rupture et endommagement des matériaux vitreux · mécanique de la rupture: théorie continue...
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Rupture et endommagement des matériaux vitreux
GDR Matériaux Vitreux, Dourdan, 10 septembre 2009
CEA Saclay, DSM/IRAMIS/SPCSI, 91191 Gif sur Yvette
Daniel Bonamy
Mécanique de la rupture: Théorie continueRôle des défauts, failles de GriffithPropagation de fissures: critère de stabilité, équation de mouvement, trajectoire…
PLAN DE L’EXPOSÉ
Rôle du désordre microstructural: Description stochastiqueFissuration intermittenteténacité effectiveFaciès de ruptureInstabilité dynamique, branchement
Contrainte à rupture d’un solide « parfait »σσσσ
σσσσ
Rupture : σσσσF ~ E
E module d’ Young
a distance entre atomes
σσσσF contrainte de rupture
a
Vue microscopique
E σf Acier 200 GPa 100 Mpa
2 GPa
Verre 70 GPa 300 MPa
Al2O3 400 GPa <100 Mpa
???
Contrainte à rupture d’un solide « parfait »σσσσ
σσσσ
Vue microscopique
σ= F/a2
ε=x/a=(l-a)/a0
σσσσf ?
E
2γ
E module d’Youngγ énergie de surfacea distance interatomique
Rupture : aEf /γσ ≈
VERRE :
A 1~ &aGPa 70~E
2J/m 1.0~γMPa 300~fσGPa 8~/ aEγ
???
lF F
σσσσ0000
σσσσ0
Contrainte à rupture d’un solide: Rôle des défauts
Rupture : aEf /γσ ≈
Concentration des contraintesσ(σ(σ(σ(r ))))
σσσσ0000
σσσσΜΜΜΜ
Griffith (1920)
r
2c
ρσσ /2 0 cM ≈
( )ργσ /2// caEf ≈
VERRE :
A 1~ &aGPa 70~E
2J/m 1.0~γMPa 300~fσ
ρ ~ ac ~ 100 nm
expérienceprédictionσf ~ 500 MPa
Distribution de contraintes à rupture
σf (MPa)
Log(1/(1-P))
Ex: verre sodocalciqueet alumine (d’après Lawn, 1993)
… Dominé par les liens les plus faibles
Statistique d’événements extrêmes
Loi de Weibull
))/(exp(1 *m
fP σσ−−=<
Distribution de contraintes à rupture
σf (MPa)
Log(1/(1-P))
Ex: verre sodocalciqueet alumine (d’après Lawn, 1993)
… Et effets d’échellesσf (GPa)
Fibres de verre, d=100µm,« parfaites » (d’après Kurkjian, 1982)
σσσσ
σσσσ
Théorie de Griffith: approche thermodynamique
2c
Energie totalE =E =
Energie de surfaceES+4 γ c+
Energie mécaniqueEM
-π c2 σ/EE
c
rupture
Critère de rupture: G=-dEM/dc 2γ>
Taux d’énergie mécanique relâchée
Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture (MLER)
σ0
c
σ0
KI>KIc : fissure instableKI facteur d’intensité des contraintes KIc ténacité
Irwin (1955),Orrowan (1957)
θr
σσσσ
fissure
)(0 géométrieFcK I σ=
)(20
θπ
σ ijI
rij f
r
K
→≈
G > ΓΓΓΓ (~2γγγγ)EKG I /2=EK Ic /2=Γ
ΓΓΓΓ énergie de fracture
Mode ITension, ouverture
Mode IICisaillement dans
le plan, glissementMode III
Cisaillement hors plandéchirement
KI KII KIII
Modes de rupture
Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture (MLER)
σ0
c
σ0
Irwin (1955),Orrowan (1957)
G> ΓΓΓΓ
EKG I /2=
c
σ0
σ0
)(2
)(2
)(2
),(0
θπ
θπ
θπ
θσ ijIII
ijII
ijI
rij h
r
Kg
r
Kf
r
Kr ++≈
→
EKEKEKG IIIIII /)1(// 222 υ+++=
θ
kII=0
θ
Critère de trajectoire: mode I/II
