round robin tournament and one-factorscijournal.kku.ac.th/files/vol_41_no_3_p_648-656.pdf ·...

ว.วทย. มข. 41(3) 648-656 (2556) KKU Sci. J. 41(3) 648-656 (2013)

การจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบโดยใช 1-แฟกเตอร Round Robin Tournament and One-Factor

ธนวฒน วเชยรไพศาล1* มงคล ตนทพไทย1 และ จรยา อยยะเสถยร1

บทคดยอ การแขงขนกฬาแบบทวรนาเมนตทกทมทเขารวมแขงขนจะพบกนหมด บางครงถาเปนการแขงขนระหวาง

สองทมในแตละนดจะมการแบงประเภทของทมออกเปนทมเหยาและทมเยอน ถาจดตารางการแขงขนไดไมดอาจจะท าใหบางทมเกดความไดเปรยบเสยเปรยบตอทมอนได ในบทความนเราจะน าเสนอวธการจดการแขงขนทวรนา-เมนตแบบแบงรอบโดยใชความรในเรองของ 1-แฟกเตอร มาชวยในการจดการแขงขนเพอใหเกดความยตธรรมส าหรบแตละทม

ABSTRACT In a sport tournament, each team plays with all other teams. In many two-team sports,

there is a home team and an away team in each match. If the tournament has no suitable schedule, some teams will have a disadvantage. This paper constructs a suitable schedule for some sport tournaments by using 1-factorization. ค าส าคญ: กฬา ทวรนาเมนต 1-แฟกเตอร Keywords: Sport, Tournament, One-factor 1ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย เขตปทมวน จ.กรงเทพฯ 10330 *Corresponding Author, E-mail: [email protected]

วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 41 ฉบบท 3 649บทความบทความ วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 41 ฉบบท 3 649

บทน า ในการแขงขนกฬาบางประเภท เชน ฟตบอล บาสเกตบอล หมากรก ฯลฯ มลกษณะของการจดการ

แขงขนหลายแบบ เชน แขงแบบแพคดออก แขงแบบพบกนหมด ส าหรบในบทความนเราจะพจารณาการจดการแขงขนทเปนแบบพบกนหมดซงมชอเรยกอกอยางหนงวา ทวรนาเมนต (tournament)

ถาเราท าการจดการแขงขนอยางไมเปนระเบยบแลวอาจจะท าใหมบางทมทตองแขงในนดตด ๆ กนหลายนดซงท าใหทมนนเกดความเสยเปรยบตอทมอนได ดงนนเราจะพยายามกระจายการแขงขนของแตละทมใหไมตองแขงในนดตด ๆ กนโดยแบงการแขงขนออกเปนรอบ ๆ ซงในหนงรอบแตละทมจะท าการแขงขนเพยงครงเดยว

รปท 1 ผลการแขงขนฟตบอล F.A. Barclays Premiership 2011 / 2012 (http://www.pedwards.co.uk)

ทวรนาเมนตแบบแบงรอบ (round robin tournament) การจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบ (round robin tournament) คอการจดการแขงขนโดย

แบงออกเปนรอบ ๆ ซงในแตละรอบทกทมตองเขารวมการแขงขน และเมอแขงขนครบทกรอบแลวแตละคจะไดเจอกนเพยงครงเดยวเทานน เชน มทมทเขาแขงขนฟตบอลทงหมด 4 ทมคอ แมนเชสเตอรยไนเตด ลเวอรพล อารเซ-นอล และ เชลซ จะไดวามการแขงขนทงหมด 3 รอบ โดยแตละรอบมการแขงขน 2 ค เราสามารถจดการแขงขนซงเปนแบบหนงของการแขงทวรนาเมนตแบบแบงรอบไดดงน

รอบท 1: แมนเชสเตอรยไนเตด-ลเวอรพล, อารเซนอล-เชลซ รอบท 2: แมนเชสเตอรยไนเตด-อารเซนอล, ลเวอรพล-เชลซ

KKU Science Journal Volume 41 Number 3650 Review650 KKU Science Journal Volume 41 Number 3 Review

รอบท 3: แมนเชสเตอรยไนเตด-เชลซ, ลเวอรพล–อารเซนอล ถาเราแทนแตละทมดวยจดยอด (vertex) โดยแทนทมแมนเชสเตอรยไนเตด ลเวอรพล อารเซนอล

