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Árvores SemânticasLógica proposicional
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Na última aula vimos
Proposições
• Expressões afirmativas
• Síntaxe disponível
• Deve ser bivalorada como Verdadeira ou Falsa
Conectivos
• Operadores utilizados para a definição de formulas
• Conjunção (e), Disjunção (ou), Negação (não), Implicação, Biimplicação
Fórmulas Bem Formadas
• Construções baseadas na aplicação correta de regras de aplicação dos conectivos
Semântica
• Regra de interpretação de uma formula lógica
Propriedades Semânticas
• Tautologia, Contradição, Satisfatível
• Método para determinar a propriedade: Tabelas Verdade
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Nesta Aula veremos
Argumentação
Métodos de verificação de validade de argumentos
Exercícios
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Relembrando
• Lógica proposicional
• É um formalismo composto por:• Linguagem formal: usada para representar conhecimento.
• Métodos de inferência: usados para representar raciocínio.
• Tem como principal finalidade:• Representar argumentos, isto é, seqüências de sentenças em que uma delas é uma
conclusão e as demais são premissas.
• Validar argumentos, isto é, verificar se sua conclusão é uma consequência lógica de suas premissas.
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Semântica (Relembrando ...)
• Semântica• A semântica (significado) de uma fórmula da lógica proposicional depende de
uma função de valoração que atribua valor V ou F paracada variável proposicional da fórmula. Desse modo, pode-se avaliar o valor verdade da fórmula toda.
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Como já vimos, as tabelas-verdade podem ser usadas para definir em que situações as fórmulas proposicionais são verdadeiras e, consequentemente, identificar as propriedades semânticas dessas fórmulas.
• As tabelas-verdade também podem ser usadas para verificar a validade de um argumento...
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Um argumento é • Uma sequência de afirmações, • A última afirmação é dita conclusão.• As anteriores são chamadas de premissa.
• Exemplo: Se chove, a rua fica molhada. A rua não está molhada. Logo, não choveu.• p: Está chovendo.• q: A rua fica molhada.
• 𝑝 → 𝑞,¬𝑞 ⊢ ¬𝑝
• Argumento válido é aquele em que toda vez que as premissas são verdadeiras, a conclusão também é.
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Vericando a validade de um argumento.• Construa a tabela da verdade especificando as colunas referentes às
premissas e à conclusão.
• Analise a tabela e Identifique as linhas em que todas as premissas são verdadeiras
• O argumento será válido apenas quando, para as linhas identicadas, a conclusão também for verdadeira.
• Se existir ao menos uma linha em que conclusão é falsa e as premissas são verdadeiras, o argumento é inválido.
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Exemplo:• 𝑝 → 𝑞,¬𝑝 ⊢ ¬𝑞
• Como em todas as linhas em que as premissas são verdadeiras, a conclusão também é, o argumento 𝑝 → 𝑞,¬𝑝 ⊢ ¬𝑞 é válido.
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Atividade 01: Os argumento a seguir são válidos ? Verique usando tabela verdade.
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Problema: Embora o método Tabela Verdade seja fácil, quando o número de proposições cresce esse método torna-se inviável.
• Exemplo: •
• Essa fórmula tem 8 proposições distintas, logo a tabela verdade terá 28 = 256 linhas.
• A tabela é grande para ser feita manualmente.
• Precisamos de outro método...
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Outra forma de identicar as propriedades é usando árvores semânticas.• Árvore = estrutura de dados cujos nós (vértices) são conectados por arestas.
Sendo que o nó inicial (ex: nó 1) é chamado de raiz e aqueles que não possuem nós abaixo deles (não possuem lhos) são ditos folhas (ex: nós 2,6,7 e 5).
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Exemplo: 𝑝 → 𝑞 ↔ ¬𝑞 → ¬𝑝 é uma tautologia ?• Usando a árvore semântica
• Como a proposição p pode ser verdadeira ou falsa, são definidos dois novos nós: 2 e 3.
• O Nó 2 corresponde as seguintes interpretações:
• 𝑁ó 2 =𝑝
𝑉→ 𝑞 ↔ ¬𝑞 → ¬
𝑝
𝑉
• aplicando-se a negação, temos:
• 𝑁ó 2 =𝑝
𝑉→ 𝑞 ↔ ¬𝑞 →
¬𝑝
𝐹
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Métodos para determinar prop. semânticas
• ...
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Métodos para determinar prop. semânticas
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Métodos para determinar prop. semânticas
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Continuando a árvore a partir do Nó 2
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Continuando a árvore a partir do Nó 2
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Continuando a árvore a partir do Nó 2
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Continuando a árvore a partir do Nó 2
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Métodos para determinar prop. semânticas
• Desta forma, usando o método da árvore semântica podemos concluir que:• Se as folhas forem todas V, a fórmula é uma tautologia.
• Se as folhas forem todas F, a fórmula é uma contradição.
• Se pelo menos uma folha for V, a fórmula é satisfatível.
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Exercício
• Atividade 02: Classifique as fórmulas abaixo como tautologias, satisfatíveis ou contraditórias usando o método da árvore semântica.