpü sırasıyla statik ve

statik+dinamik basınçları ölçmek üzere aşağıda gösterildiği gibi

yatay bir su borusuna bağlanmıştır. Bu durumda boru

merkezindeki sabit hızı belirleyiniz.

Çözüm 4.6.

Hız sabit, yani zamanla değişmediğinden akış daimidir. Akışkan da su olduğundan sıkıştırılamazdır. Bu

durumda 1 ve 2 noktaları arasında Bernoulli denklemini uygularsak,

Dikkat edilirse 2 noktasına gelen akışkan parçacığı o noktada yığın halinde bekleyen akışkan parçacıklarına

çarparak durmakta, hidrostatik basıncı sabit kalmak şartı ile (yükseklik 1 ve 2 noktalarında aynı) dinamik

basıncının hepsini statik basınca dönüştürmektedir. Yani V2=0 olmaktadır. Bu durum direkt olarak duvara çarpan

bir arabanın durması ile neredeyse aynıdır. Bu durumda denklem aşağıdaki forma dönüşür.


30

Örnek 4.7.

Yanda, şırınga ucundan olan akış durumunun hem

fotoğrafı hem de şematiği verilmiştir. Şırınga pistonuna sabit bir kuvvet

uygulandığında, piston sabit bir hızla hareket etmekte ve şırınga

içerisindeki suyu belirli bir yüksekliğe çıkarabilmektedir. Pistona ilk

hareket verildiği andan itibaren şırınga içerisinden dışarısına daimi

akış söz konusudur.

a) Sırasıyla 1, 2 ve 3 noktalarından geçen bir akışkan parçacığının bu

noktalardaki birim kütle için enerjilerini Bernoulli denklemini

kullanarak kıyaslayınız.

b) Şırınga iç çapı 16 mm, şırınga ucunun iç çapı 3 mm, 1 ile 2

noktası arasındaki yükseklik farkı 42 mm ve 2 ile 3 noktaları

arasındaki yükseklik farkı da 194 mm ise 1 noktasındaki basıncı ve 2 noktasındaki hızı hesaplayınız.

Çözüm 4.7.

a) Bernoulli denklemini, birim kütle için enerjiler cinsinden aşağıdaki gibi ifade ederiz.

Bu duruma göre aşağıdaki yorumlar yapılabilir.

Nokta Akış enerjisi Kinetik enerji Potansiyel enerji

1 Yüksek Düşük Sıfır

2 Düşük Yüksek Düşük

3 Düşük Sıfır Yüksek


31

b) Bu şık içerisinde ilk olarak 1 noktasındaki basıncı bulmamız isteniyor.

Bu durumda ilk olarak 1 ile 2 arasında Bernoulli denklemini yazalım.

2 nolu akışkan parçası atmosferik ortama çıktığından gösterge basıncı 0

olur. Denklemi düzenleyecek olursak:

Burada bir adet denklemimiz olmasına rağmen üç adet bilinmeyenimiz

bulunmaktadır. Bunlardan ilki P1 diğer ikisi de hızlardır. Dikkat edilirse bir

önceki konuda (Kütlenin korunumu) uygun bir kontrol hacmi seçerek,

işlemleri çok basit bir eşitliğe indirgeyebiliyorduk. Bu durumda aşağıdaki KH’yi seçip kütlenin korunumunu

uygularsak,

olarak ifade edilebilir. Şırınga pistonu sabit bir hızla ilerlediğinden, şırınga

içerisinden dışarısına daimi akış söz konusu olduğu belirtilmişti,

Böylece denklem,

halini alır. Giriş ve çıkış yüzeylerindeki hızları, piston hareketinden dolayı ortalama hızmış gibi kabul edebiliriz.

Bunun dışında seçilen KH’nin giriş ve çıkış yüzey normalleri ile hız vektörlerinin çakıştığını da yukarıdaki

şekilden açıkça görebilirsiniz. Bu durumda yukarıdaki denklem aşağıdaki denkleme dönüşür.

(Akışkan sıkıştırılamaz, o yüzden )


32

Şimdi de 2 ile 3 arasında Bernoulli denklemini yazalım.

2 ve 3 noktasındaki akışkan parçacıklarının her ikisi de atmosfere açık olduğundan gösterge basınçlar P2=P3=0

olur. Bunun dışında 3 noktasındaki akışkan parçacığı durmuştur yani V3=0. Bu durumda denklem aşağıdaki formu

alır.

ise, kütlenin korunumundan gelen 2. denklik ile 1 noktasındaki hız,

olur. Bu iki hız bileşenini ilk denklikteki yerlerine yazıp işlemi çözersek,

Örnek 4.8.

