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oaquimrofessorEmail: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685

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EstatísticaConjunto de métodos e processos quantitativos que servem para

estudar e medir os fenômenos coletivos.

Dessa forma, podemos dizer que a ESTATÍSTICA é uma parte da

Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, a

organização, a descrição, a análise e a interpretação de dados

quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões.

Email: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685

Aplicando a Estatística

. As indústrias costumam

realizar pesquisas entre os

consumidores antes do

lançamento de um novo produto

no mercado.


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. As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos

direcionem a campanha.


. A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou

em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos.


. Emissoras de TV utilizam pesquisas que mostram a preferência dos

expectadores para organizar sua programação.


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ESTATÍSTICA DESCRITIVA: baseia-

se essencialmente na coleta,

organização, apresentação e

interpretação de dados.

ESTATÍSTICA INDUTIVA: tem como

objetivo a inferência de conclusões

para toda a população a partir do

estudo da amostra.


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CONCEITOS IMPORTANTES

População: conjunto dos elementos

que se pretende estudar.

Amostra: subconjunto da população.

Unidade estatística: designação dada

a cada elemento que constitui a

população.

Censo: quando a amostra é composta

por toda a população.


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Variáveis estatísticasNa figura ao lado observamos

um conjunto de pessoas.

Cada pessoa tem muitas

características ou variáveis:

a cor do cabelo;

a altura;

o sexo;

o peso;

...


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Num estudo estatístico parte-se de um conjunto. Cada elemento desse conjunto (a unidade estatística) tem, provavelmente, muitos caracteres, características ou atributos que chamamos variáveis. Por exemplo:

Variáveis Valor observado

Peso de uma pessoa 75 kg

Marca de um automóvel Fiesta

Velocidade do carro 80 km/h

Cor dos olhos Verdes


Tipos de dados

Ao resultado de uma observação da variável

chamamos dado estatístico ou simplesmente

dado.

As variáveis classificam-se em qualitativas ou

quantitativas.

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Os dados qualitativos representam

a informação que indica alguma

qualidade, categoria ou

característica não susceptíveis de

medida, mas de classificação.

Os dados quantitativos representam a

informação resultante de

características susceptíveis de serem

medidas. São dados numéricos e

podem ser de natureza:

discreta – dados discretos – ou

contínua – dados contínuos.


As variáveis quantitativas

podem ser discretas ou

contínuas. Vejamos:

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No conjunto dos alunos de uma turma consideram-se as seguintes variáveis quantitativas:

• o número de irmãos;

• a altura.


A variável “número de irmãos” é uma variável estatística discreta.

O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se fazer a observação, sabemos que devemos encontrar dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na reta real por pontos isolados em número finito ou infinito.

A altura dos alunos de uma turma é um exemplo de uma variável estatística contínua.

O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se fazer uma observação, sabemos que, teoricamente, se podem encontrar dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na reta real por qualquer ponto de um intervalo.

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Uma variável é contínua quando pode tomar todos os valores numéricos

compreendidos no seu intervalo de variação.


Resumindo


SÉRIES ESTATÍSTICAS

As tabelas servem para apresentar séries estatísticas.

TABELA: É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos

segundo linhas e colunas de maneira sistemática.


Funcionários

Ano Total

Sexo

Feminino Masculino

2005 17 ... 17

2006 21 3 18

2007 25 8 17

2008 34 12 22

2009 44 15 29

2010 52 17 35

Número de funcionários da Companhia X, por sexo, 2005-10

Fonte: Relatório da companhia

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Distribuição de frequênciaÉ uma série estatística em que os dados são agrupados com suas

respectivas frequências absolutas.

Sem intervalo de classe

Tabela 01 - Número de acidentes por dia na rodovia X em Janeiro de 2009

N de acidentes por dia N de dias

0 10

1 7

2 4

3 5

4 3

5 2

Fonte: DNER


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Com intervalo de classe

Tabela 02 - Retiradas diárias no Banco do Brasil na cidade X em Janeiro de 2010.

