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C Y C L E 2 – P O R T D E B O U C
A N N É E S C O L A I R E 2 0 1 8 - 2 0 1 9
Résolution de problèmes
Nathalie Escudier, formatrice REP+
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Objectifs de la formation
Réfléchir sur la personnalisation des apprentissages dans l’enseignement de la résolution de problèmes.
Appréhender la spécificité de l’analyse et du statut de l’erreur en Résolution de Problèmes.
Apporter quelques éléments théoriques sur la résolution de problèmes.
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Séance classe
DESCRIPTION puis ANALYSE
- du (des) type(s) de problèmes (document typologie des problèmes (classification de G. Vergnaud))
- des stratégies
- des erreurs/difficultés (document « Erreurs relatives à… »)
- des réussites
des élèves
PROPOSITIONS en réponse aux erreurs des élèves
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Analyse de Vidéo
Ouafa, CE1 Argenteuil, vidéo du centre-alain-savary.ens-lyon. 1/ décrire 2/ analyser: comprendre, en cherchant « les bonnes raisons que l’enseignante a de faire ce qu’elle fait » 3/ chercher à quelles conditions elle pourrait faire autrement.
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Comment résout-on un problème ?
Deux processus cognitifs en jeu :
• Processus représentationnel : L’enfant construit une représentation cognitive (mentale) du problème. Le problème peut lui évoquer un problème autre, déjà résolu.
• Processus opératoire : L’élève déclenche un traitement
Attention : ces processus sont simultanés, ils interagissent !
C’est l’interaction de ces processus qui font réussir la résolution.
Résoudre un problème passe par la construction d’une représentation de ce problème et la réussite à ce problème enrichit notre mémoire des problèmes… résolus.
Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11
Ce problème ressemble à un problème connu mémoire
Ce problème ne me rappelle rien il faut construire une nouvelle
stratégie
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Ne pas laisser les élèves penser que résoudre des problèmes se limite à « trouver la bonne opération » ou « avoir de la chance » en prenant les deux nombres de l'énoncé et en choisissant une opération au hasard…
> proposer des problèmes complexes
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Quels problèmes ?
3 types de problèmes sont à travailler à l’école
Problèmes élémentaires (visent l’automatisation de la procédure)
Problèmes complexes (souvent des assemblages de problèmes élémentaires)
(à proposer dès le CP)
Problèmes atypiques (Problèmes ouverts et résistants)
La résolution de problèmes joue également un rôle primordial dans la construction même des notions mathématiques
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PROBLÈMES , REPRÉSENTATION MODÉLISATION
Chercher
Modéliser*
Représenter *
Raisonner
Calculer *
Communiquer
* Prioritaires au cycle 2
Compétences travaillées
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Les problèmes situés en haut à gauche d’une case sont des problèmes « simples », ceux situés en bas à droite sont des problèmes « complexes ».
Selon D. Butlen
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MODELISATION DE SINGAPOUR
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Représenter: d’autres modèles
Boîte à nombre (ACE) pour les problèmes de « parties/tout »
Demi-droite graduée
2 3
0 2 5 10
5
2
5
3
10520
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Préconisations IGEN, nov. Déc. 2018
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Manipuler – représenter
Dans un paquet de billes rouges, vertes ou bleues, il y a 162 billes.
Il y a trois fois plus de billes rouges que de billes vertes et 7 billes vertes de moins que de billes bleues.
Combien y a-t-il de billes rouges ?
162 – 7 Billes vertes
Billes rouges
Billes bleues 7
162
= 155 155 5 = 31
31 × 3 = 93
31 31
31
31
31
IGEN, nov. Déc. 2018
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L’ ÉLÈVE en RÉSOLUTION de PROBLÈMES
Les productions d’élèves:
différents stades vers l’abstraction
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LES DIFFÉRENTS STADES VERS L’ABSTRACTION
La modélisation
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Préconisation Rapport Villani-Torossian
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Les procédures des élèves
Vidéo Denis Butlen (conférence de consensus Différenciation
pédagogique)
https://www.cnesco.fr/fr/differenciation-pedagogique/paroles-dexpert/postures-des-enseignants-et-des-eleves/
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Comment aider vraiment les élèves ?
En classe, les élèves résolvent de nombreux problèmes et, souvent, l’enseignant pense que, par la multiplication des exercices, l’élève apprendra à le faire. Si cette hypothèse se vérifie, heureusement, pour de nombreux
élèves, d’autres sont systématiquement en échec parce qu’ils ne
comprennent pas tout seuls comment procéder ou persistent à utiliser une démarche qui n’est pas appropriée ! Cèbe et Goigoux le précisent : “Si l’on se contente de faire varier les expériences sans enseigner
aux élèves comment les traiter efficacement, on court le risque qu’ils n’apprennent rien de “ce faire“. Fournir des expériences est certes nécessaire, mais il semble essentiel d’aider à les traiter“.