และเชลซ ดวยจดยอด 1 2 3 และ 4 ตามล าดบ และใหเสนเชอม (edge) แทนการจบคแขงขน จะไดแตละรอบออกมาเปนกราฟ (graph) ทม 4 จดดงรป

รอบท 1 รอบท 2 รอบท 3

รปท 2 การใชกราฟแทนการจบคแขงขนส าหรบ 4 ทม

เมอท าการรวมกนทง 3 รอบแลวจะไดวาทง 4 จดมเสนเชอมหากนหมดซงเปนกราฟแบบบรบรณ 1 ทม 4 จด ใชสญลกษณ { , }x y แทนเสนเชอมระหวางจดยอด x และจดยอด y

รปท 3 กราฟแบบบรบรณ 4K

ถาจ านวนทมทงหมดเปนจ านวนคจะไมสามารถจดการแขงขนแบบทวรนาเมนตไดเพราะในแตละรอบจะมบางทมทไมไดเขารวมการแขงขน ดงนนจงพจารณาเฉพาะการแขงขนทมจ านวนทมทงหมดเปนจ านวนค สมมตให

จ านวนทมทงหมดมอย 2n ทม จะไดวามการแขงขนอยทงหมด 2 (2 )(2 1)

(2 1)2 2

n n nn n ค และ

เนองจากในแตละรอบมการแขงขนอยจ านวน 22n n ค ดงนนจะมการแขงขนทงหมด (2 1)

2 1n n

nn

รอบ ถาพจารณาในเชงของกราฟการจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบคอการแบงกราฟแบบบรบรณ 2nK ออกเปน 2 1n กราฟยอยแผทว2 ซงแตละกราฟยอยแผทวมจ านวนเสนเชอม n เสน ดงนนแตละกราฟยอยแผทวจะไมใชเสนเชอมซ ากน เรยกแตละกราฟยอยแผทวดงกลาวของ 2nK วา 1-แฟกเตอร (one-factor) ของ 2nK และเรยกเซตของกราฟยอยแผทวดงกลาวทงหมดวาเปน การแยกตวประกอบ 1-แฟกเตอร (one-factorization) ของ 2nK

ส าหรบกราฟแบบบรบรณทมจ านวนจดเปนจ านวนคจะมการแยกตวประกอบ 1-แฟกเตอร เสมอ ซงเปนทรจกกนดดงทฤษฎบทตอไปน 1กราฟแบบบรบรณ (complete graph) คอกราฟทแตละจดในกราฟมเสนเชอมหากนหมด แทนกราฟแบบบรบรณทม n จดดวยสญลกษณ nK 2 กราฟยอยแผทว (spanning subgraph) ของกราฟ G คอกราฟยอยของ G ซงใชจดยอดของ G ครบทกจด


ทฤษฎบทท 1 กราฟแบบบรบรณ 2nK มการแยกตวประกอบ 1-แฟกเตอร ทกจ านวนนบ n การพสจน ก าหนดให 0 1 2 2, , ,..., nx x x x เปนชอของจดยอดใน 2nK ซงมจ านวนจดยอดอยทงหมด 2n จด และส าหรบแตละ 0 2 2i n ให iF เปนกราฟยอยแผทวของ 2nK ซงประกอบไปดวยเสนเชอมดงน

1 1 1 1{ , } , { , } , ... , { , } , ... , { , }i i i i j i j i n i nx x x x x x x x โดยทแตละตวหอยของ x (ยกเวน ) คอจ านวนเตมภายใตมอดโล (modulo) 2 1n แลวจะไดวาแตละ iF เปน 1-แฟกเตอร ของ 2nK

รปท 4 1-แฟกเตอร 0F ของกราฟ 8K

สงเกตวาแตละเสนเชอมของ 2nK ทมจดปลายขางหนงเปน x จะไดวา { , }ix x จะปรากฏเพยงครงเดยวและเปนเสนเชอมใน iF ตอมาพจารณาเสนเชอม{ , }p qx x ถา p และ q ไมเปน แลวเราสามารถเขยน p q ใหอยในรป 2i ภายใตมอดโล 2 1n ได เพราะวา p q หรอ 2 1p q n เปนจ านวนเตมค และเนองจากคา i ซง 2p q i มไดเพยงคาเดยวเทานน ดงนน { , }p qx x จะเปนเสนเชอมของ iF เพยงตวเดยวเทานน จงไดวา 0 1 2 2{ , ,..., }nF F F เปนการแยกตวประกอบ 1-แฟกเตอร ของ 2nK

