roteiro 5

7/21/2019 roteiro 5

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

ICEA- Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas

Capus- !o"o #onle$ade

Disciplina: Sistema de Controle II

Curso: Engenharia Elétrica

Relatório V

Resposta do sistema em domínio Z e kT

A

utores: William César Viana

José André Tebar de Faria

João Monlevade, 23 de Abril de 2!"#

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INTRODUÇÃO

Abordaremos neste roteiro a conversão da malha de controle contínuo para o

sistema discreto. A Figura I abaixo mostra o diagrama de blocos de um sistema emmalha fechada com realimentação unitária e controlador discreto.

Figura I. Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada com controle discreto.

Para realizar-se a conversão do sistema contínuo para o sistema discreto, deve-seconsiderar o efeito do segurador de ordem zero, ue ! responsável por realizar um

atraso de tempo por reter uma amostra por determinado período. A expressão gen!rica

ue leve em consideração o efeito "#$ ! descrita por%

H ( z )= (1− z−1 )Z [G(s)s ] (1

Ap&s considerado o efeito do "#$, o diagrama de blocos em tempo discreto

pode ser simplificado por%

Figura II. Diagrama de blocos sim!lificado do sistema discreto em "F

Para um sistema com realimentação negativa, a '()' ! dada pela seguinte

expressão%

Y ( z)U ( z)

= Gc ( z ) H ( z)

1+Gc ( z ) H ( z )

(#

Para obtermos uma resposta no domínio da freu*ncia discreto, faz-se necessário

transformar os sinais de entrada, erro e saída para o domínio de ". # erro de

rastreamento pode ser obtido no final pela diferença entre a saída e a entrada derefer*ncia.

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D$%$N&O'&I"$NTO

1. )onsidere o sistema da Figura III* onde o !er+odo de amostragem , de T-*1s

Figura III. Diagrama de blocos de um sistema e malha fechada.

1.1 $ncontre a FT"FY ( z ) R ( z )

.

Para esse problema, a '( do controlador discreto +á se encontra no domínio de ",

sendo necessário apenas aplicar a euação (1 para considerar o efeito dos conversores

A e A.

H ( z )= (1− z−1 )Z [ 1

s(s+1) ](/

ealizando a expansão em fraç/es parciais do bloco da planta contínuo com o

integrador do segurador, obt*m-se%

H ( z )= (1− z−1 )Z [ 1s− 1

s+1 ] (0

Aplicando a (ransformada direta " na euação (0* a '(, agora somente em domínio

discreto da freu*ncia, !%

H ( z )= (1− z−1 )Z [ z z−1−

z

z−0,9048 ](

earran+ando a euação (, $0z1 ! dada pela seguinte expressão simplificada%

H ( z )= 0,09516

z−0,9048 (2

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'azendo a associação em cascata dos blocos do controlador e da planta com amostrador

no ramo direto, a '( simplificada !%

G ( z )=G c ( z ) H ( z )= 0,09516 z

z ²−1,905 z+0,9048 (3

2onsiderando agora a malha de realimentação, a função de transfer*ncia discreta

em malha fechada !%

T ( z )= 0.09516 z

z ²−1,81 z+0,9048 (4

1.# )alcule analiticamente a res!osta y(0),y(0,1),y(0,2),...,y(1,0) 5uando a entradafor um degrau unit6rio. De!ois im!lemente no "7T'78 a e5ua9:o a diferen9asda sa+da*;(<T* e do sinal de controle* u(<T. )onsidere as condi9=es iniciais y (−0,1)= y (−0,2 )=0 e r (kT )=1 !ara < ≥ e >ero caso contr6rio.

3m termos da entrada e saída, o sistema da euação (4 torna-se%

Y ( z ) [1−1,81 z−1+0,9048 z−2 ]= R ( z ) [0,09516 z−1] (?

A euação de diferenças para esse sistema !%

y (kT )=0,09516 r (kT −T )+1,81 y (kT −T )−0,9048 y (kT −2T ) (1

Analiticamente, a seu*ncia temporal das amostras são%

• Parak =0 ;

y (0 )=0+0+0=0

• Parak =1 ;

y (0,1)=1(0,09516)+0+0=0,09516

• Parak =2 ;

y (0,2)=1 (0,09516 )+1,81 (0,09516 )+0=0,2674

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• Parak =3 ;

y (0,3)=1 (0,09516 )+1,81 (0,2674 )−0,9048 (0,09516 )=0,4930

Parak =4 ;

y (0,4)=1 (0,09516)+1,81 (0,4930 )−0,9048 (0,2674 )=0,7455

• Parak =5 ;

y (0,5)=1 (0,09516 )+1,81 (0,7455 )−0,9048 (0,4930 )=0,9984

• Parak =6 ;

