És a itÁs mateking · 2.lÉpÉs: derivÁlÁs c 8 4 3 3 4 3 4 4 3 x x x x f x a deriváltat kicsit...
TRANSCRIPT
1
mateking.hu A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI
TÉTEL: A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele
Ha f differenciálható az 0x helyen és f -nek lokális
szélsőértéke van az 0x helyen, akkor 0)( 0 xf .
röviden:
lok. min/max 0f
TÉTEL: A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele
Ha f kétszer differenciálható az 0x helyen és
0)( 0 xf és 0)( 0 xf akkor 0x lokális minimum
Ha f kétszer differenciálható az 0x helyen és
0)( 0 xf és 0)( 0 xf akkor 0x lokális maximum.
0
0
f
flok. min
0
0
f
flok max
A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS
f – 0 +
konvexitás
konkáv
inflexió
konvex
AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS
f + 0 – 0 +
monotonitás lok.
max lok.
min
2
ALAPDERIVÁLTAK
0)( c
xx cos)(sin 21
1)(arcsin
xx
1)( nn xnx
xx sin)(cos 21
1)(arccos
xx
111
1)()(
nnn xn
xx x
tgx2cos
1)(
21
1)(
xarctgx
xx ee )(
x
ctgx2sin
1)(
21
1)(
xarcctgx
aaa xx ln)(
chxshx )( 1
1)(
2
xarshx
xx
1)(ln
shxchx )( 1
1)(
2
xarchx
axxa
ln
11)(log
xchthx
2
1)(
21
1)(
xarthx
DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK Példák
1. fcfc )(
23 35)5( xx
2. c
f
c
f
7
5
7
45 xx
3. gfgf )(
xxxx
12)ln( 2
4. gfgfgf )(
xxxxxx
1ln3)ln( 323
5. 2g
gfgf
g
f
x
xxxx
x
x2
22
ln
1ln2
ln
6. 2f
fc
f
c
23
2
32
35
2
5
x
x
x
7. )())(())(( xgxgfxgf )53(
5
1)5ln( 2
3
3
xxx
xx
3
A TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT MENETE
mateking.hu
43
4)(
x
xxf
1.LÉPÉS: ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY Df
Ez tulajdonképpen a kikötés:
párosittez 0
páratlanbármiittez
0log ittez 0nevezőtört
Most nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát 3x
Ha éppen időnk engedi érdemes még kiszámolni a függvény zérushelyét is, ez az 0xf
egyenlet megoldása, most éppen
0
3
4)(
4
x
xxf 0 x
2.LÉPÉS: DERIVÁLÁS
8
34
3
34434
x
xxxxf
A deriváltat kicsit rendbe rakjuk, kiemelünk, egyszerűsítünk
58
3
8
3
8
34
3
1212
3
161243
3
44343
3
34434
x
x
x
xxx
x
xxx
x
xxx
3.LÉPÉS: A DERIVÁLT ELŐJELÉNEK VIZSGÁLATA
101212 xx
53
1212)(
x
xxf 303 xx
Egyenként berajzoljuk a tényezők előjelét.
Ha negatív, azt szaggatott vonallal, ha
pozitív, azt folytonos vonallal.
–1 3
– + –
4
mateking.hu
4.LÉPÉS: MÁSODIK DERIVÁLT
10
45
53
351212312
3
1212)(
x
xxx
x
xxf
A második deriváltat is kicsit rendbe rakjuk, kiemelünk, egyszerűsítünk
610
4
10
4
10
45
3
9648
3
606036123
3
512123123
3
351212312
x
x
x
xxx
x
xxx
x
xxx
5. LÉPÉS: A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELE
209648 xx
63
9648)(
x
xxf 303 xx
Egyenként berajzoljuk a tényezők előjelét Ha negatív, azt szaggatott vonallal, ha
pozitív, azt folytonos vonallal.
Az első derivált előjeléből a függvény növekedésére és csökkenésére következtethetünk,
a második derivált előjeléből pedig a konvexitásra. Mindezt összefoglaljuk egy remek táblázatban.