Principe de symétrie locale:
Critère de trajectoire: mode I/III
ψkIII=0
Facettes
Equation de mouvement
σ0
σ0
Freund (1990),
)(20
θπ
σ ijI
rij f
r
K
→≈
v),(
20vf
r
Kij
I
rij θ
πσ
→≈ v
EKvAG I /)( 2=
)/1(~)( RCvvA −CR vitesse de Rayleigh (ondes sonores sur une surface)
avec
A(v)
A(v)KI2/E=ΓΓΓΓVitesse donnée par:
Calculs élastodynamiques
Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture: Bilan
σ0
c
σ0
r
EG
r
Kr II
ππσ
22)( =
Equation de trajectoire:
Plan de fracture choisi de manière à maximiser la contrainte de tension
Cotterell & Rice (1980)
KII=0
A(v)KI2/E=Γ
Equation de mouvement:
Facteur relativiste :A(V) ~ (1-V/CR)
CR vitesse de Rayleigh
Freund (1990)
Critère de rupture:GI>Γ (~2γ)
ou KI> KIc
Critère de rupture: prédictions
� Verre de Silice
1/2MPa.m8.0~IcK
GPa70~E ΓΓΓΓ ~ 10 J/m2
2γγγγ ~ 0.2 J/m2Énergie de surface« atomique »
Énergie de fracture
???
Equation de mouvement: prédictions� Vitesse limite théorique = vitesse de Rayleigh
Plexiglas (Sharon et al, 1999)
Longueur de fissure (mm)
V(m
/s)
Verre (Sharon et al, 1999)
Longueur de fissure (mm)
V(m
/s)
Expériences: Vmax <~ 0.6CR !!!
CR=3300m/s
CR=930m/s
Faciès de rupture dans le verre: Observations (Johnson Holloway, 1966)
Trajectoire de fissures: prédictions
Faciès rugueux !!!
� Surfaces de rupture lisses Surface de rupture par AFM (Crédit, F. Celarié)
V << CR
V ~ 0.6 CR
Mécanique de la rupture: Théorie continueRôle des défauts, failles de GriffithPropagation de fissures: critère de stabilité, équation de mouvement, trajectoire…
PLAN DE L’EXPOSÉ
Rôle du désordre microstructural: Description stochastiqueFissuration intermittenteténacité effectiveFaciès de ruptureInstabilité dynamique, branchement
Structure du verre
Coupe de 5 A d’un verre de Silice simulé (crédit Van Brutzel)
� Hétérogène aux échelles sub-nanométriques
� Répercutions macroscopiques sur la rupture?
Désordre & equation de mouvement
z
x
KI0
z
x
KI0
f(z,t)
z
x
M f(z,t)Faible désordre
)()(),(
MKMKt
tzfIcI −=
∂∂µ
))),(,(1()( 0 tzfzKMK IcIc η+=
negligibledzzz
tzftzfKMK II +
−−+= ∫
∞
∞−
)')'(
),(),'(21
1()(2
0
πGao & Rice (89)
Désordre & equation de mouvement
h(z,x)
z
x
KI0
f(z,t)
z
x
M f(z,t)Faible désordre
)()(),(
MKMKt
tzfIcI −=
∂∂µ
))),(,(1()( 0 tzfzKMK IcIc η+=
negligibledzzz
tzftzfKMK II +
−−+= ∫
∞
∞−
)')'(
),(),'(21
1()(2
0
πGao & Rice (89)
Schmittbuhl et al. (95), Ramanathan et al. (97)
( )( )
)),(,(''
),(),'(21),( 0
2000 tzfzKdz
zz
tzftzfKKK
t
tzfIcIIcI η
πµ +
−−+−=
∂∂
∫∞
∞−
Equation de mouvement d’une ligne “élastique longue portée” en propagation dans un matériau aléatoire
Désordre & equation de mouvement
h(z,x)
Fracture mechanics for ideal brittle materials…
Prediction: regular continuous crack growth velocity
Paper peeling(Kovoisto et al. PRL, 2007)
Observation: intermittent crack growth with sudden random jump of all sizes !!!
