robotlu esnek Üretim sistemlerinde Çizelgeleme

Université de Liège 1/42 Hakan Gültekin

Robotlu Esnek Üretim Sistemlerinde Çizelgeleme


• Giriş ve genel problem tanımı

• Çeşitli esnekliklerin varlığında robotlu hücre çizelgeleme problemi:

- Tam esnek döngüler

- Dizayn problemleri

- Kesici uç kısıtları

- İki kriterli robotik çizelgeleme

- İki kriterli robotik operasyon ataması

• Sonuç ve muhtemel araştırma alanları

• Devam eden araştırma

İçerik


Robotik Hücre

GirişRobotik Hücreler

Montaj Hatları

M1 M2 Mm

...

Giriş Stoğu Çıkış Stoğu

Robot Doğrusal Raylar

Parçalar

VarsayımlarTanımlarEsneklik


• İki makina arasında stok alanı yok

• Robot makinalar arası parça taşıması ve makinaların yüklenip boşaltılmasından sorumlu

• Makina yükleme/boşaltma zamanı:

• İki komşu makina arası robot hareket zamanı:


Montaj Hatları

Varsayımlar



• Döngü zamanı: Bir parçanın üretimi için uzun dönemde gereken ortalama zaman

• Üretim hızının en büyüklenmesi = Döngü zamanının enküçüklenmesi

• Döngüsel üretim: Aynı robot hareketlerinin sürekli tekrarlanmasıyla yapılan üretim, uygulanması ve kontrolü kolay

• Robot zaten dolu bir makinayı yüklemeye ve zaten boş olan bir makinayı boşaltmaya çalışmaz

Varsayımlar



Montaj Hatları


• Her parçanın üretiminin tamamlamabilmesi için makinalarda belirli sayıda işlemden geçmesi gerekiyor

• Esneklik

• Kesici uçlar

• CNC makinalar

• Bu işlemlerin hangi makinalarda yapılacağı bir karar değişkeni

Varsayımlar



Montaj Hatları


• n-birim döngüsü: Hücrenin ilk ve son durumları aynı olacak şekilde her bir makinanın n defa yüklenip boşaltılmasından

oluşan robot hareket döngüsü

S1seminer.exe S2seminer.exe

S1:A0A1A2 S2:A0A2A1 S12S21:A0A1A0A2A1A2

S12s21.exe

• Ai: i’ıncı makinayı boşaltıp parçayı bir sonraki makinaya, (i+1) taşımak ve bu makinayı yüklemekten oluşan robot hareketleri

Tanımlar



Montaj Hatları


Gerekli operasyonlar (o1,o2,o3,o4,o5)

(o1,o2)

k

M1 M2

(o3,o4,o5)(o2,o3,o5) (o1,o4)

(o4) (o1,o2,o3,o5)

(o1,o2)

k

(o3,o4,o5)(o2,o3,o5) (o1,o4)

(o4) (o1,o2,o3,o5)

k-periyotlu üretim



Montaj Hatları


• 2-makinalı bir robotik hücre ve S2 robot hareket döngüsünü ele alalım

• =1, =2, o1=13, o2=17, o3=10, o4=5 ve o5=5 olsun

1-periyotlu S2: P1=o1+o3=23, P2=o2+o4+o5=27

TS2(1)= 4+4+max{2+4, P1, P2} = 39

2-periyotlu S2: P11=o1+o3=23, P12=o2+o4+o5 = 27, P21=o2+o4+o5=27, P22=o1+o3 = 23

TS2(2)= 4+4+1/2max{2+4, P11, P22} +1/2max{2+4, P21, P12} = 37

Esneklik



Montaj Hatları


• Esnek döngüler: Her bir aktiviteyi bir defa tamamlayıp ilk duruma geri dönen döngüler

• Li: Giriş stoğundan bir parça alıp i’ıncı makinayı yükle

• Ui: i’ıncı makinadaki parçayı boşaltıp çıkış stoğuna bırak

• m-makinalı hücre: (2m-1)! esnek döngü

3_mc_proposed.exe


Montaj Hatları

Esnek döngüler

Esnek DöngülerDizayn ProlemleriKesici Uç Kısıtlarıİki Kriterli Çizelgeleme

• C1m: L1LmUm-1Lm-1...U2L2U1Um

• C2m: L1UmLmUm-1Lm-1...U2L2U1


TSP modeli


• Her Li ve Ui aktivitesini bir şehirmiş gibi düşünürsek, en düşük döngü zamanını bulmak için aşağıdaki mesafe matrisini kullanan bir TSP modeli kurabiliriz

Lj Uj

Li 2+(i+j) 2+(m+1-j+|i-j|)+wj

Ui 2+(m+1+j) 2+2(m+1-j)+wj

• wj değişken


Montaj Hatları


TSP modeli


1 1 1 1

:

