s elecciÓn de la estructura y validaciÓn del modelo 1
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SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA Y VALIDACIÓN DEL MODELO
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CONTENIDO
Criterio para la selección del modelo De la selección de la estructura del modelo La validación del modelo
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CRITERIO PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO
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SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO
La elección de una estructura apropiada (por ejemplo: ARX, ARMAX, etc.) es un paso crucial en identificación de sistemas.
Y dicha elección debe estar basada en
el entendimiento del proceso de identificación, conocimiento del sistema a identificar.
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SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DE UN MODELO LTI ESTANDAR
La selección de un conjunto de modelos LTI estandar a identificar trata de la especificación de tres fenómenos diferentes:
Selección de la estructura del modelo ARX, ARMX
Selección de la complejidad del modelo na, nb, nk
Parametrizacion del modelo Modelo lineal
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CRITERIO PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO
El objetivo último del usuario de los métodos de identificación, será el de encontrar
un buen modelo
a un precio bajo.
¿Cuándo un modelo es bueno?
¿Cuándo un modelo es caro?
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¿CUÁNDO UN MODELO ES BUENO?
La aceptación de un modelo dependerá en ultima instancia de su uso,
Sin embargo, la calidad del modelo puede darse en terminos cuantitavos:
Su “bias” La varianza
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¿CUÁNDO UN MODELO ES CARO?
El precio asociado con la identificación del modelo.
El precio asociado con la aplicación del modelo
Esfuerzo computacional asociado a la identificacion del modelo
En tiempo real el orden del modelo esta limitado por la velocidad computacional
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DE LA SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO
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ELECCION DE LA ESTRUCTURA
Cada una de las estructuras (ARX, ARMAX, OE o BJ) tiene sus propias características
y debe ser elegida fundamentalmente en función del punto en el que se prevé que se añade el ruido en el sistema.
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ELECCION DE LA ESTRUCTURA
El vector de coeficientes hace que el modelo se ajuste a los datos de entrada-salida del sistema real
Puede ser necesario ensayar
con varias estructuras y con varios órdenes dentro de una misma
estructura
hasta encontrar un modelo satisfactorio.
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ELECCION DE LA COMPLEJIDAD
Para elegir la complejidad de la estructura del tipo de modelo considerado hay que determinar el orden de cada uno de los polinomios
es decir na, nb, nc, nd, nf y nk.
Una vez elegidos estos valores, queda determinar el vector de coeficientes
ai, bi, ci, di y fi
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ELECCION DE LA ESTRUCTURA
Ejemplo: Supóngase el sistema
¿Cuál es el tipo de estructura más apropiada a elegir para identificación?
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ELECCION DE LA ESTRUCTURA: EJEMPLO El tipo de estructura más apropiada para
identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE).
2 3
1 21 2 3
1 2 31
b q b qy t u t e t
f q f q f q
Por tanto nb = 2, nf = 3 y nk = 2.
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ELECCION DE LA ESTRUCTURA: EJEMPLO El tipo de estructura más apropiada para
identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE).
¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !
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DE LA SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO.
Cuatro fuentes de información,
Consideraciones a priori. Análisis preliminar de los datos Comparación de diferentes estructuras de
modelos Validación del modelo
Ljung (1987)
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CONSIDERACIONES A PRIORI
Basados en el conocimiento del proceso podría obtenerse información clara acerca
Del orden (mínimo) del modelo,
Carácter de la perturbación del ruido en los datos
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ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS DATOS
La información acerca del orden del modelo también puede obtenerse de
El análisis preliminar de los datos,
La identificación no paramétrica
Métodos de realización aproximada (Van den Hof and Bomois, 2004)
Por la evaluación del rango de la matriz Toeplitz, cuyos elementos son funciones de la covariancia de la muestra,
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COMPARACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE LOS MODELOS IDENTIFICADOS
Otra posibilidad es determinar la estructura y los órdenes del modelo después de la identificación de uno o varios modelos de conjuntos de modelos diferentes
Y evaluar el valor de la función de costo con los datos
ˆ , NN NV Z
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COMPARACIÓN DE LOS MODELOS
Prueba del orden del modelo para una estructura ARX
n = na+nb+1
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COMPARACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE LOS MODELOS IDENTIFICADOS
Otra manera:
Evaluar el valor de la función de costo con otros los datos
2ˆ , NN NV Z
Este mecanismo, denominado validación cruzada
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MECANISMO DE LA VALIDACIÓN CRUZADA Dos criterios para la selección del orden del
modelo
El Criterio de Información de Akaike (AIC).