Már jön is a táblázat, de előtte kizárólag erős idegzetűek számára érdemes megvizsgálni a függvény
aszimptotáit. Az aszimptoták olyan egyenesek, amikhez a függvény hozzásimul, háromféle van
belőlük, vízszintes aszimptota, függőleges aszimptota és ferde aszimptota.
VÍZSZINTES ASZIMPTOTA FÜGGŐLEGES ASZIMPTOTA FERDE ASZIMPTOTA
b
a
olyankor létezik, ha olyankor létezik, ha olyankor létezik, ha
bxf
)(lim :a )(lim xfa
axf
)(lim baxxf
)(lim
egyenlete: by egyenlete: ax egyenlete: baxy
–2 3
– + +
5
Kritikus határértékek kiszámolása
?
Ilyenkor az erősebb* győz:
?0
Ilyenkor az erősebb* győz:
00
0
?
Ilyenkor az erősebb* győz:
0
szám (DÖNTETLEN)
szám0
(DÖNTETLEN)
szám
(DÖNTETLEN)
*LÁSSUK, HOGY KI MENNYIRE ERŐS:
xxx xexxxk xx ...3 42log
mateking.hu
AZ ELSŐ ÉS A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELÉT BELERAKJUK EGY TÁBLÁZATBA
2, 2x 1,2 1x 3,1 3x ;3
f - - - 0 + sz. - monotonitás lok.min sz.
f - 0 + + + sz. + konvexitás inflexio sz.
64
1y
6. LÉPÉS: HATÁRÉRTÉK Df SZÉLEIN
0
3
4lim
4
x
x
0
3
4lim
4
x
x
0
20
3
4lim
43 x
x
x
7.LÉPÉS: RAJZ
-2 -1 3
inflexió
lokális minimum
64
1:
yRf
6
Határozzuk meg az alábbi függvények monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték
helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait!
6.1. xexxf 64)(
6.2. 23
2)(
x
xxf
6.3. xxexf
1
)(
6.4. 23)3ln(2)( xxxf
6.5. 4
3)(
2
x
xxf
6.6. 2)4(
3
x
xxf
6.7. 3
92
xxxf
6.8. Határozzuk meg ennek a remek függvénynek a monotonitási szakaszait, lokális
szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait és írjuk is föl az érintő
egyenletét az 20 x abszcisszájú pontban!
2
82
xxxf
6.9. Határozzuk meg ennek a remek függvénynek a monotonitási szakaszait, lokális
szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait és írjuk föl az érintő
egyenletét az 10 x abszcisszájú pontban!
4
3)(
x
xxf
Határozzuk meg az alábbi függvények monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték
helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait!
6.10.22 )1ln()1ln()( xxxf
6.11.2
3 4)(
x
xxf
6.12.2
2 1)(
xxxf
6.13.xxexf )(
6.14. xxexf 2)(
6.15.224)( xxexf
6.16. 2
)( xxexf
6.17. 2
2
xxexf
6.18. xexxf 2
6.19.x
exf
x
1)(
6.20. 3)2(
x
xxf
6.21. 2)7(
7
x
xxf
7
6.22. 4
1
1
x
xxf
6.23. xxxf ln2
6.24. 2ln xxxf
6.25.x
xxf1
ln)(
6.26.22 ln)( xxxf
6.27. 124)( 34 xxxf
6.28. 22 4
3)(
x
xxf
6.29. 22 12
4)(
x
xxf
6.30. 2)( xarctgxf
6.31. 1)( xearctgxf
6.32.
4)(
x
xarctgxf
6.33.
x
earctg
e
xarctgxf
x
x)(
6.35. xxxf 44 cossin)(
6.36. xxxf 2sincos2)(
AZ ÉRINTŐ EGYENLETE
6.37. Írjuk föl az
252)( 3 xxxf
függvény azon érintőjének egyenletét, amely a függvény grafikonját negatív abszcisszájú
pontban érinti, és párhuzamos az y=14x-7 egyenessel!
mateking.hu AZ ÉRINTŐ EGYENLETE
az érintő egyenlete:
000 xfxxxfy
.,mmngcb
00; yxP =érintési pont
0x =abszcissza
00 xfy =ordináta
8
6.38. Írjuk föl az
67)( 2 xxxf
függvény azon érintőjének egyenletét, amely a függvény grafikonját pozitív abszcisszájú
és 14 ordinátájú pontban érinti!