earthquakes(from Sethna et al, 2001)
Interfacial crack
Role of disorder
z
x
KI0
f(z,t)
( )( )
)),(,(''
),(),'(21),( 0
2000 tzfzKdz
zz
tzftzfKKK
t
tzfIcIIcI η
πµ +
−−+−=
∂∂
∫∞
∞−
Désordre & equation de mouvement
00IcI KKF −=
cFF <
tzz
tzfv
,
),(
∂∂=
z
x
KI0
f(z,t)
( )( )
)),(,(''
),(),'(21),( 0
2000 tzfzKdz
zz
tzftzfKKK
t
tzfIcIIcI η
πµ +
−−+−=
∂∂
∫∞
∞−
Désordre & equation de mouvement
00IcI KKF −=
cFF >
tzz
tzfv
,
),(
∂∂=
z
x
KI0
f(z,t)
( )( )
)),(,(''
),(),'(21),( 0
2000 tzfzKdz
zz
tzftzfKKK
t
tzfIcIIcI η
πµ +
−−+−=
∂∂
∫∞
∞−
Désordre & equation de mouvement
00IcI KKF −=
cFF ~
tzz
tzfv
,
),(
∂∂=
z
x
KI0
f(z,t)
( )( )
)),(,(''
),(),'(21),( 0
2000 tzfzKdz
zz
tzftzfKKK
t
tzfIcIIcI η
πµ +
−−+−=
∂∂
∫∞
∞−
Transition critiqueErtas & Kardar (94)
tzz
tzfv
,
),(∂
∂=
Param. ordre00IcI KKF −=
Param. control
v
FFc
Stable
fissure stablecFF < 0=v
Propagationfissure en propagation
cFF >> Fv ∝
Désordre & equation de mouvement
cFF ~> Point critique, universalité
0Ic
effIc KK = + Fc
Prediction: fissuration quasi-statiqueintermittente
Epluchage du papier(Kovoisto et al. PRL, 2007)
Observée dans de nombreuxmatériaux fragiles hétérogènes !!!
Tremblement de terre(from Sethna et al, 2001)
Fissure interfacialedans le Plexiglas(Maloy et al, 2006)
Désordre & equation de mouvement
Désordre & equation de mouvementApplications: Statistique des ténacités
Limite thermodynamique: ∞== Ic
effIc KcteK
L fini: distribution statistique
−=
∞
σψυ
effIcIceff
IcKK
LLKP /1),(
( ) υσ /12/12 −∝−= LKK eff
IceffIc
∞< IceffIc KK
Charles, Hild, Roux, Vandembroucq, 2003, 2004, 2006
Longueur d’arrêt dans les tests d’indentation
cL ∝
2/3c
FK eff
Ic ∝c
F
Mécanique de la rupture: Théorie continueRôle des défauts, failles de GriffithPropagation de fissures: critère de stabilité, équation de mouvement, trajectoire…
PLAN DE L’EXPOSÉ
Rôle du désordre microstructural: Description stochastiqueFissuration intermittenteténacité effectiveFaciès de ruptureInstabilité dynamique, branchement
Faciès de rupture dans le verre: Observations (Johnson Holloway, 1966)
Trajectoire de fissures: prédictions
Faciès rugueux !!!
