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Capıtulo 30 - Indutancia
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
8 de novembro de 2011
Capıtulo 30 - Indutancia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.
I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Capıtulo 30 - Indutancia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.
I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Capıtulo 30 - Indutancia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.
I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Capıtulo 30 - Indutancia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.
I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Capıtulo 30 - Indutancia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.
I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Capıtulo 30 - Indutancia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.
I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Capıtulo 30 - Indutancia
Introducao
1. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem em outra bobinaadjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas e descrita pela indutancia mutua.
3. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relacao entre a corrente e a fem na propria bobina depende daindutancia(auto-indutancia).
Capıtulo 30 - Indutancia
Introducao
1. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem em outra bobinaadjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas e descrita pela indutancia mutua.
3. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relacao entre a corrente e a fem na propria bobina depende daindutancia(auto-indutancia).
Capıtulo 30 - Indutancia
Introducao
1. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem em outra bobinaadjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas e descrita pela indutancia mutua.
3. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relacao entre a corrente e a fem na propria bobina depende daindutancia(auto-indutancia).
Capıtulo 30 - Indutancia
Introducao
1. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem em outra bobinaadjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas e descrita pela indutancia mutua.
3. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relacao entre a corrente e a fem na propria bobina depende daindutancia(auto-indutancia).
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 · kdS = N2B1(πR21 )
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 · kdS = N2B1(πR21 )
Φ2(1) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I1
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 · kdS = N2B1(πR21 )
Φ2(1) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2
L(πR2
1 )
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 · kdS = N2B1(πR21 )
Φ2(1) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2
L(πR2
1 )
I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:
~B2 = µ0N2
LI2 k 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 k 0r > R2
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 · kdS = N2B1(πR21 )
Φ2(1) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2
L(πR2
1 )
I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:
~B2 = µ0N2
LI2 k 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 k 0r > R2
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 · kdS = N1B2(πR21 )
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 · kdS = N2B1(πR21 )
Φ2(1) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2
L(πR2
1 )
I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:
~B2 = µ0N2
LI2 k 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 k 0r > R2
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 · kdS = N1B2(πR21 )
Φ1(2) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I2
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 · kdS = N2B1(πR21 )
Φ2(1) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2
L(πR2
1 )
I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:
~B2 = µ0N2
LI2 k 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 k 0r > R2
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 · kdS = N1B2(πR21 )
Φ1(2) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I2
Φ1(2) = L12I2 ; L12 = µ0N1N2
L(πR2
1 )
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutancia Mutua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:
~B1 = µ0N1
LI1 k 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 k 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫S2
~B1 · kdS = N2B1(πR21 )
Φ2(1) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2
L(πR2
1 )
I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:
~B2 = µ0N2
LI2 k 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 k 0r > R2
Φ1(2) = N1
∫S1
~B2 · kdS = N1B2(πR21 )
Φ1(2) = µ0N1N2
L(πR2
1 )I2
Φ1(2) = L12I2 ; L12 = µ0N1N2
L(πR2
1 )
I Veja que L12 = L21 e a indutancia mutua.
I No S.I. a unidade de indutancia mutua1Henry = Wb
A.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Φ1(1) = µ0N2
1
L(πR2
1 )I1
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Φ1(1) = µ0N2
1
L(πR2
1 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2
1
L(πR2
1 )
I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Φ1(1) = µ0N2
1
L(πR2
1 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2
1
L(πR2
1 )
I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.
I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 · kdS = N2B2(πR22 )
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Φ1(1) = µ0N2
1
L(πR2
1 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2
1
L(πR2
1 )
I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.
I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 · kdS = N2B2(πR22 )
Φ2(2) = µ0N2
2
L(πR2
2 )I2
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Φ1(1) = µ0N2
1
L(πR2
1 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2
1
L(πR2
1 )
I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.
I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 · kdS = N2B2(πR22 )
Φ2(2) = µ0N2
2
L(πR2
2 )I2
Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0N2
2
L(πR2
2 )
I L22 e a auto-indutancia da bobina 2.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Φ1(1) = µ0N2
1
L(πR2
1 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2
1
L(πR2
1 )
I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.
L1L2 = µ20
N21N
22
L2(π2R2
1R22 )
I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 · kdS = N2B2(πR22 )
Φ2(2) = µ0N2
2
L(πR2
2 )I2
Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0N2
2
L(πR2
2 )
I L22 e a auto-indutancia da bobina 2.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Φ1(1) = µ0N2
1
L(πR2
1 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2
1
L(πR2
1 )
I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.
L1L2 = µ20
N21N
22
L2(π2R2
1R22 )√
L1L2 = µ0N1N2
L(πR1R2) = L12
R2
R1
I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 · kdS = N2B2(πR22 )
Φ2(2) = µ0N2
2
L(πR2
2 )I2
Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0N2
2
L(πR2
2 )
I L22 e a auto-indutancia da bobina 2.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫S1
~B1 · kdS = N1B1(πR21 )
Φ1(1) = µ0N2
1
L(πR2
1 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2
1
L(πR2
1 )
I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.