จากทฤษฎบทท 1 ท าใหไดวาถาจ านวนทมทงหมดเปนจ านวนคแลวจะสามารถหาวธการจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบไดเสมอ

ทวรนาเมนตแบบแบงรอบโดยมทมเหยา-เยอน (home and away round robin tournament)

ในการแขงขนกฬาบางประเภท เชน ฟตบอล จะมการแบงทมออกเปนสองประเภทคอ ทมเหยา (home team) กบ ทมเยอน (away team) เรยกการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบทมการระบทมเหยาและทมเยอนวา ทวรนาเมนตแบบแบงรอบโดยมทมเหยา-เยอน (home and away round robin tournament)

เมอพจารณาในเชงของกราฟจะไดวาการจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบโดยมทมเหยาทมเยอน เมอจ านวนทมทเขาแขงขนมอยทงหมด 2n ทม คอการแยกตวประกอบ 1-แฟกเตอร ของ 2nK โดยมการระบ


ทศทางใหกบเสนเชอม ซงจะเรยกวา การแยกตวประกอบ 1-แฟกเตอรแบบระบทศทาง (oriented one-factorization) ของ 2nK

รปท 5 โปรแกรมการแขงขนฟตบอลสปอนเซอรไทยพรเมยรลก ฤดกาล 2012 นดเปดสนามวนท 17 มนาคม 2555

(http://www.keelamun.com/ตารางการแขงขนไทยลค-2012-2013.html)

การเบรก (break) แตละครงของการแขงขน คอการทมทม ๆ หนงเปนทมเหยาหรอทมเยอนในสองรอบทอยตดกน ให x เปนทม ๆ หนง จะเรยกการจดการแขงขนวาเปน ไอดล (ideal) ส าหรบทม x ถาตลอดการแขงขนนนไมมการเบรกททม x เลย เชน มทมทเขาแขงขนทงหมด 4 ทมคอ , ,a b c และ d ใชสญลกษณ x y แทนการแขงขนระหวางทม x กบทม y โดยทม x เปนทมเหยาและทม y เปนทมเยอน ท าการจดการแขงขนในแตละรอบดงน

ตารางท 1 ตวอยางการจดการแขงขนแบบมทมเหยา-เยอนส าหรบ 4 ทม รอบท คท 1 คท 2

1 a d c b

2 a c b d

3 b a c d

จากตารางการแขงขน จะเหนไดวาในรอบท 1 กบ 2 ทม a เปนทมเหยาตดกน แตในรอบท 2 กบ 3 ทม a มการสลบจากทมเหยาเปนทมเยอน ดงนนจะไดวามการเบรก 1 ครงททม a ส าหรบทม b มการเบรก 1 ครง ทม d มการเบรก 2 ครง สวนทม c นนไมมการเบรก เพราะฉะนนการจดการแขงขนนเปนไอดลส าหรบทม c

ถาในการแขงขนมจ านวนของการเบรกเกดขนมาก ๆ อาจจะท าใหมบางทมเกดการเสยเปรยบตอทมอนไดทงในแงของรายไดและจ านวนผชม ดงนนเราจงสนใจการจดการแขงขนทท าใหเกดจ านวนของการเบรกนอยทสดเพอใหเกดความยตธรรมมากทสดส าหรบแตละทม

ในป ค.ศ. 1981 เวอรรา (Werra) ไดศกษาเกยวกบการจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบโดยมทมเหยาทมเยอน และไดหาวาแตละการจดการแขงขนจะเปนไอดลส าหรบอยางมากกทม ดงทฤษฎบทตอไปน


ทฤษฎบทท 2 การจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบโดยมทมเหยา-เยอนซงมจ านวนทมทเขาแขงขนเปนจ านวนค จะเปนไอดลส าหรบอยางมาก 2 ทม การพสจน ให a เปนทม ๆ หนงในทวรนาเมนตแบบแบงรอบทมจ านวนทมทเขาแขงขนเปนจ านวนค นยามเวกเตอร at ดงน ให a jt = 1 ถา a เปนทมเหยาในรอบท j และให a jt = 0 ถา a เปนทมเยอนในรอบท j สมมตวาการจดการแขงขนนเปนไอดลส าหรบทม a แลวจะไดวาเวกเตอร at เปนไดเพยง 2 แบบเทานนคอ