y (0,6)=1 (0,09516)+1,81 (0,9984 )−0,9048 (0,7455 )=1,2277

• Parak =7 ;

y (0,7)=1 (0,09516)+1,81 (1,2277 )−0,9048 (0,9984 )=1,504

• Parak =8 ;

y (0,8)=1 (0,09516)+1,81 (1,504 )−0,9048 (1,2277 )=1,706

• Parak =9;

y (0,9)=1 (0,09516 )+1,81 (1,706 )−0,9048 (1,504 )=1,8222

• Parak =10 ;

y (1 )=1 (0,09516 )+1,81 (1,8222 )−0,9048 (1,706)=1,82

2omputacionalmente, o 7lgortimo I do 7ne@o fornece para esse problema a seguinte

resposta da s!rie temporal.

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Figura I&. Res!osta obtida em "7T'78 a !artir do 7lgortmo I.

#bserva-se ue o algoritmo fornece a mesma resposta analítica, como esperadodevido corresponder ao mesmo modelo matemático.

1./ )alcule o erro de regime estacion6rio 5uando r (kT ) for um degrau unit6rio.

# cálculo do erro ! um par4metro importante em sistemas de controle, pois,

dese+a-se ue para uma determinada entrada ue a resposta do sistema convir+a para

determinado valor de operação em regime permanente, mantendo a estabilidade relativa.

Atrav!s do diagrama de blocos do sistema da Figura III, observa-se ue o erro

e (kT ) ! dado pela diferença entre a entrada

u(kT ) e a saída

y (kT ) por meio

do feedbac5 do sistema. Para um controlador, o erro ! de extrema import4ncia, pois !

sobre este ue o controle irá atuar. Para um elevado erro, maior deve ser a atuação do

controlador para levar a resposta para a dese+ada. A atuação do controlador leva em

conta tamb!m a velocidade da resposta 0taxa de variação da resposta1 +untamente com o

erro, propiciando uma ação de controle baseada nas características de pro+eto.

A euação do erro ! definida portanto%

e ( kT )=r (kT )− y (kT ) (11

6ubstituindo y(kT ) da euação 0781 na euação 0771, o erro para esse sistema em

uestão !%

e ( kT )=r (kT )−[0,09516 r (kT −T )+1,81 y (kT −T )−0,9048 y (kT −2T )] (1#

# Algoritmo 9 implementado calcula tamb!m o erro do sistema para uma entrada de

referencia degrau unitátio. Para uma melhor interpretação dos dados, plotou-se em

forma de gráfico a resposta do sistema para entrada ao degrau e a resposta do erro para

esta entrada, como mostrado abaixo%

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Figura &. Res!osta da sa+da e erro !ara entrada degrau unit6rio.

:*-se ue o sistema controlado possui uma resposta subamortecida com ganho

unitário. # erro acompanha a sim!trica negativa da resposta e converge para zero

uando a resposta converge em regime permanente.

)ON)'U%A$%

:iu-se neste roteiro a euival*ncia do sistema contínuo e discreto atrav!s da

transforada ", com efeito "#$. :*-se ue o calculo manual da resposta discreta a partir

da euação de diferenças ! trabalhosa, visto ue para cada valor de 5 ! preciso associar

respostas anteriores e atuais. # m!todo computacional faz-se necessário, pois, depois de

implementada a l&gica correta para o sistema de controle em uestão, ! possível obter em segundos tanto a resposta da s!rie discreta a partir da euação de diferenças, como

tamb!m a resposta gráfica, ue melhor ilustra os resultados dese+ados em pro+eto, como

tempo de acomodação, sobressinal, etc.

7N$BO I

clear

num = 1;den = [1 1];

FC = tf(num,den);

FD = c2d(FC,0.1);

num2 = [0.09516];den2 = [ 1 -0.904 ];

num! = [1 0];den! = [1 -1];

num4 = c"n#(num2,num!);

den4 = c"n#(den2,den!); FD$ = feed%ac&(tf(num4,den4),1)

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' *+/ D DF$C+

' [&3] = 0.09516u[&-1] 1.1[&-1] - 0.904[&-2]

u = "ne(1,100);

& = 11100; (1) = 0;

(2) = 0;

f"r 7=!1100

(7) = 0.095168u(1,7-1) 1.18(7-1) - 0.9048(7-2);

end

;

u%l"t(2,1,1)l"t(&,,:r":)la%el(:+</3$+:)la%el(:+<>?3*D:)t7tle(:$>/3+ +/ D@$+*:)

e(,) = u(1,) - (1,);

u%l"t(2,1,2)l"t(&,e,:%:)la%el(:+</3$+:)la%el(:+<>?3*D:)

t7tle(:$$/ 3+C/+$/:)

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