6.39. Írjuk föl az
xexf x 6)( 2
függvény azon érintőjének egyenletét, amely párhuzamos az y=8x-16 egyenessel!
6.40. Írjuk föl az
5)( xexf
függvény azon érintőjének egyenletét, amely merőleges az y=2x+1 egyenesre!
6.41. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához a P(0;1)
pontban húzott érintő a Q(4;13) ponton?
1ln)( 2 xexf x
6.42. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához az x0=1
abszcisszájú pontban húzott érintő a Q(3;-3) ponton?
3)( 21 xexf x
6.43. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához az x0=5
abszcisszájú pontban húzott érintő a Q(3;e) ponton? 4)( xexxf
GAZDASÁGI FELADATOK
HATÁR (x egy egységnyi növekedése esetén hány egység a változás)
Árbevétel: )(xR )(xR
Költség: )(xC )(xC
Profit: )()()( xCxRx )(x
pqárdbxR )(
költségfajlagosdbxC )(
költségfajlagosárdbnyereségfajlagosdbx )(
ELASZTICITÁS (X egy %-os növekedése esetén hány %-os a változás)
)()(
)( xfxf
xxE
9
7.1. Egy termék keresleti függvénye
2
6
100
110)(
xxf
ahol x a termék egységárát jelöli.
a) Adja meg az x=30 egységárhoz tartozó határkeresletet!
b) Adja meg x=30 egységárhoz tartozó elaszticitást!
c) Adja meg az optimális árbevétel eléréséhez szükséges egységárat!
7.2. Egy termék keresleti függvénye, ahol x a termék egységárát jelöli
1007
)(
x
exf
a) Adja meg az x=120 egységárhoz tartozó határkeresletet!
b) Adja meg az x=120 egységárhoz tartozó elaszticitást!
c) Adja meg az optimális árbevételt jelentő egységárat!
7.3. Egy termék árbevétel függvénye 2
2)(
x
xxB költség függvénye pedig
)10ln()( xxK , ahol x az eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban megadva.
Adja meg a maximális profitot jelentő keresletet! Adja meg a határköltséget 3000 darab
esetén!
7.4. Egy termék keresletét x forintos egységár mellett az
)8
50(300
)(
x
ex
xf
függvény adja meg 1000 darabban.
a) Milyen egységár mellett lesz az árbevétel maximális?
b) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó kereslet?
c) Ha az árat 40 forintban maximalizálják, hogyan kell megválasztani az egységárat,
hogy az árbevétel maximális legyen?
7.5. Egy árucikk eladási árát x eladott darab esetén az alábbi függvény adja meg forintban
10
1500x
xf
Hány darab eladása esetén lesz az árbevétel maximális? Mekkora ez a bevétel?
7.6. Egy 1800 négyzetméter területű téglalap alakú folyó parti telket szeretnénk három
oldalról kerítéssel elkeríteni úgy, hogy a folyó felőli rész szabadon maradjon. Hogyan
válasszuk meg a telek méreteit, hogy a kerülete minimális legyen? Mekkora lesz ez a
kerület?
7.7. Egy termék keresleti függvénye
8
2210)(
x
exxf 30012 x
ahol x a termék egységárát jelöli euróban.
a) Adja meg az x=20 egységárhoz tartozó határkeresletet!
b) Ha a termék fajlagos költsége 10 euró, milyen egységárat kell alkalmazni, hogy a
profit maximális legyen?
10
7.8. Egy részvény árfolyamának napi alakulását az alábbi függvény adja meg reggel
nyolc és este nyolc óra között, ahol a nap x-edik órájában az árfolyam ezer forintban
megadva
2010)( 42
x
exxf 208 x
a) Mekkora volt a nyitási és zárási árfolyam?
b) A nap melyik órájában volt az árfolyam a minimális, illetve maximális?