� Surfaces de rupture lisses Surface de rupture par AFM (Crédit, F. Celarié)
V << CR
V ~ 0.6 CR
∆∆∆∆z∆∆∆∆h
xz
h
Surface Surface Surface Surface autoautoautoauto----affineaffineaffineaffine
∆∆∆∆h
∆∆∆∆z
Faciès de rupture: lois d’échelleMandelbrot et al Nature 84; Bouchaud et al. EPL 90; Maloy et al. PRL 92,…
∆∆∆∆z∆∆∆∆h
xz
h
ζζζζ=0.75=0.75=0.75=0.75
Surface Surface Surface Surface autoautoautoauto----affineaffineaffineaffine
∆∆∆∆h
∆∆∆∆z
Faciès de rupture: lois d’échelleMandelbrot et al Nature 84; Bouchaud et al. EPL 90; Maloy et al. PRL 92,…
∆∆∆∆z∆∆∆∆h
xz
h
ζζζζ=0.75=0.75=0.75=0.75
Surface Surface Surface Surface autoautoautoauto----affineaffineaffineaffine
< ∆h2
>1/2(nm)
Slope: ζζζζ=0.750.750.750.75
ξξξξζ ~ 0.75 universel dans de 0.75 universel dans de 0.75 universel dans de 0.75 universel dans de nombreux matnombreux matnombreux matnombreux matéééériauxriauxriauxriaux fragilesfragilesfragilesfragiles
∆∆∆∆h
∆∆∆∆z
Faciès de rupture: lois d’échelleMandelbrot et al Nature 84; Bouchaud et al. EPL 90; Maloy et al. PRL 92,…
Désordre & equation de trajectoire
z
x
KI0
h(z,x)
L
x
hMKII
KI
x
h
∂∂
M
KII (M) = 0
Local symmetry Principle
B. Cotterell et J. Rice (1980)
KI0
Désordre & equation de trajectoire
z
x
KI0
h(z,x)
L
x
hMKII
KI
x
h
∂∂
M
KII (M) = 0
KI0
negligible')'(
),()',(2
),(2
200 +
−−−
∂∂
∫∞+
∞−
dzzz
zxhzxhAK
x
zxhK II=
Loading perturbation induced by out-of-plane roughness
Larralde & Ball (1995), Movchan et al. (1998)
Désordre & equation de trajectoire
z
x
KI0
h(z,x)
L
x
hMKII
KI
x
h
∂∂
M
KII (M) = 0
KI0
negligible')'(
),()',(2
),(2
200 +
−−−
∂∂
∫∞+
∞−
dzzz
zxhzxhAK
x
zxhK II=
KII0
+ K0II
Slight experimental misalignment
Désordre & equation de trajectoire
z
x
KI0
h(z,x)
L
x
hMKII
KI
x
h
∂∂
M
KII (M) = 0
KI0
negligible')'(
),()',(2
),(2
200 +
−−−
∂∂
∫∞+
∞−
dzzz
zxhzxhAK
x
zxhK II=
KII0
+ K0II + η(x,z,h(x,z))
Material disorder
Désordre & equation de trajectoire
z
x
KI0
h(z,x)
L
x
hMKII
KI
x
h
∂∂
M
KII (M) = 0
Local symmetry Principle
B. Cotterell et J. Rice (1980)
KI0
negligible')'(
),()',(2
),(2
200 +
−−−
∂∂
∫∞+
∞−
dzzz
zxhzxhAK
x
zxhK II=
Loading perturbation induced by out-of-plane roughness
Larralde & Ball (1995), Movchan et al. (1998)
KII0
+ K0II
Slight experimental misalignment+ η(x,z,h(x,z))Material disorder
)),(,,(')'(
),(),'(),(0
0
2xzhxz
K
Kdz
zz
xzhxzhA
x
xzh
I
II η++−−−=
∂∂
∫∞+
∞−
)),(,,(')'(
),(),'(),(0
0
2xzhyxz
K
Kdz
zz
xzhxzhA
x
xzh
I
II =++−−−=
∂∂
∫+∞
∞−
η
)/'()',','(),,( arrDfyxzyxzrr −=ηη
xz
h
( )2),(),(),( xzhxxzzhxzG −∆+∆+=∆∆fonction de structure:
η(x,z,h(x,z))~ηq(z,h(x,z))+ηt(z,x)
Profile selon z auto-affine:Kolton et al. (05), Tanguy et al. (98),Rosso & Krauth (02), Duemmer & Krauth (07),
ζ=0.4ς2)0,( zxzG ∆∝=∆∆
δh << a
Rugosité logarithmiqueRamanathan,Ertas & Fisher (97)
η(x,z,h(x,z)) ~ ηt(z,x)
22 549.0)log(.318.0~)0,( aA
D
a
za
A
DzG +∆∆
δh >> a
Désordre & équation de trajectoire
Désordre & équation de trajectoireG1
/2(nm)
Contradiction apparente
ζ~0.8
Rc=20nm
Désordre & équation de trajectoireG1
/2(nm)
ζ~0.4
ζ~0.4
Rc=20nm
Désordre & équation de trajectoireG1
/2(nm)
ζζζζ=0.75 !0.75 !0.75 !0.75 !
