ruben sabbadini, liceo farnesina - roma equazioni ... · sarà un giochetto anche per gli studenti...
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Equazioni
differenziali:
matematica & realtà
Convegno Matematica & Realtà
(Hotel Esplanade - Viareggio)
9-11 Ottobre 2015
Ruben Sabbadini, Liceo Farnesina - Roma
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indicazioni nazionali
per la matematica
La novità delle recenti
sono le
equazioni
differenziali
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non è una
cattiva cosa
è una
grande opportunità
(non è vero che sono difficili)
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sono un’importante
finestra sulla
realtà
non solo per la
fisica
ma per molte altre materie
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è anche possibile
vederne
le soluzioni
senza
risolverle!(ve ne darò un saggio)
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Ricordate
è la soluzione di
un’equazione
differenziale
l’equazione di Schroedinger
la Meccanica quantistica
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non vi preoccupate
sarà un giochetto
anche per gli
studenti
è più divertente che difficile!
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Crescita di una popolazione(di batteri)
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all’inizio ho N0 batteri
Riuscite a convincervi
che la crescita
è proporzionale a N0 ?
più sono, più si riproducono
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Come si scrive?se N(t) è il numero di
batteri in funzione di t,
la crescita è:
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Come si scriveche N(t) è
proporzionale alla
crescita?
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N(t) può essere:• un polinomio? No!
• un logaritmo? No!
• ….
• un seno o coseno? No
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C’è un’unica possibilità:
N(t) = N0e a t:
Ecco a cosa servono
gli esponenziali!
(ecco cos’è ex!)
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L’unica funzione …
proprio quello che ci serve!
… simile alla sua
derivata!
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da N(t) = N0e a t abbiamo:
N0 ea t = k N0 a ea t
per cui (sostituendo in
):
ovvero 1 = k a(polinomio caratteristico)
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Quindi questa
a N(t) si sostituisce 1
e a alla sua derivata
si riduce a:
1 = k a (polinomio caratteristico)
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1 = k a (polinomio caratteristico)
(se volete essere colti è la
Trasformata di Laplace)
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Agli studenti serve
questa regola:
da sostituire in
N(t) = N0 e at
1 = k a (polinomio caratteristico)
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Quindi:
N(t) = N0e t/k:
(Cabri ci permette di
“vedere” tutto questo!)
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1
1
0
(y^2-x)/(x^2+1)y' = =
1
0,74
Vediamo un’equazione
a coifficienti variabili:(neanche a variabili separabili!)
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Crescita di un conto
in banca
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Abbiamo un capitale
iniziale C0
e un tasso di interesse i
all’n-simo anno:
C = C0(1+i)n
al primo anno:
C = C0(1+i)
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Se ricevessimo un interesse
mensile pari a i/12
al primo anno
C = C0(1+i/12)12
con un interesse giornaliero
C = C0(1+i/365)365
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Se lo frazionassimo
al minuto, al secondo,
ad una frazione k-esima
di anno
al primo anno
C = C0(1+i/k)k
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mandando k all’infinito
al primo anno
C =lim C0(1+i/k)k=
= C0 eit (t in anni)
Si arriva allo stesso risultato
da dC/dt=iC
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infatti:
da sostituire in
C(t) = C0 eat
a = i 1(polinomio caratteristico)
= C0 eit
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V
R
O
C Vc(t)
Vr(t)
+
-
Circuito RC
V-vC = vR = Ri
+
-
Due generatori
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Circuito RC
V-vC = vR = Ri
ma:
vC = q/C (legge
del condensatore)
quindi: V - q/C = Ri
V
R
O
C Vc(t)
Vr(t)
+
-
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V
R
O
C Vc(t)
Vr(t)
+
-
Circuito RC
in V - q/C = Ri
ci sono 2 variabili (q e i)
Allora deriviamo:
La stessa
equazione di prima!con questo
polinomio caratteristico!
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Circuito RC
V = V5,6
R = k 3,1
-f.s. 0
f.s. 2.0 A
f.s.
-f.s.
f.s.
f.s.
10
V
0
O
f.s. 10 Vf.s.
0-f.s.
C = mF6,0
t (s )
Vc/Vr
0
V
t
Vc(t)= 0,28 V
Vc
t
Vr(t) = 5,32 V
Vr
I(t) = 1,72 A
I
tt
I
Imax
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Vediamo un’Equazione
differenziale del II ordine:
(tipicamente la legge di Newton
che governa tutta la meccanica)
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Conviene fare semplici
manipolazioni matematiche:
(sono abbastanza standard ma …
non si insegnano!)deriviamo rispetto a x invece che t!)
è la velocità v!
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Quindi da:
(la legge di conservazione dell’ energia!)
otteniamo facilmente(integrando):
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Ma a noi serve così:
(mai vista? lo so!
gravi errori della didattica)
(questo è, ovviamente,
il lavoro)
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Cosa abbiamo fatto?
l’abbiamo trasformata in un’
equazione del I ordine!