(0, 1, 0, 1, … ,0 ,1) หรอ (1, 0, 1, 0, … ,1 ,0) ถา a b แลว a bt t เพราะวาทกทมตองไดพบกนหมดดงนนตองมรอบหนงของการแขงขนททม a แขงกบทม b ซงในการแขงขนจะตองมทมหนงเปนทมเหยาและอกทมหนงเปนทมเยอน เพราะฉะนนจะไดวาการจดการแขงขนจะเปนไอดลส าหรบอยางมาก 2 ทม

จากทฤษฎบทท 2 ท าใหเกดค าถามวาเราจะสามารถหาวธการจดการแขงขนทเปนไอดลส าหรบ 2 ทมไดหรอไม ยกตวอยางเชน ในกรณทมผเขาแขงขน 8 ทม , , , , , ,a b c d e f g และ h ท าการจดการแขงขนในแตละรอบดงน

ตารางท 2 ตวอยางการจดการแขงขนแบบมทมเหยา-เยอนส าหรบ 8 ทม รอบท คท 1 คท 2 คท 3 คท 4

1 h a g b c f e d

2 b h a c d g f e

3 h c b d e a g f

4 d h c e f b a g

5 h e d f g c b a

6 f h e g a d c b

7 h g f a b e d c

จากตารางการแขงขนจะไดวาเปนการจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบซงเกดเบรกดงน - รอบท 2 กบ 3 ท าใหเกดการเบรกททม b และทม c - รอบท 4 กบ 5 ท าใหเกดการเบรกททม d และทม e - รอบท 6 กบ 7 ท าใหเกดการเบรกททม f และทม g - ไมมการเบรกททม a และทม h ดงนนการจดการแขงขนนเปนไอดลส าหรบ 2 ทม คอทม a กบทม h สวนอก 6 ทมทเหลอมการเบรก

ทมละหนงครง ส าหรบในกรณทวไปซงมจ านวนทมทเขาแขงขนทงหมด 2n ทม เวอรราไดแสดงวามวธการจดการแขงขน

ทเปนไอดลส าหรบ 2 ทม และไดดวยวามการเบรกเกดขนทงหมด 2 2n ครง ซงเปนจ านวนทนอยทสดของการเบรกทเปนไปไดนนคอม 2 ทมทไมมการเบรก สวนทมอน ๆ ทเหลอมการเบรกทมละหนงครง


ในการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบโดยมทมเหยา-เยอนอาจจะมเหตการณอน ๆ เพมเตม เชน มทมบางคทใชสนามแขงขนเปนสนามเดยวกนซงท าใหในแตละรอบของการแขงขน ทมคนนจะเปนทมเหยาพรอมกนไมได ส าหรบปญหาดงกลาวน ในป ค.ศ.1983 วอลลส (Wallis) ไดแสดงวาเมอก าหนดทมสองทมมาให แลวจะมวธการจดการแขงขนซงในแตละรอบ ทมสองทมทก าหนดมาใหจะไมเปนทมเหยาพรอมกน ดงทฤษฎบทตอไปน ทฤษฎบทท 3 ก าหนดให F เปนการแยกตวประกอบ 1-แฟกเตอร ของ 2nK และให x กบ y เปนสองจดใด ๆ ใน 2nK แลวมการแยกตวประกอบ 1-แฟกเตอรแบบระบทศทางของ 2nK โดยท x กบ y มทศทางของเสนเชอมตางกนในแตละ 1-แฟกเตอร ของ F การพสจน โดยไมเสยนยทวไปให 1F เปน 1-แฟกเตอร ของ F ทมเสนเชอม { , }x y ท าการระบทศทางใหกบแตละเสนเชอมของ 1F จะไดวาส าหรบ 1-แฟกเตอร 1F น จด x กบ y มทศทางของเสนเชอมตางกน นนคอ ทม x กบทม y ไมเปนทมเหยาพรอมกน ตอมาเลอก 1-แฟกเตอร ของ F ทไมใช 1F สมมตเปน 2F พจารณา

1 2F F (เอาเสนเชอมของ 1F กบ 2F มารวมกน) เนองจาก 1F และ 2F เปน 1-แฟกเตอร ดงนน 1F และ 2F จะไมมการใชเสนเชอมซ ากน เราไดวาจะมวง (cycle) ของ 1 2F F ซงมเสนเชอม { , }x y อยในวงนน ท าการระบทศทางของเสนเชอมในวงดงกลาวไปตามทศทางของเสนเชอม { , }x y ส าหรบเสนเชอมอน ๆ ทเหลอของ 2F จะระบทศทางแบบใดกได ซงโดยการระบทศทางของวงดงกลาวนนท าใหไดวาจดยอด x กบจดยอด y จะมทศทางของเสนเชอมตางกนใน 2F