Retirada Frequência

500 600 12

600 700 36

700 800 63

800 900 81

900 1.000 77

1.000 1.100 42

1.100 1.200 24

Fonte: Arquivos do BB


DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

Exemplos:

2, 7, 0, 1, 3, 9, 8 – Dados brutos

0, 1, 2, 3, 7, 8, 9 – Rol

Dados brutos (Tabela primitiva): após ter sido feita a coleta de dados,

os dados originais ainda não se encontram prontos para análise, por

não estarem numericamente organizados. Assim, são chamados de

dados brutos.

Rol: o rol é uma lista em que os valores estão dispostos em uma

determinada ordem (crescente ou decrescente).


4, 4, 1, 3, 3, 4, 1, 5, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 4,

2, 4, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 4, 1, 5, 3, 4, 5, 2, 5, 3, 5, 2, 3

EXEMPLO 1

Após corrigir o teste de vestibular de Matemática,

que valia 5 pontos, de uma turma de 40 alunos, o

professor observou que as notas que eles

obtiveram eram as seguintes:

O conjunto das notas obtidas na prova de

Matemática é o que chamamos de dados

estatísticos numéricos


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Vamos montar a distribuição de freqüências

Rol

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,

3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5

Para obter uma informação clara e precisa de uma série de dados estatísticos

numéricos, devemos primeiro ordená-los. A essa ordenação chamamos de

rol.

Notas

4, 4, 1, 3, 3, 4, 1, 5, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 4,

2, 4, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 4, 1, 5, 3, 4, 5, 2, 5, 3, 5, 2, 3


Temos a seguinte distribuição,

onde a frequência simples de um

valor da variável é o número de

vezes que esse valor foi observado

e que vamos simbolizar por fi:

Rol

1, 1, 1, 1,

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,

3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,

5, 5, 5, 5, 5, 5

4

40

7

13

10

6

Nota fi

1

2

3

4

5


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Podemos ampliar um pouco mais a tabela, acrescentando mais uma

coluna (a coluna da frequência simples acumulada – Fi)

Nota fi

41

2

3

4

5

40

7

13

10

6

Fi

4

11

24

34

40

1) Quantos alunos obtiveram nota

abaixo de 3?

2) Quantos alunos obtiveram uma

nota menor ou igual a 4.


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Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna da frequência relativa

simples – fri)

Nota fi

41

2

3

4

5

40

7

13

10

6

Fi

4

11

24

34

40

fri

0,100

0,175

0,325

0,250

0,150

1,000


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Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna da frequência relativa

simples percentual – fri (%))

Nota fi

41

2

3

4

5

40

7

13

10

6

Fi

4

11

24

34

40

fri

0,100

0,175

0,325

0,250

0,150

fri (%)

10%

17,5%

32,5%

25%

15%

1,000 100%


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Note que podemos aumentar ou diminuir uma tabela, da forma que

quisermos, por exemplo, podemos calcular as frequências acumuladas

relativas e frequências acumuladas relativas percentuais.

Nota fi

41

2

3

4

5

40

7

13

10

6

Fi

4

11

24

34

40

fri

0,100

0,175

0,325

0,250

0,150

fri (%)

10%

17,5%

32,5%

25%

15%

1,000 100%

Fri

0,100

0,275

0,600

0,850

1,000

Fri (%)

10%

27,5%

60%

85%

100%


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EXEMPLO 2

Medimos a altura dos 40 alunos da classe do exemplo anterior.

166, 161, 162, 165, 164, 162, 168, 156, 160, 164,

155, 163, 155, 169, 170, 154, 156, 153, 156, 158,

160, 150, 160, 167, 160, 161, 163, 173, 155, 168,

152, 160, 155, 151, 164, 161, 172, 157, 158, 161

Montar a distribuição de freqüências.

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A


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Dados brutos

166, 161, 162, 165, 164, 162, 168, 156, 160, 164,

155, 163, 155, 169, 170, 154, 156, 153, 156, 158,

160, 150, 160, 167, 160, 161, 163, 173, 155, 168,

152, 160, 155, 151, 164, 161, 172, 157, 158, 161

1) vamos montar o rol

2) Agora, vamos determinar o intervalo dos dados

O maior valor é 173 e o menor é 150

portanto, a amplitude total da distribuição (AT) é 173 150 = 23

150, 151, 152, 153, 154, 155, 155, 155, 155, 156,

156, 156, 157, 158, 158, 160, 160, 160, 160, 160,

161, 161, 161, 161, 162, 162, 163, 163, 164, 164,

164, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 172, 173


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No caso dos dados serem de natureza contínua, a construção da tabela de

frequências não é tão simples como no caso dos dados discretos, pois é

necessário definir previamente o número de classes.

