UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETOICEA- Instituto de Cincias Exatas e AplicadasCampus- Joo MonlevadeDisciplina: Sistema de Controle II Curso: Engenharia Eltrica

Relatrio VIMtodos de discretizao de sistemas contnuos

Autores: William Csar VianaJos Andr Tebar de Faria

Joo Monlevade, 14 de Maio de 2015.

INTRODUOPara o projeto de um controlador em tempo discreto, ser usada uma aproximao discreta do sistema contnuo obtido por meio da transformada de Laplace. Ser obtida uma funo de transferncia em Z atravs da transformao bilinear, ou Tustin como conhecida.Como se trata de uma aproximao, a transformao bilinear pode ocasionar uma distoro na resposta em frequncia quando comparado ao sistema continuo. Para compensar essa distoro pode-se usar a transformao com compensao prewarping.Atravs das equao (1) a seguir, possvel visualizar os efeitos que ocorrem durante essa transformao. Seja a transformao bilinear dada por: (1)Fazendo e e substituindo na equao acima encontra-se: (2)Essa equao mostra onde sistema contnuo mapeado no sistema discreto. A Figura I abaixo mostra a distoro em frequncia ocorrida ao se aplicar esse tipo de transformao.

Figura I. Efeito da distoro na resposta em frequncia.A relao entre e pode ser visualizado pela Figura II. Pode-se concluir que a resposta em frequncia distorcida, sendo que a distoro menor para baixos valores de . Na prtica, se o argumento da funo for menor que 17, .

Figura II. Relao entre e .A transformao bilinear comprime a frequncia contnua em uma faixa digital limitada a .No sendo possvel compensar esta distoro em todas as frequncias, ajusta-se apenas a frequncia crtica do sistema, como por exemplo, no limite superior da banda de passagem. Para o ajuste de frequncia na frequncia crtica do sistema, os mdulos das funes do sistema contnuo e discreto so os mesmos e valem 0,707.DESENVOLVIMENTO1. Dada a funo de transferncia do sistema contnuo: (3)1.1 Determine a funo de transferncia do sistema discreto usando a transformao bilinear com e sem compensao de distoro em frequncia. No caso da transformao com compensao deseja-se que o sistema discreto tenha o mesmo mdulo que o sistema contnuo na frequncia . Suponha um perodo de amostragem .

Aplicando a relao (1) em (3) chaga-se a seguinte funo de transferncia discreta sem compensao:

(4)

A equao de diferenas para esse sistema sem compensao :

(5)

Para o sistema compensado em frequncia em 2 rad/s, aplicando (2) em (3), chega-se a seguinte FT em tempo contnuo:

(6)

Aplicando a transformao bilinear em (6), a FT do sistema compensado no domnio discreto torna-se:

(7)

A equao de diferenas para esse sistema :

(8)

1.2 Obtenha a resposta em frequncia (comparando em um mesmo grfico) do sistema contnuo e dos sistemas discretos com e sem compensao de frequncia.

O Algoritmo I do Anexo I implementa o plot em um mesmo grfico das trs respostas de interesse, como mostrado na Figura III abaixo:

Figura III. Resposta temporal.

Devido ao alto tempo de amostragem, as aproximaes do sistema contnuo a partir do mtodo bilinear com e sem compensao no so to fieis. A compensao notria na frequncia crtica, no sendo possvel observar pelo grfico.

2. Obtenha as aproximaes discretas para o sistema contnuo da Figura IV por meio dos seguintes mtodos: retangular para trs, mapeamento polo-zero, bilinear sem compensao e com compensao de distoro na frequncia. Para cada mtodo, simule a resposta da sada y(k) (todas em um mesmo grfico) quando a entrada u(k) for um degrau unitrio. Suponha T = 1 s.

Figura IV. Sistema contnuo.

2.1 Retangular para trs

A relao para esse tipo de aproximao que mapeia o plano S em Z mostrado na Figura V abaixo:

Figura V. Mapeamento do mtodo de discretizao retangular para trs.