ξξξξ
ζ~0.4
Rc=20nm
22 549.0)log(.318.0~)0,( aA
D
a
za
A
DzG +∆∆
Avec a=Rc=20nm, D/A=5×10-3 nm-2
Echelle de longueur
xz
hAluminsosilicate en corrosion sous contrainte,V=10-10m/s, (Celarie et al, 2003)
75 nm
Fixée par l’endommagement?20 nm
Silice,V=300 m/s, (Crédit C. Rountree)
Mécanique de la rupture: Théorie continueRôle des défauts, failles de GriffithPropagation de fissures: critère de stabilité, équation de mouvement, trajectoire…
PLAN DE L’EXPOSÉ
Rôle du désordre microstructural: Description stochastiqueFissuration intermittenteténacité effectiveFaciès de ruptureInstabilité dynamique, branchement
Equation de mouvement: prédictions� Vitesse limite théorique = vitesse de Rayleigh
Plexiglas (Sharon et al, 1999)
Longueur de fissure (mm)
V(m
/s)
Verre (Sharon et al, 1999)
Longueur de fissure (mm)
V(m
/s)
Expériences: Vmax <~ 0.6CR !!!
CR=3300m/s
CR=930m/s
Rupture dynamique: instabilité de branchement
Longueur de fissure (mm)
V (m/s)
Plexiglas (Sharon et al, 1999)x
z
y
x
z
x
y
V<Vc
Rupture dynamique: instabilité de branchement
Longueur de fissure (mm)
V (m/s)
Plexiglas (Sharon et al, 1999)x
z
y
x
z
x
y
V~Vc
Rupture dynamique: instabilité de branchement
Longueur de fissure (mm)
V (m/s)
Plexiglas (Sharon et al, 1999)x
z
y
x
z
x
y
V>Vc
Rupture dynamique: instabilité de branchement
V (m/s)
Aire de fracture
relative (m
/s)
Aire de fracture
relative (m
/s)
Γ (kJ/m)Une explication possible de Vmax < CR
Vc
Plexiglas (Sharon et al, 1996)
Propagation de la fissure
Verre float
Rôle des hétérogénéitésWallner 1939, Sharon et al, 2001, DB & Ravi-Chandar 2003…
Rainure
Faciès de rupture
Propagation de la fissure
rayure
0.1CR < V < 0.4CR
Propagation de la fissure
Verre float
Rôle des hétérogénéitésWallner 1939, Sharon et al, 2001, DB & Ravi-Chandar 2003…
�A haute vitesse, production de lignes de Wallner sans défaut/pulse acoustique introduit de manière externe
Propagation de la fissure
Propagation du pulse
Traducteuracoustique
0.1CR < V < 0.4CR
Instabilité de branchement…… une origine possible
σ∞
σ∞
Certaines propriétés de rupture macroscopiques des verres semblent imposées par des fluctuations mécaniques ou structurales à très petites échelles.
Conclusion