Quantas classes devemos considerar para um conjunto de n dados?

É aconselhável tomar entre 5 e 15 classes.

Menos de 5 perde-se muita informação, mais de 15, têm-se detalhes

desnecessários.


Como no nosso caso o número de observações foi 40, temos n = 40.

Assim:

40 = 6,32 k = 1 +3,3 log 40 = 6,28ou

k = 1 +3,3 log n

Em ambos os casos, temos i = 6

Uma regra prática consiste em tomar a raiz quadrada de n e ajustá-la (se

necessário) aos limites de 5 a 15.

Podemos ainda usar uma fórmula chamada, Regra de Sturges, onde:


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Determinar a amplitude do intervalo de classe

o que podemos conseguir, dividindo a amplitude total pelo número de

classes.

h = 173 – 150

6=

23

6= 3,83 h = 4

É importante saber que o resultado obtido por estas fórmulas pode

ser usado como referência, mas cabe ao pesquisador determinar o

número de classes que pretende organizar. Finalmente, quando se

constrói uma tabela de distribuição de freqüências, é melhor usar,

como extremos de classes, números fáceis de se trabalhar.


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Temos a seguinte distribuição:

Estaturas

(cm)Frequência

fi

4

9

11

8

5

3

154

158

162

166

170

150

154

158

162

166

174170

40


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Estaturas

(cm)fi

4

9

11

8

5

3

154

158

162

166

170

150

154

158

162

166

174170

40

Fi

4

13

24

32

37

40


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Estaturas

(cm)fi

4

9

11

8

5

3

154

158

162

166

170

150

154

158

162

166

174170

40

Fi

4

13

24

32

37

40

fri

0,100

0,225

0,275

0,200

0,125

0,075

1,000


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Estaturas

(cm)fi

4

9

11

8

5

3

154

158

162

166

170

150

154

158

162

166

174170

40

Fi

4

13

24

32

37

40

fri

0,100

0,225

0,275

0,200

0,125

0,075

1,000

fri (%)

10,00%

22,50%

27,50%

20,00%

12,50%

07,50%

100,00%


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Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna do ponto médio da

classe - xi)

Estaturas

(cm)fi

4

9

11

8

5

3

154

158

162

166

170

150

154

158

162

166

174170

40

Fi

4

13

24

32

37

40

fri

0,100

0,225

0,275

0,200

0,125

0,075

1,000

fri (%)

10,00%

22,50%

27,50%

20,00%

12,50%

07,50%

100,00%

xi

152

156

160

164

168

172


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Note que, toda tabela deve ser delimitada por traços horizontais. Podem ser feitos traços

verticais para separar as colunas, mas não devem ser feitos traços verticais para delimitar

a tabela.

Estaturas

(cm)fi

4

9

11

8

5

3

154

158

162

166

170

150

154

158

162

166

174170

40

Fi

4

13

24

32

37

40

Fri

0,100

0,325

0,600

0,800

0,925

1,000

Fri (%)

10,00%

32,50%

60,00%

80,00%

92,50%

100,00%


GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

Já sabemos que as tabelas de frequências dos

dados estatísticos nos dão uma informação boa e

ordenada nos exemplos que estudamos.

Muitas vezes, no entanto, queremos ter uma visão

generalizada e rápida. Por isso, os gráficos

estatísticos são muito úteis para entender e

comparar várias tabelas de frequências.

Podemos fazê-lo de várias formas. As mais comuns são: o diagrama de

barras, o histograma, o pictograma e o gráfico de setores.


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Gráficos em colunasÉ representado por

retângulos dispostos

verticalmente.

Os retângulos têm a

mesma base e as

alturas são

proporcionais aos

respectivos dados.