Aplicando a relao de transformao para esse mtodo, a FT do sistema da Figura IV no domnio da frequncia discreto obtida foi:

(9)

Para esse sistema, a equao de diferenas em funo da sada :

(10)

2.2 Mapeamento polo-zero.

Os polos so mapeados atravs da relao . Como o sistema da Figura IV possui um zero no infinito, esse zero mapeado no ponto A transformao no domnio discreto Z obtida atravs do domnio contnuo S por meio da tcnica de mapeamento polo-zero :

(11)

Ao se realizar essa transformao, o ganho deve ser casado com o ganho . Escolhe-se o ganho na frequncia crtica do sistema, geralmente em (Ganho DC). Neste caso,

(12)

(13)

(14)

Igualando as equaes (13) e (14) para encontrar o valor do ganho e substituindo em (11), a FT normalizada no domnio discreto agora :

(15)

A equao de diferenas para esse sistema, em funo do sinal de entrada e sada (amostra anterior) :

(16)

2.3 Bilinear sem compensao

Aplicando a transformao bilinear (descrita no item 1 da prtica) sem compensao no sistema da Figura IV, a FT discreta obtida foi:

(17)A sada do sistema escrito na forma da equao de diferenas :

(18)

2.4 Bilinear com compensao

Para esse mtodo, compensaremos o sistema na frequncia crtica da planta (. A FT contnua do sistema compensado torna-se:

(19)

Aplicando a transformao bilinear em (19), a FT discreta do sistema torna-se:

(20)

A sada do sistema escrito na forma da equao de diferenas :

(21)

2.5 Tabela de equivalentes transformadas

Para o sistema da Figura IV, as transformadas obtidas para cada mtodo de aproximao discreta a partir desse sistema contnuo foram:

Quadro I. Mtodos de aproximao discreta.MTODOS/RESULTADOSFT Discreta Sada temporal

Retangular para trs

Mapeamento Polo-Zero

Bilinear sem compensao

Bilinear com compensao

Vemos, portanto que, para cada mtodo, relaciona-se uma distinta FT que mais o menos precisa do sistema contnuo.

2.6 Resultados e simulaes

Veremos nesse item a resposta do sistema discreto para uma entrada degrau unitrio. Compararemos a resposta do sistema contnuo com os sistemas discretos obtidos atravs de cada transformao para que possamos identificar qual foi o melhor mtodo, ou seja, o mtodo que mais se aproxima da resposta do sistema contnuo.O Algortimo II do Anexo I foi implementado a fim de se plotar em um mesmo grfico as respostas dos sistemas contnuo e discretos para uma entrada degrau unitrio. A Figura VI abaixo mostra as diferentes respostas temporais para cada mtodo abordado em prtica.

Figura VI. Resposta do sistema para os mtodos de discretizao.

Atravs desse grfico vemos que o melhor mtodo de aproximao do sistema contnuo para o sistema discreto refere-se ao mapeamento Polo-Zero e o pior mtodo o retangular para trs.

CONCLUSONeste relatrio viu-se os mtodos de converso do sistema contnuo para o discreto e o quanto esses mtodos se aproximam do sistema contnuo real. No primeiro item da prtica vemos que o baixo perodo de amostragem (1s) no fui suficiente para aproximar o sistema real.No segundo item da prtica vemos os diferentes tipos de transformaes discretas do sistema contnuo e pelos grficos obtidos viu-se que o mapeamento polo-zero a melhor aproximao do sistema contnuo real visto rela resposta temporal pela equao de diferenas.

ANEXO I

Algoritimo I

num=[2];den=[1 2];FC = tf(num,den);k = 0:1:14;u = ones(1,15); %Sem compensao y1(1)=0; for i=2:1:14 y1(i)=(u(i)+u(i-1))/(2); endplot(k,y1,' black o') hold on %Com compensao y2(1)=0;for i=2:1:14 y2(i)=0.6089*u(i)+0.6089*u(i-1)-0.2178*y(i-1); endplot (k,y2,'red x') hold onstep(FC)legend( 'Sem compensao','Com compensao','Resposta contnua')

Algortimo II

clear

num = 1;den = [1 1];

FC = tf(num,den);

%RETANGULAR PRA TRAS

k = 0:1:14;

u = ones(1,15);

y(1) = 0;

for i=2:1:15 y(i) = (u(i) + y(i-1))/2; end

plot(k,y,'o')

hold on

%MAPEAMENTO POLO ZERO

y2(1) = 0;

for i=2:1:15 y2(i) = 0.31606*u(i-1) + 0.31606*u(i) + 0.36787*y2(i-1); end

plot(k,y2,'ro')

hold on

%BILINEAR SEM COMPENSAO

y3(1) = 0;

for i=2:1:15 y3(i) = (u(i) + u(i-1) + y3(i-1))/3;

end

plot(k,y3,'go')

hold on

%BILINEAR COM COMPENSAO

y4(1) = 0;

for i=2:1:15 y4(i) = 0.35316*u(i) + 0.35316*u(i-1) + 0.29366*y4(i-1);

end

plot(k,y4,'yo')

hold on

step(FC)

legend('RETANGULAR PARA TRAS', 'MAPEAMENTO POLO ZERO', 'BILINEAR SEM COMPENSACAO', 'BILINEAR COM COMPENSACAO')