1F ทระบทศทางของเสนเชอมแลว 2F การระบทศทางใหกบวงใน 1 2F F

รปท 6 การระบทศทางใหกบเสนเชอมใน 1-แฟกเตอร 1F และ 2F

ส าหรบ 1-แฟกเตอร iF ตวอน ๆ ของ F นนกสามารถท าไดในท านองเดยวกบ 2F โดยการพจารณาวงใน 1 iF F ซงจะท าใหไดวาจด x กบ y มทศทางของเสนเชอมตางกนในแตละ 1-แฟกเตอรของ F

ทวรนาเมนตแบบแบงรอบทสมดลส าหรบสภาวะเกนตว (round robin tournament balanced for carryover)

ในการแขงขนอาจจะมบางทมทเกงมาก ๆ ซงจะท าใหทมทเจอกบทมทเกงนนมความเสยเปรยบตอทมทตวเองตองเจอในรอบถดไป เราจะเรยกสถานการณของทมทเสยเปรยบนวาสภาวะเกนตว (carryover) ยกตวอยางเชน มทมทเขาแขงขนทงหมด 6 ทม คอ , , , ,a b c d e และ f ท าการจดการแขงขนในแตละรอบดงน

วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 41 ฉบบท 3 655บทความ


ส าหรบปญหาการจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบทสมดลส าหรบสภาวะเกนตวน ในป ค.ศ.1980 รสเซลล (Russell) ไดแสดงวามวธการจดการแขงขนถาจ านวนทมอยในรปเลขยกก าลงของสอง ซงใชความรในเรองของฟลดกาลว (Galois field) มาชวยในการจด และรสเซลลกไดตงขอความคาดการณ (conjecture) เอาไววามวธการจดการแขงขนทวรนาเมนตแบบแบงรอบทสมดลส าหรบสภาวะเกนตวเมอจ านวนทมอยในรปเลขยกก าลงของสองเทานน แตตอมาในป ค.ศ.1999 แอนเดอรสน (Anderson) ไดหาตวอยางคานซงท าใหขอความคาดการณดงกลาวไมเปนจรง โดยเขาไดแสดงวามวธการจดการแขงขนในกรณทมจ านวนทมทเขาแขงขน 20 และ 22 ทม ซงไมอยในรปเลขยกก าลงของสอง

บทสรป บทความนไดใชความรทางดานทฤษฎกราฟในเรองของ 1-แฟกเตอร มาชวยในการจดการแขงขนกฬา

แบบทวรนาเมนตเพอใหเกดความยตธรรมส าหรบแตละทม และเพอแกไขปญหาบางประการทอาจเกดขนไดในการแขงขน เชน มทมบางคใชสนามแขงขนเปนสนามเดยวกนซงท าใหทมคนนเปนทมเหยาพรอมกนไมได โดยวธการจดการแขงขนเหลานสามารถน าไปประยกตใชไดจรงกบการแขงขนกฬาแบบทวรนาเมนต เชน ฟตบอลพรเมยรลกของประเทศองกฤษ เปนตน

เอกสารอางอง Anderson, I. (1999). Balancing carry-over effects in tournaments. In Combinatorial Designs and their Applications.

Chapman & Hall/CRC Res. Notes Math. 403 Boca Raton, FL: 1-16. de Werra, D. (1981). Scheduling in sports. In Hansen, P., editor, Studies on graphs and discrete programming.

Amsterdam: 381–395. Gerhard, P. and Gerhard, W. J. (2006). Sports tournaments. home-away assignments. and the break, Discrete

Optimization 3: 165–173. Russell, K. G. (1980). Balancing carry-over effects in round robin tournaments. Biometrika 67: 127-131. Wallis, W. D. (1983). A tournament problem. J. Austral. Math. Soc. 24B: 289-291. Wallis, W. D. (1987). One-factorizations of graphs : tournament applications. The College Mathematics Journal

18(2): 116-123. Wallis, W. D. (2007) Introduction to combinatorial designs. second edition. Chapman and Hall/CRC.

round robin tournament and one-factorscijournal.kku.ac.th/files/vol_41_no_3_p_648-656.pdf ·...

Documents