POPULAÇÃO BRASILEIRA

41,2

51,9

70,1

93,1

119,7

150,4

170

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Anos

Po

pu

lação

em

mil

hõ

es


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• Obs: Também podemos fazer o gráfico em colunas em 3 dimensões.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

po

pu

laç

ão

(m

ilh

õe

s)

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000anos

População Brasileira


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Gráficos em barras É semelhante ao gráfico em colunas, porém os retângulos são dispostos

horizontalmente.

População Brasileira

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

a

n

o

s

população ( milhoes)


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• Obs: Podemos também fazer o gráfico em barras em 3 dimensões.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

população (milhões)

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

a

n

o

s

População do Brasil


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São frequentemente usados para

representação de séries cronológicas

com um grande número de períodos

de tempo.

Objetivo: Mostrar a tendência do

fenômeno ao longo do tempo

As linhas são mais eficientes do que

as colunas, quando existem intensas

flutuações nas séries ou quando há

necessidade de se representarem

várias séries em um mesmo gráfico.

Vendas da Companhia Delta 1995 a 2001

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Anos

V

e

n

d

a

s

Gráficos em linhas ou em curva

Para construí-lo, basta marcar os pontos e uni-los por meio de segmentos de reta.


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Gráficos em setores.

É a representação gráfica de uma série estatística, construído com base em um

círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado

no total.

O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas

são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente

proporcionais aos dados da série.

É também chamado de gráfico de pizza.

Total __________360º

Parte___________ xº

Para representar os dados em um gráfico de setores é preciso que os valores

estejam em porcentagem, para isso devemos definir a frequência relativa dos

dados observados.


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EXEMPLO 1

Uma escola realizou uma pesquisa com seus 400 alunos do Ensino Médio

sobre a preferência por modalidades esportivas. Os dados foram distribuídos

conforme a tabela abaixo:

Modalidade fi fri(%)

Futebol 160 40%

Vôlei 120 30%

Basquete 60 15%

Natação 40 10%

Outros 20 5%

Total 400 100%

Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos

levando-se em conta a proporção da área a ser representada relacionada

aos valores das porcentagens.


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Concluímos que 1% corresponde a 3,6º, dessa forma podemos calcular os

ângulos dos dados percentuais da seguinte maneira:

A área representativa no gráfico será demarcada da seguinte maneira:


100% = 360 50% = 180 25% = 90 1% = 3,6

Modalidade fi fri(%) Ângulo

Futebol 160 40% 40 x 3,6o = 144o

Vôlei 120 30% 30 x 3,6o = 108o

Basquete 60 15% 15 x 3,6o = 54o

Natação 40 10% 10 x 3,6o = 36o

Outros 20 5% 5 x 3,6o = 18o

Total 400 100% 100 x 3,6o = 360o

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EXEMPLO 2:

Entrevistaram-se 120 pessoas na saída de um cinema e perguntou-se a cada uma

delas qual a opinião acerca do filme.

Os dados foram registados, como se mostra na tabela abaixo.

Com os dados da tabela, construa um gráfico circular.

Modalidades fi fri (%)

Muito bom 50 42%

Bom 30 25%

Razoável 30 25%

Ruim 10 8%

Total 120 100%


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Para encontrar a amplitude do ângulo de cada setor, basta fazer a correspondência:

360º ---- n (total de elementos da amostra)

Em seguida, usa-se uma regra de três simples:

360º ----- 120 pessoas

x ----- 50 pessoasx = 150º

360º ----- 120 pessoas

x ----- 30 pessoasx = 90º

360º ----- 120 pessoas

x ----- 10 pessoasx = 30º


Muito bom 50 42%

Bom 30 25%

Razoável 30 25%

Ruim 10 8%

Total 120 100%


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Opinião das 120 pessoas acerca do filme

que acabaram de assistir

Ruim

Muito bom

Bom

Razoável


Muito bom 50 42%

Bom 30 25%

Razoável 30 25%

Ruim 10 8%

Total 120 100%


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Pictogramas: É a apresentação de uma série estatística por meio de símbolos representativos do

fenômeno.

O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela

sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva.

A representação gráfica consta de figuras.

Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois

sua forma é atraente e sugestiva.

Os símbolos devem ser auto-explicativos.