7.9. Valamely termék fajlagos nyeresége
22
2
)(
x
exn
ahol x az eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban. Milyen eladási szám esetén optimális a
teljes nyereség?
7.10. Egy áruház forgalmának május havi alakulását az alábbi függvény adja meg, ahol a
hónap x-edik napjának forgalma millió forintban megadva
1021080)(
x
exxf
a) Mekkora volt a forgalom a hónap első és utolsó napján?
b) A hónap melyik napjában volt a forgalom minimális, illetve maximális?
7.11. Egy termék árbevételi függvénye:
103000)(
xxxR
ahol x az eladott termék darabszámát jelöli. Milyen darabszám esetén lesz maximális az
árbevétel?
7.12. Egy termék keresletét x forintos egységár mellett az
4012
7
310)(
x
ex
xf
függvény adja meg 1000 darabban.
a) Milyen egységár mellett lesz az árbevétel maximális?
b) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó kereslet?
c) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó határkereslet?
11
6.1. lok. min. : nincs lok. max.: x=1 inflexiós pont: x=2 Rf: (-∞;4e5]
6.2. lok. min. : nincs lok. max.: x=3 inflexiós pont: x=6 Rf: (-∞;0,166]
6.3. lok. min. : nincs lok. max.: x=-1 inflexiós pont: nincs, de
konk: (-∞;0)
konv: (0; ∞)
Rf: (-∞;-e]U(0; ∞)
6.4. lok. min. : nincs lok. max.: x=4 inflexiós pont: nincs, de
konkáv : (3; ∞)
Rf: (-∞;-1]
érintő:
y=-1
6.5. lok. min. : nincs
lok. max: nincs inflexiós pont: x=0 Rf: [-∞;∞]
6.6. lok. min. : x=-4 lok. max.: nincs inflexiós pont: x=-8 Rf: [-1,875; ∞)
6.7 lok. min. : x=6 lok. max.: x=0 inflexiós pont: nincs, de
konk: (-∞;3)
konv: (3; ∞)
Rf: (-∞; 1] U(11; ∞]
6.8. lok. min. : x=2,52 lok. max.:nincs inflexiós pont: nincs, de
konvex : (-∞;0)V(0;- ∞)
Rf: (-∞;∞]
érintő:
y=-x+8
6.9. lok. min. : x=4 lok. max.: nincs inflexiós pont: x=5
konk: (5;∞)
konv: (-∞; 0)U(0; 5)
Rf: (-∞;-13]U[3; ∞)
érintő:
y=-15x+27
6.10. lok. min. : nincs lok. max.: x=0 inflexiós pont: nincs, de
konkáv : (-∞;-1)V(-1;-1)
V(1; ∞)
Rf: (-∞;∞]
6.11. lok. min. : x=2 lok. max.: nincs inflexiós pont: nincs, de
konvex : (-∞;0)V(0; ∞)
Rf: (-∞;∞]
6.12. lok. min. : x-1 lok. max.: x=1 inflexiós pont: nincs, de
konk: (-∞;0)V(0; ∞)
Rf: [2; ∞]
6.13. lok. min. : nincs lok. max.: x=1 inflexiós pont: x=2 Rf: (-∞;e-1]
6.14. lok. min. : nincs lok. max.: x=1 inflexiós pont: x=2 Rf: (-∞;e)
6.15. lok. min. : nincs lok. max.: x=1 inflexiós pont:
x=0,5 x=1,5
Rf: (-∞;e2]
6.16. lok. min. :
x=-0,707
lok. max.:
x=0,707
inflexiós pont:
x=-1,732 x=1,732
Rf: (-0,429;0,429]
6.17. lok. min. : x=2 lok. max.: x=-2 inflexiós pont: x=-0,25 Rf: (-∞;-3,29]U[3,29;
∞)
6.18. lok. min. : x=0 lok. max.: x=-2 Rf: [0; ∞)
6.19. lok. min. : x=0 lok. max.: nincs inflexiós pont: nincs