İçerisinden suyun aktığı, gerektiğinde su debisini kontrol etmek için açılıp kapanabilen özel bir kapağa

sahip kanallara, geçitlere savak denmektedir. Şekilde, belirli bir debiye müsaade etmek için açılmış savak kapağı

görülmektedir. Sürtünme etkilerini ihmal ederek ve daimi akış koşullarını göz önünde bulundurarak 1 ve 2 noktası

arasındaki yükseklik farkını belirleyiniz.


33

Çözüm 4.8.

Burada bizden istenen durum yükseklik farkını bulmaktır. Bunu en basit şekilde yapmak için Bernoulli

denklemini iki nokta arasında, yükler cinsinden ifade edelim.

1 noktası su seviyesinin en üst noktasıdır ve kapağın sol tarafındaki suyun yüzey alanı çok geniştir. Bu sebeple 1

noktasındaki akışkan parçacığının hızı 0’a çok yakındır. Bu sebeple V1 ≈ 0 kabulü yapılabilir. Bunun dışında her iki

nokta da atmosfere açıktır bu sebeple gösterge basınçları P1=P2=0’dır. Bu durumda denklem aşağıdaki forma

dönüşür.

Örnek 4.9.

Bir köy, temiz su akan bir dereden pompa ile depoya basılan su (ρ=999 kg/m3) ile tüm ihtiyaçlarını

gidermektedir. Pompadan 45 L/s’lik debi ile su geçmektedir. Pompa ile bağlantılı elektrik motoru 16 kW

gücündedir ve verimi %88’dir. Pompanın giriş ve çıkış kesitleri aynıdır ve arasındaki yükseklik farkı ihmal

edilebilir.

Giriş ve çıkış kesitindeki kinetik enerji düzeltme faktörleri eşit ve 1,07’dir. Pompanın giriş ve çıkış kesitlerinden

ölçülen mutlak basınçlar sırasıyla 95 kPa ve 300 kPa ise

(a) Pompanın mekanik verimini belirleyiniz.

(b) Mekanik kayıplardan ötürü suda meydana gelen sıcaklık artışını belirleyiniz (cp=4,19 kJ/kg/K).


34

Çözüm 4.9.

(a) Pompa içerisinde gerçekleşen proseslerin zamana bir bağlılıkları yoktur bu yüzden akış daimi koşullar altında

değerlendirilebilir. Zaten enerji denklemi bu şekilde çıkartılmıştır.

Pompanın giriş (1 kesiti) ve çıkış (2 kesiti) arasındaki yükseklik farkı ihmal edilebilir yani

yazılabilir.

Daimi şartlar altında 1 ve 2 kesitleri arasında kalan su hacmi kontrol hacmi (KH) olarak seçilerek buraya

kütlenin korunumu uygulanırsa ifadesi elde edilir. Kütlesel debi aşağıdaki ifade ile elde edilebilir.

olarak elde edilir. Bunun dışında giriş ve çıkış kesit alanları eşit (A1=A2), akışkan da sıkıştırılamaz olduğundan giriş

ve çıkış hızları da birbirlerine eşittir yani:

Aynı KH’ye bu defa enerjinin korunumunu uygularsak

Denkliğini elde ederiz. Burada türbin olmadığı için türbin kaynaklı bir mekanik kayıp yoktur. Borulama sistemi ile

ilgili bir kayıptan da bahsedilmediği için 0 alınabilir. Bu durumda mekanik kayba sebep olan tek şey pompa

kaynaklı mekanik kayıplardır yani,

olur. Bunu da enerjinin korunumu denklemine eklersek


35

Bu değer tüm kayıplarından arındırılmış şekilde pompa tarafından akışkana aktarılan güçtür. Diğer yandan

elektrik motorunun verimi %88’dir yani kendisine verilen 100 birimlik gücün yalnızca 88 birimini mile

aktarabilmektedir. Bu durumda mile aktarılan güç,

olarak bulunur. Elektrik motorunun mile aktardığı güç ile milin pompaya aktardığı güç aynıdır yani

. İşte bu durumda pompanın verimi aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

(b) Pompaya mil ile aktarılan 14,08 kW’lık gücün sadece 9,23 kW’lık kısmı akışkana aktarılabilmiştir. Geriye

kalan fark ise sürtünme etkilerinden dolayı ısıl enerjiye dönüşür. Bu kayıp

kadardır ve bu kayıp nedeniyle akışkanda meydana gelen sıcaklık artışı aşağıdaki gibi olur.