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Opinião acerca do ator principal do filme

Muito bom

Bom

Razoável

Ruim


5

10

15

150 154 158 162 166 170 174 Estaturas

fi

HistogramaUma distribuição de frequência representada por um gráfico de barras é

denominada histograma.

No eixo x vão as classes de freqüência “xi” e no eixo y a freqüência “fi”.

Estaturas de 40 alunos da escola A


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5

10

15

fi

150 154 158 162 166 170 174 Estaturas

Polígono de freqüência

O polígono de frequência é

obtido unindo-se os pontos

médios da parte superior de

cada retângulo do histograma

com segmentos de retas.

É importante notar que tanto o

histograma quanto o polígono

de frequência indicam a

frequência absoluta de cada

classe.


oaquimrofessor

Estatísticas ajustadas e confiáveis

Muita gente se pergunta se é possível que as estatísticas, mesmo ajustadas e

apresentadas de acordo com um determinado interesse particular, continuam

sendo confiáveis.

A resposta para essa questão é positiva: as estatísticas podem continuar

confiáveis.

Vamos comprová-la com o seguinte caso:

Um gerente de vendas de uma editora resolve impressionar seu chefe para

obter um aumento de salário. Para tanto, elabora um gráfico estatístico das

vendas realizadas no ano anterior, como mostra a tabela a seguir.


oaquimrofessor

Meses do ano Volumes vendidos

Janeiro 704 363

Fevereiro 707 450

Março 710 300

Abril 714 250

Maio 722 600

Junho 725 230

Julho 730 750

Agosto 736 125

Setembro 740 875

Outubro 743 500

Novembro 747 248

Dezembro 749 100

Vendas de livros didáticos no ano

O efeito visual desse gráfico, com certeza, não tem muito impacto. Ele indica, ao

contrário do desejado, que as vendas permaneceram praticamente estáveis durante

todo o ano. Com ele, qualquer pretensão de aumento salarial não se justificaria.


oaquimrofessor

Mas o gerente de vendas não se dá por vencido. Ele faz um segundo gráfico,

usando os mesmos dados, que mostra uma imagem completamente diferente.

Esse gráfico, sem dúvida, é muito mais favorável aos seus interesses do que o

anterior.

Embora ele apresente os dados

de outra maneira (ampliando e

focalizando apenas o espaço

de vendas entre 700 mil e 750

mil exemplares), não é menos

fiel à realidade do que o gráfico

anterior.



MÉDIA ARITMÉTICA: é o quociente da divisão da soma dos valores

da variável pelo número deles.

Questão 01

Determine a média dos valores:

10, 14, 13, 15, 16, 18, 12

Questão 02

Determine a média dos valores:

2, 4, 6, 8

Questão 03

Determine a média aritmética do seguinte conjunto de números:

7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL


Questão 04

Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para

variável o número de filhos do sexo masculino.

Determine a média aritmética desse conjunto.

No de meninos fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

= 34


Questão 05

Determine a média da tabela:

Estaturas fi

(cm)

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Total 40


MODA: é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de

valores.

Questão 01

Determine a moda dos dados:

7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15

Questão 02

Determine a moda dos dados:

3, 5, 8, 10, 12, 13

Questão 03

2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9

Questão 04

Determine a moda dos valores:

10, 14, 13, 15, 16, 18, 12

Questão 05

Determine a moda do seguinte

conjunto de números:

7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11.

Questão 06

Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para

variável o número de filhos do sexo masculino.

Determine a moda desse conjunto.

No de meninos fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

= 34



Questão 07

Considere uma pesquisa sobre o número de irmãos de cada aluno de

uma classe. Determine a moda desse conjunto.

No de irmãos fi

0 8

1 15

2 12

3 5

= 40

xi 1 2 3 4 5 6

fi 2 4 6 8 3 1

Questão 08

Calcule a moda da distribuição:


Estaturas

(cm)

fi

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

total 40

Questão 09

Determine a moda da tabela:

Mo = l* *

D1

D2

+

D1

+ x h

FÓRMULA:


MEDIANA: é uma medida de posição definida como sendo o número

que se encontra no centro de uma série de números, estando estes

dispostos, segundo uma ordem, crescente ou decrescente.

