roteiro pratico controle ii
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7/25/2019 Roteiro Pratico Controle II
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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Engenharia Eltrica - DEELT
Professora:Anny Verly
Nome:
6 Roteiro Prtico de Sistemas de Controle II
Observaes de entrega: Prezado(a) aluno(a) este roteiro prtico, deve ser executado em sala de aula e tem um prazo de entrega final de mximo uma semana (dia 14/05/15). O trabalho deve ser enviado para o e-mail [email protected] com o seguinte nomSC2_Roteiro_Prtico_6_(Nome do Aluno). Tambm, este deve ser entregue de forma impressa na data solicitada.
1. Aproximaes em Tempo Discreto
Como visto na aula anterior, o projeto de controladores discreto no tempo pode ser realizado de du
formas:
(i)
Por meio de aproximaes discretas do projeto realizado no tempo contnuo por atravs transformada de Laplace;
(ii) E diretamente no domnio discreto por meio da transformadaZ.
A primeira forma implica em obter funes de transferncia em Z, aproximadas a partir de funes
transferncia ems. Nesse caso foram estudados os mtodos de aproximaes:
Retangular para frente e para trs;
transformao bilinear ou Tustin;
e mapeamento polo-zero.
A transformao bilinear pode ocasionar uma distoro na resposta em frequncia quando compara
ao sistema contnuo. Para compensar esta distoro (prewarping) pode-se usar a transformao bilinear co
compensao deprewarping.
1.1 Transformao bilinear com compensao de prewarping
Fazendo sjws ejwTez na transformao bilinear (1), no domnio da frequncia, encontra-se
equaes (2) e (3):
,)1(
)1(2
zT
zs
(1
),2/tan(2))2/cos(2())2/(2(2
)()(2
)1()1(2
2/2/
2/2/
wTT
jwTTwTjsen
eeTee
eTejw
jwTjwT
jwTjwT
jwT
jwT
s
(2
ento:
2tan
2 wT
Tw
s.
(3
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected] -
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2
Ou seja, a frequncia do sistema contnuos
w mapeada em
2tan
2 wT
T no sistema discreto. E
distoro em frequncia denominada deprewarping. Note que em baixas frequncias, ou para wT pequen
as frequncias dos sistemas contnuo e discreto so prximas, pois:
wwT
T
wT
Tw
s
2
2
2tan
2.
(4
Com no possvel compensar esta distoro em todas as frequncias costuma-se ajustar apenas
frequncia crtica do sistema, como por exemplo, no limite superior da faixa de passagem.
Considere por simplicidade, a funo de transferncia de primeira ordem:
as
asG
)( .(5
Se, por exemplo, a frequncia crtica de (5) for a frequncia do polo )( aws , ento a funo
transferncia ajustada para:
2tan
2
2tan
2
)(aT
T
s
aT
TsG .
(6
Assim, aplicando-se a transformao (1) em (6) obtm-se a transformao bilinear com compensa
de distoro em frequncia:
2tan
2
)1(
)1(2
2tan
2
)(aT
TzT
z
aT
TzG .
(7
Pode-se mostrar que na frequncia crtica adotada )( awws
os mdulos dos sistemas contnuo
discreto so iguais, ou seja:
2
1
22
aa
a
aja
a.
(8
E
2
1
2tan
2tan
2tan
2tan
2
)(
)(2
2tan
2
2/2/
2/2/
aTaTj
aT
aT
TeeT
ee
aT
T
jwTjwT
jwTjwT.
(9
1.2) Exerccios
1. Dada a funo de transferncia do sistema contnuo:
2
2)(
ssG .
(10
(a)Determine a funo de transferncia do sistema discreto usando a transformao bilinear com e se
compensao de distoro em frequncia. No caso da transformao com compensao deseja-se q
o sistema discreto tenha o mesmo mdulo que o sistema contnuo na frequncia radw /2
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Suponha um perodo de amostragem de T = 1 s.
(b)Obtenha a resposta em frequncia (comparando em um mesmo grfico) do sistema contnuo e d
sistemas discretos com e sem compensao de frequncia.
2. Obtenha as aproximaes discretas para o sistema contnuo da Figura (1) por meio dos seguint
mtodos: retangular para trs, mapeamento polo-zero, bilinear sem compensao e co
compensao de distoro na frequncia sradws
/1 . Para cada mtodo, simule a resposta da sa
y(k)(todas em um mesmo grfico) quando a entrada u(k)for um degrau unitrio. Suponha T = 1 s
Figura 1: Sistema contnuo.
Bibliografia
[1] Castrucci, P.L, Bittar, A., Sales R. M., Controle Automtico, LTC, 2011.