Örnek 4.10.

Bir hidroelektrik güç santralindeki su 115 m

yükseklikten, 90 m3/s’lik debi ile türbine doğru akmaktadır.

Türbin ve bağlı bulunduğu jeneratör çiftinin toplam verimi

%82 ve şekilde de görüldüğü üzere 1 ile 2 noktası arasındaki

borulama sisteminde meydana gelen toplam tersinmez yük

kaybı 33 m olarak belirlendiğine göre üretilecek elektrik

gücünü hesaplayınız. Verimde %1’lik artış ne kadarlık bir

güce tekabül etmektedir, hesaplayınız.

Çözüm 4.10.

1 ve 2 noktası arasında yazılabilen enerji denklemi yükler cinsinden

şeklinde ifade edilir. Soruyu dikkatli bir şekilde irdelediğimizde her iki noktanın da atmosfere açık olduğunu

görürüz, bu da (etkin) olduğunu bizlere açıklar. Bu noktalardaki (geniş yüzey) akışkan parçacığının


36

hızı da neredeyse 0’dır yani denilebilir. Sistem içerisinde pompa da bulunmadığından = 0

diyebiliriz. Bu durumda nihai denklem aşağıdaki gibi olur.

olarak bulunur. Yük cinsinden elde edilen bu ifadeyi güce çevirelim.

Bu değer, suyun türbine aktardığı yani türbinin faydalanabileceği güçtür. Elbette ki gerçek hayatta

tersinmezliklerin varlığını yok sayamayacağımızdan, türbin bu gücün hepsinden fayda üretemez. Türbin jeneratör

çiftinin toplam verimi %82 olduğundan, üretilebilecek elektrik gücü aşağıdaki formülle hesaplanabilir.

Verimde %1’lik artış, elektrik gücüne

daha katkıda bulunabilir. Burada, %1 lik artış, matematiksel olarak küçük bir artış gibi gözükse de durum gerçekte

böyle değildir. Bu artış ciddi bir artıştır. Mesela bu artışla birlikte günlük elektrik gücü ihtiyacı 15 kW’yı aşmayan

48 evin daha ihtiyacına karşılık verebilir.

Örnek 4.11.

Suya 18 kW faydalı mekanik güç verebilen bir pompa

ile alçaktaki bir hazneden yüksekteki bir hazneye yandaki

şekilde de görüldüğü gibi 0,03 m3/s’lik bir debi ile su

basılmaktadır. İki hazne yüzeyi arasındaki yükseklik farlı 42

m’dir. Sistemde meydana gelen mekanik kayıpların yalnızca

%68’i borulardaki sürtünme kayıplarından kaynaklandığına

göre,

(a) Borulama sistemi kaynaklı mekanik güç kaybını belirleyiniz.

(b) Pompanın verimini hesaplayınız.


37

Çözüm 4.11.

(a) 1 ve 2 noktası arasında yazılabilen enerji denklemi güçler cinsinden

şeklinde ifade edilir. Soruyu dikkatli bir şekilde irdelediğimizde her iki noktanın da atmosfere açık olduğunu

görürüz, bu da (gösterge) olduğunu bizlere açıklar. Bu noktalardaki (geniş yüzey) akışkan

parçacığının hızı da neredeyse 0’dır yani denilebilir. Sistem içerisinde türbin bulunmadığından

= 0 diyebiliriz. Bu durumda nihai denklem aşağıdaki gibi olur.

Burada türbin olmadığı için türbin kaynaklı bir mekanik kayıp yoktur. Bu durumda toplam mekanik kayba

borulama sistemi ve pompa kaynaklı mekanik kayıplar sebep olmaktadır.

Bu eşitliği yarım bıraktığımız denklemdeki yerine yazarsak, borulama sistemi kaynaklı mekanik güç kaybı

(b) Bulunan bu değer toplam mekanik güç kaybının sadece %68’idir. Geriye kalan %32’lik mekanik kayıp pompa

kaynaklıdır. Bu da yaklaşık 2,67 kW’ya eşittir yani . Böylece pompanın verimi

aşağıdaki denklikle kolayca bulunabilir.


38

Örnek 5.1.