Extrait de “L’aide stratégique aux élèves en difficulté
scolaire“, Pierre VIANIN
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Des préconisations : Priorité donnée aux temps pendant lesquels les élèves résolvent
effectivement eux-mêmes des problèmes.
Des temps d'échanges collectifs (émission d’hypothèses, d'élaboration collective des stratégies, confrontation des idées, proposition de méthodes de résolution, proposition à la classe de problèmes créés par les élèves eux-mêmes).
Temps de travail individuel de recherche (appropriation du problème et engagement de tous les élèves dans la tâche de résolution) avant le travail en groupe (collaborer par binôme ou par groupes de trois ou quatre élèves)
Lors des temps de recherche individuelle ou par groupe, l'enseignant circule pour consulter les productions de chacun des élèves afin de pouvoir :
- encourager leur mise en recherche ; - relancer le travail des élèves bloqués, en posant des questions pour les aider à s'approprier l'énoncé, en invitant à faire un dessin ou un schéma, en proposant du matériel ;
- inviter des élèves à utiliser les ressources à leur disposition (cahier de référence ou affichages) ;
- demander à des élèves ne trouvant pas la même chose de comparer leurs résultats et leurs procédures pour se mettre d'accord ;
- accompagner plus longuement des élèves ayant des besoins spécifiques ou des difficultés particulières ;
…
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Aide stratégique…
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Le projet
d’une école
en REP+ sur
Marseille
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DES OUTILS
les cahiers de référence pour garder la mémoire de la méthode enseignée ou de la démarche visée
Un affichage
Des supports individuels
Le coin des
mathématiques (MHM),
la boîte à problèmes
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La compréhension de l’énoncé ?
Des pratiques à interroger
Repérage de « mots clés », des « indices », Surlignage
« Quelle opération faut-il faire ? »
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A. un massif de fleurs, formé de 60 tulipes rouges et 15 tulipes jaunes B. un massif de 60 rangées de 15 tulipes C. un massif de 60 fleurs, formé de tulipes et de 15 jonquilles D. 60 tulipes disposées en 15 massifs réguliers
E. 60 tulipes mais 15 ont été piétinées
F. Il y a 60 fleurs en tout et 2 fois plus de tulipes que de roses
LES MASSIFS DE TULIPES :
Calculer pour chaque énoncé le nombre de tulipes dans un massif.
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La compréhension de l’énoncé ?
Des pratiques à renforcer
- Faire raconter l’histoire (sans les nombres ?)
- Inciter les élèves à intégrer l’idée qu’un même contenu peut être lu de plusieurs façons.
> Orienter l’élève vers le recodage sémantique
- Faire créer des problèmes (avec des contraintes)
- Proposer des problèmes simples dans un contexte familier
vocabulaire simple, énoncé simple ne pas passer du temps sur la compréhension de l’énoncé
Varier les habillages
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Un exemple de classe: Classe de CE1, REP+ Rituels mathématiques Ecriture d’un énoncé à
partir d’un tout.
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Quel choix d’énoncé?
Attention, un certain nombre d’analogies intuitives va faciliter ou complexifier la résolution du problème:
- Analogies de substitution (notions mathématiques) Addition: L’idée qu’additionner c’est ajouter Soustraction: L’idée que soustraire c’est perdre Multiplication: L’idée d’une réplication sommative: addition réitérée Division: L’idée de partage
- Analogies de scénario (connaissances extra-mathématiques)
- Analogies de simulation (représentation mentale de la
situation décrite par l’énoncé)
Recodage sémantique
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Analogie de scénario
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TYPOLOGIE des ERREURS
Erreur due à une situation nouvelle
pour l’élève
Erreur due à une mauvaise
compréhension de la consigne
Erreur due à un acquis antérieur
pas assez maitrisé et pas
réinvestissable
Erreur due à une opération mentale inadaptée engagée
par l’élève
L’analyse de l’erreur en résolution de problèmes
Travaux de R.Charnay et M.Mante
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STATUT de l’ERREUR
Un autre regard sur l’erreur Vidéo Denis Butlen (conférence de consensus
Différenciation pédagogique)
- L’élève doit avoir le temps d’essayer, d’éventuellement se tromper, d’analyser son erreur, d’essayer à nouveau.
- Le professeur doit aider l’élève à identifier son erreur, à la comprendre afin qu’elle devienne constitutive de son apprentissage.
