ROTASI BENDA TEGAR PADA SUMBU SEMBARANG

Kita memulai pembelajaran mengenai gerak umum dari benda tegar dengan beberapa pendahuluan matematika. Pertama, kita akan memberikan perhitungan dari momen inersia pada sumbu yang arahnya sembarang. Sumbu bergerak lurus pada titik O, gambar 9.1, diambil sebagai pangkal dari sistem koordinat. Kita akan mempergunakan definisi pokok

dimana Riadalah jarak tegak lurus dari artikel massa mi ke sumbu rotasi. Arah dari sumbu rotasi didefinisikan olen vektor satuan a. Kemudian Gambar 9.1 Rotasi dari benda tegar pada sumbu sembarang

Sumbu Rotasi

Gambar 9.1

n

o

i adalah sudut antara ri dan n, dan

adalah vektor posisi dari partikel ke-i. Misalkan arah cosinus dari sumbu menjadi cos cos cos . Kemudian

Persamaan 9.1n = i cos + j cos + k cos

dan juga

momen inersia dari sumbu rotasi dasar diberikan oleh persamaan berikut

Persamaan 9.2

Momen inersia untuk sumbu x

Momen inersia untuk sumbu y

Momen inersia untuk sumbu z

Produk inersia dari xy

Produk inersia dari yz

Produk inersia dari zx

Menggunakan Persamaan 9.1, maka persamaan umum untuk momen inersia pada sumbu sembarang menjadi

Persamaan 9.3

VEKTOR MOMENTUM SUDUT

Kecepatan sudut dari setiap partikel utama sebuah benda diekspresikan sebagai perkalian cross (cross product)

Dengan demikian, vektor momentum sudut

Vektor momentum sudut total

Mengingat komponen x dari triple cross productri x ( x ri)

diketahui ri = ixi + jyi + kzi dan , kita akan menemukan

komponen x dari vektor momentum sudut total, yaitu:

Persamaan 9.4

sehingga

Persamaan 9.7Persamaan 9.6Persamaan 9.5

Jadi persamaan akhir untuk momentum sudut total, yaitu

Sebagai contoh, kita misalkan sumbu x menjadi sumbu rotasinya. Sehingga x = , y = 0, and z = 0. Pada sumbu utama persamaan untuk L menjadi :

Jadi, L mungkin mempunyai komponen yang tegak lurus terhadap sumbu x (sumbu rotasi). Komponen dari L yang mendekati sumbu rotasi adalah Ixx , pada pernyataan di bab sebelumnya. Secara umum, komponen dari momentum sudut mendekati sumbu rotasi menghasilkan dot product Ln, dimana n adalah vektor satuan, ditunjukan pada persamaan 9.1 menetapkan arah dari . Oleh karena itu cos = x /, cos = y /, cos = z /. Sehingga diperoleh :

Energi Kinetik Rotasi pada Benda Tegar

Dari persamaan momentum sudut, maka dapat dirumuskan :

Sumbu utama dari benda tegar. Dinamika Kesetimbangan

Secara eksplisit, jika sumbu koordinat adalah sumbu utama, maka Sehingga:

Tiga momen Inersia , , dan diketahui sebagai momen utama dari benda pada titik O. Untuk sumbu utama pada rumus dasar dari momen inersia, momentum sudut, dan energi kinetik rotasi, Persamaan 9.3, 9.6, dan 9.10, secara berturut-turut, menjadi:

Persamaan 9.11

Persamaan 9.12

Persamaan 9.13