Questão 01

Determine a mediana dos dados:

5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9

Questão 02

Determine a mediana dos dados:

2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21

Diária

(R$)

Número de

operários

200, 00 5

250, 00 8

300, 00 4

350, 00 1

Questão 03

Determine a mediana da distribuição:


Questão 04

Determine a mediana da tabela:

Estaturas fi

(cm)

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Total 40

Md = l +* *

∑ fi

2F (ant)

f *• h

FÓRMULA:


MEDIDAS DE DISPERSÃO

Vamos considerar a seguinte situação:

Exemplo 1

Uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer para um

grupo de 6 pessoas e recebe a informação de que a média de idade do

grupo é de 20 anos.

Note que nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para

planejar as atividades, pois podemos ter grupos com média de idade de 20

anos e características totalmente diferentes,conforme podemos ver a

seguir.


Grupo A:

20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos

Grupo B:

22 anos, 23 anos, 18 anos, 19 anos, 20 anos, 18 anos

x A =20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20

6=

120

6= 20 anos

x B =22 + 23 + 18 + 19 + 20 + 18

6=

120

6= 20 anos

Grupo C:

6 anos, 62 anos, 39 anos, 4 anos, 8 anos, 1 ano

x C =6 + 62 + 39 + 4 + 8 + 1

6=

120

6= 20 anos



Observe que no grupo A, não houve dispersão.

A dispersão no grupo B é menor que no grupo C.

Dizemos que o grupo B é mais homogêneo que o grupo C.

Dessa forma, vamos usar uma medida denominada VARIÂNCIA

Vamos descobrir a variância nos grupos A, B e C

Grupo A: (20, 20, 20, 20, 20, 20)

x = 20

Desvios: 20 20 = 0 (todos são iguais a 0)

V = 0

Quando todos os valores são iguais, dizemos que não houve dispersão

e, por isso, a variância é nula.


Grupo B: (22, 23, 18, 19, 20, 18)

x = 20

Desvios:

22 20 = 2; 23 20 = 3; 18 20 = 2; 19 20 = 1; 20 20 = 0; 18 20 = 2

V = 2 + 3 + ( 2) + ( 1) + 0 + ( 2)

2 2 2 2 2 2

6=

4 + 9 + 4 + 1 + 0 + 4

6

V = 22

6= 3, 6


Grupo C: (6, 62, 39, 4, 8, 1)

x = 20

Desvios:

6 20 = 14; 62 20 = 42; 39 20 = 19; 4 20 = 16; 8 20 = 12; 1 20 = 19

V = ( 14) + 42 + 19 + ( 16) + ( 12) + ( 19)

2 2 2 2 2 2

6

V =196 + 1764 + 361 + 256 + 144 + 361

6

V = 3082

6= 513, 6


DESVIO PADRÃO

O desvio padrão (s) é a raiz quadrada da variância.

No exemplo dado, temos:

Grupo A: s = 0 = 0 anos

3,6 = 1,9 anos Grupo B: s =

Grupo C: s = 513,6 = 22,6 anos

Observe que:

1) Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0;

2) Quanto mais próximo de 0 é o desvio padrão, mais homogênea é a

distribuição dos valores da variável;

3) O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.


Exemplo 2

Em um treinamento de salto em altura, os atletas realizaram 4 saltos cada

um, sendo as marcas de três atletas registradas abaixo.

Atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm

Atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm

Atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm

a) Qual deles obteve a melhor média?

b) Qual deles foi o mais regular?


a) Vamos calcular a média de cada atleta.

Atleta A (148, 170, 155,131)

x A = 148 + 170 + 155 + 131

4=

604

4= 151 cm

x B = 145 + 151 + 150 + 152

4=

598

4= 149,5 cm

Atleta B (145, 151, 150, 152)

x C = 146 + 151 + 143 + 160

4=

600

4= 150 cm

Atleta C (146, 151, 143, 160)

Logo, o atleta A obteve

a maior média, 151 cm


b) A maior regularidade será verificada a partir do desvio padrão.