El Criterio del Error de Predicción Final de Akaike (FPE).
1 ˆlog ,2
NN N
NV Z
N
1 ˆ ,1
NN N
N NV Z
N N
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COMANDOS RELEVANTES EN MATLAB
Funciones para la selección de la estructura óptima de un modelo
Selección de la estructura del modelo
arxstrucCálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras ARX.
ivstruc Cálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras OE.
selstruc Selección de la estructura con menor función de pérdidas.
struc Generación de un conjunto de estructuras.
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LA VALIDACIÓN DEL MODELO
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LA VALIDACION DEL MODELO
La mayoría de los métodos de validación tratan de determinar,
si la respuesta del modelo se ajusta con suficiente exactitud a los datos de entrada-salida obtenidos mediante experimentación
Basado en algunos criterios típicos
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CRITERIOS TÍPICOS PARA SELECCIONAR UN MODELO
Simulacion del modelo Intervalos de fiabilidad de los parámetros Análisis de los residuos Coherencia con el comportamiento de
entrada-salida Reducción del modelo Validación en base a la aplicación del modelo
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SIMULACIÓN DEL MODELO
Una técnica de validación de modelos:
Simular el modelo con un conjunto de entradas distintas a las utilizadas para identificación,
Comparar la respuesta del modelo con la obtenida del sistema real
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INTERVALOS DE FIABILIDAD DE LOS PARÁMETROS
Otro método: comparar los parámetros estimados con su desviación estándar
Si el intervalo de confianza de un parámetro es muy grande,
se debe considerar la posibilidad de eliminar dicho parámetro.
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ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS
Se conocen como residuos de un sistema a los errores de predicción
siendo la respuesta real del sistema
la respuesta estimada por el modelo
, ,et t y t y t
,ey t
y t
(para la misma entrada)29
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ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS
Idealmente, los residuos deben ser independientes de la entrada
Si no sucede así,
significa que hay componentes en los residuos que proceden de la entrada u(t),
lo cual a su vez significa que el modelo no es capaz de describir completamente la dinámica del sistema.
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ANÁLISIS DE RESIDUOS PARA DOS MODELOS
Modelo con un orden adecuado Modelo con un orden inferior
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COHERENCIA EN EL COMPORTAMIENTO DE ENTRADA-SALIDA
Puede ser necesario recurrir a diferentes métodos de identificación y comparar los resultados obtenidos.
Por ejemplo, comparando los diagramas de Bode de los modelos obtenidos mediante diferentes metodos
identificación paramétrica, por el método de variables instrumentales y por análisis espectral
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Comparación de la respuesta en frecuencia obtenida mediante dos métodos de identificación
distintos
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REDUCCIÓN DEL MODELO
Si una reducción en el orden del modelo no produce alteraciones apreciables en el comportamiento del mismo,
entonces el modelo original era innecesariamente complejo.
Para modelos LTI, supone la presencia de un polo y un cero (o más pares) que se cancelan
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CASO DE UN MODELO DEMASIADO COMPLEJO
Diagrama de ceros y polos
Cancelación de un cero y un polo
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VALIDACIÓN EN BASE A LA APLICACIÓN DEL MODELO
En la práctica es imposible determinar si un modelo responde exactamente al comportamiento del sistema real,
Es suficiente comprobar que el modelo es capaz de resolver el problema para el cual ha sido hallado
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EJEMPLO 37
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EJEMPLO
Ejemplo: Supóngase el sistema
Estimar los parámetros del modelo OE escogido Estimar un modelo ARX Validar el modelo
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PROBLEMAS
Ver el documento Tema 3_problemes.pdf
De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego
de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003].
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FUENTES
Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004
Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003
Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003
López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002
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