Yatay bir borudan akmakta olan14 kg/s debideki suyu (ρ=998 kg/m3) yatayla 30° açı yapacak şekilde

saptırarak hızlandırmak için daralan bir dirsek kullanılmaktadır. Dirsek sol üst kısmından bir destek elemanı ile

kaynaklanmıştır ve oluşan tepki kuvvetleri aşağıdaki şekil içerisinde gösterilmiştir. Su, daimi olarak dirsekten

atmosfere atılmaktadır. Dirseğin giriş ve çıkış kesitlerinin alanları sırasıyla 113 cm2 ve 7 cm

2’dir. Giriş ve çıkış

kesitlerinin merkezleri arasındaki seviye farkı ise 30 cm’dir. Dirseğin ağırlığı 120 N’dir ve içerisindeki suyun

ağırlığı da 105 N’dir. Bunun dışında dirseğin hem giriş hem de çıkış kesitinde tam gelişmiş türbülanslı akış vardır.

Bu durumda,

(a) Dirseğin giriş kesitinin merkezindeki etkin basıncı bulunuz.

(b) Dirseği yerinde tutmak için gereken kuvvet bileşenlerini hesaplayınız.

Çözüm 5.1.

(a) Akışın daimi olduğu soru içerisinde verilmiştir. Uygun bir KH’de soru içerisinde kesikli çizgilerle bizlere

verilmiştir. Sürtünme etkileri, soru içerisinde belirtilmediğinden büyük ihtimalle ihmal edilebilir yani Bernoulli

denklemi burada geçerlilik sağlamaktadır. Çıkış kısmında su atmosfere atıldığından bu kısımdaki etkin basınç

sıfırdır. Tek giriş ve tek çıkışın olduğu bu KH’ye kütlenin korunumu denklemi uygulanırsa

ifadesi elde edilir. Dirseğin hem giriş hem de çıkış kesitinde tam gelişmiş türbülanslı akış olduğundan β=1,025

alınabilir.

Giriş kesitinin tam orta noktası 1 ve çıkış kesitinin tam orta noktası 2 olmak üzere, Bernoulli denklemini iki

nokta arasında, yükler cinsinden uygularsak,

olur. Burada P1, V1 ve V2 bilinmemektedir. Hızlar, kütlesel debiler yardımı ile çıkarılabilir. Bu durumda,


39

olarak elde edilir ve Bernoulli denklemindeki yerlerine yazılırlarsa 1 noktasındaki basınç,

(b) Dirseği yerinde tutmak için gereken x doğrultusundaki kuvvet, x doğrultusunda yazılan daimi doğrusal

momentum denklemi ile bulunabilir.

x doğrultusunda kuvvet olarak sadece basınç kuvveti ve diğer kuvvetler içerisinde ele aldığımız destek

kuvvetinin x bileşeni bulunmaktadır.

Tek giriş ve tek çıkış yazarak toplam ifadesini kaldırırsak, x doğrultusunda yazılan doğrusal momentum

denkleminin son hali aşağıdaki gibi olur. Buradan destek kuvvetinin x bileşeni çekilirse,

Dirseği yerinde tutmak için gereken z doğrultusundaki kuvvet, z doğrultusunda yazılan daimi doğrusal

momentum denklemi ile bulunabilir.

z doğrultusunda kuvvet olarak çeşitli yerçekimi kuvvetleri ve diğer kuvvetler içerisinde ele aldığımız

destek kuvvetinin z bileşeni bulunmaktadır.


40

Tek çıkış yazarak toplam ifadesini kaldırırsak, z doğrultusunda yazılan doğrusal momentum denkleminin

son hali aşağıdaki gibi olur. Buradan destek kuvvetinin z bileşeni çekilirse,

elde edilir.

Örnek 5.2.

Yanda verilen şekil, bir yüzeyi su (ρ=999 kg/m3) ile

soğutmak için kullanılan lüleyi ve onun su borusu ile yaptığı

bağlantıyı göstermektedir. Soğutma işlemi esnasında su 0,6

L/s ile sabit debide akmaktadır. Lülenin giriş ve çıkış kısmının

çapları sırasıyla 16 mm ve 5 mm’dir ve bu kısımlardan geçen

akışkanın hız profili üniform kabul edilebilir. Lülenin kütlesi

0,12 kg, lüle içerisinde kalan suyun ağırlığı 0,0278 N, lüle

giriş kısmındaki mutlak basınç 464 kPa, kontrol hacmi

şekildeki kesikli bölge ve sürtünme etkileri ihmal edilebilir ise

dişli bağlantıya etkiyen net kuvveti hesaplayınız.