(1 ) , , :

( (2 )) (1 ) ,

1,

1,

{0,1}, ,

k l lk lk lk

l l L lL L

lkk

lkl

lk

Min T

Kısıtlar

t t d x x M l k l k

T t x d x M l

x l

x k

x l k

1, eğer l aktivitesi k aktivitesinden hemen önce yapılıyorsa

0, değilse lkx

İki değişkenin çarpımı


Montaj Hatları


TSP modeli


• Doğrusallaştırıktan sonra CPLEX 9.0 çözücüsüyle çeşitli denemeler yapıldı

Makina sayısı

CPU zamanı

(saniye)

4 7.72

5 1866.7

6805184.4

(%7.33 boşluk)


Montaj Hatları


Lemma: (4m-6)+2(m2-2)< P ≤ (4m-6)+2(m2+m-3)aralığında T(C1

m) ≤ (1+1/(2m))T*

İki özel döngü


Teorem: C1m döngüsü bütün akış tipi döngülerden daha düşük bir

döngü zamanı verir

Teorem: Eğer P ≤ (4m-6)+2(m2-2) ise, C1m optimal,

eğer P ≥ (4m-4) + 2(m-1)(m+2) , C2m optimal

Lemma: (4m-6)+2(m2+m-3)≤ P < (4m-4) + 2(m-1)(m+2) ise

1. P ≤ (4m-4) + 2(m2-1) ise T(C2m) < (1+1/(m+1))T*

2. Değilse, T(C2m) < (1+1/(2m-1))T*


Montaj Hatları


Teorem: Robotik hücrenin yerleşimini “doğrusal robotik hücre” diziliminden “robot merkezli hücre” dizilimine çevirmek C1 ve C2 döngülerinin zamanını kısaltırken diğer akış tipi döngülerin zamanında bir değişikliğe sebep olmaz

Yerleşim problemi



Montaj Hatları


Theorem: C1 döngüsü için optimal makina sayısı, m*, aşağıdaki iki tam sayıdan bir tanesidir,

2 2

2 2

1/ ( ( ) / 2 6 8 ) ya da

1/ ( ( ) / 2 6 8 ) 1

P

P

Sistemdeki makina sayısı


2 2

2 2

1/ 2 (4 2 12 2 ) ya da

1/ 2 (4 2 12 2 ) 1

P

P

Theorem: C2 döngüsü için optimal makina sayısı, m*, aşağıdaki iki tam sayıdan bir tanesidir,


Montaj Hatları


• Kesici uç hazne kapasitesi sınırlı

• Çoğu durumda gerekli uç sayısı hazne kapasitesinden fazladır

Her parça için 3 değişik operasyon kümesi:

1. Sadece ilk makinada işlenebilecek operasyonlar, toplam işlem zamanı: PM1

2. Sadece ikinci makinada işlenebilecek operasyonlar, toplam işlem zamanı: PM2

3. Her iki makinada da işlenebilecek olan operasyonlar, toplam işlem zamanı: P

• Kesici uç maliyeti

Problem tanımı



Montaj Hatları


Teorem: S2 döngüsü altında en düşük döngü zamanı 2-periyotlu üretim altında elde edilir

Teorem: S12S21 döngüsü altında en düşük döngü zamanı 2-periyotlu üretim altında elde edilir

Lemma: S1, S2 ya da S12S21 döngülerinden en az bir tanesi herhangi bir n-birim robot hareket döngüsünden küçük ya da eşit bir çevrim zamanına sahiptir

Çözüm kümesi



Montaj Hatları


1. P1 + P2 ≥ 2ise, en düşük döngü zamanını S2 verir,2. Değilse, 2.1. 2P + P1 + P2 ≤ 2, ise en düşük döngü zamanını S2 verir 2.2. Değilse, 2.2.1. 2P1 + P2 + P ≤ 2 + 6ise en düşük döngü zamanını

S12S21 verir, 2.2.2. Değilse, S2 döngüsü için operasyonların atanmasına

bağlı olarak S2 ya da S12S21 döngülerinden bir tanesi en düşük döngü zamanını verir

Teorem:


Çözüm aralıkları


Montaj Hatları


PM2 = PM1

Grafik.exe


Hassaslık analizi


Montaj Hatları


• Diğer taraftan bu değişiklik üretim maliyetlerini de etkiler

• Çizelgeleme problemleri için iki ana kriter: Zaman ve Maliyet

• Robotik hücre çizelgelemesi literatüründe maliyet kriterini ele alan herhangi bir çalışma yok

• Makinaların çalışma parametrelerinin değiştirilmesi işlem zamanlarını bu da döngü zamanını etkiler


