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Apprentissage des mathématiques -
Résolution de problèmes 1
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Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul.
Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser.
La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.
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Apprentissage des mathématiques -
Résolution de problèmes 2
La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programmes, 2008)
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Utiliser ses connaissances pour résoudre rapidement (immédiatement ou par étapes) certains problèmes : réinvestissement
Mettre en place des stratégies pour venir à bout de problèmes qu’on ne sait pas résoudre rapidement : problèmes pour chercher
S’approprier de nouvelles connaissances, en partant de problèmes qui résistent aux connaissances déjà apprises : situations-problèmes
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Apprentissage des mathématiques -
Résolution de problèmes 3
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dans la résolution de problèmes
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Un exemple (Evaluation 6e)
Xavier range les 50 photos de ses dernières
vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.
a) Combien y a-t-il de pages complètes ?
b) Combien y a-t-il de photos sur la page
incomplète ?
Il y a ……… pages complètes.
Il y a ……… photos sur la page incomplète.
Réussite : environ 55 %
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Résolution de problèmes 4
Causes possibles
des difficultés
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Lecture
Familairité avec le contexte
Représentation mentale de la situation (ce qu’on sait, ce qu’on cherche)
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50 photos
chaque page : 6 photos.
Cela peut expliquer une part des difficultés : 10 % ?
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Résolution de problèmes 5
Recours direct à la division
Ici, sens « groupement » : combien de fois 6 dans 50 ?
Plus difficile que le sens « partage » (50 photos réparties équitablement sur 6 pages)
Interpréter le quotient et le reste
Recours direct à la table de multiplication
Connaissance de 8 x 6 égal à 48
En déduire le reste par soustraction
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50 photos
chaque page : 6 photos.
Comment aider les élèves à comprendre que les problèmes de groupement peuvent être résolus par la même opération que les problèmes de partage équitable ?
Comment aider à comprendre que « combien de paquets de 6 dans 50 ? » est équivalent à « si on répartit 50 objets dans 6 paquets, combien d’objets par paquet ? »
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Apprentissage des mathématiques -
Résolution de problèmes 6
Recours à des essais de produits
Par exemple, Esai avec 5 pages, puis 10 pages, puis…
Recours à l’addition ou à la soustraction
Simulation arithmétique du remplissage des pages
Recours au dessin schématisé
Dessin de 50 images puis de paquets de 6 images
Dessin de feuilles avec 6 images, avec comptage des images utilisées
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50 photos
chaque page : 6 photos.
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Peu de recours à la division
Un nombre élevé de calculs "sans signification"
Peu de démarches "originales"
Apprentissage des mathématiques -
Résolution de problèmes 7
Aider à s’approprier la situation et la ou les questions (diversifier la présentation des problèmes)
Aider à comprendre qu’un problème peut être résolu directement ou en se débrouillant (problème de recherche)
Aider à construire du sens et de la compréhension (connaissances en réponse à des problèmes)
Ne pas confondre entraînement technique et apprentissage conceptuel
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au cycle 3
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Apprentissage des mathématiques -
Résolution de problèmes 8
Le « sens » des opérations nécessite un apprentissage
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La délicate question du « sens »
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3 niveaux
Sens « primitif » Sens « appris » Raisonnement
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Résolution de problèmes 9
Exemple pour la soustraction
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Sens « primitif »
• En 1980, la population d’un village était de 1 678 habitants. Elle a diminué de 243 habitants. Quelle est la population actuelle ?
Sens « appris »
• En 2008, la population d’un village est de 1 540 habitants. Elle a augmenté de 189 habitants depuis 1980. Quelle était la population en 1980 ?
Raisonnement
• Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 6 billes de moins que le matin. Déjà, la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 10 billes. Que s'est-il passé l'après-midi ?
Exemple pour la division
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Sens « primitif »
• Sophie a reçu 150 photos. Elle en distribue le plus possible à ses 6 amies et garde le reste pour elle. Chacune de ses amies doit en avoir le même nombre. Combien chaque amie en aura-t-elle ? Combien Sophie en aura-t-elle ?
Sens « appris »
• Sophie a reçu 150 photos. Elle les colle dans un album. Elle peut mettre 6 photos par page. Combien utilisera-t-elle de pages complètes ? Combien y aura-t-il de photos sur la page incomplète ?
Raisonnement
• Lucie compte en reculant de 6 en 6 à partir de 150 : « 150, 144, 138… ». Combien va-t-elle dire de nombres ? Quel sera le dernier nombre prononcé ?
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Résolution de problèmes 10
Conséquences pour
l’enseignement
Apprentissage de l’expertise pour les problèmes relevant du sens « naturel » : apprentissage assez rapide d’un sens « appris » : apprentissage plus « lourd »
et plus « long »
Pour les autres problèmes : travail sur le raisonnement
Pour les problèmes où l’expertise est visée : le raisonnement précède l’expertise (recours à des procédures personnelles) et peut rester nécessaire, même après apprentissage
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Un exemple relatif à la soustraction
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Apprendre à résoudre des problèmes de « recherche d’un complément » en utilisant la
soustraction CE2 (d’après Cap maths)
Le sens primitif, maîtrisé par les élèves, est celui relatif au calcul d’un reste
dans une situation où une quantité subit une diminution
Problématique : construire l’équivalence entre recherche d’un complément et calcul d’un reste
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Résolution de problèmes 11
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Problème choisi
Combien de points cachés ?