(Rapport Villani – Torossian)
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Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique
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Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11
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Zdf
DISPOSITIFS de différenciation pédagogique : modalités qui requièrent une
planification et une organisation systématiques : - plan de travail - tutorat entre élèves - table d’appui
- groupes de besoins
Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11
Différenciation pédagogique
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Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique
L’aide individuelle
Soutien classique : élève par élève
Familiariser l’élève avec la démarche experte
Modelage = simplifier la tâche
Faire faire et faire dire par l’élève
Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11
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Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique
Le tutorat
Responsabiliser les élèves avancés par une approche moins formelle et plus rationnelle
Différencier par l’accompagnement : individualisé/différencié/personnalisé
Scénariser le format des échanges (préparer les élèves)
Souplesse d’organisation
Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11
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Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique
Les groupes de besoins
Evaluation préalable aux regroupements
Groupes flexibles
Temps en groupes homogènes inférieur au moment collectif
Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11
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Une réponse à l’analyse des erreurs : La différenciation pédagogique
La table d’appui
Matérialiser dans la classe un espace (table spécifique) d’aide.
Compatible avec les objectifs de la séance
Au service de l’évaluation formative
Alain BERAUD - CPD REP+ - Marseille 10 et 11
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DES SUPPORTS MATHÉMATIQUES
Ecole d’Argenteuil
8 séquences pour résoudre des problèmes au cycle 3 (CE2-CM1-CM2)
MHM
https://methodeheuristique.com/fichiers/fichiers-ce2/
ACE (CE1)
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Ecole d’Argenteuil Méthode originale et explicite d'enseignement/apprentissage des stratégies de résolution de problèmes par modélisation logique basée sur la typologie de Vergnaud. Etapes et stratégies enseignées aux élèves: 1) Lecture et compréhension 2) Reconnaître la structure du problème 3) Compléter la structure : Mettre en équation 4) Résoudre cette équation 5) Exprimer le résultat, la réponse 6) Expliciter sa démarche
http://centre-alain-savary.ens-lyon.fr/CAS/mathematiques-en-education-prioritaire/reportage-argenteuil/des-situations-mathematiques Kevin Gueguen, auteur et propriétaire des fichiers qu'il a construit pour les maitres et maitresses de l'école élémentaire JJ Rousseau, accepte de les mettre à la disposition des formateurs et des enseignants qui le souhaitent, dans le cadre des conditions définies par une licence creative commons.
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8 séquences pour résoudre des problèmes au cycle 3 (CE2-CM1-CM2) Quelques lignes directrices ont guidé ce travail : ● une organisation de l’enseignement autour de deux pôles :
- développer, expliciter l’exploration de l’énoncé écrit d’un problème. - amener les élèves à construire et utiliser des répertoires de situations qui, à terme, donneront du sens aux opérations et rendront plus sûr le choix des procédures de résolutions.
● une centration des travaux sur les problèmes arithmétiques fondamentaux. ● une attention toute particulière au rebrassage des connaissances. ● un apprentissage de la rédaction de la solution différé du temps de résolution
du problème. ● des activités quotidiennes pour ancrer l’apprentissage :
- le calcul mental -les petits problèmes oraux http://ww2.ac-poitiers.fr/dsden16-pedagogie/spip.php?article881
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Quand un élève résout un problème, il va mettre en œuvre des connaissances qu’il possède et utilise différents moyens de contrôle : - sémantiques : analyse de l’énoncé - pragmatiques : c’est interroger la pertinence de sa réponse
-> travail sur l’estimation, l’approximation
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Références
institutionnelles
BO spécial n°3 du 26 avril 2018 (dernière partie) « La résolution de problèmes à l'école élémentaire »
Repères annuels de progression, Mathématiques
Programmes de l’école
Référentiel de l’éducation prioritaire
Conférence de consensus Différenciation pédagogique
https://www.cnesco.fr/fr/differenciation-pedagogique/
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Résoudre un problème complexe…
Un renard a mangé 90 grains de raisin en 5 jours.
Chaque jour, il a mangé 5 grains de plus que la
veille.
Combien a-t-il mangé de grains de raisin le
premier jour ?
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Quels ressentis?
Quelles procédures? Quelle efficacité?
Refus d’engagement
Très
confortable
Situation
d’inconfort
Engagement
A
C
D
B
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« Qu’aurait-il fallu faire / dire
pour que vous ayez plus de confort et d’engagement dans la tâche ? »
petit groupe (binôme…)
étayage par proposition de dessin…
des étayage mathématiques : problème résolu, résolution partielle, donner la réponse et chercher la stratégie, donner une étape du raisonnement…