İki kriterli çizelgeleme


Montaj Hatları


İşlem zamanı

Maliyet

İşletme Maliyeti

Kesici Uç Maliyeti

Toplam Üretim Maliyeti

Pl Pu


Maliyet fonksiyonları

• Herhangi bir konveks, sürekli maliyet fonksiyonu


Maliyet fonksiyonları


Montaj Hatları


Döngü ZamanıTl Tu

Üretim Maliyeti

Cl

A

B

C

Başatlanmış Çözüm

Başatlanmayan Çözümler


Etkin çözümler


Montaj Hatları


Min Toplam üretim maliyeti Min Döngü zamanı Kısıtlar Pi

l ≤ Pi ≤ Piu i

Min Toplam üretim maliyeti Kısıtlar Döngü zamanı ≤ T Pi

l ≤ Pi ≤ Piu i

• KKT şartları

• Maliyetin döngü zamanının bir fonksiyonu olarak yazılması

Epsilon-kısıtlı problem


İki kriterli model


Montaj Hatları


Teorem :

1. T ≤ 6+7 ise, S1, bütün diğer

döngüleri başatlar 2. T ≥ 6+8 ise,

bütün diğer döngüleri başatlar

• S1 ve S2 için etkin çözümlerin kümesini belirledik


Döngülerin karşılaştırılması


Montaj Hatları


• Altı tane 1-birim döngüsü: S1, …, S6

• Geri kalan parametre aralığında çözüm S1, S3 ve S5 döngülerinin birbirleriyle karşılaştırılmasıyla elde edilir

Teorem : S6, S2 ve S4’ü başatlar

Teorem : S6 alabildiği bütün döngü zamanları için, bütün diğer döngüleri başatlar


3-makinalı hücreler

• Geri kalan döngüler için etkin çözümlerin kümesini belirledik


Montaj Hatları


1 21 1

S1 için döngü zamanı 6 6p p

i i i ii i

x t x t

1 21 1

S2 için döngü zamanı max{6 8 ,4 4 ,4 4 }p p

i i i ii i

x t x t

p

ii 1

1 2

Li

Min f ( )

Kısıtlar Döngü zamanı T

1,

t ,

{0,1}, ,

i

i i

Ui i

ij

t

x x i

t t i

x i j


İki kriterli operasyon ataması


Montaj Hatları


M1 M2 Mi MpMj… … …

Ttl

* > tl

L th*

= thL

Lemma: Her operasyon için aşağıdaki gibi belirli kırılmanoktaları vardır

∂fl(tl*) = ∂fk(tk

*), k, l : Mk,Ml < T

∑l tl*

= TTeorem:

• Herhangi bir atama problemi yok


S1 için çözüm


Montaj Hatları


• S2 için operasyon atama problemi NP-Tam’dır

• Problem formülasyonu: Karışık tam sayılı, Doğrusal olmayan

• Başatlanmayam çözümleri bulmak için prosedür:

• “Fark Metodunu” kullanarak operasyon atamalarını belirle

• Eldeki noktadan yola çıkarak yeni bir başatlanmayan nokta bul

• Her bir makinadaki işlem zamanlarını birbirinden bağımsız olarak belirle

• Min döngü zamanı-max maliyet ve max döngü zamanı-min maliyet noktalarını bul


S2 için çözüm


Montaj Hatları


Döngü zamanı

Maliyet M1 M2 20 22

22

TL TU

CL

CU

EFFRONT algoritması



Montaj Hatları


Faktör Tanım Seviye 1 Seviye 2 Seviye 3

A Operasyon sayısı 20 50 80

B tL-tU aralığı 0.8 0.5

C tU varyansı 0.7 0.3

D tU seviyesi 5 10

• Aşağıdaki parametre seviyelerini kullanan deneysel çalışma

• Herbir problem seçeneği için EFFRONT algoritmasını çalıştır, eşit aralıklı 20 farklı nokta seç

• Bu 20 nokada EKP’i GAMS-DICOPT ve GAMS-BARON kullanarak çöz

• Herbir problem seçeneğinden 5 tekrar

• Toplam 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 20 = 2400 problem


Deney çalışması


Montaj Hatları


A (E-D)/D (E-B)/B (D-B)/B

> 0 = 0 < 0 > 0 = 0 < 0 > 0 = 0 < 0

20Sayı 90 6 704 387 2 411 699 101 0

Ort (x10-6) 0.43 - -31.40 0.78 - -49.36 2.98 - -

50Sayı 154 5 641

Ort (x10-6) 0.09 - -2.43

80Sayı 214 5 581

Ort (x10-6) 0.07 - -26.09


Sonuçların özeti


Montaj Hatları


EFFRONT DICOPT BARON

A Nota sayısı CPU CPU CPU

20 19524 18.6 85.08 1745.95

50 22957 85.86 892.27 -

80 12990 103.75 963.41 -


CPU zamanları


Montaj Hatları


• Değişik esneklik kaynaklarını ve bunların etkilerini inceleyen ilk çalışma

• Bu literatürde dizayn problemlerini ilk defa ele aldık

• Yeni bir robot hareket türünü ilk defa tanımladık ve etkinliğini ispatladık

• Problemi iki-kriterli olarak modelleyip çözen ilk çalışma

• Maliyet kaynaklı amaç fonksiyonlarını ele alan ilk çalışma

• Çözülebilir durumlar için en iyi çözümleri bulduk, geri kalan durumlar için karmaşıklık analizleri yaptık ve etkin sezgisel algoritmalar geliştirdik