Atleta A (148, 170, 155, 131)

V = (148 151) + (170 151) + (155 151) + (131 151)

2 2 2 2

4

V = ( 3) + (19) + (4) + (20)

2 2 2 2

4

V = 9 + 361 + 16 + 400

4=

786

4V = 196,5

s = 196,5 = 14 cm

x = 151


Atleta B (145, 151, 150, 152) x = 149,5

V = (145 149,5) + (151 149,5) + (150 149,5) + (152 149,5)

2 2 2 2

4

V = ( 4,5) + (1,5) + (0,5) + (2,5)

2 2 2 2

4

V = 20,25 + 2,25 + 0,25 + 6,25

4=

29

4V = 7,25

s = 7,25 = 2,7 cm


Atleta C (146, 151, 143, 160) x = 150

s = 41,5 = 6,4 cm

V = (146 150) + (151 150) + (143 150) + (160 150)

2 2 2 2

4

V = ( 4) + (1) + ( 7) + (10)

2 2 2 2

4

V = 16 + 1 + 49 + 100

4=

166

4V = 41,5


Observando o desempenho de cada atleta, temos:

Atleta A s = 14 cm

Atleta B s = 2,7 cm

Atleta C s = 6,4 cm

Logo, o atleta B foi o mais regular, pois o seu desvio padrão é o menor,

aproximadamente 2,7 cm.

Se for criada uma lei anti-fumo, você concordaria?

• Foram consultadas 62 pessoas:

• - 43 pessoas concordam

• - 19 pessoas não concordam


MODELO DE PESQUISA


Tabela de frequências

Concorda com a lei anti-fumo?

fi fri (%)

Sim 43 69%

Não 19 31%

Total 62 100%


Gráfico circular

69%

31%

Concorda com a lei anti-fumo?

Sim

Não


Você fuma – sim ou não?

• Foram consultadas 62 pessoas:

• - 41 pessoas responderam que sim

• - 21 pessoas responderam que não


Gráfico circularFuma - sim ou não?

34%

66%

Sim

Não


Se fuma, desde que idade o faz?

• Das 41 pessoas que disseram que fumavam:• - 3 começaram a fumar aos 14 anos• - 2 começaram aos 15 anos• - 10 começaram aos 16 anos• - 8 começaram aos 17 anos• - 15 começaram aos 18• - 2 começaram aos 19 • - 1 começou aos 20


Tabela de frequênciasIdade em que

começou a

fumar

Frequência

Absoluta

Frequência

Absoluta

Acumulada

Frequência

Relativa

%

Frequência

Relativa

Acumulada

14 3 3 7,3 7,3

15 2 5 4,9 12,2

16 10 15 24,4 36,6

17 8 23 19,5 56,1

18 15 38 36,6 92,7

19 2 40 4,9 97,6

20 1 41 2,4 100

Totais: 41 100


Gráfico de Barras

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

14 anos

15 anos

16 anos

17 anos

18 anos

19 anos

20 anos


Gráfico CircularGráfico circular - Fuma desde que idade?

16 anos;

24,4%

17 anos;

19,5%

18 anos;

36,6%

19 anos;

4,9 %

20 anos;

2,4%

15 anos;

4,9%

14 anos;

7,3%


Pictograma

14 15 16 17 18 19 20

= 2 pessoas


Histograma


Polígono de Frequências


Polígono de frequências acumuladas


MédiaPara se fazer a média, somam-se todos os valores dados, e depois

divide-se esse resultado pelo número de elementos da amostra.

14 x 3 + 15 x 2 + 16 x 10 + 17 x 8 + 18 x 15 + 19 x 2 + 20 = 17

41


MedianaA mediana é o valor central dos dados.

14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 20

17

A mediana dos dados é 17.


Moda

Fuma desde que idade?

3

2

108

1

215

0 5 10 15 20

14

16

18

20

Idad

e

Nº de pessoas

A moda é 18, porque é o que tem mais frequência.

A moda é o valor que se repete com mais frequência. É o dado estatístico que ocorre mais vezes numa distribuição.

Se um conjunto de dados não tiver moda ou tiver mais que uma moda, diz-se amodal.


ConclusãoAtravés dos resultados obtidos nos questionários

realizados, conclui-se que:- a maioria das pessoas (69%) concorda com a lei anti-fumo, apesar de grande parte (66%) dos entrevistados ser fumante. - e que a idade em que as pessoas entrevistadas começaram a fumar é, em média, 17 anos, mas que a resposta mais frequente é 18 anos.

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