(come quella dell’RC)
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1
1
0
A =
-A*xx'' = d2x/dt2 =
1
0,018
v = 1,73
x
t
Campo di Forze
Vettore Velocità
Equazione Differenziale
Legge della Forza
Legge del Moto
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Questo descrive …
t
k
4m = g
x0
O
0
Posiz ione di
equil ibrio
…un moto armonico
0
A =
-A*xx'' = d2x/dt2 =
1
0,018
v = 1,73
x
t
il – indica una Forza di richiamo
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a 2 = - k/m 1
Usiamo ora il metodo del
polinomio caratteristico
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a 2 = - k/m
Ovvero:
Cosa insegniamo agli
studenti?
IMPOSSIBILE!
oppure NON È REALE!
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a 2 = - k/m
Sbagliamo!
La matematica della realtà
è più ricca della matematica
che insegniamo!
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Un esponenziale complesso …
… è una funzione reale!
Sì!
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Tra l’altro
(non lo dite a nessuno) …
… questi …
… funzionano con
esponenziali complessi(e anche zero a denominatore!)
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E sono
reali …
… come reali le funzioni che ne
descrivono il comportamento
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V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
Circuito RCL
V - vC - vL = vR = Ri
+
-
Tre generatori
+-
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ma: vC = q/C e vL = L di/dt
allora:
V- q/C - L di/dt = Ri
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
V-vC -vL = vR = Ri
Circuito RCL
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Circuito RCL
Allora deriviamo:
V- q/C - L di/dt = Ri
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
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Circuito RCL
a cui corrisponde il
polinomio caratteristico!
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
-1/C - L a2 = k a (polinomio caratteristico)
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Circuito RCLV
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
L a2 - R a +1/C =0(polinomio caratteristico)
da cui:
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Circuito RCL
V
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
Come abbiamo visto
con F=ma
il caso z=R2C2-LC>0
non è molto interessante
(è un circuito RC!)
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Circuito RCLV
O
C
R
L
Vl(t)
Vr(t)
Vc(t)+
-
…interessante è il caso
z=R2C2-LC<0
soluzioni oscillanti (è una Radio!)
Ancora radicando negativo!
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V = V9,6
R = 50,1
-f.s. 0
f.s. 0.2 A
f.s.
-f.s.
f.s.
f.s.
20
V
0
O
f.s. 10 Vf.s.
0-f.s.
C = F4,0
t (ms)
Vl/Vr
0 t
t
I
tth
L = mH9,6
< 1
Vc
t
V
Vl(t)= -0,82 V
Vl
I(t) = 0,1044 A
I
Vr(t) = 5,23 V
Vc(t) = 5,19 V
Vc
V-Vc
Vr
Sottosmorzamento
Circuito RCL
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La meccanica quantistica è
soluzione dell’equazione di
Schroedinger
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è un’equazione del II ordine
Anche l’equazione di
Schroedinger
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Schroedinger m. armonico
Come quella del
moto armonico
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sia per Schroedinger che
per il moto armonico
Le soluzioni le sappiamo
sono esponenziali complessi
v(t)= v0 eiwt
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ma, come sappiamo,
perché i numeri
complessi?
v(t)= v0 eiwt =
= v0 (cos wt + i sen wt)=
che vuol dire?
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I fisici parlano di
corpuscolo
v(t)= v0 eiwt =
= v0 (cos wt + i sen wt)=
dualismo onda-corpuscolo
onda
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La stessa
matematica!
v(t)= v0 eiwt =
= v0 (cos wt + i sen wt)
dualismo onda-corpuscolo
si può “vedere”
l’onda o il corpuscoloa seconda del caso o
dell’esperimento
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La differenza (scientifica e
didattica) della meccanica
quantistica
è che interessa poco la
soluzione dell’equazione di
Schroedinger
sono esponenziali complessi
(sen o cos) o reali (senh o cosh)
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(come nei problemi classici
delle onde)
interessa poco la
soluzioneinteressano le
condizioni al contorno
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(come nei problemi classici
delle onde)
le onde stazionarie
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non ci interessa la soluzione
(già la sappiamo)
ma quale/i soluzione/i?
soluzioni che
sono in numero discreto
(ecco perché quantistica!)
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1
1
0
A =
-A*xx'' = d2x/dt2 =
1
0,018
v = 1,73
x
t
Buca di Potenziale
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0 a
E1
E
x
E2
E3
E4
Buca di potenziale teorica
(infinita)
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-V 0 a
- E
|E |
y
0|E | V 0
a tan
(a)
ka
E 4 E 2 E 0
E 4
E 2
E 0
E 3 E 1
E 3
E 1
O dd solution
E ven solution
Buca di potenziale reale
(finita)
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(Schakespeare Amleto)
“Ci son tante più cose
tra Cielo e Terra, Orazio,
di quanto ne prescriva
la tua filosofia”