Katkılar


Montaj Hatları

Literatüre katkılarGelecek Araştırma AlanlarıReferanslar


• Farklı parça tipleri: parça sıralaması problemi

• Değişik hücre konfigürasyonları için iki-kriterli modeller

• Farklı tip CNC makinaları

• Operasyon ve dizayn problemlerinin eş zamanlı ele alınması

• İki tutuculu robotlar

Gelecek araştırma alanları


Montaj Hatları



Referanslar

• M.S. Akturk, H. Gultekin, O.E. Karasan, Robotic cell scheduling with operational flexibility, Discrete Applied Mathematics, 145:334-348, 2005.• H. Gultekin, M.S.Akturk, O.E.Karasan, Cyclic scheduling of a 2-machine robotic cell with tooling constraints, European Journal of Operations Research, 174:777-796, 2006.• H. Gultekin, M.S.Akturk, O.E.Karasan, Robotic cell scheduling in 3-machine flexible manufacturing cells, Computers & Operations Research, 34:2463-2477, 2007.• H. Gultekin, M.S.Akturk, O.E.Karasan, Scheduling in robotic cells: process flexibility and cell layout, International Journal of Production Research, basımda.• H. Gultekin, M.S.Akturk, O.E.Karasan, Bicriteria robotic cell scheduling, Journal of Scheduling, kabul edildi.• H. Gultekin, M.S.Akturk, O.E.Karasan, Pure cycles in flexible robotic cells, Computers & Operations Research, yollandı. • H. Gultekin, M.S.Akturk, O.E.Karasan, Bicriteria robotic operation allocation, devam ediyor.


Montaj Hatları



Problem tanımı


Montaj Hatları

M1 M2 Mm

...

Giriş Stoğu Çıkış StoğuAra stok Ara stok

• Esnek makinalardan oluşan akış tipi sistem

• İki makina arasında kapasitesi sınırlı ya da sınırsız olan ara stok

• NP-Zor

• Her operasyonun işlenebileceği makinalar belirli, o i={Mi1,...Mip

}

• Amaç üretim hızını en büyükleyecek şekilde her operasyonun işleneceği makinaya karar vermek

• Belirli sayıda operasyondan oluşan sınırlı ya da sınırsız sayıda tek tip parça

Problem TanımıSonuçların ÖzetiYapılacaklar


Özel durumlar

• 2-makinalı sistem

• İki makinadan herhangi birisinde işlenebilecek tek bir operasyon, işlem zamanı: S

• Mi makinasında işlenecek belirli operasyonlar, işlem zamanı: Fi

• Basit bir örnek: Sınırsız ara stok kapasitesi, sınırsız sayıda tek tip parça, F1=15, F2=20, S=15

M1

M2

…30 30

20 20

Döngü zamanı=30İlk alternatif


Montaj Hatları



Örnek (devam)

M1

M2

…30 15 30 30

20 35 20 35

En iyi çözüm döngü zamanı= (F1+F2+S)/2 = 25

30

20

Aynı atama sırası tekrar ediyor

M1

M2

…15 30

35 20

Döngü zamanı=27,515 30

35

Daha iyi bir çözüm


Montaj Hatları



Özet Tablo

Ara stok

Parça sayısı0 Sınırlı Sınırsız

Sınırlı Devam ediyor... Devam ediyor...

Sabit zamanda Johnson’un

algoritmasının çözümüne ulaşılabiliyor

SınırsızSabit zamanda

çözen bir algoritma

Ara stok ≥ 3 durumunda her parça için atamalara karar veren bir algoritma

m ≥ 2 için sabit zamanda çözen bir algoritma


Montaj Hatları



Bir sonraki adım

• Esnek operasyon sayısının birden fazla olması

• Makina sayısının 3 ve m ≥ 4 olduğu durumlar

• Esnek operasyonların bütün makinalara atanabileceği durumlar

• Sadece ardışık iki makina arasında esnek operasyonların olduğu durumlar

• Her operasyonun atanabileceği kendisine ait bir makina kümesinin olduğu durumlar


Montaj Hatları



http://www.ie.bilkent.edu.tr/~robot

SORULAR?

robotlu esnek Üretim sistemlerinde Çizelgeleme

Documents