Çözüm 5.2.

Akışın soğutma işlemi esnasında daimi olduğu soru içerisinde verilmiştir. Uygun bir KH’de soru içerisinde

kesikli çizgilerle bizlere verilmiştir. Sürtünme etkileri de ihmal edilebilir denilmiştir. Bu veriler bize Bernoulli

denklemi lüle giriş ve çıkış kısımları arasında geçerlilik sağladığını göstermektedir.

Çıkış kısmında su atmosfere atıldığından bu kısımdaki etkin basınç sıfırdır. Bunun yanı sıra yan

yüzeylerindeki etkin basınçta sıfırdır. Lüle giriş kısmındaki etkin basınç ise 464 kPa – 101,325 kPa = 362,675 kPa

olmaktadır.

Tek giriş ve tek çıkışın olduğu lülenin iç yüzeyi KH olarak seçilip kütlenin korunumu denklemi

uygulanırsa ifadesi elde edilir. Bunları aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.


41

Lülenin hem giriş hem de çıkış kesitinde hız profili üniform olduğundan β=1 alınır.

Dişli bağlantıya etkiyen z doğrultusundaki net kuvvet, z doğrultusunda yazılan daimi doğrusal momentum

denklemi ile bulunabilir.

z doğrultusunda kuvvet olarak su ve lüle için yerçekimi kuvvetleri, basınç kuvveti ve diğer kuvvetler

içerisinde ele aldığımız destek kuvveti bulunmaktadır.

Tek giriş ve tek çıkış yazarak toplam ifadesini kaldırırsak, z doğrultusunda yazılan doğrusal momentum

denkleminin son hali aşağıdaki gibi olur.

Buradan dişli bağlantıya etkiyen z doğrultusundaki net kuvvet çekilirse,

ifadesi elde edilir. Bu ifadeye denklem 1 dersek, burada üç adet bilinmeyenimiz ( vardır.

Denklemin çözülebilmesi için iki adet denkleme daha ihtiyacımız vardır. Lülenin giriş ve çıkış kesitlerinin tam orta

noktaları arasında Bernoulli denklemi yazılırsa,


42

olarak bulunur ki bu da 2. denklemimizdir. Son denklemimiz ise kütlenin korunumundan elde edilir.

Bu 3. denklem, 2. denklemde yerine yazılırsa,

olarak elde edilir. Bu da 3. denklemde yerine yazılırsa

elde edilir. Bu elde edilen değerler de 1. denklemde yerine yazılırsa,

olarak bulunur. Değeri pozitif çıktığından yönü yukarı tarafa doğrudur.

Örnek 5.3.

Ortalama hızı bir lüle ile 25 m/s’ye çıkartılan 8,5 kg/s

debiye sahip su jeti, sabit, dairesel bir plakaya dik olarak

çarpmaktadır. Plaka yüzeyine çarpan su, plaka üzerinden

ayrılmadan her yöne eşit şekilde dağılmaktadır. Kontrol hacmi,

şekil içerisinde kesikli çizgi ile belirtilmiştir ve akış daimidir.

Momentum akısı düzeltme faktörünü β =1,03 alarak plakayı

yerinde sabit tutabilmek için yatay yönde uygulanması gereken

net kuvveti hesaplayınız.


43

Çözüm 5.3.

Akışın daimi olduğu soru içerisinde verilmiştir. Uygun bir KH’de soru içerisinde kesikli çizgilerle bizlere

verilmiştir. Kütlesel debi de verilmiştir. Lüleden çıkan su jeti atmosfere çıkış yapmıştır dolayısıyla hem KH’ye

giren hem de KH’den çıkan suyun basıncı Patm’dir. Plakanın ağırlığı yatay yönde etkimemektedir. Bu durumda x

doğrultusunda yazılan daimi doğrusal momentum denklemi aşağıdaki gibi olur.

x doğrultusunda kuvvet olarak sadece diğer kuvvetler içerisinde ele aldığımız destek kuvvetinin x bileşeni

bulunmaktadır.

Tek giriş yazarak toplam ifadesini kaldırırsak, x doğrultusunda yazılan doğrusal momentum denkleminin

son hali ve çıkan sonuç aşağıdaki gibi olur.

Örnek 1.1. · 2018. 9. 25. · akıúkanlar mekaniği i 3 t 2 = 40°c ise β = 38,5 × 10-5 k-1...

Documents