routenplanung querfeldein - geometric route planning mareike otte
TRANSCRIPT
Routenplanung querfeldein-
Geometric Route Planning
Mareike Otte
03.07.2003 Mareike Otte 2
Motivation
Fußgänger bewegen sich anders als Autos
nicht über Graphen sondern über Flächen
Wie können Hindernisse bzw. Freiflächen dargestellt werden?
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Lösung
• Repräsentation der Geometrie durch Polygone
• keine Beschränkung auf Kanten, exakte Trajektorie wird bestimmt
• Damit geeignet für – Fußgängernavigation– Schifffahrt
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Karte der kürzesten Wege
Shortest path map (SPM)
Aufspaltung des freien Raumes in Regionen, entsprechend der verbindenden Struktur von kürzesten Wegen zwischen einem Punkt s, zu einem beliebigen Punkt in der Region
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Zellzerlegung
• Zerlegung der Karte in Polygone mit Löchern (nicht begehbar)
• Bestimmung ihrer Minima und Maxima
• Einfügen von horizontalen Kanten
• Nummerierung der neu entstandenen Kacheln
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Berechnungszeit: O (n)
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Erstellen eines Verbindungsgraphen
• Kacheln sind durch Knoten repräsentiert• Kanten sind Verbindung von
aneinandergrenzenden Kacheln• Eine Kachel hat mind. eine Kante• Berechnungszeit: O (n)• Auffinden von Punkten: O (n log n)
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Erstellen eines Verbindungsgraphen
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Funnel (trichtern)
• Auffinden von konvexen Punkten• Auf der linken Seite werden die konvexen Punkte
des linken Polygons genutzt, auf der rechten Seite die des rechten
• Quellpunkt liegt immer auf dem kürzesten Weg• Die Verbindungsketten bewegen sich voneinander
weg• Der Winkel zwischen den Ketten ist minimal
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Funnel (trichtern)
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Funnel (trichtern)
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Funnel (trichtern)
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I
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Funnel (trichtern)
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I
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Funnel (trichtern)
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I
II
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Berechnungszeit in einem komplexen Polygon
• Zellzerlegung: O (n)• Verbindungsgraph: O (n)• Auffinden von Punkten: O (n log n)• Trichterverfahren: O (n²)
Gesamtberechnungszeit: O (n²) + O ( n log n)...• Geometrisches Verfahren also sehr
zeitaufwendig
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Alternative
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Continuous Dijkstra Method
• die Karte der kürzesten Wege (SPM) wird direkt konstruiert
• der Zeitaufwand ist linear• ist sowohl anwendbar auf die euklidische
Metrik (sog. geod. Distanz ), wie auf die L1 Metrik
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Aufbau
• Wellenbewegung vom Quellpunkt s aus• die Wellenfront ist Menge aller Punkte der
Polygone im Abstand zu s• Wellenfront ändert sich, je nach Eigenschaft
der Wavelets• Wavelets sind Kreisbögen, die durch schon
beim Durchlaufen erreichte Punkte gehen
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Eigenschaften der Wavelets
• Wavelets können:– völlig verschwinden – an ein Hindernis grenzen (Knoten)– an ein Hindernis grenzen (Kante)– mit einem anderen Wavelet zusammenprallen
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Continuous Dijkstra Method mit der L1 Metrik
• Ausgangspunkt: Quellpunkt s• Wellenfront ist stückweise linear• Wavelets sind Geraden mit der Steigung 1• Wellenfront steht immer rechtwinklig zu
den Wavelets
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Berechnungszeit
• Berechnungszeit: O (n log n) im Gegensatz zum „normalen“ Dijkstra-Algorithmus: O (e + n log n)
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Offene Probleme
Wie kann man mit einer Metrik-Kosten-Funktion, die auch die euklidische Länge mit berücksichtigt, in einer Karte (bestehend aus Polygonen mit Löchern) die Anzahl von Stopps z.B. in einem Hafen, bzw. die Wahrscheinlichkeit dieser Anzahl berechnen?
Travelling Salesman Problem
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!