konkáv: (-∞;-1)
konvex: (-1; ∞)
Rf: (-∞;0]U[1; ∞)
6.20. lok. min : nincs lok. max.: x=-1 inflexiós pont: x=-2 Rf: (-∞;1]
6.21. lok. min : x=-7 lok. max.: nincs inflexiós pont: x=-14 Rf: [-0,25; ∞)
6.22. lok. min. : x=-1 lok. max.: x=1 inflexiós pont: x=-4 Rf: [0; ∞)
6.23. lok. min. : x=e-1/2 lok. max.: nincs inflexiós pont: x=e-3/2 Rf: (-0,125;∞]
6.24. lok. min. : x=-e-1 lok. max.:
x=e-1
inflexiós pont: nincs, de
konkáv : (-∞;0)
konvex: (0; ∞)
Rf: [-0,735;0,735]
6.25. lok. min.: nincs lok. max.:
x=e-1
inflexiós pont: nincs
konkáv: (0; ∞)
Rf: (-∞;e-1]
6.26. lok. min.: x=-0,6 lok. max.:
x=0,6
inflexiós pont: x=-0,1; x=0,1
Rf: f-0,35; ∞)
6.27. lok min : x=3 lok max: nincs Inflexiós pont: x=0; x=2 Rf: [-23,54; ∞)
6.28. lok min : nincs lok max: nincs Inflexiós pont: nincs, de
konvex (0;2)V(2; ∞)
Rf: [-∞; ∞)
12
konkáv(-∞;-2)V(-2;0)
6.29. lok min : x=-2 lok max: x=2 Inflexiós pont:
x=0; x=3,46; x=-3,46
Rf: [-1/32; 1/32)
6.30 lok min : x=0 lok max: nincs Inflexiós pont:
x=-0,759; x=0,759
Rf: 0; π/2)
6.31. lok min : nincs lok max: nincs Inflexiós pont: x=0 Rf: [-π/4; π/2)
6.32 lok min : nincs lok max: nincs Inflexiós pont: x=-2
konvex: (-∞;-4)V(-4;0)
konkáv: (0; ∞)
Rf: [-π/2; π/2)
6.33 lok min : x=-π/4 lok max: x=π/4 Inflexiós pont: nincs Rf: -π/4; -π/4
6.34 lok min :
x=-1; x=1
lok max: nincs Inflexiós pont: nincs Rf: [1,587; ∞)
6.35 lok min :
x= (2k+1)π/4
lok max:
x= 2kπ/4
Inflexiós pont: x= π/8+kπ/4 Rf: [0,5; 1]
6.36 lok min :
x= π+(2k+1)π
lok max:
x= 2kπ
Inflexiós pont: x= 4π/3+2kπ Rf: [-2; 2]
6.37. y=14(x+2)+13
6.38. y=9(x-8)+12
6.39. y=8x+1
6.40. y=-1/2(x+4)+e-1
6.41. α=3
6.42. α=-2
6.43. α=-1/7
7.1. a) 30 egységnyi ár mellett az ár egységnyi növelése -60 egység keresletváltozást
okoz.
b) 30 egységár mellett az ár 1%-os növelése -1,8%kereslet visszaesést okoz.
c) 10 egységár
7.2. a) 120 egységnyi ár mellett az ár egységnyi növelése 3,3 egység keresletváltozást
okoz.
b) 120 egységár mellett az ár 1%-os növelése -1,2%kereslet visszaesést okoz.
c) 100 egységár
7.3. a) 6000 darab esetén maximális a profit
b) 3000 darab mellett ezer darabos termelés növelés 0,0769 költségnövekedést okoz.
7.4. a) 50 forint b) 6000 darab c) 40 forint
7.5. 1000 darab, 37416,57
7.6. 30mx60m-es telekre van szükség
7.7. a) 20EUR egységár mellett egy egységnyi árnövekedés -0,541 egség kereslet
változást okoz.
b) 14EUR
13
7.8. a) 20 540 forint és 20 670 forint
b) minimum 10 órakor, maximum 18 órakor
7.9. 1000 db
7.10. a) 6,7 millió és 60,133 millió
b) május 10 volt a maximum: 80 millió és május 1 volt a minimum 6,7 millió
7.11. 2000 darab
7.12. a) 40 egységnyi ár esetén maximális
b) 59 875 248
c) -2 500 000 000