L1L2 = µ20
N21N
22
L2(π2R2
1R22 )√
L1L2 = µ0N1N2
L(πR1R2) = L12
R2
R1
I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫S2
~B2 · kdS = N2B2(πR22 )
Φ2(2) = µ0N2
2
L(πR2
2 )I2
Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0N2
2
L(πR2
2 )
I L22 e a auto-indutancia da bobina 2.
L12√L1L2
=R1
R2= K < 1 p/R1 < R2
L12√L1L2
=R1
R2= K = 1 p/R1 = R2
L12√L1L2
=R1
R2= K > 1 p/R1 > R2
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
ε1 = −dΦ1
dt
ε2 = −dΦ2
dt
I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
ε1 = −dΦ1
dt
ε2 = −dΦ2
dt
ε1 = −L11dI1
dt− L12
dI2
dt
ε2 = −L21dI1
dt− L22
dI2
dt
I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
ε1 = −dΦ1
dt
ε2 = −dΦ2
dt
ε1 = −L11dI1
dt− L12
dI2
dt
ε2 = −L21dI1
dt− L22
dI2
dt
I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
ε1 = −dΦ1
dt
ε2 = −dΦ2
dt
ε1 = −L11dI1
dt− L12
dI2
dt
ε2 = −L21dI1
dt− L22
dI2
dt
I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.
I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnetico e dado por:
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.
I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnetico e dado por:
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.
I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnetico e dado por:
B =µ0Ni
2πr
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.
I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnetico e dado por:
B =µ0Ni
2πr
ΦB = N
∫~B · ~A = NBA =
µ0N2iA
2πr
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.
I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnetico e dado por:
B =µ0Ni
2πr
ΦB = N
∫~B · ~A = NBA =
µ0N2iA
2πr
L =dΦB
di
Capıtulo 30 - Indutancia
Indutores e Auto-Indutancia
Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.
I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnetico e dado por:
B =µ0Ni
2πr
ΦB = N
∫~B · ~A = NBA =
µ0N2iA
2πr
L =dΦB
di
L =µ0N2A
2πr
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma correntefinal If = I em um indutor com indutancia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A potencia em um indutor sera dada por:
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma correntefinal If = I em um indutor com indutancia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A potencia em um indutor sera dada por:
P = Vab i
Vab = Ldi
dt
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma correntefinal If = I em um indutor com indutancia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A potencia em um indutor sera dada por:
P = Vab i
Vab = Ldi
dt
P = Lidi
dt=
dU
dt
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma correntefinal If = I em um indutor com indutancia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A potencia em um indutor sera dada por:
P = Vab i
Vab = Ldi
dt
P = Lidi
dt=
dU
dt
dU = Pdt = Lidi
dtdt
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Energia armazenada em um indutorI Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutancia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A potencia em um indutor sera dada por:
P = Vab i
Vab = Ldi
dt
P = Lidi
dt=
dU
dt
dU = Pdt = Lidi
dtdt
dU = Lidi
U = L
∫ I
0idi
U =1
2LI2
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
L =µ0N2A
2πr
U =1
2LI2
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
L =µ0N2A
2πr
U =1
2LI2
U =1
2
µ0N2A
2πrI2
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
L =µ0N2A
2πr
U =1
2LI2
U =1
2
µ0N2A
2πrI2
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
L =µ0N2A
2πr
U =1
2LI2
U =1
2
µ0N2A
2πrI2
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
u =U
V
u =1
2
µ0N2A
2πrI2 1
2πrA
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
L =µ0N2A
2πr
U =1
2LI2
U =1
2
µ0N2A
2πrI2
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
u =U
V
u =1
2
µ0N2A
2πrI2 1
2πrA
u =1
2µ0
N2I2
(2πr)2
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
L =µ0N2A
2πr
U =1
2LI2
U =1
2
µ0N2A
2πrI2
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
u =U
V
u =1
2
µ0N2A
2πrI2 1
2πrA
u =1
2µ0
N2I2
(2πr)2
B2
µ20
=N2I2
(2πr)2
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica
I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.