MATERIEL DE L'ENSEIGNANT
une feuille de
points (nombre de points connu
des élèves)
une feuille cache
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Les questions
Trouver combien de points sont cachés ?
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Résolution de problèmes 12
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Carte avec 20 points - 5 visibles
- 16 visibles Complément ou soustraction
Complément
Carte avec 34 points
- 4 visibles
- 20 visibles - 15 visibles
Complément ou soustraction Complément ou soustraction Complément
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Question : Compléter de
11 à 34
Vérification de la réponse
:
soustraire 11 de 34
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Résolution de problèmes 13
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2 pour aller à 47 plutôt soustraction
36 pour aller à 40 plutôt complément
20 pour aller à 50 plutôt ?
52 – 4 plutôt soustraction
61 – 58 plutôt complément
60 – 35 plutôt ?
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Résolution de problèmes 14
Exemples de problèmes autour du cercle en CM1…
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Construire un cercle de diamètre donné
En exemple, des pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrées au préalable.
A la fin une validation expérimentale est possible.
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Résolution de problèmes 15
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1ère étape : tous les moyens sont possibles.
Problème : faire apparaître un diamètre
2e étape : les instruments de géométrie sont interdits.
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Utiliser ses connaissances
Analyser la figure, dans le but d'en compléter un agrandissement… dans une position différente.
Le trésor se trouve à 4 cm de l'arbre et à 3 cm de la rivière
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Résolution de problèmes 16
Exemples de problèmes autour de la proportionnalité en CM …
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Proportionnalité et agrandissement Cap maths
Validation expérimentale
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Résolution de problèmes 17
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Validation par le débat
Proportionnalité et comparaison Cap maths
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Se ramener au même nombre de pages
Se ramener au même nombre de pages illustrées
Utiliser le rapport entre nombre de pages illustrées et nombre de pages ("1 sur 3" ou "1 pour 3" dans le dernier cas)
A l'école primaire : se ramener à un référent commun
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Résolution de problèmes 18
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Référent commun : on peut chercher pour des livres de 12 pages, de 48 pages, de 144 pages…
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La situation et la question sont simples à comprendre.
La résolution n’est pas immédiate ou donne lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre.
Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial.
La validation n’est pas le fait de l’enseignant c’est déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à-vis de la résolution.
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Résolution de problèmes 19
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Recherche à la charge des élèves
Moments d’explicitation des solutions et d’argumentation entre élèves sur leur validité
Validation par les élèves (matérielle ou par arguments
convaincants)
Synthèse par l’enseignant : généralisation, éléments à
retenir, langage…
Traces écrites (références)
Entraînement sur la connaissance mise en place
Apprentissage par résolution de problèmes (4 schémas)
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Elève Situation
Investigation
Connaissances anciennes : limites, insuffisances
Tentatives nouvelles
Rétroaction de la situation
Elève Elèves
Confrontation
Explicitation
Controverse, argumentation
Appropriation d’autres stratégies
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Résolution de problèmes 20
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Elève Enseignant
Mise en évidence, généralisation
Apport : stratégie, langage, mise en forme…
Réponses aux questions
Elève Situations
Exercices, entraînement
Evaluation
Adaptation des connaissances
Des connaissances
Des connaissances utilisables (donc qui ont du sens)
Des connaissances cohérentes (reliées entre elles)
La capacité à les utiliser pour justifier
L'initiation à une pratique "mathématisante"
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La culture mathématique, c’est …
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Résolution de problèmes 21
L’exemple de la multiplication par 10, 100…
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Multiplier par 100
Règle pour les nombres entiers : "écrire deux 0" à droite
24 x 100 = 2 400
Règle pour les nombres décimaux : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite
2,345 x 100 = 234,5
2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule)
4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule… et
apparition de 0 !) 42
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Résolution de problèmes 22
Résultats et difficultés
2,3 x 10 (évaluation 6e 2001) 23 64 %
20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 % La virgule "frontière" et "écrire un 0"
230 5 % La virgule "absente" et "écrire un 0"
35,2 x 100 (évaluation 6e 2001) 3 520 47 %
3500,2 ou 35,200 ou 3 500,200 15 % La virgule "frontière"
352 15 % Que faire quand la virgule "disparaît" ? 43
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Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 ?
Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme :
2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes
Savoir que multiplier 20,45 par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10 :
20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes
Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)…
Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité)
Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième)
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milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
2
2
0
0
4
4
5
5
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,
Conclusion…
Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande"
Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place (déplacement vers la gauche)
C'est la même chose pour les entiers que pour les décimaux !
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milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
2
3
2
0
3
7
0
4
7
0
4
5
5
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,
Romain
Multiplier XXXVII par X (37 par 10)
CCCLXX (370)
Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur cent fois supérieure.
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