I Para um solenoide toroidal ideal temos que:
L =µ0N2A
2πr
U =1
2LI2
U =1
2
µ0N2A
2πrI2
I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnetica sera
dada por:
u =U
V
u =1
2
µ0N2A
2πrI2 1
2πrA
u =1
2µ0
N2I2
(2πr)2
B2
µ20
=N2I2
(2πr)2
u =1
2
B2
µ0
Capıtulo 30 - Indutancia
Energia do Campo Magnetico
Densidade de Energia Magnetica e Eletrica
I A densidade de energia eletrica e dada
por:
u =1
2ε0E
2
I A densidade de energia magnetica e dada
por:
u =1
2
B2
µ0
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dt
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
R
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =1
R(ε− Ae−t/τL )
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =1
R(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0[di(t)dt
]t=06= 0 e i(0) = 0,
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =1
R(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0[di(t)dt
]t=06= 0 e i(0) = 0,
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =1
R(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0[di(t)dt
]t=06= 0 e i(0) = 0,
[di(t)
dt
]t=0
=ε
L[di(t)
dt
]t=0
=1
R
[dε
dt+
A
τLe−t/τL
]t=0
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =1
R(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0[di(t)dt
]t=06= 0 e i(0) = 0,
[di(t)
dt
]t=0
=ε
L[di(t)
dt
]t=0
=1
R
[dε
dt+
A
τLe−t/τL
]t=0
ε
L=
A
RτL
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =1
R(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0[di(t)dt
]t=06= 0 e i(0) = 0,
[di(t)
dt
]t=0
=ε
L[di(t)
dt
]t=0
=1
R
[dε
dt+
A
τLe−t/τL
]t=0
ε
L=
A
RτL
A =εRτL
L=εR
L
L
R= ε
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dtu(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt= −
1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +L
R
du(t)
dtdu(t)
u(t)= −
R
Ldt∫
du(t)
u(t)= −
∫R
Ldt
ln[u(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =1
R(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0[di(t)dt
]t=06= 0 e i(0) = 0,
[di(t)
dt
]t=0
=ε
L[di(t)
dt
]t=0
=1
R
[dε
dt+
A
τLe−t/τL
]t=0
ε
L=
A
RτL
A =εRτL
L=εR
L
L
R= ε
i(t) =ε
R(1− e−t/τL )
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0[di(t)dt
]t=06= 0 e i(0) = 0,
[di(t)
dt
]t=0
=ε
L[di(t)
dt
]t=0
=1
R
[dε
dt+
A
τLe−t/τL
]t=0
ε
L=
A
RτL
A =εRτL
L=εR
L
L
R= ε
i(t) =ε
R(1− e−t/τL )
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR
.
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR
.
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR
.
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR
.
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dtdi(t)
dt= −
R
Li(t)
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR
.
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dtdi(t)
dt= −
R
Li(t)∫
di(t)
i(t)= −
∫R
Ldt
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR
.
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dtdi(t)
dt= −
R
Li(t)∫
di(t)
i(t)= −
∫R
Ldt
ln[i(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
R
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dtdi(t)
dt= −
R
Li(t)∫
di(t)
i(t)= −
∫R
Ldt
ln[i(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ri(t) = A exp[−t/τL]
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dtdi(t)
dt= −
R
Li(t)∫
di(t)
i(t)= −
∫R
Ldt
ln[i(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ri(t) = A exp[−t/τL]
i(∞) = i0 =ε
R= A
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dtdi(t)
dt= −
R
Li(t)∫
di(t)
i(t)= −
∫R
Ldt
ln[i(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ri(t) = A exp[−t/τL]
i(∞) = i0 =ε
R= A
i(t) = i0 exp[−t/τL]
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L
Diminuicao da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dtdi(t)
dt= −
R
Li(t)∫
di(t)
i(t)= −
∫R
Ldt
ln[i(t)] = −R
Lt + A1 ; τL =
L
Ri(t) = A exp[−t/τL]
i(∞) = i0 =ε
R= A
i(t) = i0 exp[−t/τL]
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√LC
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√LC
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√LC
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√LC
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√LC
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√LC
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√LC
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
q(t = 0) = q0 = A cos(φ)
i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C− L
di(t)
dt
i(t) =dq(t)
dt
d2q(t)
dt2= −
1
LCq(t) = −ω2
0q(t)
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√LC
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
q(t = 0) = q0 = A cos(φ)
i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)
A =√
q20 + (i0/ω0)2
φ = arctan
[−
i0
q0ω0
]
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±√γ2 − ω2
0 = −γ ± ω2
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±√γ2 − ω2
0 = −γ ± ω2
ω1 =√ω2
0 − γ2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crıtico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±√γ2 − ω2
0 = −γ ± ω2
ω1 =√ω2
0 − γ2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crıtico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±√γ2 − ω2
0 = −γ ± ω2
ω1 =√ω2
0 − γ2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crıtico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt− Ri(t)−
q(t)
C
0 =d2q(t)
dt2+
R
L
dq(t)
dt+
1
LCq(t)
0 =d2q(t)
dt2+ 2γ
dq(t)
dt+ ω2
0q(t)
ω0 =1√LC
; γ =R
2L
q(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq(t)
dt= λqeλt
d2q(t)
dt2= λ2qeλt = λ2q(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±√γ2 − ω2
0 = −γ ± ω2
ω1 =√ω2
0 − γ2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crıtico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
q(t = 0) = q0 = A cos(φ)
i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)
Capıtulo 30 - Indutancia
O Circuito R-L-C em serie
O Circuito R-L-C em serie
q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i(t) =dq(t)
dt= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
q(t = 0) = q0 = A cos(φ)
i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)
A =√
q20 + (i0/ω0)2
φ = arctan
[−
i0
q0ω0
]